练习23 分母有理化及二次根式的规律探究&练习24 二次根式双重根式的化简技巧-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

》提分练习 练习23分母有理化及二次根式的规律探究 1.(①)56 15×17+1 (2)= 17 (16-1)×(16+1)+1 162-1+1= /16 17 W17 16(8+ 1 m+2=(n+1D/n十2 解析： m(n+2)+1 /(n+1)2 n+2=√ n+2 =(n十 n+2 1 1) 'Wn+2 2 2(w7+√5) 2.(1)方法-7-后7-5)7+5) 2 7-5 万+5：方法二：万5=万-后 7)2-(5)_7+5)7-5)-7+5. √7-√5 √7-√5 (2)1 1 1 1+22+3g+a+… √2023+√2024 √2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2024-√2023= √2024-1=2506-1. 练习24二次根式双重根式的化简技巧 1.(1)m2+3n22mn解析：，a+b√3= (m+n√5)2=m2+2√3mn+3n2,.a=m2+3n2, b=2mn.（2)21412解析：设a十b√5= 40》 (m+n√5)2=m2+2√5mn+5n2,∴.a=m2+5n2, b=2mm.若令m=1,n=2,则a=21,b=4.(本题答案 不唯一)(3)1 1 √16-67√11+47√(3-7)2 1 1 1 3+√7 √W7+2)23-77+2(3-7)(3+7) √7-2 2317-++ (√7+2)(7-2)2 3 2 2 7_13+7 3661 2.(1)√3-√2√7+√5解析：√5-2√6= √(W3)2-2X3X√2+(W2)2=√(W3-V2)2= √3-√2；√12+2√35=√（√7+5）2=√7+√5. (2)①W9+62=√9+2√/18=√6+2X6X3+3= √（√6+√3）2=√6+√3.②√16-415= √10-2/10X√6+6=W(√/10-√6)2=√/10-√6. (3)W3-5+√2+5-， 245+8+4 8+43 (√10)2-2X√10X2+(√2)2 (6)2+2×√6×√2+(w2) --+ 、+-竖+-四+八年级下册 练习23分母有理化及二次根式的规律探究 【方法提示】√ā+√b与a一√石是互为有理化因式，利用分数的基本性质，分子、分母同时乘分 母的有理化因式，就可以将其化为最简二次根式.二次根式的规律探究题，首先观察几个等式 中发生变化和没有发生变化的部分，再观察根号内和根号外的数字是如何变化的，猜想规律， 并把猜想的规律在所有已知的等式中验证，最后总结一般的式子，并应用于后面的题目中. 1 1 1。观察下列各式：1十=2。 22+-3 一3十—4 V5 (1)请你猜想：4+ 51 6 (2)计算（请写出推导过程）：15十7 (3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来： 2.阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简. 2 2(3-1) 方法一： 2(w3-1)_2(3-1D=5-1; 3+1(3+1)(3-1)()2-12 3-1 方法二： 23-1_(3)2-12_3+10(3-1D=3-1. 3+1√3+1W3+1 √3+1 这种将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化. 解决问题： 2 (1)选择你喜欢的一种方法化简 7-5 1 1 (2)化简：1十2十2+33+4 十。十 2023+√2024 《23 提分练习 练习24二次根式双重根式的化简技巧 【模型总结】 条件：a十b2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为整数）. 结论：a=m2+2n2,b=2mn. 1.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=(1+√2)2.设a十b√2=(m十 n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴.a=m2+2n2, b=2mn.这样可以把部分形如a十b√2的式子化为平方式. 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a十b3=(m+n√3)2，用含m、n的式子分别表示a、b, 得：a= ,b= (2)找一组正整数a、b、m、n填空： √5=（十 5)2. 1 (3)化简： /16-67√11+47 2.我们知道平方运算和开平方运算是互逆运算，如：(a士b)2=a2土2ab十b2,则有 √a士2ab+b=|a士b|.那么如何将双重二次根式a士2√b(a>0,b>0,a士2√b>0)化 简呢？如果能找到两个数m、n(m>0,n>0),使得（√m)2+(√n)2=a,即m+n=a,且使 √m·√n=√b,即m·n=b,那么a士2√b=(√m)2十(n)2土2√m·√n=(√m士 n)2,∴.√a士2b=|m士√n|,双重二次根式得以化简.例如：化简√3+2√2.3=1十 2且2=1X2,.3+22=(1)2+(2)2+2√1×2，∴.√3+2√2=1+√2.由此对于任意 一个二次根式只要可以将其化成√a±2√b的形式，且能找到m、n(m>0,n>0)使得m十 n=a,且m·n=b,那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式. 请同学们通过阅读上述材料，解答下列问题. (1)填空：√5一2√6= ;W12+2√35= (2)化简：①W9+6√2；②W16-4√/15. (3)计算：√3-√5+√2+√3. 24》