11.2 二次根式的乘除（第3课时 分母有理化）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

11.2二次根式的乘除（第3课时分母有理化）同步练习 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 3．计算结果为（   ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 6．在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．有下列各式：①；②；③．如果，，那么等式成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 9．将化为最简二次根式为 ． 10．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 11．计算： ． 12．计算的结果为 ． 13．计算： （1） ． （2） ． 14．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 三、解答题 15．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．计算： (1)． (2)． 17．化简下列各式： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算：． 20．如果一个三角形的三边的比例是，我们称它是“阶梯根式三角形”，比如：三角形的三边为“”或“”的都是“阶梯根式三角形”． (1)已知下列三角形的三边，分别判断是否为“阶梯根式三角形”． ①     ② (2)“阶梯根式三角形”是直角三角形吗？判断并说明你的理由． 21．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 2．A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 5．C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，割补法求出的面积，再利用面积关系求出点到直线的距离即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 设点到直线的距离为， 则， ∴； 故选C． 8．B 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质化简，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键． 由 和可知 和均为负数，根据二次根式的乘除法法则、二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立． 【详解】解：∵   ，， ∴，． 对于①：，成立，符合题意； 对于②：中 ，但和在实数范围内无定义，故不成立，不符合题意； 对于③：， ∵， ∴，成立，符合题意； ∴等式成立的是①③． 故选：B． 9． 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 10． 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12． 【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴原式= 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 14． 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键． （1）（2）（3）利用二次根式的除法法则计算； （4）根据二次根式的乘除法计算法则运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 16．(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 18．(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 19． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20．(1)①和②都是“阶梯根式三角形” (2)是直角三角形，理由见详解 【分析】本题考查二次根式的化简、勾股定理的逆定理等知识，关键是紧扣“阶梯根式三角形”的定义，通过化简变形验证三边比例；利用勾股定理的逆定理，通过设参数表达式验证三角形是否为直角三角形． （1）①先将三边、、按从小到大排序，再将三边同时除以最小边，化简比例后验证是否符合的定义． ②先对三边化简为最简二次根式，再化简比例，验证是否符合“阶梯根式三角形”的定义． （2）根据定义设三边为、、，分别计算三边的平方，验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，从而利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形． 【详解】（1）解：①将三边、、按从小到大排列为，，． (两边同除以)，符合“阶梯根式三角形”的定义，故①是阶梯根式三角形； ②将三边、、化简为、、，按从小到大排列为，，． ，符合定义，故②是阶梯根式三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： 设“阶梯根式三角形”的三边为，，． ，且， ，满足勾股定理的逆定理， “阶梯根式三角形”是直角三角形； 21．(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $