练习15 梯形常见辅助线&练习16 根据因式分解的定义求多项式中的参数-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

》提分练习 是等边三角形.(2)证明：，△ABE和△BMN都 是等边三角形，∴.AB=EB,BM=BN,∠ABE= ∠MBN=60°，∴.∠ABE-∠ABN=∠MBN- ∠ABN,即∠EBN=∠ABM.在△AMB和△ENB (AB=EB, 中，∠ABM=∠EBN,∴.△AMB≌△ENB(SAS). BM=BN, (3)①由“两点之间线段最短”可知，当A、M、C三点 共线时，AM十CM的值最小.，四边形ABCD是正 方形，∴M为BD的中点.②当M为CE与BD的 交点时，AM十BM十CM的值最小，如图2.理由如 下：，△AMB≌△ENB,∴.AM=EN..△BMN是 等边三角形，.BM=MN,.AM+BM+CM= EN十MN十CM.由“两点之间线段最短”可知，当 E、N、M、C四点在同一直线上时，EN+MN十CM 的值最小，故当M为CE与BD的交点时，AM+ BM+CM的值最小. 图1 图2 练习15梯形常见辅助线 1.3解析：如图，过点D分别作DE∥BC交 AB于点E,DF∥MN交AB于点F.在梯形 ABCD中，AB∥CD,.四边形BCDE,四边形 DFMN为平行四边形，∴.CD=BE=5,AE=AB BE=11-5=6.,M为AB的中点，∴.MB=AM= 2AB=2X1=5.5,ME=MB-BE=5.5-5 0.5:N为DC的中点，DN=DC=2×5= 2.5..四边形DFMN是平行四边形，∴.FM= DN=2.5,,.FE=FM+ME=2.5+0.5=3= AE,F为AE的中点，又：DE∥BC,∠B ∠AED.:∠A+∠B=90°，.∠A+∠AED=90°， 36》 ∴.∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴.DF= MN=AE=×6=3. M 2.√17解析：如图，过点A作AE⊥BC于点 E,过点D作DF⊥BC于点F,.AE∥DF, ∠AEF=90°.AD∥BC,∴.四边形AEFD是矩形， ..EF=AD=3,AE=DF.BD=CD,/BDC= 90°，∴△BDC是等腰直角三角形.又，DF⊥BC, .DF是△BDC的边BC上的中线，.DF= 3C=BF=4,∴、AE=DF=4,BE=BF-EF 4-3=1.在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, .AB=√42+1=√17. B E 3.3√2解析：如图，过点D作DF∥AC,交BC 的延长线于点F,则四边形ACFD是平行四边形， .DF=AC.AB=DC,∴.AC=BD=6,∴.BD= DF=6.AC⊥BD,DF∥AC,.BD⊥DF, △BDF是等腰直角三角形，∴.BF=√JBD十DF2= 666,DE L BC,:'DE BD.DF= BF 36 =3√2. 62 E 4.证明：(1)如图，连接DF并延长，交BC于点 H.,AD∥BC,∴.∠DAF=∠HCF.在△ADF和 ∠DAF=∠HCF, △CHF中，AF=CF, ∴.△ADF≌△CHF ∠AFD=∠CFH, (ASA),.DF=FH.,DE=EB,∴.EF是△DBH 的中位线，∴.EFBH,即EF∥BC.(2)如图，连接 AE并延长，交BC于点G.由(1)可知，△ADF≌ △CHF,∴.AD=CH,同理可得AD=BG,.BG= CH.,ABCD为等腰梯形，∴.∠ABG=∠DCH, ∴.△ABG≌△DCH(SAS),.∠AGB=∠DHC .AE⊥EF,EF∥BC,∴.AG⊥BC,.AG∥DH. ,AD∥BC,∴.四边形AGHD为矩形.，EF∥BC, ∴.四边形AEFD是矩形 G 练习16根据因式分解的定义 求多项式中的参数 1.(1)设另一个因式为(x十m).根据题意，得 x2+3x-k=(x-5)(x+m),则x2+3x-k=x2+ (m-5=3,m=8, (m-5)x-5m,∴. =5m,六 另一个因 k=40, 式为x十8，k的值为40.(2)设另一个因式为 (2x十m).根据题意，得2x2十5x十k=(x十3)(2x十 m),则2x2+5x+k=2x2+(m+6)x+3m, 、、%-6”..——1” .另一个因式为2x一1，k k=一3， 的值为一3. 2..当x=2时，x3+4x2-3x-18=8十16 6-18=0,.多项式有因式(x一2).设另一个因式为 (x2+a.x+b),.x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+ a.x+b),.x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2 (2a-b)x-2b,.a-2=4,-2b=-18,.a=6, b=9,.x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)= (x-2)(x+3)2. 练习17求分式的值(1)一整体代入 1.A解析：，a十b+c=0,.a+b=-c,b+ 八年级下册《C c=-aa+c=-,a(径+2)+a(径+2)十 2c (经+)-0+0++0+器 c a c a b 2(a+c)+26+c2+2(a+b)=2b+-2a+ b a b a -2c=-2-2-2=-6. 解析：2x-y-9=0,2x-)= 2.(1)3 6x-3)y=3(2x-y)=3=3=1 9,小4x2-4xy+2=(2x-y)22x-y93 (2)号解析：由题意可知b-a=3ab,∴a-b= -3ab,∴.原式 _2(a-b)+3ab--Gab+3ab (a-b)-2ab -3ab-2ab -3ab3 -5ab-5 +中6+ 3.(1),1 1 62 1 5a 56 +1+1+6=1.(2)ba+1+6c+6++ 5c 5ac 5abc ca+c+1 abc+ac+c abc2+abc+ac 5c 5ac 5 5c ca+c+1 actc+1+actca ac+c+1= 5(ac+c+1) ac+c+1=5. 练习18求分式的值(2)一倒数法 1方解折：由年得生1-3十 --(+-8-9- 7x21 “x4+17 2.(1) 9解析：1+1 +=++ -4 ++=原式=1 1 a b c 名(2)由-3x+中12知x≠0，则 1 《37八年级下册《 练习15梯形常见辅助线 【方法提示】 平移一腰 作梯形的高 延长两腰 平移一条对角线 1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A+∠B=90°，CD=5,AB=11,M、N分别为AB、 CD的中点，则线段MN= D E (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD=CD,∠BDC=90°，AD=3,BC=8,则AB的长为 3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,且AC⊥BD,AC=6,则该梯形的高DE为 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,对角线AC、BD相交于点P,E、F分别是 BD、AC的中点，连接EF. (1)求证：EF∥BC. (2)连接AE、DF,如果AE⊥EF,求证：四边形AEFD是矩形. 《15 提分练习 练习16根据因式分解的定义求多项式中的参数 【方法提示】当x=a时，多项式的值为0，则多项式因式分解后一定含有因式(x一a). 1.阅读下列解答过程： 若二次三项式x2一4x十m有一个因式是x+3,求另一个因式及m的值. 解：设另一个因式为x十a. 则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a十3)x+3a, .a十3=-4，.a=-7, 3a=m, m=-21, .另一个因式为x一7，m的值为一21. 请依照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式x2+3x一k有一个因式是x-一5，求另一个因式及k的值 (2)已知二次三项式2x2+5x十k有一个因式是x十3，求另一个因式及k的值. 2.阅读并解答：对于三次多项式x3一x2一3x十3，我们把x=1代入多项式，发现x3一x2 3x+3=0,由此可以推断多项式中有因式(x一1)，设另一个因式为(x2+ax+b),多项式可 以表示成x3-x2-3x十3=(x-1)(x2+ax十b),整理，得x3-x2-3x+3=x3-(1 a)x2-(a-b)x-b,可得到1-a=1,b=一3，所以a=0,b=-3,把求出的a,b代入，就 可以把多项式x3一x2一3x十3因式分解.以上这种因式分解的方法叫“试根法”. 对于多项式x3+4x2一3x一18，用“试根法”分解因式. 16》