练习13 四边形中三角形中位线的构造(2)&练习14 四边形中线段之和的最值-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

》提分练习 ,E、F分别为AB、CD的中点，.EG、FG分别是 △ABD,△ACD的中位线，EG=2BD,FG AC,EG+FPG=(BD+AC).在△EPG中， 1 :EF<EG+FG,EF<2(AC+BD).(2)①如 图2，当AD与BC不平行时，取AC的中点H,连接 EH、FH.,E、F分别为AB、CD的中点，∴EH、 FH分别是△ACB与△ACD的中位线，.FH= AD,EH-BC FH+EH-(AD+BC). EH+FH>EF,EF<2(AD+BC).②当 AD∥BC时，E、H、F三点共线，.EF=EH+ (AD+BC).综上所述，EF≤号(AD十 FH-1 BC). 图1 图2 2.(1)证明：，P是对角线BD的中点，M是 DC的中点，N是AB的中点，PN=号AD,PM= BC.AD BC,PN PM./PMN ∠PNM.(2)证明：如图1，连接BD,取BD的中 点P,连接PM、PN.由(1)可得，∠PMN= ∠PNM..M是DC的中点，N是AB的中点， ∴.PM∥BC,PN∥AD,∴.∠PMN=∠F,∠AEN= ∠PNM,.∠AEN=∠F.(3)√3或√5解析：如 图2，连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN.由 (1)可得，∠PMN=∠PNM,同(2)可知，PM∥BG, PN∥AM,∴.∠PMN=∠CGM,∠PNM= ∠AMN,∴.∠CGM=∠AMN.'∠AMN= ∠GMC,∴.∠CGM=∠GMC,∴.CG=CM.DC= 2,M是DC的中点，·DM=MC=2CD=1, 34》 .CG=CM=1..△CGD是直角三角形，AC< AB,∴.①当∠DGC=90°，DG=√CD2-GCZ= √22-1平=√5；②当∠DCG=90°，DG= √CD2+GC=√22+1=√5.综上所述，DG的长为 √3或5. 图1 图2 练习13四边形中三角形中位线的构造(2) 1.【三角形中位线定理】DE∥BC且DE= 名BC。【位用】如图1，连接BD,:E,F分别是边 AB,AD的中点，EF∥BD,BD-2EF-2X号 3,∴.∠ADB=∠AFE=45°.BC=5,CD=4, .BD2+CD2=32+4=25,BC2=52=25,∴.BD2+ CD2=BC2,.△BDC是直角三角形且∠BDC= 90°，.∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°= 135°.【拓展】证明：如图2，取DC的中点H,连接 MH、NH..M、H分别是AD、DC的中点，.MH 是△ADC的中位线，MH∥AC且MH=2AC.同 理可得，NH∥BD且NH=专BD.:EF=EG, .∠EFG=∠EGF.MH∥AC,NH∥BD, ∴.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, ∴.∠HMN=∠HNM,.MH=NH,∴.BD=AC. AF D D 图1 图2 2.(1)证明：如图1，连接BD,取DB的中点H, 连接EH、FH.,E、H分别是AD、BD的中点， EH∥AB且EH=2AB,∠BME=∠HEF. ,F、H分别是BC、BD的中点，.FH∥CD且 FH=2CD,∠CNE=∠HFE.'AB=CD, ∴.HE=FH,∴.∠HEF=∠HFE,∴.∠BME= ∠CNE. M M N 图1 图2 (2)如图2，取AC的中点P,连接PF、PE,可知 AB且PE∥AB,∠PEF=∠ANF.同理 1 PE=- 可得，PF-合CD且PF/CD,∠PFE=∠CME 又AB=CD,PE=PF,∴∠PFE=∠PEF, ∴.∠OMN=∠ONM,∴.OM=ON,.△OMN为等 腰三角形.(3)如图3，连接BD,取BD的中点H, 连接EH、HF.,E、F、H分别是AD、BC、BD的中 点，.HE∥BM,HF∥CN,∴.∠BMF=∠HEF, 13 ∠HFE=∠FNC..AB=5,CD=12,EF= 2, HE-号AB-名，HF=专CD=6,又：HE十 H=(8》'+6=19,EF=()}”=19。 4 ∴.HE2+HF2=EF2,△HEF是直角三角形且 ∠EHF=90°，∴.∠HEF十∠HFE=90°， .∠BMF+∠CNF=90°. MN D 图3 练习14四边形中线段之和的最值 1.B解析：如图，连接BP.在矩形ABCD中， AD//BC,AD=BC=6..AP=CQ,..AD-AP= 八年级下册《 BC一CQ,即DP=QB,∴.四边形DPBQ是平行四 边形，.PB∥DQ,PB=DQ,则PC十QD=PC+ PB,则PC十QD的最小值转化为PC+PB的最小 值.在BA的延长线上截取AE=AB=4,连接PE, 则BE=2AB=2X4=8.,PA⊥BE,.PA是BE 的垂直平分线，∴.PB=PE,∴.PC+PB=PC十PE. 连接CE,则PC十QD=PC十PB=PC+PE≥CE. ,CE=√BE2+BC2=√/82+62=10，∴.PC+QD 的最小值为10. B 2.2√2解析：如图，过点B作BT⊥AB,使 BT=AB,连接TF、AT.,四边形ABCD为菱形， ∠ABC=60°，∴.AB=DC=2,∠ABC=∠ADC= 60°，BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD= ∠ABC=号×60=30.：BT1AB,BT=AB= DC=2,.AT=√AB2+TB=2√2.，BT⊥AB, ∠ABD=30°，∴.∠FBT=90°-∠ABD=60°， ∴.∠ADC=∠FBT=60°.在△EDC和△FBT中， (DE=BF, ∠EDC=∠FBT,.△EDC≌△FBT(SAS), DC=BT, ∴.CE=TF,.AF+CE=AF+TF.根据“两点之间 线段最短”可知，AF+TF≥AT,即AF十TF≥ 2W2,∴AF+TF的最小值为2√2，即AF+CE的最 小值为2√2. T 3.(1)△BMN是等边三角形.理由如下：如图 1,由旋转可知，BN=BM,∠MBN=60°，∴.△BMN 《35 》提分练习 是等边三角形.(2)证明：，△ABE和△BMN都 是等边三角形，∴.AB=EB,BM=BN,∠ABE= ∠MBN=60°，∴.∠ABE-∠ABN=∠MBN- ∠ABN,即∠EBN=∠ABM.在△AMB和△ENB (AB=EB, 中，∠ABM=∠EBN,∴.△AMB≌△ENB(SAS). BM=BN, (3)①由“两点之间线段最短”可知，当A、M、C三点 共线时，AM十CM的值最小.，四边形ABCD是正 方形，∴M为BD的中点.②当M为CE与BD的 交点时，AM十BM十CM的值最小，如图2.理由如 下：，△AMB≌△ENB,∴.AM=EN..△BMN是 等边三角形，.BM=MN,.AM+BM+CM= EN十MN十CM.由“两点之间线段最短”可知，当 E、N、M、C四点在同一直线上时，EN+MN十CM 的值最小，故当M为CE与BD的交点时，AM+ BM+CM的值最小. 图1 图2 练习15梯形常见辅助线 1.3解析：如图，过点D分别作DE∥BC交 AB于点E,DF∥MN交AB于点F.在梯形 ABCD中，AB∥CD,.四边形BCDE,四边形 DFMN为平行四边形，∴.CD=BE=5,AE=AB BE=11-5=6.,M为AB的中点，∴.MB=AM= 2AB=2X1=5.5,ME=MB-BE=5.5-5 0.5:N为DC的中点，DN=DC=2×5= 2.5..四边形DFMN是平行四边形，∴.FM= DN=2.5,,.FE=FM+ME=2.5+0.5=3= AE,F为AE的中点，又：DE∥BC,∠B ∠AED.:∠A+∠B=90°，.∠A+∠AED=90°， 36》 ∴.∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，∴.DF= MN=AE=×6=3. M 2.√17解析：如图，过点A作AE⊥BC于点 E,过点D作DF⊥BC于点F,.AE∥DF, ∠AEF=90°.AD∥BC,∴.四边形AEFD是矩形， ..EF=AD=3,AE=DF.BD=CD,/BDC= 90°，∴△BDC是等腰直角三角形.又，DF⊥BC, .DF是△BDC的边BC上的中线，.DF= 3C=BF=4,∴、AE=DF=4,BE=BF-EF 4-3=1.在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2, .AB=√42+1=√17. B E 3.3√2解析：如图，过点D作DF∥AC,交BC 的延长线于点F,则四边形ACFD是平行四边形， .DF=AC.AB=DC,∴.AC=BD=6,∴.BD= DF=6.AC⊥BD,DF∥AC,.BD⊥DF, △BDF是等腰直角三角形，∴.BF=√JBD十DF2= 666,DE L BC,:'DE BD.DF= BF 36 =3√2. 62 E 4.证明：(1)如图，连接DF并延长，交BC于点 H.,AD∥BC,∴.∠DAF=∠HCF.在△ADF和 ∠DAF=∠HCF, △CHF中，AF=CF, ∴.△ADF≌△CHF ∠AFD=∠CFH,八年级下册《 练习13四边形中三角形中位线的构造(2) 【模型总结】 条件：如图，E、F分别是AB、CD的中点，AC=BD. 方法：取BC的中点G,连接EG、FG. 结论：EG=FG 1.【三角形中位线定理】如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，直接写出DE 和BC的关系 【应用】 如图2，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，若BC=5,CD=4,EF= 2 ∠AFE=45°，求∠ADC的度数. 【拓展】 如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E,M、N分别为AD、BC的中点，MN分 别交AC、BD于点F、G,EF=EG.求证：BD=AC 图1 图2 图3 2.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长， 分别与BA、CD的延长线交于点M、N.求证：∠BME=∠CNE.(提示：取BD的中点 H,连接FH、HE) (2)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的 中点，连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状，请直接写出结论， (3)如图3，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AB=5,CD=12,EF=13 , 试求∠BMF+∠CNF的度数. M 图 图2 图3 《13 提分练习 练习14四边形中线段之和的最值 【方法提示】图形中两条没有首尾相连的动线段相等，即两定两动，我们归为逆等线问题.解决 这类问题一般通过平移、对称或旋转等方法构造全等三角形来实现线段转移，让两动线段在动 点处连接起来，再根据两点之间线段最短，从而求得最值 1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P在AD上，点Q在BC上，且AP=CQ,连接 CP、QD,则PC十QD的最小值为 () A.8 B.10 C.12 D.20 (第1题) (第2题) 2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别是AD、BD上的动点，DE= BF,连接AF、CE,则AF+CE的最小值为 3.如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点（不含 ,点B),将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM. (1)连接MN,△BMN是等边三角形吗？为什么？ (2)求证：△AMB≌△ENB, (3)①当点M在何处时，AM十CM的值最小？ ②如图2，当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由. 图1 图2 14》