练习11 有关中点四边形&练习12 四边形中三角形中位线的构造(1)-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

八年级下册 《 练习11有关中点四边形 【方法提示】四边形四边中点的连线构成的四边形叫中点四边形.任意四边形的中点四边形都 是平行四边形.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形的中点四 边形是矩形.这些都可以通过连接对角线，转化为三角形的中位线来获得证明. 1.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，连接AC,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的 中点，若BC=GC=2,AC=25,则四边形EFGH的周长为 (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，AC=4,BD=2,E、F、G、H分别为边DA、AB、BC、CD的中 点，连接EG、HF,则EG2+FH2的值为 3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形.如图1，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四 边形EFGH. (1)菱形的中点四边形的形状是 (2)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、 G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断中点四边形EFGH的形状并证明， (3)若四边形ABCD的中点四边形为正方形，AB十CD的最小值为4，则BD= 图1 图2 《11T 提分练习 练习12四边形中三角形中位线的构造(1) 【模型总结】 条件：如图，E、F分别为AD、BC的中点，AB=CD 方法：取AC的中点P,连接EP、FP. 结论：EP=FP 1.如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点. I)求证：BF<AC+BD. (②)请进-步证明：EF<2(AD+BC. 2.某数学研究小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答. 【实践探究】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是 AB的中点.求证：∠PMN=∠PNM. 【问题解决】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AD=BC,M是DC的中点，N是AB的中点.连接NM并 延长，分别与AD、BC的延长线交于点E、F.求证：∠AEN=∠F 【拓展延伸】 (3)如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是DC的中点，N是AB 的中点，连接NM并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD.若CD=2,当△CGD是 直角三角形时，DG的长为 图2 图3 12》》提分练习 (AB=AD, △ADP中，∠BAP=∠DAP,.△ABP≌△ADP AP=AP, (SAS),.'.PB=PD.PD=PE,.'PB=PE. (2)由(1)可得，△APB≌△APD,.∠ADP= ∠ABP,∠CDP=∠CBP..PD=PE,∴∠PDC= ∠PEC,∴.∠CBP=∠PEC.,∠BFP=∠EFC, .180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC- ∠PEC,∴∠FPB=∠BCE=90°，∴.∠BPE=90° (3)PD=BE.理由如下：在菱形ABCD中， ∠BAD=120°，.AD=AB,∠DAP=∠BAP= [AD-AB. 60°.在△ADP和△ABP中，∠DAP=∠BAP, AP=AP, ∴.△ADP≌△ABP(SAS),∴.PD=PB,∠ADP= ∠ABP.,PD=PE,∴.∠PDE=∠PED,PE= PB.,∠ADP+∠PDE=60°，∴.∠ABP+ ∠PED=60°.，DE∥AB,∴.∠ABE+∠DEB= 180°，.∠PBE+∠PEB=120°，.∠EPB=60°， ∴△PBE是等边三角形，PE=BE,∴PD=BE. 练习10正方形中的旋转 1.(1).四边形ABCD是正方形，.∠ABC= ∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=AD,.∠ABG= 180°-∠ABC=90°，∴.∠ABG=∠D,.△ABG≌ △ADF(SAS),.∠BAG=∠DAF,AG=AF. ,∠BAD=90°，∠EAF=45°，.∠EAG= ∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠BAD ∠EAF=45°，∴.∠EAG=∠EAF,.△AGE≌ AAFE(SAS),.EG=EF.EG=BE+BG= BE+DF,∴.EF=BE+DF,∴EF+CE+CF= BE+CE+CF+DF=BC+CD.,正方形ABCD 的边长为4，∴.EF+CE+CF=BC+CD=4+4= 8,即△CEF的周长为8.(2)，BE=1,∴.CE= BC-BE=4-1=3.设DF=x,则CF=CD DF=4-x,EF=BE十BG=BE+DF=1十x.在 Rt△CEF中，由勾股定理得CE2十CF2=EF2,即 32》 3+4-z)=(1十x)户，解得x=号，即DF的长 为导 2.（1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90°.由旋转可知，AE=AF, ∠EAF=90°，.∠BAD-∠BAE=∠EAF- ∠BAE,即∠DAE=∠BAF,.△ADE≌△ABF (SAS).(2)证明：由(1)得，AE=AF,∠EAF= 90°，∴△AEF是等腰直角三角形，.∠AEF= ∠F=45°.，△ADE≌△ABF,.∠AED=∠F= 45°，.∠AED+∠AEF=90°，即∠DEF=90°， ∴.DE⊥EF,(3)BE2十BF2=2AB2.理由如下：如 图，连接BD.DE⊥EF,.DE2十BE2=BD2.在 正方形ABCD中，BD2=AB2+AD2=2AB2. ,△ADE≌△ABF,.BF=DE,.DE2+BE2= BF2+BE2=BD2=2AB2,.'.BE2+BF2=2AB2. 练习11有关中点四边形 1.45解析：如图，连接BD.,G是CD的中 点，GC=2,.CD=4,.BD=√CD2+BC= √4+22=2√5.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、 DA的中点，.EH是△ADB的中位线，EF是 △ACB的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是 △ADC的中位线，EH=号BD=5,EF ZAC-5,PG-BD-5,GH-TAC-5, ∴.四边形EFGH的周长为4W5. G 2.10解析：预备知识：平行四边形两对角线 长的平方和等于四边长的平方和.如图1，已知四边 形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2= 2AB2+2BC2.证明：如图1，过点A作AM⊥BC于 点M,过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N, ,四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC,AB∥ DC,∴.∠ABM=∠DCN,∠AMB=∠DNC= 90°，.△ABM≌△DCN(AAS),.BM=CN, AM=DN,.AC2=AM2+MC2=AM2+(BC- BM)2,BD2=DN2+BN2=AM2+(BC+BM)2, ..AC2+BD2=2AM2+2BC2+2BM2,.AC?+ BD2=2 (AB2-BM2)+2BC2+2BM2=2AB2+ 2BC2;解决问题：如图2，连接EF、FG、GH、HE, E、H分别是DA、DC的中点，∴.EH是△DAC的 中位线，EH=)AC=2,同理可得FG=?AC, P三BD=1,HG=BD,∴EH=FG,E HG,∴.四边形EFGH是平行四边形，.EG2十 FH2=2EH2+2EF2=2X(22+12)=10. F 图1 图2 3.(1)矩形解析：如图1，当四边形ABCD是 菱形时，连接各边中点得四边形EMNF.根据中位线 的性质可知，EF∥BD,MN∥BD,∴.EF∥MN.同理 可得EM∥AC,FN∥AC,∴.EM∥FN,∴.EMNF为 平行四边形.又，四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, ,EM⊥MN,.四边形EMNF为矩形.(2)四边形 EFGH是菱形.证明如下：如图2，连接AC、BD △AMD与△MCB为等边三角形，∴.AM=DM, ∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM,.∠AMD+ ∠DMC=∠BMC+∠DMC,即∠AMC=∠DMB. (AM=DM, 在△AMC和△DMB中，{∠AMC=∠DMB, CM=BM, 八年级下册《 .△AMC≌△DMB(SAS),.AC=DB.,E、F、 G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，.EF是 △ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是 △ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，∴.EF∥ AC且EF=)AC,GH/AC且GH=号AC,HE∥ DB且HE=2DB,FG∥DB且FG=-2DB, ∴.EFGH,FG∥HE,∴.四边形EFGH是平行四边 形.，AC=DB,∴.EF=HE,∴.四边形EFGH是菱 形.(3)2√2解析：如图3，连接BD、AC交于点 O,连接OM、ON、MN.当点O在MN上（即M、O、 N三，点共线)时，OM十ON最小，最小值为MN的 长，.2(OM+ON)的最小值=2MN.:NE⊥EM, NE∥AC,EM∥BD,.AC⊥BD.又，M、N分别是 AB、CD的中点，.AB=2OM,CD=2ON, ∴.2(OM+ON)=AB+CD,∴.AB+CD的最小 值=2MN.,四边形ENFM是正方形，.FM= FN,∠MFN=90°，.MN=√FM+FN=√2FN. :N,F分别是DC、BC的中点，FN=?DB, -2 DB. MN-2, 2DBX2=4,∴.BD=22. 图1 图2 图3 练习12四边形中三角形中位线的构造(1) 1.(1)如图1，取AD的中点G,连接EG、FG 《33 》提分练习 ,E、F分别为AB、CD的中点，.EG、FG分别是 △ABD,△ACD的中位线，EG=2BD,FG AC,EG+FPG=(BD+AC).在△EPG中， 1 :EF<EG+FG,EF<2(AC+BD).(2)①如 图2，当AD与BC不平行时，取AC的中点H,连接 EH、FH.,E、F分别为AB、CD的中点，∴EH、 FH分别是△ACB与△ACD的中位线，.FH= AD,EH-BC FH+EH-(AD+BC). EH+FH>EF,EF<2(AD+BC).②当 AD∥BC时，E、H、F三点共线，.EF=EH+ (AD+BC).综上所述，EF≤号(AD十 FH-1 BC). 图1 图2 2.(1)证明：，P是对角线BD的中点，M是 DC的中点，N是AB的中点，PN=号AD,PM= BC.AD BC,PN PM./PMN ∠PNM.(2)证明：如图1，连接BD,取BD的中 点P,连接PM、PN.由(1)可得，∠PMN= ∠PNM..M是DC的中点，N是AB的中点， ∴.PM∥BC,PN∥AD,∴.∠PMN=∠F,∠AEN= ∠PNM,.∠AEN=∠F.(3)√3或√5解析：如 图2，连接BD,取BD的中点P,连接PM、PN.由 (1)可得，∠PMN=∠PNM,同(2)可知，PM∥BG, PN∥AM,∴.∠PMN=∠CGM,∠PNM= ∠AMN,∴.∠CGM=∠AMN.'∠AMN= ∠GMC,∴.∠CGM=∠GMC,∴.CG=CM.DC= 2,M是DC的中点，·DM=MC=2CD=1, 34》 .CG=CM=1..△CGD是直角三角形，AC< AB,∴.①当∠DGC=90°，DG=√CD2-GCZ= √22-1平=√5；②当∠DCG=90°，DG= √CD2+GC=√22+1=√5.综上所述，DG的长为 √3或5. 图1 图2 练习13四边形中三角形中位线的构造(2) 1.【三角形中位线定理】DE∥BC且DE= 名BC。【位用】如图1，连接BD,:E,F分别是边 AB,AD的中点，EF∥BD,BD-2EF-2X号 3,∴.∠ADB=∠AFE=45°.BC=5,CD=4, .BD2+CD2=32+4=25,BC2=52=25,∴.BD2+ CD2=BC2,.△BDC是直角三角形且∠BDC= 90°，.∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+90°= 135°.【拓展】证明：如图2，取DC的中点H,连接 MH、NH..M、H分别是AD、DC的中点，.MH 是△ADC的中位线，MH∥AC且MH=2AC.同 理可得，NH∥BD且NH=专BD.:EF=EG, .∠EFG=∠EGF.MH∥AC,NH∥BD, ∴.∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, ∴.∠HMN=∠HNM,.MH=NH,∴.BD=AC. AF D D 图1 图2 2.(1)证明：如图1，连接BD,取DB的中点H, 连接EH、FH.,E、H分别是AD、BD的中点，