练习9 正方形的轴对称性&练习10 正方形中的旋转-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

90°，.四边形AFGM为矩形，∴.AF=MG..AE⊥ AH,GM⊥AH,∴.AE∥GM,.∠MGH= ∠AEH=45°，∴.△MGH为等腰直角三角形， .GM=MH,∴.GH=√2MG=√2AF.(3)2√10 解析：如图2，过点F作FRGH.由题意知，GF= EF=CE=3,DH=BE=1,CD=AB=4,..FC= FE+EC=6..GFCD,GH∥FR,∴.四边形GFRH 是平行四边形，.HR=GF=3,.RC=HD十DC RH=1+4-3=2,∴.FR=√FC2+CR2=2√I0, ..GH=FR=210. M 图1 图2 2.(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N.,四边形ABCD为正方形， ∴.∠BCD=90°.，EM⊥BC,EN⊥CD,.∠EMF= ∠ENC=∠END=90°，∴.∠MEN=90°.：四边形 DEFG为矩形，∴.∠FED=90°，∴.∠MEN ∠FEN=∠FED-∠FEN,即∠MEF=∠NED. E是正方形ABCD对角线上的点，∴.EN=EM, 在△DEN和△FEM中，，'∠EMF=∠END, EM=EN,∠MEF=∠NED,∴.△FEM≌△DEN (ASA),.EF=ED,矩形DEFG为正方形. (2)CE+CG=√2AD.理由如下：四边形DEFG 为正方形，DE=DG,∠EDG=90°.四边形 ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°， ∴.∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC,即∠CDG= ∠ADE.在△ADE和△CDG中，.AD=CD, ∠ADE=∠CDG,DE=DG,∴.△ADE≌△CDG (SAS),∴.AE=CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC= √2AD.(3)若正方形ABCD的面积为9，则正方形 ABCD的边长为3，.AC=3W2,∴.CE=2AE= AC=22,由勾股定理易得EM=CN 八年级下册《 DN=BM=1=MF,则EF2=MF2十ME2=12+ 22=5,即正方形DEFG的面积为5. 练习9正方形的轴对称性 1.(1),四边形ABCD是正方形，∴.∠ABD= 45.BE=BA∠BEA=7(180-45)=67.5. (2)①证明：如图，连接CE.,四边形ABCD是正方 形，.AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.，BE= BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS),.AE=CE, ∠BAE=∠BCE.点E恰好在AP的垂直平分线 上，AE=PE,.CE=PE,.∠EPC=∠ECP, .∠EPC=∠BAE.,∠EPC+∠BPE=180°， ∠BAE+∠BPE=180°，.∠AEP+∠ABP= 180°.∠ABP=90°，∠AEP=90°，.△AEP是 等腰直角三角形.②BF2十DE2=EF2.证明如下： 如图，将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM, .AF=AM,BF=DM,∠FAM=∠BAD=90°， ∠ABF=∠ADM=45°.由①可知，∠PAE=45°， ∴.∠MAE=45°，∴.∠FAE=∠MAE=45°.，AE AE,∴.△AEF≌△AEM(SAS),∴.EF=EM. .∠ADB=45°，∴.∠EDM=∠ADM+∠ADB= 45°+45°=90°.在Rt△EDM中，由勾股定理得 DM2+DE2=EM2,..BF2+DE2=EF2. 2.(1)PB=PE解析：在正方形ABCD中， AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°.在△ABP和 《31 》提分练习 (AB=AD, △ADP中，∠BAP=∠DAP,.△ABP≌△ADP AP=AP, (SAS),.'.PB=PD.PD=PE,.'PB=PE. (2)由(1)可得，△APB≌△APD,.∠ADP= ∠ABP,∠CDP=∠CBP..PD=PE,∴∠PDC= ∠PEC,∴.∠CBP=∠PEC.,∠BFP=∠EFC, .180°-∠BFP-∠PBF=180°-∠EFC- ∠PEC,∴∠FPB=∠BCE=90°，∴.∠BPE=90° (3)PD=BE.理由如下：在菱形ABCD中， ∠BAD=120°，.AD=AB,∠DAP=∠BAP= [AD-AB. 60°.在△ADP和△ABP中，∠DAP=∠BAP, AP=AP, ∴.△ADP≌△ABP(SAS),∴.PD=PB,∠ADP= ∠ABP.,PD=PE,∴.∠PDE=∠PED,PE= PB.,∠ADP+∠PDE=60°，∴.∠ABP+ ∠PED=60°.，DE∥AB,∴.∠ABE+∠DEB= 180°，.∠PBE+∠PEB=120°，.∠EPB=60°， ∴△PBE是等边三角形，PE=BE,∴PD=BE. 练习10正方形中的旋转 1.(1).四边形ABCD是正方形，.∠ABC= ∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=AD,.∠ABG= 180°-∠ABC=90°，∴.∠ABG=∠D,.△ABG≌ △ADF(SAS),.∠BAG=∠DAF,AG=AF. ,∠BAD=90°，∠EAF=45°，.∠EAG= ∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠BAD ∠EAF=45°，∴.∠EAG=∠EAF,.△AGE≌ AAFE(SAS),.EG=EF.EG=BE+BG= BE+DF,∴.EF=BE+DF,∴EF+CE+CF= BE+CE+CF+DF=BC+CD.,正方形ABCD 的边长为4，∴.EF+CE+CF=BC+CD=4+4= 8,即△CEF的周长为8.(2)，BE=1,∴.CE= BC-BE=4-1=3.设DF=x,则CF=CD DF=4-x,EF=BE十BG=BE+DF=1十x.在 Rt△CEF中，由勾股定理得CE2十CF2=EF2,即 32》 3+4-z)=(1十x)户，解得x=号，即DF的长 为导 2.（1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90°.由旋转可知，AE=AF, ∠EAF=90°，.∠BAD-∠BAE=∠EAF- ∠BAE,即∠DAE=∠BAF,.△ADE≌△ABF (SAS).(2)证明：由(1)得，AE=AF,∠EAF= 90°，∴△AEF是等腰直角三角形，.∠AEF= ∠F=45°.，△ADE≌△ABF,.∠AED=∠F= 45°，.∠AED+∠AEF=90°，即∠DEF=90°， ∴.DE⊥EF,(3)BE2十BF2=2AB2.理由如下：如 图，连接BD.DE⊥EF,.DE2十BE2=BD2.在 正方形ABCD中，BD2=AB2+AD2=2AB2. ,△ADE≌△ABF,.BF=DE,.DE2+BE2= BF2+BE2=BD2=2AB2,.'.BE2+BF2=2AB2. 练习11有关中点四边形 1.45解析：如图，连接BD.,G是CD的中 点，GC=2,.CD=4,.BD=√CD2+BC= √4+22=2√5.E、F、G、H分别为AB、BC、CD、 DA的中点，.EH是△ADB的中位线，EF是 △ACB的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是 △ADC的中位线，EH=号BD=5,EF ZAC-5,PG-BD-5,GH-TAC-5, ∴.四边形EFGH的周长为4W5. G八年级下册《 练习9正方形的轴对称性 【模型总结】 条件：如图，E是正方形对角线BD上一点，连接AE、CE. 结论：AE=CE B 1.如图，在正方形ABCD中，P为边BC上的一个动点（不与点B、C重合），E是对角线BD 上一点，连接AP交BD于点F, (1)当BE=BA时，请直接写出∠BEA的大小. (2)当点E恰好在AP的垂直平分线上时，连接AE、PE. ①求证：△AEP是等腰直角三角形； ②试猜想线段BF、EF、DE之间的数量关系，并证明你的结论. 2.【问题背景】如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，点E在边DC的延长线 上，且PD=PE,PE与边BC交于点F,连接PB. 【初步认识】 (1)线段PB和PE的数量关系是 【深入思考】 (2)请求出∠BPE的度数. 【延伸迁移】 (3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当∠BAD=120°时，连接 BE,试探究线段PD与线段BE的数量关系，并说明理由， 图1 图2 《9 提分练习 练习10正方形中的旋转 【模型总结】 条件：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠EAF=45°. 方法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG. 结论：EF=EG=BE+DF 1.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上且∠EAF=45°，连接 EF,求△CEF的周长 小明想到解决问题的方法如下： 如图2，延长CB至点G,使BG=DF,连接AG,通过证明△AGE≌△AFE,得到BE、DF、 EF之间的关系，进而求出△CEF的周长 (1)请按照小明的思路，帮助小明写出完整的求解过程. (2)如图2，若BE=1,求DF的长. 图1 图2 2.如图，在正方形ABCD中，P是边CD上一点，点E在AP的延长线上.将线段AE绕点A 顺时针旋转90°，得到线段AF,连接EF、DE,点B恰好在线段EF上. (1)求证：△ADE≌△ABF. (2)求证：DE⊥EF. (3)写出BE2、BF2、AB2三者之间的数量关系，并说明理由. 10》