第8章 四边形-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

第8章 四边形 8.1 平行四边形 第1课时平行四边形的概念与性质(1) 课堂演练 1.(教材例题变式)在□ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠C的度数为 A.50° B.60 C.70 D.120° 2.如图，在□ABCD中，已知AD=4,AB=2,则□ABCD的周长是 A.6 B.8 C.12 D.16 D E (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3.如图，在□ABCD中，BD=CD,AE⊥BD于点E.若∠C=70°，则∠BAE的度数为() A.50° B.60 C.70° D.80° 4.(2025·贵州)如图，在□ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°.以点A为圆心、AB的长 为半径作弧，交BC于点E,则EC的长为 () A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2025·新疆)如图，在□ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E.若AD=2,则BE的长 为 6.如图，在□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF,EF、BD相交于点O,求证： OE=OF. 7.(2025·宜宾)如图，E是口ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点 F,AD=5.求证：△ADE≌△FCE,并求BF的长. D 38》 第8章四边形 课后拓展 8.(2024·眉山)如图，在□ABCD中，O是BD的中点，EF经过点O,现有下列结论：①AB∥ DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形cDOF.其中正确的结论有 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 E C (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E.若AB=2, AE=3,则DE的长为 ( ) A.5 B.7 C.6 D.2.5 10.如图，在□ABCD中进行折叠操作，使得点C恰好落在边AD上的点C'处.已知∠1=60°， ∠2=42°，则∠C的度数为 11.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且□ABCD 的周长为40，则□ABCD的面积为 12.如图，在□ABCD中，E为边BC上一点，且∠B=∠AEB. (1)求证：AE=CD, (2)试判断AC与DE的数量关系，并说明理由. 13.如图，在□ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，过点C作CE⊥AB,垂足E在线段AB 上，连接EF、CF」 (1求证：∠DCF=3∠BCD. (2)求证：EF=CF. a,设△BEC的面积为S1,△EFC的面积为S2,求的值.（用含。 《39 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))>)) 第2课时平行四边形的概念与性质(2) 课堂演练 1.如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F.若 口ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是 () A.40 B.41 C.42 D.43 (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2024·贵州)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列结论一定正确的是 A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 3.(2025·湖北)如图，□ABCD的对角线交于原点O.若A(一1,2)，则点C的坐标是( A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 4.如图，□ABCD的对角线相交于点O,AB=10,AC十BD=32,则△COD的周长为 D (第4题) (第5题) 5.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.若AC=10,BD=12,AB=m,则m的 取值范围是 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC、OA的长. D B 7.如图，已知口ABCD与口EBFD的顶点A、E、F、C在同一条直线上.求证：AE=CF, 40》 第8章四边形 课后拓展 8.如图，在平面直角坐标系中，□OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点A(2,2),C(4, 0).若直线y=2x十1以每秒1个单位长度的速度向下平移，则经过多长时间，该直线可将 口OABC的面积平分？ 7 A.6s B. s C.5s D.3s D (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,EF经过点O,交AD于点E,交BC于 点F.若四边形ABFE的周长为12，EO=2,则AB+BC= 10.如图，在□ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=2,E为边AB上的一个动点，以EC、ED为 邻边构造□CEDF,连接EF,则EF的最小值为 11.如图，在□ABCD中，点M、N分别在边BC、AD上，且AM∥CN,对角线BD分别交AM、 CN于点E、F,求证：BE=DF. 12.如图1，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，点E、F在□ABCD的对角线 AC上. (1)求证：∠ABE=∠CDF. (2)若点E、F不在对角线AC上，而在对角线AC所在的直线上，如图2，∠ABE=∠CDF 是否仍然成立？请说明理由. 图1 图2 《41 课时提优计划作业本数学八年级下册($K版))) 第3课时平行四边形的判定(1) 课堂演练 1.(教材例题变式)在四边形ABCD中，已知AB∥CD,下列条件不能判定四边形ABCD为平 行四边形的是 () A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A+∠B=180° 2.小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能从 玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带哪两块去玻璃店？ ( A.①② B.②④ C.②③ D.①③ ④ ③ ① ② (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，D是直线L外一点，在1上取两点A、B,连接AD,分别以点B和点D为圆心、AD和 AB的长为半径画弧，两弧交于点C,连接CD、BC,则四边形ABCD是平行四边形，理由 是 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC,E为AD上一点，CF⊥BE,垂足为F.若四 边形ABCD的面积为48，BE=7,则CF= 5.如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF.求证：四边形AECF是平 行四边形 6.如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，且BF=DE. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形， (2)若AF⊥BD,AF=4,CF=5,BE=6,求四边形ABCD的面积. 42》 第8章四边形 课后拓展 7.如图，E是□ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE、CE、BD,BE交CD于点F.添加 以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 () A.∠AEB=∠BCDB.EF=BFC.∠ABD=∠DCE D.∠AEC=∠CBD GN (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD,E为AD上一点，连接BE、CE.若AE= DE=BC=1,则BE2+CE2= 9.如图，在四边形ABCD中，AD=5,BC=14,AD∥BC,G是BC的中点.点M以每秒1个单 位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点 G出发，沿GB向点B运动.当点M停止运动时，点N也随之停止运动.设运动时间为ts, 当四边形MDGN是平行四边形时，t的值为 10.如图，在□ABCD中，AC是它的一条对角线，过B、D两点分别作BE⊥AC,DF⊥AC,E、 F为垂足， (1)求证：四边形BEDF是平行四边形 (2)若BE=2,BF=3,求四边形BEDF的面积. 11.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm,∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以 4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点 B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间 是ts(0<t<15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形， (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. 《43 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)少) 第4课时平行四边形的判定(2) 课堂演练 1.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直 尺推移到A1B,C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形.小 明这样做的依据是 () A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.若以A(一0.5,0)、B(1,0)、C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加的一个条 件是 4.如图，在□ABCD中，E、F分别为AC、CA延长线上的点，连接DE、DF、BE、BF,当CE= AF时，证明：四边形BEDF是平行四边形 5.如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=90°，AD=5,AB=12,E是边CD的中点，连 接BE并延长，交AD的延长线于点F,连接CF. (1)求证：四边形BDFC是平行四边形 (2)当BF⊥DC时，求四边形BDFC的面积. 44》 第8章四边形 课后拓展 6.如图1，在□ABCD中，AD>AB,现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形ANCM为平行 四边形的是 () 甲：取BD的中点O,作 乙：作AN LBD于点N, BN-NO,OM-MD. CMLBD于点M. 图1 图2 A.甲 B.乙 C.甲、乙都可以 D.甲、乙都不可以 7.如图，在腰长为8的等腰三角形ABC中，AB=AC,E、M、F分别是AB、BC、 AC上的点，且ME∥AC,MF∥AB,则四边形MEAF的周长是 ( A.8 B.10 C.12 D.16 8.如图，在四边形ABCD中，AD=BC=6,AB=CD,BD=10,点E从点 D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点 C出发，以每秒3个单位长度的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从 点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终 点时，其余两点也随之停止运动.在整个运动过程中，当点G的速度为 时，△DEG 与△BFG全等. 9.如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD的三等分点， (1)求证：四边形AMCN是平行四边形 (2)若AM⊥BD,AD=5,BD=6,求□AMCN的周长. 10.如图，在□ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在边AD上以1cm/s的速度从点A 向点D运动，点Q在边BC上以4cm/s的速度从点C出发，在C、B之间往返运动，两个 动点同时出发，当点P到达点D时，两动点均停止运动，设运动时间为ts(t>O). (1)用含t的式子表示线段AP、CQ、PD、BQ的长度： (2)当运动时间为多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形？ 《45 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)) 专题1平行四边形中的分类讨论 目/类型一/平行四边形高、角平分线的位置不明确引起的分类讨论 1.在□ABCD中，AD=BD,BE是边AD上的高.若∠EBD=24°，则∠C的度数为 2.在□ABCD中，AB=5,∠BAD的平分线交直线BC于点E,若CE=3,则□ABCD的周长 为 3.在□ABCD中，AD=10,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F.若 EF=2,则AB的长为 4.已知□ABCD中，AB=15,AC=13,AE为边BC上的高，且AE=12,则□ABCD的面积 为 5.在□ABCD中，边BC上的高为4，AB=5,AC=2√5，则□ABCD的周长为 6.在☐ABCD中，BE⊥AD于点E,连接CE,AB=5,BE=3,DE=2,求线段CE的长， 目/类型二/平行四边形顶点顺序不明确引起的分类讨论 7.在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(0,0)、(3,0)、(5,3)，则第 四个顶点的坐标为 8.已知以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且△ABC为直角三角形.若AB=4, AC=3,则AD的长为 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(一3,0)、B(3,0)、C(0,4),连 接OD,E是线段OD的中点. (1)求点D和点E的坐标. (2)平面内是否存在一点N,使得以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请 求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 46》 第8章四边形 目/类型三/动点问题 10.在四边形ABCD中，AD∥BC,BC⊥CD,AD=6cm,BC=10cm,M是BC上一点，且 BM=4cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点B出发以2cm/s的 速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止.设运动时间为t(单位：s), 当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值. 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=6cm,BC=10cm,动点P、Q分别从点A、C同 时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B 运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动.设运动时间为t(单位：$. (1)AP= cm,CQ= cm.(分别用含有t的式子表示) (2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t 的值 (3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，请直接写出t的值， A 《47 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》)》) 8.2特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 课堂演练 1.(教材习题变式)(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上.当△EBC是等边三 角形时，∠AEB的度数为 A.30° B.45° C.60° D.120° D 0 (第1题) (第2题) (第4题) (第5题) 2.(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确 的是 () A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 3.(2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩形的 面积是 A.25 B.25√3 C.255 D.50√3 4.如图，在矩形ABCD中，AD=7,AB=4,DF平分∠ADC交BC于点F,AF⊥EF,则EF 的长为 5.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长 补短.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B的坐标是(1,3)，则AC的长 是 6.(2025·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E、F在边BC上，连接AE、DF,∠BAE=∠CDF. (1)求证：△ABE≌△DCF. (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 48> 第8章四边形 课后拓展 7.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,连接ED.若ED=5,EC=3,则矩 形ABCD的面积为 () A.15 B.16 C.22 D.28 D F (第7题) (第8题) 8.(2024·东营)如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD、BC、BD于点E、F、O.下 列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是 () A.O为矩形ABCD两条对角线的交点 B.EO-FO C.AE=CF D.EF⊥BD 9.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC,且∠EDO=15°，则∠DOE的度数为 D E (第9题) (第10题) (第11题) 10.矩形ABCD和矩形CGFE按如图所示放置，若AB=2,则EG= 11.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB、CD于点E、 F,连接PA、PC.若BE=2,PF=6,则图中阴影部分的面积为 12.已知四边形ABCD是矩形，E是边BC的延长线上一点，连接AC、DE,BE=AC (1)如图1，若∠ACB=40°，求∠E的度数. (2)如图2，若F是DE的中点，连接AF、CF,求证：AF⊥FC 图 图2 《49 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)))>)) 第2课时矩形的判定 课堂A演练 1.(教材例题变式)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 4 909 90° P90° h90 690% B C 2.如图，在口ABCD中，现有下列条件：①AC=BD;②∠1十∠3=90°：③0B=2AC,④∠1= ∠2.其中能判断口ABCD是矩形的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3 D (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点（不与点B、C重合），DE∥AB交AC于点E, DF∥AC交AB于点F.如果要使四边形AFDE是矩形，那么在△ABC中要增加的一个条 件是 4.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若围成的四边形 EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 ·(只需写出一个符合要求 的条件) 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，O是边AD的中点，∠AOB=∠DOC,求证：四 边形ABCD是矩形. 50> 第8章四边形 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC的中点，连接AD,E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证：BD=AF (2)求证：四边形ADCF为矩形. 课后拓展 7.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使DE=AD,连接EB、EC、DB.添加 一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是 () A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.BE⊥AB (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点 A出发沿AC方向运动，同时动点F以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运 动.若AC=12,BD=8,则经过 s,四边形BEDF是矩形. 9.如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,P为边BC上一动点，PE⊥AB于 点E,PF⊥AC于点F,连接EF,则EF的最小值为 cm. 10.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,将对角线BD向两个方向延长，分别至点E 和点F,且使得BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形 (2)若OF=OA,求证：四边形AECF是矩形 11.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O,E为OA的中点，连接DE并延长至点F,使 得EF=DE,连接AF、BF. (1)求证：四边形AFBO为平行四边形. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBO为矩形？请证明你的结论， 《51 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)>》>》))) 专题2矩形的折叠问题 目/类型一/折叠后过特定的点 1.在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将该矩形纸片折叠，使点B与点D重合. (1)求证：△DGH是等腰三角形. (2)求折痕GH的长. 2.实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过D的直线折叠，使点C落在边AD上的点C'处，得 到折痕DE,然后再把纸片展平； 第二步：如图2，将图1的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点A恰好落在边CD上的 点A'处，得到折痕EF,BC交A'B'于点M,再把纸片展平. 问题解决： 如图2，若CA'=2,DA'=4,求△A'CM的面积. 图1 图2 目/类型二/沿特定的线折叠 3.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F. (1)求证：点F在线段BD的垂直平分线上. (2)若BD2=24,DF=3,求AD的长， 52》 第8章四边形 4.如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=3,E是边AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到 △FDE,EF与边CD交于点G,点M在边BC上，将△BEM沿EM翻折得到△NEM,点 N恰好在边CD上，求GN的长. 5.在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=5,BC=AD=4. (1)如图1，P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AQP的位置，其中Q是点B 的对应点.当点Q落在边CD上时，线段DQ的长为 (2)如图2，M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻折，其中点A的对应点为A'. 当A'、M、C三点在同一条直线上时，求线段AM的长. 图1 图2 目/类型三/满足特殊条件 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P为边AD上的一点，将△ABP沿BP翻折得到 △EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,求AP的长. D 《53 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)少)))) 第3课时菱形的性质 课堂演练 1.(教材例题变式)(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 2.(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是边 AB的中点，连接OE.若OE=3,则菱形的边长为 ( A.6 B.8 C.10 D.12 3.(2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.若AC=6,BD=5, 则菱形ABCD的面积为 (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC= 120°，则∠AOE的度数为 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠ABC=80°，E是线段AO上一点，且 BC=CE,则∠OBE的度数为 6.如图，菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,4)、(3,0)，点C在x轴正半轴上，则点D 的坐标为 7.(2024·福建)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠AEB=∠AFD, 求证：BE=DF. 8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求证：DE=2OC. (2)若AB=5,BD=8,求四边形ACED的面积. 54》 第8章四边形 课后拓展 9.如图，在菱形ABCD中，∠B=a,P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP对称 的点为E,连接AE、CE,则∠AEC的度数为 () A60+0 B165-0 1 C.45+20 D.180°-1 (第9题) (第10题) (第11题) (第12题) 10.(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，E是边AB的中点，F是边BC上的动点.若 △BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 11.(2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O,E是边CD的中 点，过点E分别作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G.若AC=12,BD=16,则FG的长 为 12.(2025·上海)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点， 连接EP,AF,BE.若四边形ABEF是菱形，则A5的值为 13.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=CF,求证： AF-CE. 14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,DE⊥AB于点E,交AC于点P,BF⊥ CD于点F. (1)判断四边形DEBF的形状，并说明理由. (2)若BE=3,BF=6,求DP的长 《55 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))) 第4课时菱形的判定 课堂演练 1.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是 5 70 5110° A B C D 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是 () A.BE平分∠ABCB.AD=BD C.BE⊥AC D.AB=AC B (第2题) (第3题) (第4题) 3.(2025·黑龙江)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,请添加一个条件 使□ABCD为菱形， 4.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE,当△ABC满足条件 (填一个条 件)时，能够判定四边形ACED为菱形 5.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5cm,对角线AC与BD相交于点O,且AC= 8cm,则四边形ABCD的面积为 cm2. 6.(2025·长春)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3,求证： □ABCD是菱形， 7.如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点， ,求证：四边形 AECF是菱形. 从①BE=DF,②BD平分∠ABC,③AB=BC这三个条件中选两个填入题中横线上，将题 目补充完整，并完成证明. 56》 第8章四边形 课后拓展 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，□BCDE的顶点E在边AB上，连接CE、AD.添加一 个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是 () A.CE⊥AB B.CD⊥AD C.CD=CE D.AC=DE G (第8题) (第9题) (第10题) (第11题) 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BG、DH分别平分∠ABC、∠ADC,交AD、BC于点G、H. 若要使四边形BHDG为菱形，则AD的长为 10.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.当□ABCD满足 时，四边形 EHFG是菱形， 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点，以CD、CB为 边作□CDEB,当AD= 时，□CDEB为菱形 12.(2025·贵州)如图，在□ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE,且BE⊥AC,垂足为 E.延长BC至点F,使CF=CE,连接EF、FD,且EF交CD于点G. (1)求证：口ABCD是菱形 (2)若BE=EF,CE=4,求△DCF的面积. 13.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=11cm.点P从点D出发，沿DA方向向终点A 运动；同时点Q从点B出发，沿BC方向向终点C运动.当P、Q两点中有一点到达终点 时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s和2cm/s,连接PQ、AQ、CP.设点P、 Q运动的时间为ts. (1)如图1，当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ (2)如图2，若E为边AD上一点，当AE=3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若可 能，请求出t的值；若不可能，请说明理由. 图1 图2 《57 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》>)》) 专题3含有60°角的菱形 目/类型一/无刻度作图 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至点E,使CE=2BC.取CD的中点F,连接 EF,请利用无刻度的直尺按下列要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中作出△CEF的边EF上的中线. (2)在图2中作出菱形ABCD的边BC的中点. 图1 图2 2.如图1，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，E是边AB上一动点，F是边AD上一 动点 (1)①AE=DF;②∠ECF=60°；③AE+AF=2. 从上述三个选项中选一个作为条件，另一个作为结论，得到一个真命题，并证明. 你选择的条件是 ,结论是 .(填序号) (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边CD上找一点G,在边BC上找一点H,使得四边 形EFGH是平行四边形.（保留痕迹，不写作法） 图1 图2 目/类型二/证明 3.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD=PE. (1)如图1，求证：①∠DPE=60°；②AP=CE;③CD=CP+CE. (2)如图2，(1)中的三个结论是否仍然成立？请说明理由. 图1 图2 58》 第8章四边形 目/类型三/求最值 4.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=60°.将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点 C旋转，当CP与AB交于点M,同时CQ与AD交于点N时，试探究：△AMN的周长是否 存在最小值？若存在，请求出△AMN的周长的最小值；若不存在，请说明理由. 5.在菱形ABCD中，∠B=60°，E、F分别是边BC、CD上的点，连接AE、EF、AF. (1)如图1，若E、F分别是边BC、CD的中点，则△AEF是 三角形 (2)如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形. (3)如图3，若∠AEF=60°，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由. 60 图1 图2 图3 《59 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版) 》))))7 第5课时正方形 课堂演练 1.(教材例题变式)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,添加下列条件，能使 菱形ABCD成为正方形的是 A.AC=BD B.AC⊥BD C.AD=AB D.AC平分∠DAB D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在正方形ABCD中，延长AB到点E,使AE=AC,连接CE,则∠BCE的度数为 () A.20° B.22.5° C.40 D.67.5° 3.(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，边AB在y轴上， B(0,一2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐 标为 () A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) 4.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，EF⊥CD,EG⊥AD,垂足分别为F、 G.若EG=1,EF=3,则BE的长为 5.(2024·徐州)如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC. (1)求证：△EAB≌△ECB (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE. 6.(2025·长沙)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形， (2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长. 60》 第8章四边形 课后拓展 7.(2024·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD的延长 线上一点，连接AE、AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长为 () 12 A.2 B.√5 C.√6 D.5 D M G B (第7题) (第8题) 8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G.若BC=8, DE=AF=2,则GF的长为 9.如图，正方形ABCD的边长为8，E是边CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于 点H、G,则BG的长为 G B (第9题) (第10题) 10.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，DE=7,CE=3,把线段AE绕点A旋转后使 点E落在直线BC上的点P处，则CP的长为 11.(2025·淅江)【问题背景】 如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角 线BD上 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出△ABE≌△CBE的证明过程. (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数. E 《61 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)少)) 专题4正方形中互相垂直的线段 目/类型一/建立模型 1.(1)如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M,求证： AE=BF. (2)如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF,垂足 为M,那么GE、BF相等吗？请证明你的结论. (3)如图3，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥ HF,垂足为M,那么GE、HF相等吗？请证明你的结论 G D A L D M M H 图1 图2 图3 国/类型二/应用模型 2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=CF,连接AE、BF交于点O, M是AB的中点，连接OM,求证：OM=2AB. E 62》 第8章四边形 3.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E、F分别在CD、AD上，CE=DF,BE、CF相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长. 4.如图，在正方形ABCD中，G是边BC上任意一点（不与，点B、C重合），DE⊥AG于点E, BF∥DE,且交AG于点F. (1)求证：AF-BF=EF. (2)四边形BFDE可能是平行四边形吗？若可能，请指出此时点G的位置；若不可能，请说 明理由. 5.如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与，点B、C重合），连接AP,作AP的垂 直平分线EF,分别交AB、CD于点E、F (1)如图1，若AB=4,当P是边BC的中点时，求DF的长. (2)试判断线段AE、BP、DF之间的数量关系，并说明理由， D F 图1 备用图 《63 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)>)) 8.3三角形的中位线 课堂演练 1.(教材例题变式)如图，要测量B、C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A,得到 线段AB、AC,并取AB、AC的中点D、E,连接DE,则他只需测量 () A.AD的长 B.AE的长 C.DE的长 D.AC的长 (第1题) (第2题) (第4题) 2.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE=3,DF=1,则边BC 的长为 () A.7 B.8 C.9 D.10 3.(2024·无锡)在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， 则△DEF的周长为 4.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE,∠ABC的平分线BF交DE 于点F.若AB=6,BC=8,则EF的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AB、AC的中点，F是边BC的延长线 上的一点，且EF∥DC (1)求证：四边形CDEF是平行四边形， (2)若EF=2cm,求AB的长. 6.如图，□ABCD的对角线交于点O,E、F、G、H分别是AD、BC、BO、DO的中点. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形. (2)当口ABCD满足什么条件时，四边形EGFH是矩形？请说明理由. 64》 第8章四边形 课后拓展 7.如图，在四边形ABCD中，M是边AD上的动点，N是边CD上的一定点，E、F分别是 BM、NM的中点.当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是 () A.线段EF的长度逐渐减小 B.线段EF的长度逐渐增大 C.线段EF的长度不变 D.线段EF的长度不能确定 (第7题) (第8题) (第9题) 8.(2025·辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E 在线段OA上，AE=2,点F在线段OC上，OF=1,连接BE,G是BE的中点，连接FG,则 FG的长为 9.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是边AB、CD的中点，AD= BC,∠PEF=30°，则∠PFE的度数为 10.(2025·北京)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G 在DE的延长线上，DG=FC. (1)求证：四边形DFCG是矩形 (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC与AC的长. 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在边BC、AC上，分别连接AD、BE,M、N、 H分别是AD、BE、AB的中点，连接MN、MH、NH. (1)试猜想△MNH的形状，并说明理由， (2)若AE=4,BD=6,求线段MN的长. M 《65 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》>)》) 专题5构造三角形的中位线 国/类型一/求线段的长 1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC,AD∥BC,BD为∠ABC的平分线，BC=3,AC=4,E、 F分别是BD、AC的中点，则EF的长为 () A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AE平分∠BAC,AE⊥BE于点E.若AB=14, AC=8,则DE的长为 3.如图，BD平分∠ABC,AD⊥BD于点D,CE平分∠ACB的外角，AE⊥CE于点E,AC= 6,BC=9,AB=7,则DE的长为 4.如图，△ABC的周长为24，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为M, ∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为N.若BC=9,则MN的长为 M BD E (第4题) (第5题) 5.如图，D、E、F是△ABC三边的中点，∠C=90°，BC=6,AC=8,M是EF的中点，则DM 的长为 目/类型二/求角度 6.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,连接AC,P、M、N分别是AC、 AD、BC的中点，∠BAC=80°，∠ACD=20°，则∠PMN的度数 为 7.如图，在△ABC中，∠A=40°，D、E分别在边AB、AC上，且BD=CE,BE、CD的中点分 别是M、N,直线MN分别交AB、AC于点P、Q,求∠APQ的度数. 66》 第8章四边形 目/类型三/求最值 8.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=3,M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的长 的取值范围是 () A<MN<号 MN B. C.1<MN<5 D.1<MN≤5 M (第8题) (第9题) 9.如图，在四边形ABCD中，AB=CD=6,且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、 AC的中点.设△PMN的面积为S,则S的取值范围是 目/类型四/证明 10.如图，△ABC的中线BE、CD相交于点O,F、G分别是BO、CO的中点，猜想线段DF与 EG的关系，并证明你的猜想， 11.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形. (1)如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：中点 四边形EFGH是平行四边形. (2)如图2，P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,E、 F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明 你的猜想 (3)若改变(2)中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形 EFGH的形状，并证明你的猜想. 图1 图2 《67 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版) 》》》》》》》》) 8.4梯形 课堂演练 1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，则∠D的度数为 A.65° B.80° C.100° D.115 D (第1题) (第3题) (第4题) 2.在四边形ABCD中，若AB与CD不平行，AC与BD相交于点O,则下列条件中能判定四 边形ABCD是等腰梯形的是 A.AC=BD=BC B.AB=AD-CD C.OB=OC,OA=OD D.OB=OC,AB=CD 3.如图，直线L过等腰直角三角形ABC的直角顶，点A,点B、C到直线1的距离BD、CE分别 为5cm、12cm,则梯形BDEC的面积为 cm2. 4.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC,∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm,BC=15cm, 则CD= cm. 5.如图，在锐角三角形ABC中(AB>AC),AH⊥BC,垂足为H,E、D、F分别是各边的中点， 求证：四边形EDHF是等腰梯形， 6.当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决. (1)按要求对下列梯形分割.（分割线用虚线） ①分割成一个平行四边形和一个三角形；②分割成一个长方形和两个直角三角形 (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=4cm,BC=8cm,∠C=45°，请 你用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形求AD的长， 68》 第8章四边形 课后拓展 7.如图，在梯形ABCD中，AC、BD为两条对角线，则图中面积相等的三角形有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 A M (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8.如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH,HG=24cm,WG=8cm,WC= 6cm,则阴影部分的面积为 ( ) A.188cm2 B.168cm2 C.200cm2 D.198cm2 9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A+∠B=90°，CD=7,MN=11,M、N分别为AB、 CD的中点，则线段AB的长为 10.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个 三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸 片的斜边长为 11.如图，在四边形ABCG中，AG∥BC,BC>AG,∠B=90°，AB=BC=12,E是AB上一点， 且∠GCE=45°，BE=4,求GE的长. R 12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,点P从 点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动 (1)经过多长时间，四边形ABQP成为矩形？ (2)经过多长时间，四边形PQCD成为等腰梯形？ (3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如 何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度。 图1 备用图 《69 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版) 》》》》)》》))) 综合与实践 1.阅读课本材料《仿生折叠》，解答下列问题： 实践探究：平行四边形的折叠与拼接 在“平行四边形的折叠与拼接”综合实践活动中，同学们进行了如下操作： ①取一张矩形纸片，长为10cm,宽为6cm,沿其一组对边中点连线折叠，得到两个全等的小 矩形； ②将其中一个小矩形沿对角线剪开，得到两个全等的直角三角形； ③用这两个直角三角形和未剪开的小矩形拼接成一个新的平行四边形 问题： (1)求步骤①中折叠后小矩形的长和宽，判断小矩形是否为菱形，并说明理由 (2)步骤②中剪开的直角三角形，其两条直角边的长度分别是多少厘米？斜边长度是多少 厘米？ (3)请描述如何用步骤②中的两个直角三角形和未剪开的小矩形拼接成平行四边形，并证明 拼接后的图形是平行四边形. 70》 第8章四边形 2.平行四边形在伸缩门设计中的应用 某小区伸缩门的设计利用了平行四边形的不稳定性，其基本结构由多个全等的平行四边形 组成.已知其中一个平行四边形ABCD中，AB=50cm,AD=30cm,伸缩门完全展开时，所 有平行四边形都处于“拉伸”状态，此时∠BAD=60°，如图1，完全收缩时，∠BAD变为30°， 如图2. Ax30° 图1 图2 问题： (1)求伸缩门完全展开时，□ABCD的面积. (2)完全收缩时，边AB和AD的长度是否变化？请说明理由，并求出此时平行四边形的 面积. (3)若伸缩门由8个这样的平行四边形首尾相连组成(AB边在同一条直线上)，求完全展开 时伸缩门的总长度（即所有平行四边形沿AB方向的总长度）. 《71 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版) 》》》》》》))) 复习课 知识梳理 1.平行四边形 (1)定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形， (2)性质定理：平行四边形的对边 ,对角 ,对角线互相 (3)判定定理 ①两组对边分别 的四边形是平行四边形； ②一组对边 且 的四边形是平行四边形； ③对角线互相 的四边形是平行四边形 2.特殊的平行四边形 (1)矩形 ①定义：有一个角是 的平行四边形是矩形， ②性质定理：矩形的四个角都是 ,对角线 ③判定定理：三个角是 的四边形是矩形；对角线 的平行四边形是矩形， (2)菱形 ①定义：有一组邻边 的平行四边形是菱形， ②性质定理：菱形的四条边 ,对角线互相 ③判定定理：四边 的四边形是菱形；对角线互相 的平行四边形是菱形 (3)正方形 ①定义：四条边 ,四个角都是 的四边形是正方形 ②性质：具有菱形与矩形的全部性质。 ③判定定理：有一组邻边 的矩形是正方形；有一个角是 的菱形是正 方形. 3.三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 ,并且等于第三边的 4.梯形 (1)定义：一组对边 ,另一组对边 的四边形叫作梯形.互相平行的一组对边 中， 的边叫作梯形的上底， 的边叫作梯形的下底，另外两条边叫作梯形 的 (2)特殊的梯形 ① 相等的梯形叫作等腰梯形； ② 的梯形叫作直角梯形。 (3)有关梯形问题的解题思路：添加辅助线转化为 和 来处理 72 第8章四边形 题组提优训练 目/考点一/平行四边形的性质与判定 1.如图，在口ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加下列条件后，不能判定四边形AECF 是平行四边形的是 () A.BE=DF B.AE∥CF C.AF=EC D.AE=EC (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，□ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,则对角线AC的长为 ( A.27 cm B.17 cm C.12 cm D.10 cm 3.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE,∠D=120°，则∠BAC的度 数是 4.如图，E、F、G、H分别是□ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M,连接AG、CH交于 点N. (1)求证：四边形AMCN是平行四边形 (2)若☐AMCN的面积为4，求□ABCD的面积. 目/考点二/矩形、菱形、正方形的性质与判定 5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论正确的有 () ①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形； ④当AC=BD时，它是正方形， A.3个 B.4个 C.1个 D.2个 6.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,点E在线段OD上，且AE=AB.若∠EAO=15°，则 ∠AEO的度数为 (第6题) (第8题) 7.面积为24的菱形的一条对角线长为6，则这个菱形的边长为 8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=140°，连接AC,点E在BC的延长线上，且CE=AC,连 接AE,则∠E的度数为 《73 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)))污 9.已知四边形ABCD为正方形，E是边AD上一点，连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,连 接AF.若AF=√2，BF=1,则CF= 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC的中点，过点A作AE∥BC,且AE=BD,连 接CE (1)求证：四边形ADCE是菱形. (2)若AC=6,AB=8,求菱形ADCE的面积. 11.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于 点E,DF⊥AC于点F,且BE=DF. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形 (2)若AB=BO,当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 目/考点三/三角形的中位线 12.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、CA的中点.若四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是 () A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC G (第12题) (第13题) (第14题) 13.如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，BD=5,则EF的长为 14.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5,CD=3,EF=2, ∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 74》 第8章四边形 目/考点四/梯形 15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从点A开始沿边AD以1cm/s的速度向点D移动，点Q从点C开始沿边CB以2cm/s 的速度向点B移动.若点P、Q分别从点A、C同时出发，设移动时间为ts,则当t的值 为 时，梯形PQCD是等腰梯形 BO← 16.如图，在梯形ABCD中，AD∥CB,AD=2,AB=5,CD=4,∠C=90°，求S梯形ABCD· 直击中考前沿 1.(2025·德阳)如图，要使□ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.(2025·山西)如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，连接OE. 下列两条线段的数量关系中一定成立的是 () A.OE-TAD B.OE-7BC C.OE-AB 1 D.OE-AC 3.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边 形ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 4.(2025·德阳)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.若 BD=AC,四边形EFGH的面积为24，且HF=6,则GH的长为 () A.4 B.5 C.8 D.10 《75 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))少>>) 5.(2025·河北)平行四边形的一组邻边长分别为3、4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的 值可以为 .（写出一个即可) 6.(2025·福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB、CD分别相交 于点E、F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为 (第6题) (第7题) (第8题) 7.(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1, ∠EBC=30°，则△ABF的面积为 8.(2025·内江)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E、F分别是边AD、CD上的动点， 连接BE、EF,G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH,则GH的最大值是 9.(2025·扬州)如图，在☐ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点 E、F.求证：四边形AFCE是菱形 10.(2025·云南)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点.延长BO至点D,使 OD=OB.连接AD、CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为I1,△BOC的周长为l2,四 边形ABCD的周长为l3. (1)求证：四边形ABCD是矩形， (2)若L2一L1=2,l3=28,求AC的长. 76》 第8章四边形 11.(2025·安徽)已知点A'在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA'的垂直平分 线，连接A'E、A'B. D A 图1 图2 图3 (1)如图1，若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长 (2)如图2，F是AA'的延长线与CD的交点，连接CA'. ①求证：∠CA'F=45°； ②如图3，设AF、BE相交于点G,连接CG、DG、DA',若CG=CB,判断△A'DG的形 状，并说明理由， 《77六个面上分别标有1到6的数字，向上两面的数字和 为5是随机事件，故A选项不符合题意；向上两面的数 字和大于1是必然事件，故B选项符合题意；向上两面 的数字和大于12是不可能事件，故C选项不符合题 意；向上两面的数字和为偶数是随机事件，故D选项不 符合题意，5.号解析：在单词chs(班饭)中随 机选择一个字母共有5种等可能的结果，其中选中字 母“g”的结果有2种，∴选中字母“g”的概率是号 6.亏解析：转盘中5个扇形的面积都相等，转 3 动转盘，指针指向每个扇形是等可能的，∴.当转盘停止 3 转动时，指针指向红色区域的概率为 第8章四边形 8.1平行四边形 第1课时平行四边形的概念与性质(1) 课堂演练 1.B解析：四边形ABCD是平行四边形，.∠A= ∠C.∠A+∠C=120°，∴.∠C=60°.2.C解析： ,四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=4, CD=AB=2,..BC+AD+CD+AB=2AD+2AB= 2×4+2×2=12,即□ABCD的周长为12.3.A 解析：BD=CD,∠C=70°，∴.∠DBC=∠C=70°， ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-70°-70°= 40°.·四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, ,∴.∠ABE=∠BDC=40°..·AE⊥BD,.∠AEB= 90°，.∠BAE=90°-∠ABE=90°-40°=50°.4.D 解析：AB=AE,∠B=60°，.△ABE是等边三角 形，，.BE=AB=3.BC=5,.EC=BC一BE=5 3=2.5.2解析：：四边形ABCD是平行四边形， 且AD=2,.BC=AD=2,AB∥CD,.∠DCE= ∠BEC.CE平分∠BCD,.∠BCE=∠DCE, ∴.∠BCE=∠BEC,.BE=BC=2.6.证明：四 边形ABCD是平行四边形，'.AD∥BC,AD=BC, .∠ODE=∠OBF.AE=CF,.AD-AE=BC CF,即DE=BF.又：∠DOE=∠BOF,∴.△DOE≌ △BOF(AAS),.OE=OF.7.证明：：四边形 ABCD是平行四边形，.BC∥AD,BC=AD=5, ∴∠D=∠FCE.E是CD的中点，DE=CE.在 课时提优计划作业本·数 ∠D=∠FCE, △ADE和△FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌ ∠AED=∠FEC, △FCE(ASA),.∴.FC=AD=5,∴.BF=BC十FC= 5+5=10. 课后拓展 8.C解析：四边形ABCD是平行四边形，AB∥ DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确；，四边形 ABCD是平行四边形，·SAABD=SACDB=2SaAD, 1 ∠ODE=∠OBF,O是BD的中点，∴.OD=OB,又 ∠DOE=∠BOF,.△ODE≌△OBF(ASA), ∴.SAODE=SAOBF,EO=FO≠ED,故②不正确； :S△ABD=S△cDB,S△oDE=S△oBF,.S△ABD-S△oDE= S△cDB一S△OBF,即S四边形ABOE=S四边形cDOF,故④正确.综 上所述，正确的结论有3个，9.B解析：，四边形 ABCD是平行四边形，AB=2,.AD=BC,CD= AB=2,AD∥BC,∠BAD+∠ADC=180°， ∴.∠CED=∠ADE,∠AEB=∠DAE.∠BAD的 平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E, ·∠BAE=∠DAE=Z∠BAD,∠CDE=∠ADE= 专∠ADC,∠AEB=∠BAE,∠CED=∠CDE. ..CE=CD=2,BE=AB=2,.AD=BC=BE+ CE=2+2=4.:∠DAE+∠ADE=2(∠BAD+ ∠CDA)=90°，.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)= 180°-90°=90°.AE=3,.DE=√AD2-AE2= √42-3=√7.10.108°解析：如图，，四边形ABCD 是平行四边形，.AD∥BC,.∠CEC=∠1=60°.由折叠 可知，∠C'EF=∠CEF=号∠C'BC=号×60=30， .∠C=180°-∠2-∠CEF=180°-42°-30°=108°. C 0 B E ● 11.48解析：设BC=x.,四边形ABCD是平行四 边形，AB=CD,AD=BC.,□ABCD的周长为 40,..BC+CD=20,.CD=20-x..AE LBC, AF⊥CD,.SGABCD=BC·AE=CD·AF,.4x= 6(20-x),解得x=12,.SGABCD=BC·AE=12X 学·八年级下册(SK版) 4=48.12.（1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，.AB=CD.∠B=∠AEB,.AE=AB, ,,AE=CD.(2)AC=ED.理由如下：四边形 ABCD是平行四边形，.∠B=∠ADC,AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB.又∠B=∠AEB,∠DAE= ∠ADC.又AE=CD,AD=DA,.△ADC≌ △DAE(SAS),∴.AC=DE.13.(1)证明：：四边形 ABCD是平行四边形，.AB=CD,AD∥BC, .∠DFC=∠BCF.,AD=2AB,F是AD的中点， .AD=2CD=2FD,∴.CD=FD,∴.∠DCF= ∠DFC,∠DCF-∠BCF-号∠BCD.(2)证明： 如图，延长CD、EF交于点G.:AB∥CD,∠A= (∠A=∠FDG, ∠FDG.在△AEF和△DGF中，{AF=DF, ∠AFE=∠DFG, .△AEF≌△DGF(ASA),∴.EF=GF.,CE⊥AB, ÷∠ECG=∠BEC=90,EP=CP=2BG. (3)设AE=m,则BE=am,∴.CD=AB=AE+BE= m+am.,△AEF≌△DGF,.DG=AE=m, ∴CG=m十am十m=2m十am.:S,-2BE.CE= 1 1..1 1 2z-,Ss公<·安—2< 1 2 2(2m+am)·CE=4(2m+am)·CE,心 1 (2m+am)·CE 2十a 2a 2am·CE G B 第2课时平行四边形的概念与性质(2) 课堂演练 1.A解析：，□ABCD的对角线AC、BD相交于点 O,∴S△AO=S△Co,∴.阴影部分面积等于△ABD的面 积，即为口ABCD面积的一半.□ABCD的面积是 80,∴S80=号52n=2×80=40.2.B3.C 4.26解析：四边形ABCD是平行四边形，.DC= AB-10.OD-BD.OC-AC.O+C- 课时提优计划作业本·数 ·10 2(BD+AC)-2×32=16,:△00D的周长为 1 OD+OC+DC=16+10=26.5.1<m<11解析： 四边形ABCD是平行四边形，AC=10,BD=12, ∴.OA=OC=5,OD=OB=6.在△OAB中，OB- OA<AB<OA+OB,即6-5<m<6+5,.1<m< 11.6.四边形ABCD是平行四边形，.BC= AD-8,OA-2 AC.AB=10,AC L BC,.AC- B=BC=102-8=6,.0A=2AC=3 7.证明：如图，连接BD交AC于点O.四边形 ABCD与四边形EBFD都是平行四边形，∴AO= CO,EO=FO,∴.AO-EO=CO-FO,即AE=CF. D 课后拓展 8.A解析：如图，连接AC、BO交于点D,当直线y= 2x十1向下平移后经过点D时，该直线可将口OABC 的面积平分.，四边形AOCB是平行四边形，∴AD= CD.:A(2,2),C(4,0),∴.D(3,1).设过点D且平行 于直线y=2x十1的直线l的函数表达式为y=2x十 b,则1=2×3+b,解得b=-5,∴.直线1的函数表达 式为y=2x-5,则直线y=2x+1向下平移6个单位 长度得到直线1，∴.经过6s,该直线可将☐OABC的面 积平分. 9.8解析：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB= CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,.∠OAE= ∠AOE=∠COF, ∠OCF.在△AEO和△CFO中OA=OC, ∠OAE=∠OCF, ∴.△AEO≌△CFO(ASA),∴.EO=FO=2,AE=FC, ∴.EF=EO+FO=2+2=4,AE+BF=FC十BF= BC.,四边形ABFE的周长为AB十BF十AE十EF= AB+BC+EF=AB+BC+4=12,..AB+BC=12- 学·八年级下册(SK版) 4=8.10.2√3解析：如图，设EF与CD交于点O, 过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中，∠B= 60,∠BCH=30,iBH=2BC=3×2=1, ∴.CH=√BC2-BH=√22-1=√3.：四边形 ECFD是平行四边形，.EO=FO,.EF=2EO.当 EO⊥AB时，EO取得最小值，最小值为√3，.EF的 最小值为2√3. H B 11.证明：如图，连接AC交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，.AO=CO,BO=DO.,AM∥ CN,∴.∠EAO=∠FCO.在△AEO与△CFO中， f∠EAO=∠FCO, A0=C0, ∴.△AOE≌△COF(ASA), ∠AOE=∠COF, ∴.OE=OF,.BO-OE=DO-OF,即BE=DF N D B M 12.(1)证明：如图1，连接BD交AC于点O.四边形 ABCD和四边形EBFD都是平行四边形，∴.AB CD,BE=DF,OA=OC,OE=OF,.OA-OE= OC一OF,即AE=CF,.△ABE≌△CDF, ∴∠ABE=∠CDF.(2)成立.理由如下：如图2，连 接BD交AC于点O.,四边形ABCD和四边形 EBFD都是平行四边形，∴.BE=DF,BC=DA,OA= OC,OE=OF,∠ABC=∠ADC,∴.OA+OF=OC+ OE,即AF=CE,.△BEC≌△DFA(SSS),∴∠EBC= ∠FDA,∴∠EBC-∠ABC=∠FDA-∠ADC,即 ∠ABE=∠CDF. D A 图1 图2 课时提优计划作业本·数 ·11 第3课时平行四边形的判定(1) 课堂演练 1.B2.B解析：只有②④两块碎玻璃的角的两边 互相平行，且中间部分相接，这两个角的两边的延长线 的交点就是平行四边形的顶点，∴带②④两块碎玻璃， 就可以确定平行四边形的形状与大小.3.两组对边 分别相等的四边形是平行四边形解析：根据尺规作 图可知，AB=DC,AD=BC,.四边形ABCD是平行 48 四边形.4.解析：如图，连接CE,过点E作 EG⊥BC于点G.:AD∥BC,AD=BC,.四边形 ABCD是平行因边形，：Sam=号BC·EG, 1 1 SOADCD=BC·EG,S△BcE=2 SADCD=2X48=24. :SE=号BE·CF,24=号×7CF,解得 CF- B 5.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=CB, AD∥CB.又BE=DF,∴.AD-DF=BC-BE,即 AF=CE,.四边形AECF是平行四边形.6.(1)证 明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥ BC,∴.∠ADE=∠CBF.在△AED和△CFB中， (AD=BC, ∠ADE=∠CBF,∴.△AED≌△CFB(SAS), DE=BE, .AE=CF,∠AED=∠CFB,∴.180°-∠AED= 180°-∠CFB,即∠AEF=∠CFE,.AE∥CF,.四 边形AFCE是平行四边形.(2)由(1)知，四边形 AFCE是平行四边形，.AE=CF=5.,AF⊥BD, AF=4,.EF=√AE2-AF2=√5-42=3.又 .BE=6,..DE=BF=BE-EF=6-3=3,..BD= BE十DE=6十3=9，.S四边形ABCD=2S△ABD=2X 1BD·AF=2X7X9×4=36, 课后拓展 7.A解析：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥ 学·八年级下册(SK版) BC,∴.AE∥BC,.∠AEB=∠CBF,∠AEB= ∠BCD,.∠CBF=∠BCD,.CF=BF,同理可得 EF=DF,.不能判定四边形BCED为平行四边形， 故A选项符合题意；四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,.DE∥BC,∴.∠DEF=∠CBF,在△DEF I∠DEF=∠CBF, 与△CBF中，EF=BF, .△DEF2△CBF ∠DFE=∠CFB, (ASA),∴.DF=CF,,EF=BF,∴.四边形BCED为 平行四边形，故B选项不符合题意；，四边形ABCD 是平行四边形，.AB∥CD,.∠ABD=∠CDB, :∠ABD=∠DCE,∴∠DCE=∠CDB,∴.BD∥CE, .四边形BCED为平行四边形，故C选项不符合题 意；，AE∥BC,.∠AEC+∠BCE=∠BDE+ ∠CBD=180°，'∠AEC=∠CBD,∴.∠BDE= ∠BCE,.四边形BCED为平行四边形，故D选项不 符合题意.8.5解析：如图，，AD∥BC,AE= BC=1,∴.四边形ABCE是平行四边形，∴.CE=AB, 同理可得BE=CD.,AC⊥BD,∴.∠AOB= ∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，∴.OA2+OB2+ OD2+OC2=AB2+CD2,0A2+0B2+OD2+0C2= AD2+BC2=22+12=5,AB2+CD2=5,.BE2+ CE2=5. B 9.2.5解析：根据题意，得AM=t,GN=t,则DM= 5一t.当DM=GN时，四边形MDGN是平行四边形， ∴.5-t=t,解得t=2.5.10.(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD,∴.∠BAE= ∠DCF.,BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°， ∠AEB=∠CFD, BE∥DF.在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF, AB=CD, ,∴.△ABE2△CDF(AAS),.BE=DF,.四边形 BEDF是平行四边形.(2)由(1)可知，四边形 BEDF是平行四边形，.DF=BE=2,DE=BF=3. BE⊥AC,∴.在Rt△BEF中，EF=√BF2-BE= 课时提优计划作业本·数 ·12 Vg-g=5,sm=2Ep·BE=名×5×2= V5,同理可得SA△DFE=√5，∴.SOBEDF=S△BEF十S△DFE= 5+√5=2√5.11.(1)证明：根据题意，得CD= 4tcm,AE=2tcm,∠DFC=90°.，∠B=90°，∠A= 60°，∠C=30°，DF=2CD=2tcm=AE. ,DF⊥BC,AB⊥BC,DF∥AE,.四边形AEFD 是平行四边形.(2)①如图1，当∠EDF=90°时，则 DE/BC,∠ADE=∠C=30°，AE=2AD,由(1) 1 得，AD=AC-CD=(60-4t)cm,.2(60-4t)= 2,解得1-号：@如图2，当∠DEF=90时，由(1)得， AD∥EF,∴∠ADE=∠DEF=90°，∴.∠AED=30°， AD=AE,(60-4)=号×2，解得1=12.综上 1 所述，当1号或=12时，△DEF为直角三角形. D 图1 图2 第4课时平行四边形的判定(2) 课堂演练 1.C解析：由平移可得，AB∥B1A1,AB=B,A1, ∴.四边形ABB,A,是平行四边形，故C选项符合题 意.2.C解析：如图，分三种情况讨论：①以CB为 对角线作□ABD1C,此时第四个顶点D1落在第一象 限；②以AC为对角线作口ABCD2,此时第四个顶点 D2落在第二象限；③以AB为对角线作☐ACBD,此 时第四个顶点D,落在第四象限.综上所述，第四个顶 点不可能落在第三象限。 学·八年级下册(SK版) D 3.AB=CD(答案不唯一)4.证明：如图，连接BD 交AC于点O.,四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD..CE=AF,.OA+AF= OC+CE,即OF=OE,∴.四边形BEDF是平行四 边形 5.(1)证明：：BC∥AD,∠CBE=∠DFE.又E 是边CD的中点，∴.CE=DE.在△BEC与△FED中， ∠CBE=∠DFE, ∠BEC=∠FED,.△BEC≌△FED(AAS), CE=DE, BE=FE,四边形BDFC是平行四边形. (2),BC∥AD,.∠A+∠ABC=180°，.∠A=180° ∠ABC=90°，.BA⊥FD,BD=√AD+AB= √52+122=13.由(1)可知，四边形BDFC是平行四边 形，.BE=FE.BF⊥DC,FD=BD=13, .SORDFC=FD·AB=13×12=156,即四边形BDFC 的面积为156. 课后拓展 6.C解析：方案甲：连接AC,,四边形ABCD是平 行四边形，AC与BD互相平分，O为BD的中点， ∴.O也为AC的中点，∴.OB=OD,OA=OC,BN= NO,OM=MD,∴.NO=OM,∴.四边形ANCM为平 行四边形；方案乙：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,..∠ABN=∠CDM,'AN BD,CM⊥BD,∴.AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°，在 ∠ANB=∠CMD, △ABN和△CDM中，∠ABN=∠CDM,∴.△ABN≌ AB=CD, △CDM(AAS),.AN=CM,又AN∥CM,.四边形 ANCM为平行四边形.综上所述，方案甲、乙都可以. 课时提优计划作业本·数 ·13 7.D解析：，ME∥AC,MF∥AB,.四边形MEAF 是平行四边形，∴.FM=AE,EM=AF.:ME∥AC, ∴.∠EMB=∠C.AB=AC,.∠B=∠C,∠B= /EMB,.EM EB,.'AF=BE,.AE+AF AE+BE=AB.,AB=AC=8,∴.□MEAF的周长= 2AE+AP)=2AB=2X8=16.89安号或1解 析：AD=BC=6,AB=CD,.四边形ABCD是平 行四边形，∴.AD∥BC,∴.∠EDG=∠FBG.设运动时 间为t,点G的运动速度为v.当0<t≤2时，则BF= (DE=BF, 6-3t,DE=t,若△DEG≌△BFG,则 DG=BG, t=6-3t, t= 10 2’v= 10-BG=BGBG=5, 3;若△DEG≌ DE=BG, (t=BG, △BGF,则 解得 DG=BP,10-BG=6-3, (t=-2, （舍去)；当2<t≤4时，则BF=3t-6, BG=-2 DE=BF, DE=t,若△DEG≌△BFG,则{ DG=BG, t=3t-6, t=3, 二5；若△DEG≌ 10-BG=BG,BG=5, (DE=BG, t=BG, △BGF,则 DG-BF, 10-BG=3t-6, 、t=4, 0=1.综上所述，当点G的速度为号或 BG=4, △DEG与△BFG全等.9.T 图，连接AC交BD于点O.,四边形ABCD是平行四 边形，∴.OA=OC,OB=OD.M、N是对角线BD的 三等分点，∴.BM=MN=DN,∴.OB-BM=OD- DN,即OM=ON,∴.四边形AMCN是平行四边形. (2):BD=6,M、N是对角线BD的三等分点， ..BM=MN DN 2,DM 4.AM L BD, ∴.∠AMD=90°，∴.AM=√AD2-DM=√52-4= 3,∴.AN=√AM+MN2=√3+2=√13.由(1)可 知，四边形AMCN是平行四边形，.CN=AM=3, CM=AN=√13，.□AMCN的周长=2(AM+ AN)=2X(3+√13)=6+2/13. 学·八年级下册(SK版) 2.26或14解析：如图1，点E在线段BC上，四边 形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,CD=AB=5, ∴.∠BEA=∠DAE,,∠BAD的平分线交直线BC于 点E,∴.∠BAE=∠DAE,.∠BEA=∠BAE, 。5 10.(1)当0<≤2时，AP=tcm,PD=(10-t)cm, ∴.BE=AB=5,CE=3,∴AD=BC=BE+CE= CQ=42cm,BQ=(10-4)cm.当<≤5时，AP- 5+3=8,.AB+BC+CD+AD=5+8+5+8=26; 如图2，点E在线段BC的延长线上，，BC∥AD, t cm,PD=(10-t)cm,BQ=(4t-10)cm,CQ=(20- ∠BAD的平分线交直线BC于点E,.∠E= 4t)cm.当5<t≤时，AP=tcm,PD=(10-t)cm, 15 ∠DAE=∠BAE,∴.BE=AB=5,.AD=BC= BE-CE=5-3=2,.'CD=AB=5,..AB+BC+ CQ=(41-20)cm,BQ=(30-4)cm.当)5<1≤10 CD+AD=5+2+5+2=14.综上所述，口ABCD的周 时，AP=tcm,PD=(10-t)cm,BQ=(4t-30)cm, 长为26或14. CQ=(40一4t)cm.(2),四边形ABCD为平行四边 形，∴.PD∥BQ.若要以P、D、Q、B为顶点的四边形为 平行四边形，则PD=BQ.当0<≤号时，PD=(10 t)cm,BQ=(10-4t)cm,∴.10-t=10-4t,解得t=0 图1 (不合题毫，合去)：当<≤5时，PD=(10-)m, B BQ=(4t-10)cm,.10-t=4t-10,解得t=4;当 5<t≤号时，PD=(10-t)cm,BQ=(30-4t)cm, 图2 10-1=30-红，解得4-9：当5<4≤10时，PD 3.6或4解析：①如图1，在□ABCD中，BC=AD= 10,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,.∠DAE= (10-t)cm,BQ=(4t-30)cm,∴.10-t=4t-30,解得 ∠AEB,∠ADF=∠DFC,又，AE平分∠BAD,DF 4=8,综上所述，当运动时间为45或9。或8s时，以 平分∠ADC,.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形. .∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴.BE=AB= 专题1平行四边形中的分类讨论 CD=CF,又EF=2,∴.BC=BE+CF-EF= 2AB一2=10，..AB=6;②如图2，同理可得BC= 1.33或57°解析：①如图1，，BE是边AD上的高， BE+CF+EF=2AB+2=10,∴.AB=4.综上所述， ∠EBD=24°，.∠BDE=90°-∠EBD=90°-24°= AB的长为6或4. G6,:AD=BD,∠A=∠ABD=专∠BDE=2× D 66°=33°，.∠C=∠A=33°；②如图2，同①得 ∠BDE=66°，AD=BD,.∠A=∠ABD= 1 2(180°-∠BDE)=2X(180°-66)=57°，∠C= ∠A=57°.综上所述，∠C的度数为33°或57°. 图2 4.168或48解析：①如图1，当高AE在△ABC的内 图1 图2 部时，在Rt△ABE中，BE=√AB-AE= 课时提优计划作业本·数学·八年级下册(SK版) ·14· √152-122=9，在Rt△AEC中，CE=√WAC2-AE2= √132-122=5，.BC=BE+EC=9+5=14, .SHABCD=BC·AE=14×12=168;②如图2，当高 AE在△ABC的外部时，同理可得BE=9,CE=5, ..BC=BE-CE=9-5=4,..SDABCD BC.AE= 4×12=48.综上所述，☐ABCD的面积为168或48. 图1 图2 5.20或12解析：如图1，，在□ABCD中，边BC上 的高为4，AB=5,AC=25,.EC=√AC2-AE2= 2,CD=AB=5,BE=√JAB2-AE=3,∴.AD=BC= BE+EC=3+2=5,∴.□ABCD的周长为5+5+5+ 5=20;如图2，：在□ABCD中，边BC上的高为4， AB=5,AC=2√5，.EC=√AC2-AE=2,AB= CD=5,BE=AB2-AE=3,..AD=BC=BE- CE=3-2=1,∴.☐ABCD的周长为1+1+5+5= 12.综上所述，□ABCD的周长为20或12. E B C 图1 图2 6.如图1，在□ABCD中，AD∥BC,,BE⊥AD, ..BELBC,.AB=5,BE=3,..AE=VAB-BET= 4,.DE=2,..BC=AD=AE+DE=4+2=6,.'.CE= √BC2+BE=√6+32=35；如图2，同理可得AE= 4,DE=2,..BC=AD=AE-DE=4-2=2,BE= 3,.CE=√BE十BC=√32+2=√I3.综上所述， 线段CE的长为3√5或√13. B 图1 D D 图2 课时提优计划作业本·数 ·15 7.(8,3)或(2,3)或(-2，一3)解析：设O(0,0)、 A(3,0)、B(5,3),连接OA、OB、AB.若以AB为平行 四边形的对角线，则第四个顶点的坐标为(8,3)；若以 OB为平行四边形的对角线，则第四个顶点的坐标为 (2,3);若以OA为平行四边形的对角线，则第四个顶 点的坐标为（一2，一3）.综上所述，第四个顶点的坐标 为(8,3)或(2,3)或(-2，-3).8.5或√7或√43 解析：如图1，当∠BAC=90时，BC=√AB2+AC2= √J4十32=5.①当BC为对角线时，∠ACD1=180°- ∠BAC=90°，CD1=AB=4,.AD1=√JAC2十CD= √32十4=5；②当AB为对角线时，AD2=BC=5, ③当AC为对角线时，AD3=BC=5.如图2，当 ∠ACB=90°时，BC=√AB2-AC=√4-3=√7. ①当AB为对角线时，AD1=BC=√7；②当AC为对 角线时，AD2=BC=√7；③当BC为对角线时，AD3= √JAD+D1D=√7+36=√43.综上所述，AD的长 为5或√7或√43. D 6 2 2 C B D D 图1 图2 9.（1)A(-3,0)、B(3,0),AB=6.四边形 ABCD为平行四边形，.CD∥AB,CD=AB=6.又 C(0,4),.点D的坐标为(-6,4).E是OD的中 点，.点E的坐标为(-3,2).(2)存在.①如图1，当 CE为□CDEN的对角线时，EN∥CD,EN=CD=6, CD∥AB,.EN∥AB,又点E的坐标为(-3,2)， EN=6,点N的坐标为(3,2)；②如图2，当DE为 □CDNE的对角线时，EN∥CD∥AB,EN=CD=6, 点N的坐标为（一9,2）；③如图3，当DC为 □CNDE的对角线时，DE∥CN,DE=CN,由坐标与 平移的关系可得点N的坐标为（一3,6）.综上所述，存 在点N,使得以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四 边形，此时点N的坐标为(3,2)或（一9,2）或（一3,6）. ·八年级下册(SK版) VA 图2 图3 10.①当点F在线段BM上，即0≤t<2,AE=FM 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则 有：=4-2，解得1=专；②当点F在线段MC上，即 2≤t≤5，AE=MF时，以A、M、E、F为顶点的四边形 是平行四边形，则有t=2t一4，解得t=4.综上所述，当 以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的 值为3或4.11.(1)12(2)根据题意，得AP= t cm,CQ=2t cm,PD=(6-t)cm,BQ=(10-2t)cm. AD∥BC,∴.当AP=BQ时，四边形ABQP是平行 四边形4=10-2，解得1=9，即号时四边形 ABQP是平行四边形；，AD∥BC,.当DP=CQ时， 四边形DCQP是平行四边形，.2t=6一t,解得t=2, 即2s时四边形DCQP是平行四边形；，AD∥BC, ∴.当PD=QB时，四边形PDQB是平行四边形， ,∴.6一t=10一2t,解得t=4,即4s时四边形PDQB是 平行四边形.综上所述，当点P、Q与四边形ABCD的 任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t的 值为9或2或4，(3)由(2)知，AP=1cm,0Q 2tcm,PD=(6-t)cm,QB=(10-2t)cm.当四边形 PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，四边形 ABQP和四边形PDCQ的面积相等，则6-t+2t= t十10-2t,解得t=2,即当四边形PDCQ的面积为四 边形ABCD面积的一半时，t的值为2. 8.2特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 课堂演练 1.C解析：，△EBC是等边三角形，∴.∠CBE=60°. 课时提优计划作业本·数 ·16 :四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,.∠AEB= ∠CBE=60°.2.C3.B解析：如图，由题意可知， AC=BD=10,∠AOB=60°，∠ABC=90°，.OA= OB=0C=OD=号X10=5,△0AB是等边三角 形，∴.AB=5,.BC=√AC-AB=5√5，∴矩形 ABCD的面积为AB·BC=5×5√3=253. 4.5解析：，四边形ABCD是矩形，.CD=AB=4, BC=AD=7,∠B=∠C=∠ADC=90°.DF平分 ∠ADC,.∠FDC=45°，∴.△DFC是等腰直角三角 形，∴.CF=CD=4,AB=CF,BF=BC-CF=7- 4=3.AF⊥EF,.∠AFB十∠CFE=90°= ∠AFB+∠BAF,∴∠BAF=∠CFE,∴.△ABF≌ △FCE(ASA),.BF=CE=3,∴.EF= √CE+CF=√32+4=5.5.√/10解析：如图， 连接OB,过点B作BM⊥x轴于点M.,点B的坐标 是(1,3)，OM=1,BM=3.在Rt△BMO中，OB= √OM+BM=√1+32=√10..四边形OABC为 矩形，.OB=AC,AC=√10 V x 6.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，∴.AB=DC,∠B= 「∠BAE=∠CDF, ∠C=90°.在△ABE和△DCF中，AB=DC, ∠B=∠C=90°， .△ABE≌△DCF(ASA).(2)由(1)知，△ABE≌ ADCF,.'AE DF 13.AB =12,.BE √AE2-AB2=√132-122=5. 课后拓展 7.D解析：四边形ABCD是矩形，∴.AB=DC, ∠C=90°，AD∥BC.在Rt△DCE中，ED=5,EC=3, 学·八年级下册(SK版) ∴.DC=√ED2-EC=V52-32=4,∴AB=DC=4. ,AD∥BC,.∠DAE=∠AEB.AE平分∠DAB, ∠DAE=∠EAB,∴.∠EAB=∠AEB,∴.BE=AB= 4,.BC=BE十CE=4十3=7，.S矩形ABm=AB·BC= 4X7=28.8.D解析：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,AD∥BC,.∠OBF=∠ODE,∠OFB= ∠OED.,O为矩形ABCD两条对角线的交点，∴.OB= (∠OFB=∠OED, OD.在△BOF和△DOE中，∠OBF=∠ODE, OB=OD, ∴.△BOF≌△DOE(AAS),故A选项不符合题意；在 (∠OBF=∠ODE, △BOF和△DOE中，∠OFB=∠OED,.△BOF≌ FO-EO, △DOE(AAS),故B选项不符合题意；，AE=CF, ∴.BC-CF=AD-AE,即BF=DE,在△BOF和 ∠OBF=∠ODE, △DOE中，BF=DE, ,.△BOF≌△DOE ∠OFB=∠OED, (ASA),故C选项不符合题意；，EF⊥BD,∴.∠BOF= ∠DOE=90°，不能判定△BOF≌△DOE,故D选项符 合题意.9.135°解析：四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠BAD=90°，AO=CO,BO=DO,AC= BD,OA=OD.DE平分∠ADC,∠ADE= 3∠ADC=号×90=45，∠AED=180° ∠BAD-∠ADE=180°-90°-45°=45°，∴.AD= AE.又：∠EDO=15°，.∠ADO=∠ADE+ ∠ED0=45°+15°=60°.OA=OD,∴.△OAD是等 边三角形，∴.∠AOD=∠OAD=60°，AD=AO=DO, ∴.AO=AE,∴.∠AOE=∠AEO.,∠OAE=90° ∠0AD=90-60=30,∠A0E=∠AB0=号× (180°-30)=75°，∴.∠DOE=∠AOD+∠AOE= 60°+75°=135°.10.4解析：由矩形的性质，得 CD=AB=2,EG=CF=2CD=2×2=4.11.12 解析：如图，过点P作PM⊥AD于点M,交BC于点 N,则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、 四边形BEPN都是矩形，∴.CF=BE=2,SAAEP= S△AMP,S△cFP=S△CNP,S△MPD=S△PpF,S△EBP=S△BPN· :S△ABD=S△BCD,∴.S矩形AEPM=S矩形PNCF,,S△AEP= 课时提优计划作业本·数 ·17 PF,CF-号×6×2=64图中阴影部分 SACFP-2 的面积为6十6=12， 12.(1)如图1，连接BD,与AC交于点O.,四边形 ABCD是矩形，AC=BD,OB=BD,0C=立AC, ∴.OB=OC,.∠DBC=∠ACB=40°.，BE=AC, 1 BE=BD,∠BDE=∠E,∠E=2(180°- ∠D8C)=号×(180-40=70.（②）证明：如图2，延 长CF交AD的延长线于点G.,四边形ABCD是矩 形，.AD=BC,AD∥BC,∴.∠GDF=∠E,∠G= ∠ECF.,F是DE的中点，DF=EF,∴.△DFG≌ △EFC(AAS),∴.DG=EC,GF=CF,∴.BC+CE= AD+DG,即AG=BE.BE=AC,∴AG=AC.又 .GF=CF,AF⊥FC 图1 图2 第2课时矩形的判定 课堂演练 1.A解析：：AD=BC=4,AB=CD=3,.四边形 ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故A选项符 合题意；，∠A=∠B=∠D=90°，.四边形ABCD是 矩形，故B选项不符合题意；，∠A=∠B=90°， ∴∠A+∠B=180°，AD∥BC,AD=BC=4,∴.四 边形ABCD是平行四边形，又，∠A=90°， ∴.□ABCD为矩形，故C选项不符合题意；：AB= CD=3,AD=BC=4,.四边形ABCD是平行四边 形，AC=5,.AB2+BC2=AC2,.△ABC是直角 三角形，且∠ABC=90°，∴.□ABCD是矩形，故D选 项不符合题意.2.D解析：①，四边形ABCD是 平行四边形，AC=BD,.□ABCD是矩形；②，∠1十 ∠3=90°，.∠ABC=90°，.☐ABCD是矩形；③.四 学·八年级下册(SK版) 边形ABCD是平行四边形，∴OB=号BD,又：OB= 2AC,AC=BD,.□ABCD是矩形；④：四边形 ABCD是平行四边形，OA=OC=号AC,OB OD=2BD,AB/CD,∠1=∠0cD,又'∠1= ∠2，.∠OCD=∠2，∴.OC=OD,∴.AC=BD, ∴.□ABCD是矩形.综上所述，能判断□ABCD是矩 形的条件有4个.3.∠A=90°解析：DE∥AB, DF∥AC,.四边形AFDE是平行四边形，∴.当∠A= 90°时，□AFDE是矩形.4.AC⊥BD解析：需满 足的条件是AC⊥BD.:BD∥EF,BD∥GH,∴.EF∥ GH.同理可得EH∥FG,∴.四边形EFGH是平行四边 形.：EF∥BD,AC⊥BD,.EF⊥AC.,EH∥AC, ,.EF⊥EH,.∠E=90°，.四边形EFGH是矩形. 5.证明：，∠A=∠D=90°，∴.∠A十∠D=180°， .AB∥CD.O是边AD的中点，.AO=DO.在 ∠A=∠D, △AB0与△DC0中，{AO=DO, ..△ABO≌ ∠AOB=∠DOC, △DCO(ASA),∴.AB=DC,.四边形ABCD是平行 四边形.又∠A=90°，四边形ABCD是矩形. 6.证明：(1)由题意，得AF∥BC,∴.∠DBE=∠AFE E是线段AD的中点，∴DE=AE.又：∠DEB= ∠AEF,∴.△BDE≌△FAE(AAS),∴.BD=AF. (2):D是边BC的中点，∴BD=CD.AF=BD, .AF=CD.,AF∥CD,∴.四边形ADCF是平行四边 形.又，AB=AC,AD⊥BC,.∠ADC=90°，.四 边形ADCF为矩形. 课后拓展 7.D解析：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB= CD,BC=AD,BC∥AD,AB∥CD.DE=AD, .BC=DE.BC∥AD,.BC∥DE,.四边形DBCE 是平行四边形.若添加AB=BE,则BE=CD, ∴.□DBCE是矩形，故A选项不符合题意；若添加 CE⊥DE,则∠CED=90°，∴.□DBCE是矩形，故B选 项不符合题意；若添加∠ADB=90°，则∠BDE= 180°-∠ADB=180°-90°=90°，.☐DBCE是矩形， 故C选项不符合题意；若添加BE⊥AB,则BE⊥CD, 不能推出四边形DBCE是矩形，故D选项符合题意. 8.2或10解析：设运动的时间为ts.四边形 课时提优计划作业本·数 。1 ABCD是平行四边形，AC=12,BD=8,.OA=OC= 2AC=3×12=6,0B=0D=号BD=号×8=4 1 ,AE=CF=t,∴.OE=OF=6-t或OE=OF=t 6,∴四边形BEDF是平行四边形，当EF=BD时， 四边形BEDF是矩形，OE=OD,.6一t=4或t一 6=4,解得t=2或t=10,.经过2s或10s,四边形 BEDF是矩形。9.咎解折：AB=6am,AC= 8cm,BC=10cm,.AB2+AC2=BC2,∴.△ABC为 直角三角形，且∠BAC=90°.PE⊥AB,PF⊥AC, .∠AEP=∠AFP=90°，.四边形AEPF为矩形.如 图，连接AP,则EF=AP.当AP的值最小时，EF的 值最小.当AP⊥BC时，AP的值最小，此时7AB· 合BC·AP,AP=AB:AC=6X8 1 AC= BC 10 24 5(cm),EF的最小值为5cm 10.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，∴.OA= OC,OB=OD.又BE=DF,.OB+BE=OD十 DF,即OE=OF,.四边形AECF是平行四边形. (2):四边形ABCD是平行因边形，OF=号EP, OA=号AC.OF=OA,EF=AC,四边形 AECF是矩形.11.(1)证明：，□ABCD的对角线 AC、BD交于点O,BO=DO.又，EF=DE,.OE 为△DBF的中位线，OE∥BF,且OE=BR,又 :E为OA的中点，OE=}OA,OA=BF.又 2 OA∥BF,.四边形AFBO为平行四边形.(2)当 AB=BC时，四边形AFBO是矩形.证明如下：，四边 形ABCD是平行四边形，.OA=OC.:AB=BC, ,.OB⊥OA,∴.四边形AFBO是矩形， 专题2矩形的折叠问题 1.(1)证明：如图，设矩形纸片折叠后，点A与点F重 合.由折叠可知，DH=BH,FD=AB,FG=AG, 学·八年级下册(SK版) 8· ∠GHD=∠GHB.,四边形ABCD是矩形，∴.∠A= ∠B=90°，AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴.∠DGH= ∠GHB,.∠DGH=∠GHD,..DG=DH,,.△DGH 是等腰三角形.(2)如图，过点G作GE⊥BC于点 E,则四边形ABEG是矩形，.GE=AB,BE=AG.由 (1)得，DG=DH,∴.DG=DH=BH.AB=6,BC= 8,∴.DF=AB=CD=6,AD=BC=8.设BH=x,则 CH=8-x.在Rt△DCH中，DH=CH2+CD,即 =(8-xr+6,解得x-空DG=DH- 4 AG-AD-DG-8-EH-BH-BE- BH-AG-25-子-9在R△GEH中，GH GE+EH-√6+()-5 H 2.如图，连接A'E.四边形ABCD是矩形，∴.∠C= ∠CDC'=90°.由折叠可知，∠CDE=∠C'DE= 合∠CcC-3×90-45∠cED=∠CDE-45, ∴.CD=CE.CA'=2,DA'=4,.CD=CE=CA'十 DA'=2+4=6.由折叠可知，A'B'=AB,∠B'= ∠B=90°.，CD=AB,∴.A'B=CD=CE.在Rt△A'B'E AE=EA, 和Rt△ECA'中，{ .Rt△A'B'E≌Rt△ECA A'B'=EC, (HL),.∠B'A'E=∠CEA',.A'M=EM=6-CM. 在Rt△A'CM中，：CA2+CM2=A'M2,∴.22+ CM=(6-CM),解得CM=∴Saaw-CA'· CM ,88 2×2×3=3 4.C M 课时提优计划作业本·数 ·19 3.（1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠FDB=∠DBC.由折叠可知，∠FBD=∠DBC, ∠FDB=∠FBD,∴.BF=DF,点F在线段BD 的垂直平分线上.(2)设AD=x.:BF=DF=3, .AF=AD-DF=x-3.在Rt△ABF中，AB2= BF-AF2,在Rt△ABD中，AB2=BD2-AD2, ∴BF2-AF2=BD2-AD2,即32-(x-3)2=24- x2,解得x=4,即AD的长为4.4.如图，过点E作 EH⊥CD于点H,则∠EHD=∠EHC=90°.，四边 形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°， CD=AB=10,BC=AD=3,.四边形AEHD和四边 形EBCH都是矩形，.DH=AE,CH=BE,EH= AD.又：E是边AB的中点，AE=BE=合AB- 2×10=5,DH=CH=5.又：AD=3,EH=3.由 折叠可知，NE=BE=5,∠FED=∠AED.又，AB∥ CD,,.∠AED=∠EDG,.∠EDG=∠FED,.DG= EG.在Rt△EHG中，EG=GH2+EH,即DG2=(5- DGr十，解得DG-吕在R△EIN中，NH- √JNE-EH=√5-32=4，.GN=GH+NH= 17 28 DH-DG+NH=5-5+4= 5 ---B E 5.(1)3解析：，四边形ABCD是矩形，∴.∠D= 90°.由折叠可知，AQ=AB=5.在Rt△ADQ中，DQ= √AQ-AD2=√5-4=3.(2)如图1，当点M在 线段AB上时，四边形ABCD是矩形，.AB∥CD, .∠CDM=∠AMD,由折叠可知，∠A'MD= ∠AMD,∴.∠CDM=∠CMD,∴.CM=CD=5, .∠CBM=90°，.BM=√CM-BC=√/52-4= 3,AM=AB-BM=5-3=2;如图2，当点M在线 段AB的延长线上时，同理可证CM=CD=5, ,∠CBM=90°，CB=4,.BM=√CM2-BC2= √52-4=3，∴.AM=AB+BM=5+3=8.综上所述， 线段AM的长为2或8. 学·八年级下册(SK版) M B B 图1 图2 6.如图，设CD与BE交于点G.四边形ABCD是矩 形，∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD= AB=8.由折叠可知，EP=AP,∠E=∠A=90°，EB= (∠D=∠E=90°， AB=8.在△ODP和△OEG中，OD=OE, ∠DOP=∠EOG, ,.△ODP2△OEG(ASA),.∴.OP=OG,PD=GE, ..OD+OG=OE+OP,DG=EP,..AP=EP= DG.设AP=EP=x,则PD=GE=6-x,DG=x, .CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x.在Rt△BCG 中，BC2+CG2=BG2,即62+(8-x)2=(2+x)2,解得 即AP的长为兰 z- 24 第3课时菱形的性质 课堂演练 1.A2.A解析：四边形ABCD是菱形，.AC BD,.△AOB是直角三角形.E是AB的中点， 0E=AB.OE=3,AB=6,即菱形的边长为 6.3.15解析：，四边形ABCD是菱形，AC=6, BD=5,菱形ABCD的面积是2AC·BD=号X 6X5=15.4.60°解析：在菱形ABCD中，∠OAD= ∠OAB=2∠DAB,∠ADC+∠DAB=180, :∠ADC=120°，∠DAB=60°，∠0AB=2 1 X 60°=30°..OE⊥AB,.∠OEA=90°，.∠AOE= 60°.5.25°解析：四边形ABCD是菱形，∠ABC= 课时提优计划作业本·数 ·20 80,∠CB0=2∠ABC=40°，AC⊥BD,∠COB- 90°，∴.∠BC0=90°-∠CBO=90°-40°=50°.BC= CE,∠CBE=∠CEB=2(180-∠BC0)=3× (180°-50)=65°，.∠OBE=∠CBE-∠CB0= 65°-40°=25°.6.(5,4)解析：A(0,4)、B(3, 0),.OA=4,OB=3.∠AOB=90°，AB= √OA+OB=√4+32=5.，四边形ABCD是菱 形，.AD∥BC,AD=AB=5,∴点D的坐标为(5,4). 7.证明：，四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B= ∠AEB=∠AFD, ∠D.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABE≌△ADF(AAS),.BE=DF.8.(1)证 明：四边形ABCD是菱形，.AC=2OC,AD∥BC. DE∥AC,∴.四边形ACED是平行四边形，.DE= AC,∴.DE=2OC.（2),四边形ABCD是菱形， AD=BC,0B=0D=号BD=2×8=4,ACLBD, 0A=0C=2AC,.∠A0B=90',0A=0C= √JAB2-OB2=√52-42=3，∴.AC=2OC=2X3=6, ∴S美m=AC·BD=号×6X8=24.:四边形 1 ACED是平行四边形，∴.AD=CE,AD∥CE, .S口ACED=S菱形ABCD=24. 课后拓展 9.D解析：如图，连接DE.,四边形ABCD是菱形， ∠B=a,AD=CD,∠ADC=∠B=a.:点A关于 直线DP对称的点为E,.DP垂直平分AE,.ED= AD,∴.ED=CD,∴∠DAE=∠DEA,∠DCE= ∠DEC..'∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+ ∠DCE+∠DEC=360°，.a+2(∠DEA+∠DEC)= 360°，&+2∠AEC=360°，.∠AEC=7(360° a)=180°-2. 1 学·八年级下册(SK版) 10.10解析：如图，连接BD、EC.,E是AB的中 点，5A-号5D-SD-子×24-6，同理 可得S△BBc=SAAED=6.S△BEr=4,.S△BF= 号sPC=写BC,Som=专S6n 2 1 6S麦形AcD三6×24=4，·S刷E格分=S装形AB口 S△AED-S△BEF-S△DFc=24-6-4-4=10. 11.5解析：如图，连接OE.,四边形ABCD是菱 形，且AC=12,BD=16,.AC⊥BD,0C=2AC=6, OD=2BD=8,∴∠COD=90°，在R△COD中，由勾 股定理得CD=√OC2+OD=√62+82=10.E是 边CD的中点，0E=号CD=号×10=5.：EF1 BD,EG⊥AC,∴.∠OGE=∠OFE=∠COD=90°， ∴.四边形OGEF是矩形，∴.FG=OE=5. 12.23 3 解析：点E关于直线AD的对称点为F, .DF=DE.设DF=DE=m,则EF=DE十DF= 2m.,四边形ABEF是菱形，.AB=AF=EF=2m. .四边形ABCD是矩形，.∠ADC=90°，.∠ADF= 180°-∠ADC=180°-90°=90°，.AD= AF-DE=V(2m)m=3mD3m 2313,证明：四边形ABCD是菱形，∴AB BC.,AE=CF,∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF (AB=CB, 在△ABF和△CBE中，∠B=∠B,.△ABF≌ BF=BE, △CBE(SAS),.AF=CE.14.(1)四边形DEBF 课时提优计划作业本·数 ·21 是矩形.理由如下：DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠DEB= ∠BFD=90°.，四边形ABCD是菱形，AB∥CD, .∠DEB+∠EDF=180°，.∠EDF=∠DEB= ∠BFD=90°，.四边形DEBF是矩形.(2)如图，连 接BP.四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD, .BP=DP.由(1)知，四边形DEBF是矩形，.DE= BF=6.设DP=BP=x,则PE=6一x.在Rt△PEB 中，PE2+BE2=BP2,即(6-x)2十32=x2,解得x= 15 15 4,..DP= 4 第4课时菱形的判定 课堂演练 1.C2.A解析：当BE平分∠ABC时，四边形 DBFE是菱形.理由如下：DE∥BC,EF∥AB,.四 边形DBFE是平行四边形，∴.∠DEB=∠EBC.,BE 平分∠ABC,∴.∠EBC=∠EBD,.∠EBD=∠DEB, ∴BD=DE,□DBFE是菱形，故A选项符合题意. 3.AC⊥BD(答案不唯一)4.AC=BC(答案不唯 一)解析：，将△ABC沿射线BC方向平移得到 △DCE,∴.AD=CE=BC,AD∥CE,.四边形ACED 是平行四边形，则当△ABC满足条件AC=BC时， AC=CE,此时可使口ACED是菱形.5.24解析： :AB=BC=CD=DA=5cm,.四边形ABCD是菱 形，.AC⊥BD,BD=2OB,OA=2AC=2X8= 4(cm).在Rt△AOB中，OB=√JAB2-OA2= √/52-4=3(cm),∴.BD=2OB=2×3=6(cm), 1 1 六S装影Am=2AC·BD=2X8X6=24(cm). 6.证明：，AB=5,OA=4,OB=3,.AB2=OA2+ OB2,.△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°， ∴.AC⊥BD,∴.□ABCD是菱形.7.①③证明 如下：如图，连接AC交BD于点O.,四边形ABCD 为平行四边形，AB=BC,.四边形ABCD为菱形， .OA OC,OB OD,AC L BD..BE DF, .OB一BE=OD一DF,即OE=OF.,OA=OC, 学·八年级下册(SK版) OE=OF,AC⊥EF,.四边形AECF是菱形. 课后拓展 8.C解析：添加CD=CE,可以使四边形ADCE成 为菱形.理由如下：如图，设AC与DE交于点O.·四 边形BCDE是平行四边形，∴.DE∥BC,BE∥CD, ∠AOE=∠ACB=90°，∴.AC⊥DE.,CD=CE, .OD=OE.又，AB∥CD,∴.∠EAO=∠DCO.在 ∠EAO=∠DCO, △AOE和△COD中，∠AOE=∠COD,∴.△AOE≌ OE=OD, △COD(AAS),..OA=OC.又.OD=OE,.四边形 ADCE是平行四边形.又，CE=CD,.四边形ADCE 是菱形. B 9.1十√2解析：四边形ABCD是矩形，.∠A= ∠ABC=90:BG平分∠ABC,i∠ABG=2∠ABC= 45°，.∠AGB=∠ABG=45°，.AG=AB=1,.BG= √AB2十AG=√2.又四边形BHDG为菱形，∴.GD= BG=√2，∴.AD=AG+GD=1十√2.10.AB⊥BC 解析：当□ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是 菱形.理由如下：，四边形ABCD是平行四边形，且 AB⊥BC,.四边形ABCD是矩形，∠ABC= ∠DCB=90°，AB=CD,AB∥CD.:E是AB的中点， F是CD的中点，∴BE=CF=AE=DF.BE=DF, AB∥CD,.四边形BEDF是平行四边形，.ED∥BF, 同理可得EC∥AF,∴.四边形EHFG是平行四边形.在 BE=CF, △EBC与△FCB中，∠ABC=∠DCB,∴.△EBC≌ BC=CB, △FCB(SAS),∴.CE=BF,∠ECB=∠FBC,∴.BH= 课时提优计划作业本·数 ·22 CH,.CE一CH=BF一BH,即EH=FH,∴.四边形 EHFG是菱形.11.号解析：如图，连接CE交AB 于点O.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, BC=3,.AB=√AC2+BC=√42+32=5.若 □CDEB为菱形，则CE⊥BD,OD=OB=2BD, CD-CB.SAM-ABC-ACCC AC·BC4×3_12 AB 5 -5,在R△BOC中，根据勾股定理得 B=VBC-0C=√-（T-号AD=AB ,97 BD=AB-20B=5-2X5=5 12.(1)证明：E为对角线AC的中点，BE⊥AC, .BE垂直平分AC,.AB=BC.,四边形ABCD是 平行四边形，.□ABCD是菱形.(2)BE=EF, ∠EBF=∠EFB.CF=CE,∴∠CEF=∠CFE, ∴.∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF. ,∠BEC=90°，.∠CBE=30°，∠BCA=60°.由(1) 得，AB=BC,.∠BAC=60°，.∠ACD=60, .∠DCF=180°-∠BCA-∠ACD=180°-60°-60°= 60°，∠BCE=∠DCF,,□ABCD是菱形，.BC= CD.又CE=CF,∴.△BCE≌△DCF(SAS), .∠DFC=∠BEC=90°，∠CDF=∠CBE=30. ,CF=CE=4,∴.DC=2CF=8,∴.DF=√DC2-CF= 45,△DCF的面积为分CF·DF=合×4X4- 83.13.由题意得，DP=tcm,BQ=2tcm,则 AP=(11-t)cm.(1)若四边形ABQP是矩形，则 AP-BQ,即1-4=2，解得4-号当：的值为号 时，四边形ABQP是矩形.(2)可能.由题意得， PE=(8-t)cm,CQ=(11-2t)cm.若四边形EQCP 为菱形，则CP=PE=CQ,.8一t=11一2t,解得t= 学·八年级下册(SK版) 3,此时DP=3cm,PE=CQ=5cm,CP= √CD2+DP=√42+32=5(cm),符合题意，.当t= 3时，四边形EQCP为菱形. 专题3含有60°角的菱形 1.(1)如图1，线段CM即为所求作.(2)如图2，点 N即为所求作. A A 图1 图2 2.(1)答案不唯一，如：选择条件是①，结论是②.证 明如下：如图，连接AC.,四边形ABCD是菱形， ∠ABC=60°，.∠D=60°，AB=BC=CD=AD, ∴.△ABC和△ADC都是等边三角形，∴.∠EAC= 60°=∠D,AC=CD,∠ACD=60°.在△ACE和△DCF AE-DF, 中，∠EAC=∠D,∴.△ACE≌△DCF(SAS), AC=DC, ∴.∠ACE=∠DCF.∠DCF+∠ACF=60°， ∴.∠ACE+∠ACF=60°，即∠ECF=60° 9 B (2)如图，连接BD、AC交于点O,作射线FO交BC于 点H,作射线EO交CD于点G,连接EF、FG、GH、 HE,则四边形EFGH即为所求.理由如下：四边形 ABCD是菱形，∴.OA=OC,AD∥BC,∴.∠DAO= ∠BCO.,OA=OC,∠AOF=∠COH,∴.△AOF≌ △COH(ASA),∴.FO=HO,同理可得EO=GO,∴.四 边形EFGH是平行四边形 3.(1)证明：，·四边形ABCD是菱形，.AB=BC= CD=DA,∠BCA=∠DCA=∠DAC=∠BAC. ∠ABC=60°，.△ABC与△ADC均为等边三角 课时提优计划作业本·数 ·2 形，∠BCD=120°，∴.∠BCA=∠DCA=∠DAC= ∠BAC=60°，AC=CD=DA=AB=BC.①如图1，连 接BP,则△BCP≌△DCP(SSS),.BP=DP, ∠CBP=∠CDP,PD=PE,∴.PB=PE,∠CBP= ∠CEP,.∠CEP=∠CDP,∴.∠DPE=∠DCE= 180°-∠BCD=180°-120°=60°；②如图1，连接DE,则 △PDE是等边三角形，∴.DE=PD,∠PDE=60°= ∠ADC,∴.∠ADC-∠PDC=∠PDE-∠PDC,即∠ADP= (AD=CD, ∠CDE,在△ADP和△CDE中，{∠ADP=∠CDE, DP=DE, .△ADP≌△CDE(SAS),∴，AP=CE;③如图1，延 长CE至点F,使EF=CP,连接DF,∠PDE=60°， ∠PCE=120°，.∠PDE+∠PCE=180°，.∠DP℃+ ∠DEC=180°，，∠DEC+∠DEF=180°，.∠DPC= (DP=DE, ∠DEF,在△DPC和△DEF中，∠DPC=∠DEF, PC=EF, .△DPC≌△DEF(SAS),.DC=DF,.∠DCE= 60°，.△DCF是等边三角形，.CD=CF=EF十 CE=CP+CE. 图1 (2)结论①②仍然成立，结论③变为CE=CD十CP. ①如图2，连接PB,则PB=PD,∴.△BCP≌△DCP (SSS),∴.∠PBC=∠PDC,PD=PE,∴.PB=PE, ∴.∠PBC=∠PEC=∠PDC,.∠DPE=∠DCE= 60°；②如图2，连接DE,则△PDE是等边三角形， ∴PD=DE=PE,∠PDE=60°，∠ADC=60°， '.∠ADC+∠PDC=∠PDE+∠PDC,即∠ADP= (AD-CD, ∠CDE,在△ADP和△CDE中，∠ADP=∠CDE, DP=DE, .△ADP≌△CDE(SAS),.AP=CE;③如图2，延 长CD至点F,使DF=CP,连接EF,,∠DEP=60°， ∠DCP=∠DCE+∠PCE=∠ACB+∠DCE=120°， .∠DEP+∠DCP=60°+120°=180°，∴.∠CDE+ ∠EPC=180°，：∠CDE+∠EDF=180°，∴.∠EDF= 学·八年级下册(SK版) 3· EP=ED, .AE⊥BC,∠EAC=30°.同理∠CAF=30°， ∠EPC,在△EPC和△EDF中，∠EPC=∠EDF, .∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+30°=60°.：E、F PC=DF, 分别是边BC、CD的中点，BC=DC,∴.BE=DF.在 ∴.△EPC≌△EDF(SAS),EF=EC.,∠ECF= (AB=AD, 60°，.△ECF为等边三角形，.CE=CF=CD十 △ABE和△ADF中，∠B=∠D,∴.△ABE≌ DF=CD十CP, BE=DF, △ADF(SAS),AE=AF.又：∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形.(2)证明：如图2，连接 AC.,四边形ABCD为菱形，∴.AB∥CD,AB=BC. ∠B=60°，.△ABC是等边三角形，∴∠2=60°， ∠BAC=∠1+∠4=60°，AC=AB,∴.∠ACF= ∠BAC=60°，∴.∠B=∠ACF.:∠EAF=60°，即 图2 ∠3+∠4=60°，∴.∠1=∠3.在△AEB和△AFC中， 4.存在最小值.如图，连接AC.:四边形ABCD是菱 f∠1=∠3， 形，∴∠BAC=∠DAC=专∠BAD,AD∥BC,AB= AB=AC, .△ABE≌△ACF(ASA),∴.AE= ∠B=∠ACF, BC,∴.∠B+∠BAD=180°.：∠B=60°，∴.∠BAD= AF.又∠EAF=60°，△AEF是等边三角形. 180°-∠B=180°-60°=120°，∠BAC=∠DAC= (3)成立.证明如下：如图3，连接AC,过点E作EG∥ 60°，∴△ABC是等边三角形，∴.AC=BC=AB=2, AB交AC于点G,则∠CEG=∠B=60°.，四边形 ∠ACB=60°=∠MCN,∴.∠MCN-∠ACM= ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=DA,∠D=∠B= ∠ACB-∠ACM,即∠ACN=∠BCM.在△ANC和 60°，∠ACB=∠ACD,∴.△ABC是等边三角形， I∠ACN=∠BCM, ∠BCF=120°，.∠ACB=60°，∠CGE=180°- △BMC中，3AC=BC, .△ANC≌△BMC ∠CEG-∠ACB=180°-60°-60°=60°，∴.△GEC是 ∠NAC=∠B=60°， 等边三角形，.EG=EC,∠EGA=180°-∠CGE= (ASA),.NC=MC,AN=BM.,∠MCN=60°， 180°-60°=120°.∠AEF=60°=∠GEC,即∠1十 .△CMN是等边三角形，.CM=CN=MN, ∠GEF=∠2+∠GEF,∴.∠1=∠2.在△AEG和 .△AMN的周长为AM+AN+MN=AM+BM+ ∠1=∠2， CM=AB+CM,当CM⊥AB时，CM最短，此时CM △FEC中，EG=EC, .△AEG≌△FEC 是边长为2的等边三角形ABC的高，∴.CM=√3， ∠EGA=∠ECF, .AM+AN+MN=AB+CM=2+√3，即△AMN (ASA),∴AE=FE.又·∠AEF=60°，.△AEF是 的周长的最小值为2十√3 等边三角形. Q 图2 5.(1)等边解析：如图1，连接AC.四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC,AD∥BC,∠B=∠D.∠B= 60°，△ABC为等边三角形，∠BAD=120°，.AC= AB=AD=CD,∠CAD=60°.：E为边BC的中点， 图3 课时提优计划作业本·数学·八年级下册(SK版) ·24· 第5课时正方形 课堂演练 1.A解析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足“有 一个内角是直角”或“对角线相等”即可，故A选项符 合题意.2.B解析：四边形ABCD是正方形， ∴.∠CAB=∠ACB=45°.AE=AC,∴.∠ACE= ∠AEC=3(180°-∠CAB)=3×(180-45) 67.5°，∴.∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°= 22.5°.3.A解析：，四边形ABCD是正方形，且边 长为5，.AB=BC=CD=AD=5.,B(0,-2), ∴.OB=2,∴.OA=AB-OB=3,由旋转可知，OA'= OA=3,且点A'在x轴的负半轴上，正方形A'BC'D 的边长为5，点D'的坐标为(-3,5).4.√10解 析：如图，连接DE、GF,,四边形ABCD是正方形， .CB=CD,∠ECB=∠ECD=45°，∠ADC=90°.又 CE=CE,△CBE≌△CDE(SAS),∴.BE=DE. ,EF⊥CD,EG⊥AD,.∠EGD=∠GDF= ∠DFE=90°，∴.四边形GEFD是矩形，.GF=DE.在 Rt△EFG中，EG=1,EF=3,.GF=√EG+EF= √+32=√10，∴.BE=DE=GF=√I0. 5.证明：(1)，四边形ABCD为正方形，AB=CB, ∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中， (AB=CB, ∠ABE=∠CBE,.△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2)四边形ABCD为正方形，∠BDC= F2∠CDA= 45°.：△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，∴.∠CED= ∠ABD=号∠ABC=2×45=2,5.:∠BDC ∠CED+∠DCE=45°，∴.∠DCE=∠BDC ∠CED=45°-22.5°=22.5°，.∠CED=∠DCE, ∴.DC=DE.6.(1)证明：四边形ABCD是正方 形，AB=CD,AB∥CD.BE=DF,AB-BE= CD-DF,即AE=CF.又：AB∥CD,.四边形 课时提优计划作业本·数 ·2 AECF是平行四边形.(2)如图，过点E作EH⊥CD 于点H,则∠EHC=∠EHF=90°.，四边形ABCD 是正方形，BC=12,.AB=BC=CD=AD=12, ∠B=∠BCD=90°，∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90°， .四边形EBCH是矩形，.EH=BC=12,CH= BE=5,..DH=CD-CH=12-5=7..BE=DF= 5,∴.HF=DH-DF=7-5=2.在Rt△EFH中，由 勾股定理得EF=√EH+HF=√I2+2=2√/37. 课后拓展 7.D解析：四边形ABCD是正方形，AB=AD, ∠ABE=∠ADF=90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中， AB-AD. ∠ABE=∠ADF,.Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS), BE=DF, .AE=AF.,AM平分∠EAF,∴.∠EAM=∠FAM. AE-AF, 在△AEM和△AFM中， ∠EAM=∠FAM, AM=AM, ∴.△AEM≌△AFM(SAS),∴.EM=FM..四边形 ABCD是正方形，∴.BC=CD=4,∠BCD=90°，设 DM=x,MC=CD-DM=4-x,CE=BC-BE= 4-1=3,EM=FM=FD+DM=1+x.在Rt△MCE 中，由勾股定理得EM=MC2+CE2,即(1+x)2= -x)+3,解得z-号即DM=吕89 解 析：，在正方形ABCD中，BC=8,∴BC=CD=AD= 8,∠BCE=∠CDF=90°..DE=AF=2,.DF= CE=6,.BE=CF=√6+82=10.在△BCE和 (BC=CD, △CDF中，{∠BCE=∠CDF,∴.△BCE≌△CDF CE=DF, (SAS),∴.∠CBE=∠DCF,∴.∠CBE+∠CEB= ∠ECG+∠CEB=90°，∴.∠CGE=90°.，S△CE= BC.CE-T BE.CC..CG-BCgCE BE 10 -991解折：如 24,GF=CF-CG=10-24-26 学·八年级下册(SK版) 5 图，连接AG、EG.,正方形ABCD的边长为8， AB=BC=CD=AD=8.,E是边CD的中点， DE=CE=专CD=号X8=4.设CG=,则BG BC-CG=8-x.,HG垂直平分AE,∴.AG=EG.在 Rt△ABG和Rt△GCE中，AG2=AB2+BG,EG2= CE2+CG2,..AB2+BG2=CE2+CG2,82+(8- x)2=42十x2,解得x=7,.BG=BC-CG=8-7=1. 10.3或17解析：分两种情况.如图1，在正方形 ABCD中，AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=90°，由 旋转可知，AP=AE,.Rt△ABP≌2Rt△ADE(HL), ∴BP=DE,.BC-BP=CD-DE,即CP=CE, CE=3,.CP=3;如图2，同理可得BP=DE=7, .BC=CD=DE+CE=7+3=10,..CP=BC+ BP=10十7=17.综上所述，CP的长为3或17. 图1 图2 11.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴AB=CB, ∠ABD=∠CBD.又，BE=BE,∴，△ABE≌△CBE (SAS).(2),四边形ABCD是正方形，.∠BAD= 90°，∠ADB=45°.，DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA, :∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，.∠DAE= ∠DEA=67.5°，.∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=90° 67.5°=22.5°. 专题4正方形中互相垂直的线段 1.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，AE⊥BF, .AB=BC,∠ABC=∠C=90°，∠BAE+∠ABM= 90°，∠CBF+∠ABM=90°，.∠BAE=∠CBF.在 I∠ABE=∠C, △ABE和△BCF中，〈AB=BC, ..△ABE≌ ∠BAE=∠CBF, △BCF(ASA),,.AE=BF.(2)GE=BF.证明如 下：过点A作AN∥GE交BC于点N.:AD∥BC, 课时提优计划作业本·数 ·2 ∴.四边形ANEG是平行四边形，.AN=GE.GE BF,∴.AN⊥BF,同理(1)可证△ABN≌△BCF, ∴.AN=BF,.GE=BF.(3)GE=HF.证明如下： 分别过点A、B作AP∥GE交BC于点P,BQ∥HF交 DC于点Q.AD∥BC,AB∥DC,.四边形APEG、四 边形BQFH为平行四边形，∴.AP=GE,BQ=HF. ,GE⊥HF,.AP⊥BQ,同理(1)可证△ABP≌ △BCQ,∴.AP=BQ,∴.GE=HF.2.证明：.四边 形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠ABE=∠BCF= 90°.又：BE=CF,.△ABE≌△BCF(SAS), .∠BAE=∠CBF.,∠ABO+∠CBF=∠ABC= 90°，.∠ABO+∠BAO=90°，∴.∠AOB=90°.在 Rt△AOB中，M是AB的中点，OM=2AB. 3.,阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为 2 2:3,阴影部分的面积为3×3=6，空白部分的 面积为9-6=3.CE=DF,BC=CD,∠BCE= ∠CDF=90°，.△BCE≌△CDF(SAS),.△BCG的 面积与四边形DBGF的面积相等，均为2×3-， ∠CBE=∠DCF.,∠DCF+∠BCG=90°，∴.∠CBG+ ∠BCG=90°，∴.∠BGC=90°.设BG=a,CG=b,则 1 2ab-号，.ab=3.又a2+b2=32,a2+2ab+ b2=9+2×3=15,即(a+b)2=15,.a+b=√15，即 BG+CG=√/15，∴.△BCG的周长为BG+CG+BC= √15十3.4.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=∠BAF+∠DAE=90° :DE⊥AG,∴.∠AED=∠DEG=90°，.∠DAE+ ∠ADE=90°，∴.∠ADE=∠BAF.又·BF∥DE, .∠BFA=90°=∠AED,.△ABF≌△DAE(AAS), .AE=BF,.AF-BF=AF-AE=EF.(2)不可 能.理由如下：如图，连接BE、DF.已知DE∥BF,则当 DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形.由(1)知， △ABF≌△DAE,.DE=AF,.BF=AF,此时 ∠BAF=45°，点G与点C重合，这与“点G不与点B、 C重合”矛盾，∴.四边形BFDE不可能是平行四边形. 学·八年级下册(SK版) 6. 5.(1)如图1，连接EP,过点D作DH∥EF交AB于 点H.,四边形ABCD是正方形，且AB=4,.AB= DA=BC=4,∠DAH=∠B=90°，AB∥CD.设AE=a. EF是AP的垂直平分线，PE=AE=a,.BE= AB-AE=4-a.:P是边BC的中点，BP= 2.在Rt△BEP中，由勾股定理得PE2=BE2十BP2, 即a2=(4-a)2十2，解得a=2.5,∴.AE=2.5.AB∥ CD,DH∥EF,∴.四边形DHEF是平行四边形， ∴.DF=HE.EF是AP的垂直平分线，∴∠ADH十 ∠PAD=90°.又.∠BAP+∠PAD=90°，.∠BAP= ∫∠BAP=∠ADH, ∠ADH.在△BAP和△ADH中，AB=DA, ∠B=∠DAH, ∴.△BAP≌△ADH(ASA),.AH=BP=2,.HE= AE-AH=2.5-2=0.5,'.DF=HE=0.5. D 70 M E 图1 图2 (2)线段AE、BP、DF之间的数量关系是：AE=BP十 DF.理由如下：如图2，过点D作DM∥EF交AB于点 M.,四边形ABCD是正方形，AB=DA, ∠DAM=∠B=90°，AB∥CD.又DM∥EF,.四边 形MEFD是平行四边形，∴.DF=ME.EF是AP 的垂直平分线，.EF⊥AP,.DM⊥AP,∠ADM十 ∠PAD=90°，又.∠BAP+∠PAD=90°，.∠BAP= ∠BAP=∠ADM, ∠ADM.在△BAP和△ADM中，AB=DA, ∠B=∠DAM, .△BAP≌△ADM(ASA),.BP=AM,.AE= AM+ME=BP+DF. 8.3三角形的中位线 课堂演练 1.C解析：D、E分别为AB、AC的中点，.DE是 △ABC的中位线，∴.BC=2DE,.要测量B、C两地 的距离，他只需测量DE的长.2.B解析：EF是 △ABC的中位线，AE=3,∴.EF∥BC,BC=2EF, BE=AE=3,.∠EDB=∠DBC.,'BD平分∠EBC, ∠EBD=∠DBC,.∠EDB=∠EBD,.ED= BE=3.DF=1,.EF=ED+DF=3+1=4, 课时提优计划作业本·数 ·2 BC=8.3.9解析：如图，AB=4,BC=6, AC=8,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，.DE= 2AC=4,EF=号AB=2,DF=号BC=8,∴△DEF 的周长=DE+EF+DF=4+2+3=9. B E C 4.1解析：D、E分别为边AB、AC的中点，∴.DE∥ BC,DE=号BC=4,∠DFB=∠CBF.:BF平分 ∠ABC,∴.∠DBF=∠CBF,∴.∠DFB=∠DBF, 1 DF-DB-2AB-3,EF-DE-DF-4-3-1. 5.(1)证明：D、E分别是边AB、AC的中点，.DE 是△ABC的中位线，∴.DE∥BC.又：EF∥CD,∴.四 边形CDEF是平行四边形.(2)由(1)得，四边形 CDEF是平行四边形，.CD=EF=2cm.D是边 AB的中点，∠ACB=90°，.AB=2CD=2X2= 4(cm).6.(1)证明：，G、F分别是BO、BC的中点， :GF/0C,GF=0C.E,H分别是AD,D0的中 点，∴EH/OA,EH=OA.:四边形ABCD是平行 四边形，.OA=OC,.GF∥EH,GF=EH,∴.四边形 EGFH是平行四边形.(2)当BD=2AB时，四边形 EGFH是矩形.理由如下：如图，连接EF,,四边形 ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC,OB= OD.,E、F分别是AD、BC的中点，∴.AE=BF, AE∥BF,.四边形ABFE是平行四边形，.AB= EF.,G、H分别是BO、DO的中点，.BG=OG= OH=DH,.'.BD=2GH..BD=2AB,..GH=AB, .GH=EF,.□EGFH是矩形 G 课后拓展 7.C解析：如图，连接NB.E、F分别是BM、NM 的中点，∴EF=BN.:N是边CD上的一定点，B 是定点，BN的长度不变，EF的长度也不变. 学·八年级下册(SK版) 7· 8.√I3解析：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点0，AC=8,BD=12,OA=OC=2AC=4, OB=OD-BD=6,ACLBD.AE-2,.OE- OA-AE=4-2=2..OF=1,.'.EF=OE+OF=3, CF=OC-OF=3,.F是EC的中点，又，G是BE的中 点，GF-2BC.在R△0BC中，BC=VOB+C- 23,CF-分BC=3.9.30解析：在四 边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是 边AB、CD的中点，∴.PE、PF分别是△DAB与 △CDB的中位线，PE=号AD,PF=号BC.:AD BC,.PE=PF,.∠PEF=∠PFE.又∠PEF= 30°，∴.∠PFE=30°.10.(1)证明：D、E分别是 AB、AC的中点，.DE是△ABC的中位线，.DE∥ BC.,DG=FC,.四边形DFCG是平行四边形.又 ,DF⊥BC,.∠DFC=90°，.□DFCG是矩形. (2)DF⊥BC,∴∠DFB=90°.：∠B=45°，∴.△BDF 是等腰直角三角形，BF=DF=3.,DG=FC=5, ∴.BC=BF+FC=3+5=8.由(1)可知，DE是△ABC 的中位线，四边形DFCG是矩形，DE=2BC=4, CG=DF=3,∠G=90°，.EG=DG-DE=5-4=1, ∴.CE=√CG+EG=√/32+1'=√10.E为AC的 中点，.AC=2CE=2√10.11.(1)△MNH是直角 三角形.理由如下：：M、N、H分别是AD、BE、AB的 中点，HM∥BD,HM=2BD,HN∥AE,HN= 2AE,∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC, .∠MHN=180°-（∠AHM+∠BHN)=180° (∠ABC+∠BAC)=∠ACB=90°，∴.△MNH是直角三 角形.(2)由(1)知，△MNH是直角三角形，∠MHN= 90,HM-2BD=号X6=3,HN=7AE=2×4 课时提优计划作业本·数 ·2 2,.MN=√/HM+HN=√32+22=√13. 专题5构造三角形的中位线 1.A解析：如图，连接BF并延长，交AD于点G. ,AC⊥BC,.∠ACB=90°.BC=3,AC=4, AB=√BC2+AC=√32+4=5.AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC.:BD为∠ABC的平分线， .∠ABD=∠DBC,.∠ABD=∠ADB,∴.AD= AB=5..AD∥BC,∴.∠GAC=∠ACB=90°.：F是 AC的中点，.AF=CF.又，∠AFG=∠CFB, .△AFG≌△CFB(ASA),∴.BF=GF,AG=CB=3, .DG=AD-AG=5-3=2.又E是BD的中点，即 BE=DE,EF是△BDG的中位线，∴EF=2DG= 2×2-1. (第1题) (第2题) 2.3解析：如图，延长BE、AC交于点F.,AE平分 ∠BAC,AE⊥BE,.∠BAE=∠FAE,∠AEB= ∠BAE=∠FAE, ∠AEF=90°.在△AEB和△AEF中，AE=AE, ∠AEB=∠AEF, .△AEB≌△AEF(ASA),∴.AF=AB=14,BE= EF,.CF=AF-AC=14-8=6.又D是边BC的 中点，DE是△BFC的中位线，DE=号CF=号× 6=3.3.4解析：如图，延长AD、AE,分别与边 BC、边BC的延长线交于点M、N.,BD平分∠ABC, .∠MBD=∠ABD.AD⊥BD,.∠MDB= ∠ADB=90°.又，BD=BD,∴.△MDB≌△ADB (ASA),.MD=AD,MB=AB=7.同理可证 △NEC≌△AEC,.NE=AE,NC=AC=6,∴.DE 是△AMN的中位线，DE=号MN.又：MN= NC+BC-MB=6+9-7=8,∴DE= 2×8=4. M 学·八年级下册(SK版) 8· 4.3解析：△ABC的周长为24，∴.AB+AC+ BC=24..BC=9,.AB+AC=24-9=15.在 I∠ABM=∠EBM, △ABM和△EBM中，〈BM=BM, .△ABM≌ ∠AMB=∠EMB, △EBM(ASA),∴.BE=AB,AM=ME.同理可得 CD=AC,AN=ND,..DE=BE+CD-BC=AB+ AC-BC=15-9=6..'AM=ME,AN ND, ∴MN=2DE=3.5.VI3解析：如图，连接DE. D、E、F是△ABC三边的中点，∴.DE、EF是 △ABC的中位线，DE=号BC=2×6=3,EF 号AC-号X8-4,DE∥CP,EF∥CD,四边形 CDEF是平行四边形.又，∠C=90°，∴.四边形CDEF 是矩形，∠DEM=90°.M是EF的中点，.EM= 号EF=专X4=2在R△DBM中，DM √DE2+EM=√32+2=√/13. (第5题) (第6题) 6.30°解析：如图，连接PN.M、P、N分别是AD、 AC、BC的中点，.PM、PN分别是△ACD、△ABC 的中位线，∴PM/∥CD且PM=号CD,PN∥AB且 PN=2AB,∠MPA=∠ACD=20,∠NPC= ∠BAC=80°，.∠APN=180°-∠NPC=180° 80°=100°，.∠MPN=∠MPA+∠APN=20°+ 100°=120°.又AB=CD,.PM=PN,∴.∠PMN= ∠PNM=2180-∠MPN)=2×(18a-120）= 30°.7.如图，取BC的中点H,连接MH、NH. M、H分别为BE、BC的中点，∴MH是△BCE的 中位线，∴MH/CE且MH=2CE.:N、H分别为 CD、BC的中点，.NH是△BCD的中位线，.NH∥ BD且NH-2BD.又'BD=CE,MH=NH, 课时提优计划作业本·数 ·29 ∴.∠HMN=∠HNM.,'MH∥CE,∴.∠HMN= ∠AQP.NH∥BD,.∠HNM=∠APQ, ∠ArQ=∠AQP=2180-∠A)=号X(180 40)=70° (第7题) (第8题) 8.B解析：如图，连接BD,取BD的中点G,连接 MG、NG.,M是边AD的中点，G是BD的中点， :MG是△ABD的中位线，MG=号AB=号×2 1.又N是BC的中点，∴.NG是△BCD的中位线， NG=2CD=号×3=名在△MNG中，由三角形 三边关系可知NG-MG<MN<NG+MG,即 1<MN<+1,<MN<,当M,GN三点共 线时，MN=MG+NG=综上所述，线段MN的长 的取值范围是}<MV≤；9.0<S<号 解析： 如图，过点M作ME⊥PN于点E.,P、M、N分别是 AD、BD、AC的中点，.PM、PN分别是△ABD、 △ACD的中位线，PM=号AB=号×6=3，PN= CD=号×6=8∴Sm=号PN·ME=号ME. 1 :AB与CD不平行，∴点M、N不重合，.ME>0.又 .9 ME≤MP=3,0<S△P≤2，即S的取值范围是 0<S≤2 9 (第9题) (第10题) 10.猜想：DF=EG且DF∥EG.证明如下：如图，连接 学·八年级下册(SK版) AO.,D是AB的中点，F是BO的中点，.DF∥AO 且DF=?A0.同理可得EG∥A0且EG=2AO, ∴.DF=EG且DF∥EG.11.(1)证明：如图1，连接 BD.E、H分别为边AB、AD的中点，.EH∥BD, EH=BD.:F,G分别为BC,DC的中点，FG/ BD,FG=2BD,EH=FG,EH∥FG,.中点四边 形EFGH是平行四边形. 图1 图2 (2)四边形EFGH是菱形，证明如下：如图2，连接 AC、BD,'∠APB=∠CPD,∴.∠APB+∠APD= ∠CPD+∠APD,即∠BPD=∠APC,在△APC和 AP=BP, △BPD中，∠APC=∠BPD,.△APC≌△BPD PC-PD, (SAS),∴.AC=BD,E、F、G分别为AB、BC、CD的 中点，EF=7AC,FPG=名BD,EF=PG,由(I. 得四边形EFGH是平行四边形，.四边形EFGH是 菱形.(3)四边形EFGH是正方形，证明如下：如图 2,设AC、BD交于点O,AC与PD交于点M,AC与 EH交于点N,,△APC≌△BPD,∴.∠ACP= ∠BDP,:'∠DMO=∠CMP,∴.∠COD=∠CPD= 90°，'EH∥BD,AC∥HG,∴.∠EHG=∠ENO= ∠BOC=∠DOC=90°，由(2)，得四边形EFGH是菱 形，.四边形EFGH是正方形. 8.4梯形 课堂演练 1.B2.C解析：AC=BD=BC,不能证明四边形 ABCD是等腰梯形，故A选项不符合题意；AB= AD=CD,不能证明四边形ABCD是等腰梯形，故B 选项不符合题意；，OB=OC,OA=OD,∴.∠OBC= ∠OCB,∠OAD=∠ODA,在△AOB和△DOC中， AO=DO, ∠AOB=∠DOC,..△AOB2△DOC(SAS), OB=OC, 课时提优计划作业本·数 ·3 ∴.∠ABO=∠DCO,AB=CD,∠OAB=∠ODC, .∠ABC=∠DCB,∠BAD=∠CDA.,∠ABC+ ∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴·.∠DAB+ ∠ABC=180°，AD∥BC,.四边形ABCD是梯形， AB=CD,∴.四边形ABCD是等腰梯形，故C选项 符合题意；OB=OC,AB=CD,不能证明四边形 ABCD是等腰梯形，故D选项不符合题意，3，■ 解析：由题意可知，∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， AB=CA,·'∠DBA+∠DAB=90°，∠EAC+ ∠DAB=90°，∴.∠DBA=∠EAC,在△ABD和 ∠BDA=∠AEC, △CAE中，∠DBA=∠EAC,.△ABD≌△CAE AB=CA, (AAS),.'AE BD =5 cm,AD CE 12 cm, .DE=AD+AE=12十5=17(cm),∴.S梯形BDc= 2(BD+cE,DE=号×(5+12)X17-28( 2(cm2). 4.9解析：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E, 则∠DEC=∠B,四边形ABED是平行四边形， AD=BE.:∠B=72°，∴.∠DEC=72°.又∠C 36°，∴.∠CDE=180°-∠C-∠DEC=72°， ∠DEC=∠CDE,∴.CD=CE.,CE=BC-BE= BC-AD=15-6=9(cm),.CD=9cm. E 5.证明：，E、D、F分别是各边的中点，.ED∥AC, ED=AC=PC,EF/BC,BEF=号BC=DC四边 形EFCD是平行四边形.，AH⊥BC,F是AC的中 点，HF=号AC=CF,HF=DE.:DH∥EP, .四边形EDHF是等腰梯形.6.(1)如图，分割 如下： (2)如图，过点D作边BC的垂线，垂足为E,则四边形 ABED是矩形，.AD=BE,AB=DE.设AD=x,则 BE=AD=x,CE=8-x,在Rt△DEC中，：∠C= 学·八年级下册(SK版) 0· 45°，∴.∠EDC=45°，.DE=EC,即4=8-x,解得 x=4,即AD的长为4. 450 8E C 课后拓展 7.C解析：由题意可知，△ABD与△ADC同底等 高，.S△ABD=S△ACD,∴.S△AOB=S△c.:△ABC与 △BDC同底等高，∴S AABC=SADc.综上所述，面积相 等的三角形有3对.8.B解析：，直角梯形ABCD 沿AD方向平移得到梯形EFGH,∴.HG=CD= 24cm,.DW=DC-WC=24-6=18(cm), :S阴影都分十S梯形EDwF=S棉形DHGw十S梯形EDF,.S明影部分一 Se8=号(DW+HG)·wG=号×(18+24)× 8=168(cm2).9.29解析：如图，过点N作NE∥ AD交AB于点E,作NF∥BC交AB于点F,则 ∠NEF=∠A,∠NFE=∠B,N∠A+∠B=90°， ∴.∠NEF+∠NFE=90°，∴.∠ENF=90°.AB∥ CD,∴四边形ADNE、四边形BCNF为平行四边形， ∴.AE=DN,BF=NC,∴.AE+BF=DC=7.M、N 分别为AB、CD的中点，.DN=NC,AM=MB, .EM=MF=MN,.'.EF=2MN=22,.'.AB=AE+ BF+EF=7+22=29. D M 10.10或4√5解析：①如图1，则BD=√22十4= 2√5，D是斜边EF的中点，∴.EF=2BD=4√5； ②如图2，AC=√32+4=5，A是斜边EF的中点， ∴.EF=2AC=10.综上所述，原直角三角形纸片的斜 边长是10或4√5. C 图1 课时提优计划作业本·数 ·3 F A D E B 4 图2 11.如图，过点C作CD⊥AG交AG的延长线于点D, 延长AD到点F,使DF=BE,,AG∥BC,∠B=90°， ∠A=90°，.∠A=∠B=∠ADC=90°，四边形 ABCD是矩形.，AB=BC,四边形ABCD是正方形， BC=DC, .BC=CD,在△BCE和△DCF中，∠B=∠CDF=90°， BE=DF, ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.CE=CF,∠BCE= ∠DCF.,∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCD+∠DCF= ∠GCD+∠BCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE, (CE=CF, 在△GCE和△GCF中，∠GCE=∠GCF,∴.△GCE≌ CG=CG, △GCF(SAS),∴.GE=GF,设GE=GF=x,∴.AG= AD+DF-GF =16-x,AE=AB-BE=8, Rt△AEG中，AE2+AG2=GE2,即82+（16-x)2= x2,解得x=10,即GE=10. G D 12.设运动时间为ts,则AP=tcm,PD=(16一 t)cm,CQ=3tcm,BQ=(22-3t)cm.(1)如图1， ,∠B=90°，AP∥BQ,∴.当AP=BQ时，四边形 ABQP成为矩形，此时有(=2-30，解得1-}，即当 L-号s时，四边形ABQP成为矩形.(2)：PD》 QC,∴.当PQ=CD,PD≠QC时，四边形PQCD为等 腰梯形.如图2，过点P、D分别作PE⊥BC,DF⊥BC, 垂足分别为E、F,∴.四边形ABFD、四边形PEFD是 矩形，∴.BF=AD=16cm,EF=PD,:BC=22cm, .FC=BC-BF=22-16=6(cm).由等腰梯形的性 质知，QE=FC=6cm,∴.QC=EF+QE+FC= 学·八年级下册(SK版) 1· PD+12,即3t=(16-t)+12,解得t=7,即当t=7s 时，四边形PQCD是等腰梯形.(3)四边形PBQD不 能成为菱形.理由如下：如图3，PD∥BQ,.当 PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形.由 PD=BQ,得16-t=22-3t,解得t=3,当t=3时， PD=BQ=13cm,BP=√JAB2+APz=√/82+3= √73(cm)≠l3cm,∴.四边形PBQD不能成为菱形. 假设点Q的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD (16-t=22-t, 在ts时成为菱形，根据题意，得 解 16-t=√82+t, 1t=6, 得 故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形 v=2. PBQD在某一时刻成为菱形. 图1 图2 图3 综合与实践 1.(1)步骤①中折叠后小矩形不是菱形.理由如下：原 矩形长10cm,宽6cm,若沿原矩形短边中点连线折 叠，则小矩形的长为10cm,宽为6÷2=3(cm);若沿原 矩形长边中点连线折叠，则小矩形的宽为10÷2= 5(cm),长为6cm.综上可知，小矩形的长≠宽，故折叠 后的小矩形不是菱形.(2)若沿原矩形短边对边中点 连线折叠，直角三角形的两条直角边分别为小矩形的 长和宽，即10cm和3cm,则斜边长度为√102+32= √/I09(cm);若沿原矩形长边中点连线折叠，长为 6cm,宽为5cm,则斜边长度为√62+5z=√61(cm). (3)拼接如图1和图2所示. 3 cm 10 cm 6 cm B 5cm C 图1（沿原矩形短边 图2（沿原矩形长边 中点连线折叠) 中点连线折叠) 课时提优计划作业本·数 ·3 证明：如图1，，沿原矩形短边中点连线折叠，∴.AB= BC=EF=ED=3cm,∴.AC=FD=6cm,,AB∥ DE,AC∥FD,.四边形ACDF是平行四边形.同 理，沿原矩形长边中点连线折叠后拼接的图形也是平 行四边形.2.(1)如图1，过点D作DE⊥AB于点 E,则DE为边AB上的高.在Rt△ADE中，∠BAD= 60°，AD=30cm,则AE=15cm,.DE= √AD2-AE2=15V3cm,.SCABCD=AB·DE=50X 15√3=750√3(cm).(2)完全收缩时，边AB和AD 的长度不变.理由：平行四边形伸缩过程中，边长不随 内角变化而改变，仅形状因不稳定性发生改变.如图 2,过点D作DE'⊥AB于点E',在Rt△ADE'中， ∠BAD=30,DE'-号AD=号×30=15(em),此 时S'ABCD=AB·DE'=50X15=750(cm2).(3)完 全展开时，每个平行四边形沿AB方向的长度为AB= 50cm,则8个平行四边形首尾相连，完全展开时的总 长度为8×50=400cm=4m. A30° 69 图1 图2 复习课 知识梳理 1.(1)平行(2)相等相等平分(3)①相等 ②平行相等③平分2.(1)①直角②直角相 等③直角相等(2)①相等②相等垂直 ③相等垂直(3)①相等直角③相等直角 3.第三边一半4.(1)平行不平行较短较长 腰(2)①两腰②有一个角是直角(3)平行四边形 三角形 题组提优训练 考点一：1.D解析：，四边形ABCD是平行四边形， .'.AD//BC,AD=BC,.BE=DF,.AD-DF= BC一BE,即AF=CE,,四边形AECF是平行四边 形，故A选项不符合题意；四边形ABCD是平行四 边形，.ADBC,.AECF,.四边形AECF是平行 学·八年级下册(SK版) 四边形，故B选项不符合题意；，四边形ABCD是平 行四边形，AD∥BC,,AF=EC,.四边形AECF 是平行四边形，故C选项不符合题意；，四边形ABCD 是平行四边形，.AD∥BC,由AE=EC不能判定四边 形AECF是平行四边形，故D选项符合题意.2.C 解析：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, AD=BC.,□ABCD的周长为30cm,△ABC的周长 27 cm,.AB+BC =15 cm,AB+BC+AC= 27cm,.AC=12cm.3.20°解析：，四边形 ABCD是平行四边形，.AD=BC,CD∥AB,AD∥ BC..'AD=AE=BE,.'.BC=AE=BE,../EBA= ∠BAC,∠BCE=∠BEC.,∠BCE=∠BEC= ∠EBA+∠BAC=2∠BAC,∴.∠DAC=∠BCE= 2∠BAC.又AB∥CD,.∠BAD+∠D=180°，即 ∠BAC+∠DAC+∠D=180°，.∴.∠BAC+2∠BAC+ 120°=180°，.∠BAC=20°.4.(1)证明：E、F、G、 H分别是□ABCD各边的中点，∴.AH∥CF,AH= CF,.四边形AFCH是平行四边形，.AM∥CN,同 理可得，四边形AECG是平行四边形，∴.AN∥CM, ∴.四边形AMCN是平行四边形.（2)如图，连接 AC.,H、G分别是AD、CD的中点，.点N是 2 △ACD的重心，∴.CN=2HN,.S△Acw= 3S△AH, 1 又：CH是△ACD的中线，S△AeN=3S△AD 又，AC是☐AMCN和□ABCD的对角线，∴.SAMCN= 2 1 2 SAACN=3 SAACD=3 SOANCD,:口AMCN的面积为 4,.☐ABCD的面积为12. 考点二：5.A解析：，四边形ABCD是平行四边 形，.当AB=BC时，它是菱形，故①正确；当AC⊥ BD时，它是菱形，故②正确；当∠ABC=90°时，它是 矩形，故③正确；当AC=BD时，它是矩形，故④错误 6.55°解析：.四边形ABCD是矩形，，.AO=BO, ∴.∠OAB=∠ABO.AB=AE,∴.∠ABO=∠AEO, ∴.∠ABO=∠AE0=∠BAO..∠EAO=15°， ∴.∠ABO+∠AEO+∠BAO+∠EAO=3∠AEO+ 15°=180°，.∠AE0=55°.7.5解析：设菱形的另 课时提优计划作业本·数 ·3 条对角线长为x,根据题意，得2xX6=24,x= 8,即菱形的另一条对角线长为8，菱形的对角线互 相垂直平分菱形的边长=√(）+(】 =5. 8.35°解析：四边形ABCD是菱形，∠BCD= ∠BAD=140,AC平分∠BCD,.∠ACB=2∠BCD= 70°.CE=AC,∴∠E=∠CAE..∠E+∠CAE= ∠ACB=2∠E∴∠E=2∠ACB=35、9.2解 析：如图，在CF上截取CG=BF,连接BG,AF= √2，BF=1,.CG=1.:四边形ABCD是正方形， CF⊥BE,.BC=AB,∠ABC=∠BFC=90°， .∠BCG=∠ABF=90°-∠CBF.在△BCG和 BC=AB, △ABF中，∠BCG=∠ABF,∴.△BCG≌△ABF CG=BF, (SAS),.BG=AF=√2，∴.FG=√BG-BF2= √（√2）2-12=1，∴.CF=CG+FG=1+1=2. B 10.(1)证明：∠BAC=90°，且D是边BC的中点， ∴AD=BD=CD=专BC.:AE=BD,AE=DC. 又：AE∥BC,即AE∥DC,∴.四边形ADCE是平行四 边形.又AD=DC,.四边形ADCE是菱形. (2):四边形ADCE是菱形，∴.S△ADc=S△AEc.D是 边BC的中点，∴.S△ADc=S△ABD,.S菱形AcE=S△ABC= AC·AB=号×6×8=24.山.(1)证明： 1 ,∠ABD=∠CDB,.AB∥CD,.∠BAE=∠DCF, :BE⊥AC,DF⊥AC,.∠AEB=∠CFD=90°.在 ∠BAE=∠DCF, △ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD,∴.△ABE≌ BE=DF, △CDF(AAS),∴.AB=CD,.四边形ABCD是平行 四边形.(2)当∠ABE=30°时，四边形ABCD是矩 学·八年级下册(SK版) 3· 形，理由如下：：AB=BO,BE⊥AO,.∠ABO= 2∠ABE=60°，.△ABO是等边三角形，，.AO=BO, 四边形ABCD是平行四边形，∴.AC=2AO,BD= 2BO,∴.AC=BD,.四边形ABCD是矩形 考点三：12.A解析：E、F、G、H分别是AD、 BD、BC、CA的中点，.EF∥AB,EH∥DC.又：四边 形EFGH是矩形，.∠FEH=90°，即EF⊥EH, AB⊥EH,.ABLDC..1B.号解析：如图，连接 AC.四边形ABCD是矩形，BD=5,∴AC=BD= 5.E、F分别是边AB、BC的中点，.EF是△ABC 的中位线，∴EF=AC=2×5=号 1 (第13题) (第14题) 14.135°解析：如图，连接BD.E、F分别是边AB、 AD的中点，∴.EF是△ABD的中位线，∴.EF∥BD, BD=2EF=2X2=4,.∠ADB=∠AFE=45°. BC=5,CD=3,.BD2+CD2=25,BC2=25, .BD2十CD2=BC,.△BDC为直角三角形且 ∠BDC=90°，∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+ 90°=135° 考点四：15.8解析：如图，过点P作PN⊥BC于点 N,过点D作DM⊥BC于点M,AD∥BC,∠B= 90°，DM⊥BC,PN⊥BC,.四边形ABMD、四边形 ABNP都是矩形，∴.AD=BM,AP=BN,.MC= BC-BM=BC-AD=3 cm,QN=BN-BQ=AP- BQ=t-(21-2t)=(3t-21)cm.若梯形PQCD为等 腰梯形，则QN=MC,即3t-21=3,解得t=8,即当t 的值为8时，梯形PQCD是等腰梯形， D BO←-NM 16.如图，过点A作AE⊥BC于点E,则四边形 AECD是矩形，.CE=AD=2,AE=CD=4,.在 Rt△ABE中，BE=√AB2-AE=V52-4=3, 课时提优计划作业本·数 ·3 1 1 BC=5,SwmAneD =(AD+BC).DC=x (2+5)×4=14. D E 直击中考前沿 1.D2.C解析：四边形ABCD是平行四边形，O 是对角线AC的中点，∴.AB=CD,AD=BC,OA= OC.E是边AD的中点，.OE是△ACD的中位线， :0E=CD=合AB,放C选项符合题意.3.C 解析：对角线AC与BD互相垂直平分，.四边形 ABCD为菱形，，AB=3,∴.四边形ABCD的周长为 3×4=12.4.B解析：如图，连接EG、HF交于点 O,E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点， EH/BD,EH=2BD,FG/BD,FG=合BD,EF∥ AC,EF-AC,GH/AC,GH-AC.BD-AC, EH=FG=EF=GH,∴.四边形EFGH是菱形， ÷EG⊥HF,OH=2HF=3,OG=号EG, 1 ∠HOG=90°.：四边形EFGH面积为24，HF=6, ∴24=2×6×BG,EG=8,0G=号EG=4,在 1 Rt△HOG中，GH=√OH+OG=√32+4=5. C 5.2(或3或4或5或6)解析：如图，平行四边形 的一组邻边长分别为3、4，.它的一条对角线长n的 取值范围是4-3<n<4十3，即1<n<7.,n为整数， n=2或3或4或5或6. 6.1解析：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD, OB=OD=1,CD∥AB,.∠ODF=∠OBE,∠OFD= ∠OEB,,.△DOF≌△BOE(AAS),.△DOF的面 学·八年级下册(SK版) 4。 积=△BOE的面积，∴.△AOE与△DOF的面积之 和=△B0A的面积=号×2X1=1.7.号 3 解析： 如图，过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足分别为 M、N,连接AM,则∠FMC=90°，四边形BMFN是矩 形，FN=BM.:SAm=2AB·FN,Sm 号AB·BM,Sm=SAe,:CFLBE,.AB=1= BC,∠EBC=30,∠BFC=90,CF-2BC- ∴.∠BCF=60°，.∠CFM=90°-∠BCF=30°， .CM-CF-BM-BC-CMSoM- 1 D NH. B 8.5解析：如图，连接BD、BF,AB=8,AD=6, ∴BD=√AB2+AD=10.G为BE的中点，H为 EF的中点，∴.BF=2GH,∴.当BF有最大值时，GH 有最大值.，F是CD上的点，∴当点F与点D重合 时，BF的最大值为10，∴.GH的最大值为5. D 9.证明：，EF是AC的垂直平分线，.EA=EC,FA= FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°.，四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF, ∠AOE=∠COF=90°， 在△OAE和△OCF中，OA=OC, ∠OAE=∠OCF, ∴.△OAE≌△OCF(ASA),∴.EA=FC,∴.EA=EC= FA=FC,.四边形AFCE是菱形.10.(1)证明： O是AC的中点，.OA=OC,OB=OD,.四边形 ABCD是平行四边形，：∠ABC=90°，□ABCD是 矩形.(2)根据题意，得l2一l1=BC-AB=b-a= b-a=2, 2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,. b+a=14, 课时提优计划作业本·数 ·3 /a6, .AB=6,BC=8,..AC=AB2+BC= b=8, 10.11.(1)BE是线段AA′的垂直平分线， .A'E=AE=1,BA'=BA,.BE=BE,.△ABE≌ △A'BE(SSS),∴∠BAE=∠BA'E=90°.，四边形 ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，，△A'DE是等腰直 角三角形，A'D=A'E=1,.DE=√2，.AD= AE+DE=√2+1，∴.AB=AD=√2+1.(2)①证 明：由题意可知，BA=BA'=BC,∴.∠BAA'=∠BA'A, ∠BCA'=∠BA'C,.∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B= 2180-∠ABA0+7(180-∠CBA0=180 45°=135°，.∠CA'F=180°-∠AA'C=45. ②△A'DG是等腰直角三角形，理由如下：如图，过点 C作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N,,CN⊥ BG,CG=CB,.M为BG的中点.AA'⊥BE, .CN∥AF,.MN是△ABG的中位线，.BN= 2AB.'∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE= ∠CBN=90°，AB=BC,.△ABE≌△BCN(ASA), ∴AE=BN-AB=号AD,即E为AD的中点， AG=GA',∴.EG∥A'D,∴.∠DA'G=∠EGA=90°，同 理可证△ADA'≌△BAG(ASA),∴.A'D=AG=A'G, ∴.△A'DG是等腰直角三角形. 第9章因式分解 9.1因式分解的概念 课堂演练 1.D2.B3.C解析：(3a-y)(3a+y)=9a2- y2.4.①5.2x2+5x-3解析：(x+3)(2x- 1)=2x2十5x-3.6.2x(答案不唯一)解析：x2十 2x+1=(x+1)2.7.①②③④8.-202解 析：根据题意，得x2一8x+m=(x-10)(x+n)= x2+(n-10)x-10n,.n-10=-8,-10n=m,解得 m=一20，n=2.9.(1)从左到右的变形属于整式乘 法，不是因式分解；(2)从左到右的变形符合因式分解 学·八年级下册(SK版)