练习3 根据平行四边形已知点的坐标确定其他点的坐标&练习4 平行四边形中的等积转化-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

八年级下册 《 练习3根据平行四边形已知点的坐标确定其他点的坐标 【方法提示】已知A、B、C三点坐标，在坐标系内确定点D,使得以A、B、C、D四个点为顶点的 四边形是平行四边形 (1)以AB、AC为边 (2)以CA、CB为边 (3)以BA、BC为边 0 xD-xB=xC一XA xD一xA=xB-xC xD一CA=CC-xB yD-yB=yc一yA yD一yA=yB一yC yD一yA=yc一yB 1.在平面直角坐标系中，已知A(一4,2)，B(2,5),在x轴、y轴上分别有两动点C、D,若以点 A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 2.在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，要使以A、B、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，则顶点C的坐标是 3.如图，一次函数y=一x十4的图像与y轴交于点A,与x轴交于点B,过AB的中点D的 直线CD交x轴于点C(-2,0). (1)求A、B两点的坐标及直线CD的函数表达式. (2)若平面直角坐标系内存在一点F,使得以点B、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形 请直接写出满足条件的点F的坐标. y 《3 提分练习 练习4平行四边形中的等积转化 【方法提示】平行线间的距离处处相等，同底等高的两个三角形面积相等，因此可以利用平行线 实现等积变形 1.先观察图1，直线l1∥l2,点A、B在直线l2上，点C1、C2、C3、C4在直线11上 (1)△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4这4个三角形的面积有怎样的关系？请说明 理由。 (2)若把图2中的四边形ABCD改成一个△ABE,并保持面积不变，可怎么改？请画图 说明. (3)若把四边形ABCD改成一个以AB为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不 变，可怎么改？请在图3中画图说明. C C. C 图1 图2 图3 2.【阅读理解】如图1，已知直线a∥b,直线a、b的距离为h,则△ABC的面积为S△ABc= 2AB·九. 【问题探究】(1)如图2，若点C平移到点D,求证：S△A0c=S△BOD: 【深化拓展】(2)如图3，记S△A0c=S1,S△B0D=S2,S△coD=S3,S△BOA=S4,根据图形特征， 求证：S1S2=S3S4 【灵活运用】(3)如图4，在口ABCD中，E是线段AD上的一点，BE与AC相交于点O,已 知S△ABE=10,且EO:EB=2:5,求四边形CDEO的面积 二实 图1 图2 图3 图4 4》》提分练习 (E)B M 图1 图2 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD,∠AFE=∠G,∠A=∠ADG..E是 边AD的中点，AE=ED,.△AEF≌△DEG (AAS),.EF=EG,.E是FG的中点.(2)证明： 如图，延长FE交CD的延长线于点G,连接CE 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD, CF⊥AB,∴.∠CFB=∠FCG=90°.由(1)知，E 是FG的中点，∴.CE=EG,∴.∠G=∠ECG, ∴.∠FEC=∠G+∠ECG=2∠G..AD=2AB, ED=2AD=AB=CD,∠DEC=∠ECD, .∠DEF=∠FEC+∠DEC=3∠G..∠AFE= ∠G,.∠DEF=3∠AFE. D (3),CF⊥AB,AD=2AB=4,∠B=60°， ÷∠FCB=90°-60=30，FB=2BC=AB, 此时点F与点A重合.当点K分别与C、D两点 重合时，EK逆时针旋转90°分别得到EM',EM", .△ECD≌△EM'M",∴.M的运动轨迹为射线 M'M”.如图，过点A作M'M"的垂线交M'M"的延长 线于点M,延长AD交M'M”的延长线于点I,此时 FM的值最小，即为AM的长.，四边形ABCD是 平行四边形，∠B=60°，AD=2AB=4,.∠EDC= ∠B=0,ED=)AD=AB=CD=2∴△EDC为等 边三角形，则△EMM'也是等边三角形，.∠EM"M= 60°，ED=CD=EM'=EM"=2,∴.∠I=30°， .M"I=2EM"=4,∴.EI=√M"T2-ME= √4-22=2√3，.AI=AE+EI=2+2√5， 26》 AM=A-2+25-1+3. 2 M 60 A(F)人60° D(K B460 C(K) 练习3已知平行四边形已知点的坐标 确定其他点的坐标 1.(一6,0)，(6,0)或（一2,0）解析：如图，过点 A作AM∥x轴，过点B作BM⊥AM轴于点M. .A(-4,2),B(2,5),AM=2-(-4)=6.点 C、D分别在x轴、y轴上，.当AB∥C1D1时，则 OC1=AM,此时点C1的坐标为（一6,0）；当AB∥ C2D2时，则OC2=AM,此时点C2的坐标为(6,0)； 当AB为对角线时，设点C,的坐标为(c,0),则？= 22,解得c=2,此时点C的坐标为（一2,0 综上所述，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平 行四边形，则点C的坐标为（一6,0），(6,0)或（一2， 0). D -2M C> C1 C3 D 2.(3,一3)或(-3,3)或(7,3)解析：①若AB 为边，点A、B的坐标分别是(0,0)，(5,0)， AB=5,四边形ABCD为平行四边形，AB∥ CD,且AB=CD=5,D(2,3),.可设点C的坐标 为(x,3),∴.CD=|x一2|=5，解得x=7或x=一3， ∴.点C的坐标为(7,3)或(-3,3)；②若AB为对角 线，设点C(a,b),∴.0+5=a+2,0十0=3十b,∴.a= 3,b=一3，点C的坐标为(3，-3).综上所述，点C 的坐标为(3，-3)或(-3,3)或(7,3). 3.(1)在一次函数y=一x十4中，令x=0,则 y=4;令y=0,则x=4,.A(0,4),B(4,0).D是 AB的中点，.D(2,2).设直线CD的函数表达式为 1 2=2k十b, k= y=x+b,则 解得 2’.直线CD 0=-2k+b, 6=1, 1 的函数表达式为y=2x+1,(2)①若四边形 BCDF是平行四边形，则DF∥CB,DF=CB,而点 C向右平移6个单位长度得到点B,∴.点D向右平 移6个单位长度得到点F(8,2);②若四边形BCFD 是平行四边形，则DF∥CB,DF=CB,而点B向左 平移6个单位长度得到点C,点D向左平移6个 单位长度得到点F(一4,2)；③若四边形BDCF是平 行四边形，则BFDC,BF=DC,而点D向左平移4 个单位长度、向下平移2个单位长度得到点C,.点 B向左平移4个单位长度、向下平移2个单位长度得 到点F(0,一2).综上所述，点F的坐标为(8,2)或 (一4,2)或(0，一2). 练习4平行四边形中的等积转化 1.(1)△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4这 4个三角形的面积相等.理由如下：，直线11∥12， .△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC4的底边AB 上的高相等，∴.△ABC1、△ABC2、△ABC3、△ABC 这4个三角形同底等高，∴.△ABC1、△ABC2、 △ABC3、△ABC4这4个三角形的面积相等. (2)如图1，①连接AC;②过点D作AC的平行线， 与BC的延长线交于点E;③连接AE,则△ABE就 是适合条件的一个三角形.理由如下：DE∥AC, ∴.△DAC和△EAC的面积相等（同底等高），.四边 形ABCD与△ABE的面积相等.(3)如图2，第一 步，把四边形ABCD等积变成以AB为一条边的 △ABE:①连接BD;②过点C作CE∥BD交AD的 延长线于点E;③连接BE.,△BDC与△BDE的 面积相等，.△ABE与四边形ABCD的面积相等. 第二步，把△ABE等积变成以AB为底边的 八年级下册《 □ABFG:④作出△ABE的高EH;⑤作EH的垂直 平分线MN,交AE于点G,交EH于点O;⑥过点B 作BF∥AD,交MN于点F.由作法知，四边形 1 ABFG是平行四边形.：S△ABE=2AB·EH, =AB·OH,且OH=EH,.▣ABF △ABE的面积相等，也就与四边形ABCD的面积 相等。 图1 图2 补充方法：如图3，梯形ABED与四边形ABCD等 积.(CE∥BD,DE∥AB). 图3 1 2.(1)证明：SAAc=2AB·h,S△AD= AB h:SAABC SAABD SAABC-SAMOB S△ABD-S△AOB,即S△AOC=S△BOD· (2)证明：如图 1,分别过点C、B作AD的垂线段，长度分别为h1、 1 1 2.S12AOS,2A0·h2 AO S1 OD·h, OD'S2 20D·h2 OD' S-SS5,=SS,(3)如图2，连接C .EO:EB=2:5,..EO:OB=2:3,SAARO S△ABO=2:3.:SAABE=S△AE0十S△AB0=10, .S△AB0=4,S△AB0=6.由(1)可知，S△E0C=S△AB0= 6.由(2)可知，S△AB0·S△E0c=S△AB0·S△BOc,即 6X6=4S△B0c,.S△B0c=9,.S△ABc=S△AB0+ S△B0c=6十9=15，.S四边形cD0=S△AcD-S△AB0= 《27 》提分练习 SAABC-SAAEO=15-4=11. 图1 图2 练习5矩形中的折叠 1.D解析：如图，连接BF交AE于点G.由题 意可知，AE垂直平分BF,即AE⊥BF,BG=FG AB=4,BC=6,E为BC的中点，∴BE=CE= BC=3,∴在Rt△ABE中，AE=√AB+BE= y V个+3F=5.:AELBF,SAE=2AB·BE= 2AE·BG,即号×4X3=号×5×BG,解得BG 2.4,.BF=2BG=4.8.AE垂直平分BF, BE=FE,.BE=CE=FE,∴∠EBF=∠EFB, ∠EFC=∠ECF,∴.∠BFC=∠EFB+∠EFC= 80=90,在Rt△BFC √BC2-BF2=√62-4.82=3.6. B 2.8解析：如图，作点D关于BC的对称点 D',连接PD',ED'.在Rt△EDD'中，DE=6, DD'=8,.ED'=√62+82=10.DP=PD', PD十PF=PD'十PF.EF=EA=2是定值， 当E、F、P、D'四点共线时，PF十PD的值最小， 最小值=10-2=8，.PF+PD的最小值为8. D 28》 3.(1)30解析：如图，连接AM.对折矩形纸 片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,.EF 是AB的垂直平分线，∴.AM=BM,∠MEB=90°. ,以BP为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕 EF上的点M处，AB=BM,.AM=BM=AB, ∴.△ABM是等边三角形，∴.∠ABM=60°， .∠EMB=90°-∠ABM=90°-60°=30°.(2)证 明：，折叠矩形纸片ABCD,点M落在边BC上， .ST垂直平分AM,∴.AO=MO,AM⊥ST.又 .'AD∥BC,∴.∠SAO=∠TMO,∠ASO=∠MTO, ∴.△ASO≌△MTO(AAS),∴.SO=TO,∴.四边形 ATMS是平行四边形.又，AM⊥ST,∴.四边形 ATMS是菱形.(3)，折叠纸片，点M落在边BC 上，∴.AT=MT.在Rt△MTB中，MT>BT,.AT> 10-AT,.AT>5.又点T在边AB上，.当点T 与点B重合时，AT有最大值为10，∴.线段AT的取 值范围为5<AT≤10. 练习6有一个角是60的菱形 1.√3解析：如图，连接DB.在菱形ABCD中， ∠A=60°，AB=2,∴.DA=AB,∠ADC=∠ABC= 120°，边AB上的高为√3，∴.△ADB是等边三角形， .AD=DB,∠ADB=∠ABD=60°，∴.∠DBC=60°. ,'∠EDF=6O°，∴.∠ADB-∠EDB=∠EDF-∠EDB, 即∠ADE=∠BDF.在△ADE与△BDF中， ∠DAB=∠DBF=60°， AD=DB, ∴.△ADE≌△BDF(ASA), ∠ADE=∠BDF, 同理可得，△EDB≌△FDC(ASA),∴.图中阴影部 分的面积=S△ADE十SADPC=S△ADE十S△EDB= 25w号×2X5=3.