练习1 平行四边形中两邻角平分线&练习2 已知平行四边形中一边中点的常用辅助线构造-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

八年级下册《 参考答案与详解 练习1平行四边形中两邻角平分线 练习2已知平行四边形中一边中点的 常用辅助线构造 1.证明：(1)，四边形ABCD为平行四边形， .AB∥DC,.∠ABC+∠DCB=180°.：BE、CF 1.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 分别平分∠ABC与∠DCB,∠EBC=号∠ABC, .AB∥CD,∴.∠AEG=∠DFG,∠EAG=∠FDG. G是边AD的中点，.AG=DG,.△AGE≌ ∠FCB=号∠DCB,:∠EBC+∠FCB= △DGF(AAS).(2)证明：如图1，连接DE.同理 2(∠ABC+∠DCB)=号×180=90，∠BGC= (1)可证△AGE≌△DGF,.GE=GF.又.G是边 AD的中点，即AG=DG,∴.四边形AFDE是平行四 180°-（∠EBC+∠FCB)=180°-90°=90°， 边形.又AF⊥CD,∴四边形AFDE是矩形， ∴.BE⊥CF.(2)四边形ABCD为平行四边形， .EF=AD.(3)同理(1)可证△AGE≌△DGF, ∴AD∥BC,AB=DC,∠AEB=∠EBC.:BE平 GE=GF,.EF=2GE,∴.当GE取得最大值时， 分∠ABC,·∠ABE=∠EBC,·∠ABE= EF取得最大值，∴.当点E与点B重合时，HE取得 ∠AEB,AE=AB.同理可得，DF=DC,∴.AE= 最大值，此时EF也取得最大值.如图2，过点A作 DF,∴.AE-EF=DF-EF,即AF=DE. AM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC交BC的延长 2.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 线于点N.,:AB=2,∠ABM=60°，AM⊥BC, .AB∥CD,AD=BC,.∠ABC+∠BCD=180° ,BF、CG分别平分∠ABC与∠BCD,.∠PBC= .BAM-30',BMABX21 Z∠AnC,∠PCB=专∠CD,∴∠PBC+∠PCB= .AM=√AB2-BM2=√22-1=√5.AC= Z(ZABG+∠CD)=号X1s0=90,i∠BPC= 23,.CM=√AC2-AM=√(23)2-(3)2= 3.同理(1)可证△AGE≌△DGF,即△AGB≌ ∠BPE+∠CPE=180°-（∠PBC+∠PCB)= △DGF,.AB=DF=2.,四边形ABCD是平行四 180°-90°=90°..PE=BE,.∠PBC=∠BPE, 边形，.CD=AB=2,AB∥CD,∴.CF=CD+DF= ∠CPE=∠PCB,.PE=CE,.BE=CE,即E 2+2=4,∠FCN=∠ABM=60°..∠FNC=90°， 是边BC的中点.(2)2解析：AB∥CD, ∴∠PBC=∠AFB.IBF平分∠ABC,∴∠ABF= ∴∠CFN=30,iCN=CF=号X4=2FN ∠PBC,∴∠ABF=∠AFB,AB=AF.又AB= √CF2-CN=√42-22=23.BN=BM+ 4,.AF=4.同理可得，DG=DC=AB=4.PE= CM+CN=1+3+2=6,∴.BF=√BN2+FN= 3,..BE=CE=PE=3,..AD=BC=BE+CE=6, ..DF=AD-AF=6-4=2,..GF=GD-DF= √62十(2√3)2=4√3，即EF=4√3，.EF的最大值 4-2=2. 是4√3. 《25 提分练习 AM AL_2+23=1十3. 2 2 M 60 (E)B M 图1 图2 A(F)人60 2.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， BA60° C(K) .ABCD,∴.∠AFE=∠G,∠A=∠ADG.E是 边AD的中点，∴.AE=ED,∴.△AEF≌△DEG 练习3已知平行四边形已知点的坐标 (AAS),∴.EF=EG,.E是FG的中点.(2)证明： 确定其他点的坐标 如图，延长FE交CD的延长线于点G,连接CE 1.(一6,0)，(6,0)或（一2,0）解析：如图，过点 四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD. A作AM∥x轴，过点B作BM⊥AM轴于点M. ,CF⊥AB,∴.∠CFB=∠FCG=90°.由(1)知，E A(-4,2),B(2,5),.AM=2-(-4)=6.,点 是FG的中点，∴CE=EG,·∠G=∠ECG, C、D分别在x轴、y轴上，.当AB∥C1D1时，则 .∠FEC=∠G+∠ECG=2∠G.·AD=2AB, OC1=AM,此时点C1的坐标为(-6,0)；当AB∥ ∴ED=AD=AB=CD,i∠DEC=∠ECD, C2D2时，则OC2=AM,此时点C2的坐标为(6,0)； ∴.∠DEF=∠FEC+∠DEC=3∠G.,∠AFE= 当AB为对角线时，设点C的坐标为(，0)，则气= ∠G,∴∠DEF=3∠AFE. -4+2 ,解得c=一2，此时点Cg的坐标为（一2,0）. 2 综上所述，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平 行四边形，则点C的坐标为（一6,0），(6,0)或(-2， 0) (3):CF⊥AB,AD=2AB=4,∠B=60°， y 5∠FCB=90-60=30,FB=2BC=AB, D ∴.此时点F与点A重合.当点K分别与C、D两点 D A- 重合时，EK逆时针旋转90°分别得到EM',EM", C .△ECD≌△EM'M”,∴.M的运动轨迹为射线 D M'M”.如图，过点A作M'M"的垂线交M'M"的延长 线于点M,延长AD交M'M'的延长线于点I,此时 2.(3,-3)或(-3,3)或(7,3)解析：①若AB FM的值最小，即为AM的长.，四边形ABCD是 为边，：点A、B的坐标分别是(0,0)，(5,0)， 平行四边形，∠B=60°，AD=2AB=4,∴.∠EDC= .AB=5,.四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥ ∠B=60,ED=号AD=AB=CD=2△EDC为等 CD,且AB=CD=5,D(2,3),.可设点C的坐标 为(x,3),.CD=|x-2|=5,解得x=7或x=-3, 边三角形，则△EM'M'也是等边三角形，∴.∠EM'M'= ∴.点C的坐标为(7,3)或(-3,3)；②若AB为对角 60°，ED=CD=EM=EM”=2,·∠I=30°， 线，设点C(a,b),.0+5=a+2,0+0=3+b,∴.a= ∴.M"I=2EM"=4,.EI=√MT2-ME2= 3,b=-3,∴.点C的坐标为(3，一3).综上所述，点C √4-2=2√3，AI=AE+EI=2+2W5,的坐标为(3，-3)或(-3,3)或(7,3) 26》八年级下册《 练习1平行四边形中两邻角平分线 【模型总结】 条件：如图，在□ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4. 结论：EF=2AB-BC. 1.如图，在口ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于点E、F,且相交于 点G (1)求证：BE⊥CF. (2)求证：AF=DE. 2.如图，在□ABCD中，E为边BC上的一点，∠ABC的平分线BF交AD于点F,∠BCD的 平分线CG交AD于点G,两条角平分线在平行四边形内部交于点P,连接PE,已知PE= BE. (1)求证：E是边BC的中点. (2)若AB=4,PE=3,则GF的长为 《1■ 提分练习 练习2已知平行四边形中一边中点的常用辅助线构造 【模型总结】 条件：如图，在□ABCD中，E为边AD的中点， 方法：连接BE并延长交CD的延长线于点F. 结论：△ABE≌△DFE. 1.在□ABCD中，∠B=60°，G是边AD的中点，过点G作直线EF分别交直线AB、CD于点 E、F (1)如图1，求证：△AGE≌△DGF (2)连接AF,若AF⊥CD于点F,求证：EF=AD (3)如图2，连接AC,已知AB=2,AC=2√3，若点E落在线段AB上，求EF的最大值. 图 图2 2.在□ABCD中，E是边AD的中点，F是边AB上一动点. (1)如图1，连接FE并延长交CD的延长线于点G,求证：E是FG的中点. (2)如图2，若CF⊥AB,AD=2AB,求证：∠DEF=3∠AFE. (3)如图3，若CF⊥AB,AD=2AB=4,∠B=60°时，K是射线CD上一个动点，将EK逆 时针旋转90°得到EM,连接FM,求FM的最小值， 图1 图2 图3 2》