第11章 二次根式-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

5 所列方程的解，且符合题意，：号x4×16=20.答， 甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 第11章二次根式 11.1二次根式的概念 第1课时二次根式的概念(1) 课堂演练 1.C解析：x2≥0，x2+2≥2，∴.√x十2一定是 二次根式，而√一x一2、√x和√x2一2中的被开方数 均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式.2.B 解析：当a=-6时，√3-a=√3-（-6)=√9=3. 3.D解析：根据题意，得x一1≥0，∴.x≥1，.实数x 的值可以是2.4.m≥1解析：根据题意，得 m-10, 解得m≥1.5.-1解析：.|x+3+ m+2≠0， √y-3=0,x十3=0，y-3=0,解得x=-3,y=3, (号)=(-1Dm=-1.62解折：由题意， 得1-4红≥0且4x-1≥0，解得x≤4且x≥， 4y=4,y+3=×4+3=1+3=4, 1 .√xy+3=√4=2.7.(1)由题意，得x-3≥0且 x-4≠0，.x≥3且x≠4.(2)x2≥0，x2+2≥ 2,∴，x的取值范围是任意实数.(3)由题意，得 -(x-1)2≥0，即(x-1)2≤0.又(x-1)2≥0， ∴.(x-1)2=0,.x=1.8.(1)原式=31.(2)原 式=2x.(3)原式令.（原式=3。(5）原式= (-3)2X(3)2=9×3=27.(6)原式=22×（√2）2- 25=4×2-25=-17. 课后拓展 9D解析：当x1时，x一1=0，此时没有意 义，故D选项符合题意.10.C解析：当a<0时， √a无意义，故A选项不符合题意；当a十2<0，即 a<-2时，√a十2无意义，故B选项不符合题意；a是 任意实数时，√a2+1都有意义，故C选项符合题意；当 3一a<0,即a>3时，√J3一a无意义，故D选项不符合 课时提优计划作业本·数 ·5 题意。1，B解折：由题意可知，二≥0，x-3< 0,∴.x<3.12.3解析：√12a=√2X3a= 2√3a,∴.当√12a是整数时，最小正整数a=3. 13.3解析：·√1-x≥0，.当√/1一x=0,即x= 1时，代数式3一√1-x取得最大值，最大值为3. 14.2026解析：|2025-a|+√a-2026=a有 意义，.a-2026≥0，即a≥2026，∴.a-2025+ /a-2026=a,∴.√/a-2026=2025,∴.a-2026= 20252,.a-20252=2026.15.1解析：x= √5-3，.√x+6x+5=√(x+1)(x+5)= √(W5-2)(√5+2)=1.16.2或4解析：由题意， 得x2-1≥0且1-x2≥0，.x2=1,x=士1，.y= 3,.x十y=-1+3=2或x十y=1+3=4.17.点 (x,0)到点（一2，一1）、点(3，一3)的距离之和√41 解析：：y=√(x+2)+1+√(x-3)2+9= √[x-(-2)]2+(0-1)+√(x-3)2+(0-3),.y 的几何意义是点(x,0)到点（一2，一1）、点(3，一3)的距 离之和.点(-2，一1)关于x轴对称的点为(-2,1)， ∴.y的最小值为√(3+2)+(-3-1)产=√4红. 18.由题意，得 2-420a2-4=0,a=士2， 4-a2≥0， 又a-2≠0，即a≠2，.a=-2,.b=-1, .√a-6b=√-2-6X(-1)=√4=2，∴.√a-6b 的平方根为士√2.19.(1)|a-√7|+(c- 4W2)2=√b-5+√5-b,.b-5≥0且5-b≥0， .b=5,∴.|a-√7|+(c-4√2)2=0，.a-√7=0，c- 4√2=0，∴.a=√7，c=4√2.(2)a=√7，b=5,c= 4√2，∴.a+b=√7+5>4√2，∴.以a、b、c为边能构成 三角形.，a2+b2=7+25=32,c2=(4√2)2=32， a+6=c,此三角形是直角三角形，面积为号× V7X5=5v7 21 第2课时二次根式的概念(2) 课堂演练 1.B2.D解析：√(-3)=|一3|=3，故A、C选项 错误；√3=3，故B选项错误；一√32=一3，故D选项 学·八年级下册(SK版) 4。 正确.3.B解析：由数轴可知，b<a<0,∴a十b<0, .√a+|a+b|=-a-a-b=-2a-b.4.0.32 7一元0.15.-2（答案不唯-）6。x≤1解 1 析：√(x-1)=1一x,.1一x≥0，解得x≤1. 7.2士2解析：（√元）2=2，x=2;√2=2， x|=2,x=士2.8.1解析：0≤x≤1， x-1≤0，.√x2+W(x-1)z=x+1-x=1. 9.(1)原式=元-3.14.(2)原式=√2-1.(3)原 式=√(x+2)产=x+2|=-x一2.(4)原式= √(x+1)+(x-3)z=|x+1|+|x-3|=x+1+ (-x+3)=4.10.由数轴可知，b<-1<0<a<1, .a-b>0,b-1<0,a-1<0,.原式=|a|+|b|+ |a-b1+|b-1|-|a-1|=a-b+a-b+1-b+a 1=3a-3b. 课后拓展 11.C解析：√a2=|a|,故A选项不符合题意； √(-a)=|-a|=|a|,故B选项不符合题意； √a=a2|=a2,故C选项符合题意；√a=|a3|,故 D选项不符合题意.12.C解析：√(2-a)十 √/(a-4)7=|2-a|+|a-4|=a-2+4-a=2, .2-a≤0且a-4≤0，解得2≤a≤4.13.(1)3解 析：-1<a<3,.a十1>0，a-2<0,.原式= |a+1|+|a-2|=a+1+2-a=3.(2)x≤2解 析：√x2-4x十4=√(x-2)2=|x-2=2-x, .2一x≥0，.x≤2.(3)x≤2026解析：由题意可 知，W(x-2026)2=2026-x,.2026-x≥0，.x≤ 22s14a>0解标：“得-（日）-日 行，小≥0，∴a>0,15.2032解析：当x<3时 y=-(x-3)-x十4=-x+3-x十4=-2x十7；当 x≥3时，y=x-3-x+4=1,∴.当x分别取1、2、 3、、2026时，所对应y值的总和是(5十3)十2024× 1=8+2024=2032.16.√2十√5解析：原式= √/(2+5)+2√2×5=W(√2)2+2X2×5+(5)2= (x-2≥0， √（√2+5）2=√2十√5.17.由题意，得 2-x≥0， 课时提优计划作业本·数 ·55 .x=2,.y<4,.原式=|y-4|-y-5|=-y+ 4-(-y+5)=-y+4+y-5=-1.18.a、b、c 是△ABC的三边长，∴.a十b十c>0,a-b-c<0,b- c-a<0,c-a-b<0,∴.原式=|a十b+c|+|a-b- cl+1b-c-al-lc-a-bl=a+b+c+(-a+6+ c)+(-b+c+a)-(-c+a+b)=4c.19.a= a-1=-君<0，原式=a二 1 a-1 √(a-1)21 11 a(a-1)a =a-1+ aa =a-1.当a=2时， 1 原式=一2 11.2二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 课堂演练 1 1.B解析：√27×√3-√27×3 ==3. 2D解折：V3配×√号-√62×号-45，故A选 3 项错误；√7×√3=√21，故B选项错误；W2X√3=√6， 1 1 故C选项错误：95×√27=9×√3×27 =9X 1 √9=9×3=3，故D选项正确。3.(1)2解析：原 1 式=√8X0.5=√4=2.(2)3解析：原式= 大=9=3（3)7解析：原式 √(25+24)(25-24)=√49=7.(4)20解析：原 式=4X5=20.4.3√22ab√/3b4b√2b5.x≥ 2解析：由题意，得 x+2≥0， x-2≥0， .x≥2.6.(1)原 式=2√/21.(2)原式=√64=8.(3)原式= √xy.(4)原式=√⑧=22.(5)原式=√36a= 1 6a.(6)原式=23×3 =2.(7)原式= -√6×15=-√9×10=-3√10.(8)原式= √/18×20×75=√9×4X10×25×3=√900×30= 30√30.(9)原式=√/32×√/4×√5=3×8×√5= 245. 学·八年级下册(SK版) 课后拓展 7.B解析：√50·√a=√50·a=5√2a,要使它为 整数，则正整数a的最小值为2.8.C解析： √3=a,√/30=b,.√90=√3×30=√3×√30= ab.9.C解析：由题意可知，b一a≥0且x≥0，即 a≤b,x≥0.10.35解析：√45=√9×√5=3√5. 1山.后解折：S=号×2×而=号2X西 1 V2×2X5=5(cm).12.(1)原式=√xy= b bb x.(2)原式=√5abX125a-√25=5· (3)原式= 1 x√10×10yX100:=10z6g.13.(1)√4+6 /24+1 6=/25 11c1(2)/21 6=5. 1 'n+2 =(n+ 1 1)n+2 （3)证明：左边= n2+2n+1 Vn+2 (n+1)3 Γ1 n+2 =（n+1)√n十2=右边得证. 第2课时二次根式的除法 课堂演练 1.C2.B解析：√6÷□=√5，∴.□=√6÷√3= √2.3.D4.(1)3解析：原式=√45÷5=√9= 3.(2)2 解析原式后÷西=品-得 =√36=6.5.1) 2 2(3)6解析：原式=√ 3 ,-.(222 解析√93 8√822 5 解析：√25=5=5 11 (3) /12111 解析：原式=√25=5· 6.-5<x≤2 2-x≥0， 解析：由题意，得 .-5<x≤2.7.√2 x十5>0， 解析：另一边长为4 =√2.8.(1)原式= √2 号-a×-- 1311 (2)原式= /℃2二一—之 .工=√=|x.(3)原式= b20a2 W5·b =√4a=2|al.(4)原式=3√3. 课时提优计划作业本·数 ·56 (5)原式=25a.(6)原式=4÷2×√6x2÷号 3 2√18x2=6√2x.(7)原式= 4 2 (8)原 8.1 8 式=√3÷45=√3 45=√120=2√30.(9)原 9b 式=/54ab÷ .a2 a=√54ab 96 =√6a3=a√6a. 课后拓展 9.D解析：AD=2√32÷√⑧=2√32÷8=2√4=4. 10.B解析：.ab>0,a十b<0,.a<0,b<0,.a、b 不能作藏开方数，故@储：√后·√日- √侣×名=1=1，故②正确，v历÷√后=瓜÷ a ab-J/ab 一b =一b,故③正确.11.1或2 √ab 解析：1：-+1.2-2红+2=2十 √ 2x√元x 代 数式中÷号的值是整数且x>0,心x=1成x=2 12.43解析：：点P(a,2)与点Q(-1,b)关于原点 a 对称，a=1,b=-2,·√2a-36÷√一36 -3b(2a-3b) /(-3)×(-2)X[2×1-3×(-2)J a A 4原.1B.(1)原式=4×(-号)×√5÷号 台图-×-@)原式-1x× 5Vg=-5× 1 1 = 14.由题意， 5-x20.3<≤5，原式=-61+ x-3>0, |x-2|=6-x+x-2=4.15.由题意，得 4a-b+1=0, a=-1, 行6-a-3=0, 解得 ÷ /6)=2食(-b)=2ha=2×(-0× √-(-1)=-6. 学·八年级下册(SK版) 第3课时分母有理化 课堂演练 1.C2.A解析：√6是最简二次根式，故A选项符 合题意：2=23，故B选项不符合题意：√3 3,故C选项不符合题意；√a=a,故D选项不符 合题意.3.B解析：被开方数不能为负数，故A选 项结误：后=行V加，放B选项正确：3后 a,故C选项错误，√层-，放D选项错误 :25.2解析：根据题意，得 3m一4≥0，解得m≥3.m为整数，∴当m=2时， √/3m一4=√2是最简二次根式.6.√10（答案不唯 一)解析：9<10<16，即32<10<4，.3<√/10< 4,∴.符合条件的最简二次根式可以是/10. .--2 7 .(2)N99 2 22√22 V99X11= 33 (3)a>0,b≥0，√a b·2a W2a·2a 2a.(4)1/31、 .v√2ab ,√3X2 92√2=2 √2X2 .8.(1)原式= 万×2=4 √2X√2 2 (2)原式=2×2=22V2 (3)a>0,b>0, √18X2 63 原式= 2·√2b2√2b√2b √2ab·√2b2ab ab (4)原 式=36元 =3√6z=6z. 2x' 9.(1)b=2 √6x·√6x6x 6m2a-8-黑-gom. 1686 =§=V72-6 课后拓展 10.B解析：mn>0,m十n<0,∴.m<0,n<0,.原 式=√mm÷-Vm-m=一m,11.B解析： m xy<0,xy2≥0，x>0,y<0,.√xy=-yNE. 12.2解析：当a=1时，√3a十5=√⑧=2√2，不是最 课时提优计划作业本·数 ·57 简二次根式；当a=2时，√3a+5=√1I,是最简二次 根式，.使√3a+5是最简二次根式的最小正整数a= 2.13.10压解析：5x=3×4-2×2×2- 1 13 ×4X1-名×3×2=5，AB=2+8=B.设 1 AB边上的商为A,则号AB·A=S,号× V13h=5,h=1013 /3x 8.14.（1)原式=√18r 1√6 √6x=6z (2原式-合0-名1a.（8)原 5 .(4)原式=5×65× 5 (-)=-9反.15.1)在△AC中，AB=4, BC=6,CA=8,∴.p= F2X(4+6+8)=9,“S目 √9×(9-4)×(9-6)×(9-8)=√/135=3√15. (2)设BC边上的高为A,则S=BC·h,h=瓷 2S = 2×3√/15 =√/15」 6 专题11二次根式的乘除 ,4、4 1.(1)原式=√18×3×3 -√32=42.(2)原 1、4 3 式=√15×30X3=3=3 (3)原式= 2 8. 23 8×2=3× 4 ×30×3行= 4 4反=3反.(0原式=2巨×(-)×35= 3 1 2√2×(-3)=-6√2.(5)原式=9× ×3 4s××5=号×10后=456，(6)原武 V/y2. 1 ·15x=x√3y.(7)原式=2× 5y 6×层8-12受-8vm,原 9 1..1 √3 3、 .1 a.(9)原式=2××3×Vab·ab·a= 学·八年级下册(SK版) 066.10)原式=-号a6存-号后- 1 子a2.2D原武=2XXX6x29 原式=×号×号-2 12√3 4×5_2√5 7 10。原式-经·品日-层= b 1 a ⊙原式-一号069b·=总/层6- 1 -号×至aV2d=-}av2a,(6)原式 6画(-4v品)÷3画-a6·,0 a 3Jab -a2b√ab.(7)原式=√2ab·a6÷√/2ab=ab, (8)原式=25(-yE)÷2=2(-). 3x 3· 2·y·x·=-3xy3 xy 11.3二次根式的加减 第1课时二次根式的加减运算 课堂演练 1.A解析：√/12=2√3，√48=43，故12与√18 是同类二次根式，故A选项正确；2√3与3√2被开方数 不同，不是同类二次根式，故B选项错误；√14与√21 被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误； √胥-号与号不是同类一衣根式放D法项错 误.2.A解析：√12一√3=2√3-√3=√3，故A选 项正确√2与3不是同类二次根式，无法合并，故B选 项错误；3与2√2不是同类二次根式，无法合并，故C 选项错误；4√3一3√3=√3，故D选项错误.3.0解 析：√18一3√2=3√2一3√2=0.4.(1)2√3解析： 原式=45-25-25.(2)5y2 2 解析：原式= 22+号-5.(3)9解折：原式=5-5 22 6 23 3 6 (4)2√55.9√2解析：√⑧+√18+√32= 课时提优计划作业本·数 ·58 2√2+3√2+4√2=9√2.6.一1解析：：最简二次 根式√/1-2x和√x十4是同类二次根式，.1一2x= x十4，解得x=-1.7.(1)原式=4√5-25+√5= 35.(2)原式=2√2-3√2+√2-1=-1.(3)原 式=3√2+23-2√2=√2+23.(4)原式= 3√元+4√-3√E=4√元.(5)原式=2√元+ 3√元-2√元=3元.(6)原式=2a√2a-2a2· y2a+3a2a=2aV2a-0)2+3a2a 4a 9a√2a 2 课后拓展 8.C解析：，√a+I+√12=√a+I+23=3√3， .a+1=33-23=3,.a+1=3,.a=2. 9.B解析：|m-√3|-√3+m=0,.m-√3|= √3-m,.m-√3≤0，.m≤√3.10.6解析： √18-√2=3√2-√2=a√2-√2=b√2，∴.a=3, b=2,∴.ab=3×2=6.11.43+3√2或6√2+2√3 解析：当2√3为腰长时，周长为23十2√3+3√2= 4√3+3√2；当3√2为腰长时，周长为3√2+3√2+ 23=62+23.12.(1)原式=26-2+2W6 23 9-西-539、(2原式=4-号×号 34 5+4×竖=45-4g2-8+2反-38+2 3 3· (3)原式-25-5_432 233 ×4v3=-53 2 4)原式=25-9×3+2=3=23-3V3+2 √3=2-2√3.13.a十b=-2,ab=1,.a、b互为 倒数，且a<0,b<0,原式=-6ya5_ava匝 b b2 a 6-4=-ba0=-b-a2=-（a+b)= -(a+b)2+2ab=-4+2=-2.14.(1)-2-3 √2解析：根据题意，得2一4=一2,2一(5十√2)= 一3-√2.(2)不是.理由如下：：(m+5)·(1 √5)=m-√5m+W5-5=(1-m)√5+m-5=-7+ 学·八年级下册(SK版) 3√5,1-m=3,m-5=-7,.m=-2,.m十√5+ 5-√5=-2+√5+5-√5=3≠2，.m+√5与5-√5 不是关于1的平衡数. 专题12二次根式的加减 1.(1)原式=6√10+25-3√2.(2)原式=2√2+ B-2+3_3233 2 22 2 (3)原式=45+2十 2 年-58-192 (4)原式=3√3-35 4 2 2√5+5√5=8√5-5√5.(5)原式=3√5+√2 2,5-22=5-巨.(6)原式=4w5+2y3 3 125-25=-85.(7)原式=123-22-3+ 3 2反-1。(8原式-(3后-+5)-(4,6 2)=3后-竖+，5-45十-竖(9)原式 25+3×2y-×85-号×4-25+28- 341 3585_523 2 3231 10)原武-(6×9台〉 3E)-(25-4×)=2-2反-29+2wg= 3 0.2.(1)原式=2√a-3a6+10√a-2a6= 12后-56，(2)原式-号×2丘-(15×号 2x)=3√x-3√x+2x=2x.(3)原式=10√a- 3√a+30√a-2√a=35√a.(4)原式=2ab√3a+ 空5a+abV6a=号65a:(5)原式 7 2ava-智a+g2a=aa.(6)原式= 2x√2x+x√2x-5x√2x=-2x√/2x.(7)原 式=ab-ab+bb-ab=(b-a)b.(8)原 式=√元十4√元-3√元=2√元.(9)原式=a· 2 J2a-2at.a+a Via-2a Ja-a 2a+ 2a 6ava=7aVa,10)原式=}a5a-a. 课时提优计划作业本·数 ·59 +a,0-告·aVa=av3a 3 3 a+a /3a-8a /3a--6a-)3a. a 第2课时二次根式的混合运算 课堂演练 1.C解析：√15×√3-√5=3√5-√5=2V5.2.B 解析：5与√2不是同类二次根式，不能合并，故A选项 不符合题意；W3×√2=√6，故B选项符合题意；55 45=√5，故C选项不符合题意；√15÷√5=√3，故D 选项不符合题意.3.A解析：(2-√3)(2十√3)= 4-3=1,故A选项符合题意；(2-√3)(2-√3)=7- 43,故B选项不符合题意；(2-√3)（一2十√3）= 一7十4√3，故C选项不符合题意；(2一√3)×√3= 2√3一3，故D选项不符合题意.4.(1)√6解析：原 式=√2X(23-√3)=√2×√3=√6.(2)4解析： 原式=（√/15）2-（√/11）2=15-11=4.(3)4-2W3 解析：原式=3-23+1=4一2√3.(4)33解析： 原太-周×5一日×6=45-5=38. 523+5解析：原式=√24义2+V50X%- √/12+√25=2√3+5.(6)3√2-2√3解析：原 式=6×万+雨 =6× √2-√3 (2+√3)X(2-3) 6×2-3-6×(5-2)=√8-2=32- -1 23.5.43解析：：x=3+1,y=3-1,.x十 y=23,x-y=2,x2-y2=(x+y)(x-y)= 23×2=4√5.6.(1)原式=23-1十3=2√3+2. (2)原式=25√2-10√5+10√5-102=15√2】 (8)原式=（石-2）×5=9压×后 5 4√2_② 312 121 (5)原式=√3-(3+√2)=3- √3-√2=-√2.(6)原式=6-32+2√2-2+1+ 2√2+2=7+√2. 学·八年级下册(SK版) 课后拓展 式=5-2√/15+3-(20-3)=8-2√/15-17=-9 7.D解析：xy=(√a-√6)（√a+√b)=(a)2 2 2v压。的原式=5-/层÷月-号-5+应 (b)2=a-b.8.A解析：原式=4√2× 2 十2= 2 2 =5士2，(7)原式=45-35+3=5+3 4十√2.，1<2<2，∴.5<4十√2<6.9.-3解 析：a-6√2=(b+c√2)2=b2+2c2+2bc√2， (8)原式=(3-2√6-√6)×2√3=（√3-3√6）× .2bc=-6,.bc=-3.10.√10-3解析：原 2√5=6-18√2. (9)原式=(12，后+5反-)× 式=[（√/10+3）（√10-3）]2s(√/10-3)=(10- √ 2=125+5- =235+5. （10)原式= 9)2026(√10-3)=√10-3.11.0解析：当x= 2 2 2 2-√10时，x2-4x-6=(x-2)2-10=(2-√10- 3/gx-6x写-V50x=2-2 2)2-10=(-√/10)2-10=10-10=0.12.原式= 103=2-12√3.2.(1)原式=43×3-(5 x-3÷x-3=x-3.x十3=1 (x+3x+3(z+3)·正-3x十3当x= 1)=12-4=8.(2)原式=2-2√2+1-(8-1)= -22-4.(3)原式=9-2-(1+22+2)=7-3 11√2 反-3时，原式=2-3+3后乞·13.（1)：x= 22=4-2反.(4)原式=(23-22-28+ 3 2-√3，y=2+√3，.xy=(2-√3)(2+√3)=4-3= 1,(x-y)2=(2-3-2-5)2=(-23)2=12, 22)×5=45×5=4,5)原式=3-46+8 3 .x2+y2-xy=(x-y)2+xy=12+1=13. √6+4=15-5√6.(6)原式=(9√2+√2-2√2)÷ (2)1<3<4,.1<3<2,.3<2+√5<4，.2+3 4√2=8√2÷4√2=2.(7)原式=6+√5-1-1+ 的整数部分是3，∴b=3.1<√3<2，-2<-√3< 45-12=-8+5√5.(8)原式=√10×18- -1,.0<2-√5<1，.2-√3的整数部分是0，小数部 层×18+晋=65-38+5=65-2. V 分是2-√3-0=2-√3，a=2-√3，∴.ax-by= (2-3)(2-W3)-3(2+3)=7-4√3-6-3√3= (9)原武=9-32-1-5+1+g-1=8-3反. 2 1-7√3.14.(1)-23解析：根据题意，得a十 (10)原式=[(3-√5)+√2][(3-5)-√2]= 2=0,一b+3=0,a=一2，b=3.(2)根据题意，得 (5-√5)2-（√2）2=3-2√15+5-2=6-2√15. a十b=4,2b-a=5,解得a=1,b=3,∴.a十8b=1十 综合与实践 24=25,.a+8b的算术平方根为5.(3)根据题意， b=一4，解得 1.(1)3(2)长度之和为√2+22+32+25+ a=士5， 得 a2+2b=17, 6=-4, a+b=1或a+ 2√/10+2√13=6√2+2W5+2√10+2√13. b=-9,a十b的立方根为1或-9 (3)对角线条数减少4条，长度之和减少了2√2十 32+2√13=5√2+2√13.2.(1)①如图1所示. 专题13二次根式的混合运算 ②如图2所示。 4 1.(1)原式=23-√3×15+25=25-25+ 25=23.(2)原式=√24÷2- 1 3×9+22- /2 23-√3+2√2=√3+2√2.(3)原式=5-2-(3- 43+4)=3-7+4√3=4√3-4.(4)原式=4 43+3-√3÷√3=7-4√3-1=6-4√3.(5)原 图1 图2 课时提优计划作业本·数学·八年级下册(SK版) ·60· 解析：图1中，长为2√2，宽为2，长：宽=2√2：2=√2： 1,符合奇异矩形的条件；图2中，长为4，宽为2√2， 长：宽=4：22=√2：1，符合奇异矩形的条件. (2)K=2"(n≥0)或K=n2(n≥1)解析：由(1)可知， 当基本奇异矩形为1个、2个、4个、8个…时，可以拼 成一般的奇异矩形，数据分别对应2°、2、22、2，…；当 基本奇异矩形为1个、4个、9个、16个…时，也可以拼 成一般的奇异矩形，数据分别对应12、22、32、42、….综 上所述，K=2"(n≥0)或K=n2(n≥1).(3)①4√3 解析：若用16个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长为 4√2，宽为4，此时满足奇异矩形的条件，则对角线长为 √(4√2)2+42=43.②86解析：若用128个基 本奇异矩形拼成奇异矩形，则长为16，宽为8√2，此时 满足奇异矩形的条件，则对角线长为W√(8√2)2+162= 8√6.③2048解析：根据规律可知，奇异矩形的长、 宽有2种情况：①长为2n,宽为√2n;②长为√2n,宽为 n.它们的对角线分别为√6n、√3n(n为整数).根据题 意可知，当n=32时符合题意，此时拼成的奇异矩形的 长为64，宽为32√2，则m=64×32=2048. 复习课 知识梳理 1.(1)②≥0(2)①开得尽方②分母③根号 (3)相同2.(1)≥≥(2)②a-a3.(1)√ab a西2侣√侣 题组提优训练 考点一：1.B解析：一定是二次根式的有√5、 √a2十1，共2个.2.x≥一1且x≠2解析：由题 意，得x+1≥0且x一2≠0，..x≥一1且x≠2.3.1 a2-1≥0， 或一1解析：由题意，得 1-a2≥0， a2=1,∴.a= 土1，.b=0.当a=1时，a+b=1+0=1;当a=-1 时，a+b=一1十0=一1.4.一2y解析：由数轴可 知，-1<y<0<1<x<2,.y-x<0,x+y>0,∴.原 式=y-x一x十y=一(y一x)一(x十y)=一y十 x-x-y=一2y. 考点二：5.B解析：？=2，故A选项不符合题 课时提优计划作业本·数 ·6 意；√21是最简二次根式，故B选项符合题意；√4=2， 故C选项不符合题意；√12=2√，故D选项不符合题 意.6.2√37.一4解析：√8=2√2，根据题意，得 x+6=2,解得x=-4.8.(1)5√2解析：原式= 22+32=52.(2)43 3 解析：原式=2√3一 2_45.(3)3解析：原式=√号×27==3. 1 3 3· 45解折：原式-西-V历=5.5)5-26 解析：原式=3-2√6+2=5-2√6.(6)2+√3解 析：原式=(2-√3)225×(2十√3)225X(2十√3)= [(2-√5)×(2+√5)]25×(2+√3)=1×(2+5)= 2十√3.9.√2解析：一个直角三角形两条直角边 的长分别为√2、√6，.斜边长为√(2)2十(6)2= 2√2，∴.这个直角三角形斜边上的中线长为√2. 104解：原式-√(m--m:m 是5的小数部分，∴.m=5-2,… 11 =√5十 m√5-2 2,即品>m,原式=-(m一品)=-m十品- -(5-2)+5+2=4.11.(1)原式=√3a+ 3√a-√3a=3√a.(2)原式=3-2√6+2+26- 2-5-2。(8)原式=/得×贸×写- 3√10 ,(4)原式=12-(2√3)2-(1+23+3)= 14 1-12-4-2√5=-15-25.12.原式= x-1+1.x2-1_x.x+1)x-1)-=x+1.当 x-1 xx-1· x x=√3-1时，原式=3-1+1=√3.13..a=5+ 2√6，b=5-26,.a+b=10,ab=1.(1)a2b+ab2= ab(a+b)=1×10=10.(2)(Va+√6)2=a+b+ 2√ab=10+2X√1=12.，√a≥0，√b≥0，∴.√a+ √6≥0，∴.√a+√石=√12=23.14.(1)2-1解析： 1 B一-反-1.(2)9解析：原式= 2+1(2+1)(2-1) 2-1 √5-√2 十 (√2+1)（√2-1）(3+√2)(3-√2) 学·八年级下册(SK版) 1。 √4-√3 √/100-√99 4+3)4-5+…+ (√/100+√/99)（√100-√99） √2-1十√3-√2+√4-√3+…+√100一√99= 1 √100-1=10-1=9.(3)：a= 5-2 √5+2 =√5+2，.a-2=5,∴.(a-2)2= (5-2)(√5+2) 5,即a2-4a十4=5，.a2一4a=1,,∴.3a2-12a-1= 3(a2-4a)-1=3×1-1=2. 直击中考前沿 1.D解析：根据题意，得x十1≥0，解得x≥一1. 2.B解析：（√10+√6）（√10-√6）=10-6=4. 3.B解析：√(-a)=|a|,故A选项不符合题意； (-a)=-a,故B选项符合题意；a3·(-a)2= a3·a2=a5,故C选项不符合题意；(-a2)3=-a6,故 D选项不符合题意.4.B解析：原式=√36=6. 5.x≥1解析：根据题意，得3x一3≥0，解得x≥1. 6.x>一1解析：根据题意，得x十1>0，解得x> -1.7.x>3且x≠2025解析：代数式 V-+（x-2025)°有意义，“x-3>0且工 2025≠0，.x>3且x≠2025.8.√109.33 解析：√5+√12=√5+25=33.10.60解析： (/61+1)(w√/61-1)=61-1=60.11.原式=6 √16+4=6-4+4=6.12.原式=23-√3=√3. 期末冲刺小卷 期末冲刺小卷(1) 1.B2.D解析：二8-6放A选项不符合题意； n-2 y ,故B选项不符合题意：二年 十2-十2放C选项不符合题意：并) n-2 1 (x-)=-1,故D选项符合题意。3.C解析： x一y √5与√2不是同类二次根式，不能合并，故A、B选项不 符合题意；√3×√2=√3×2=√6，故C选项符合题意； 后÷归-沿-吾，故D达项不特合题意4A 解析：设大正方形ABEF的边长为a,小正方形 课时提优计划作业本·数 ·62 ADGH的边长为b,则AB=a,AD=b,正方形ABEF 的面积为a2,正方形ADGH的面积为b2,.正方形 ABEF和正方形ADGH的面积之和为a2+b2.,长方 形ABCD的面积是10，周长为16，.AB·AD=10, 2(AB+AD)=16,即ab=10,2(a+b)=16,.a+b= 8,.(a+b)2=64,即a2+b2+2ab=64,∴.a2+b2= 64一2ab=64一2×10=44，即正方形ABEF和正方形 ADGH的面积之和为44.5.A解析：如图，延长 CB至点G,使BG=DF,连接AG.,四边形ABCD是 正方形，.AD=AB,∠D=∠ABC=90°，.∠ABG= 90°，.∠D=∠ABG,∴.△ADF≌△ABG(SAS), ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG.∠BAD=∠BAE+ ∠EAF+∠DAF=90°，∠EAF=45°，.∠BAE+ ∠DAF=45°，∴.∠BAE+∠BAG=45°，即∠EAG= 45°，.∠EAG=∠EAF.又AE=AE,AG=AF, △AEG≌△AEF(SAS),.∠AEG=∠AEF. ,∠AEF+∠AEG+∠FEC=180°，∠FEC=&, ∠ABG=号(180-a）=90-合.：∠BAE+ 1 ∠AEG=90°，∠BAE=2a. 1 6.9解折：根据题意，得2千6=60%，解得a=9,经检 验，a=9是分式方程的解且符合题意.7.一3√7 解析：根据题意，得3a一8=17-2a,解得a=5,则 3a-8=17-2a=7,∴.4√7+(-7√7)=-37. 8.3解析：去分母，得1一(a-2)=x-2,由分式方 程有增根，得x一2=0，即x=2,把x=2代人整式方 程，得1-(a-2)=2-2,解得a=3.9.2解析：如 图，连接BD.四边形ABCD是矩形，∴.BD=AC= 4.又E、F分别是AD、AB的中点，.EF是△ADB 的中位线，“EF-名BD=2。 学·八年级下册(SK版)第11章 二次根式 11.1二次根式的概念 第1课时二次根式的概念(1) 课堂演练 1.(教材例题变式)下列式子一定属于二次根式的是 () A.√-x-2 B.√ C.x2+2 D.√x2-2 2.当a=一6时，二次根式√3-a的值为 A.√3 B.3 C.土3 D.±3 3.(2025·福建)若√x-一1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 A.-2 B.-1 C.0 D.2 4(2025·凉山州)若式子2在实数范围内有意义，则m的取值范围是 025 5.若x心均为实数，且x十3十-3=0，则（写） 6.若x、y为实数，且y=√/1-4x+√4x-1+4,则xy+3= 7.求使下列式子有意义的x的取值范围。 (1)-3 x-4 (2)√x2十2； (3)√-(x-1)2. 8.计算： (1)(√31)2； (2)(2x)2(x>0); (3(9)广 (4)√(-3)； (5)(-33)2； (6)(2√2)2-（√25）2. 128》 第1章二次根式 课后拓展 9.当x=1时，下列式子没有意义的是 A.+1 x B之-1 √x C.√x-1 D. x-1 10.如果a是任意实数，那么下列各式中一定有意义的是 () A.a B.√a+2 C.√a2+1 D.3-a 11.如果/ 一1 x-3 是二次根式，那么x应满足的条件是 A.x卡3 B.x<3 C.x>3 D.x≥3 12.满足√I2a是整数的最小正整数a为 13.代数式3一√1一x的最大值是 14.已知|2025-a|+√a-2026=a,则a-20252= 15.若x=√5一3，则√/x2+6x+5的值为 16.已知xy为实数，且y=√x2-1-√1-x2+3,则x十y的值为 17.利用勾股定理探索了两点间的距离公式，得到平面内任意两点间的距离公式是AB= √(x1-x2)2+(y1-y2)2,请你用所学知识先解释y=√(x+2)+1+√(x-3)+9的几 何意义是 ,然后求出y的最小值是 18.已知a、b满足b=Va=4十V4-a2+4 ,求√a-6b的平方根. a-2 19.已知a、b、c满足等式a-√7|十(c-4√2)2=√b-5十√5-b. (1)求a、b、c的值. (2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状，并求出此 三角形的面积；若不能，请说明理由. 《129 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)))>) 第2课时二次根式的概念(2) 课堂演练 1.(教材例题变式)计算√（一2）的结果为 A.±2 B.2 C.4 D.2 2.下列计算正确的是 ( A.√(-3)2=士3 B.√32=士3 C.√(-3)2=-3 D.-√32=-3 3.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简√a2十|a十b|的结果为 b40 A.2a-b B.-2a-b C.-b D.36 4.化简：√0.322= -》 ;一√（一）2= ;W10-2= 5.用一个x的值说明“√x=x”是错误的，则x的值可以是 6.若(x一1)2=1一x,则x的取值范围是 7.若(x)2=2,则x=;若=2，则x= 8.若0≤x≤1，则√x+√(x-1)= 9.计算： (1)√(3.14-π)； (2)√(1-√2)2； (3)√x2+4x十4(x≤-2)； (4)√x2+2x+1+W√(x-3)2(-1<x<3. 10.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，试化简： √a2+√b2+√(a-b)z+√(b-1)2-√(a-1)2. 130》 第11章二次根式 课后拓展 11.下列式子对于任意实数a都成立的是 () A.√a2=a B.√(-a)2=土a C.√a=a2 D.√a5=a3 12.若代数式√(2-a)+√(a-4)的值为2，则a的取值范围是 A.a≥4 B.a≤2 C.2≤a≤4 D.a=2或a=4 13.(1)已知-1<a<√3，化简：a+1+√(a-2)= (2)若√x2-4x十4=2一x,则实数x满足的条件是 (3)已知x十√(x-2026)2=2026,则x的取值范围是 14.已知后 =1，则a的取值范围是 a 15.已知y=J(x-3)2一x十4，则当x分别取1、2、3、…、2026时，所对应的y值的总和 是 16.观察下列各式：5+26=(2+3)+22×3=（√2）2+(3)2+2×2×√3=(2+√3)2， 8+2√7=(1+7)+2/1×7=12+(7)2+2×1×√7=(1+√7)2，….请运用以上的方法化 简：√7+2√/10= 17.已知x、y满足y<√x-2-√2-x+4,化简：y-4|一√y2-10y十25. 18.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简： √(a+b+c)2+√(a-b-c)2+√(b-c-a)2-√(c-a-b)2. 9,先化简，再求值：2a千a-a二2a+其中a=2 a2-a 《13] 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》>)》) 11.2二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 课堂演练 1.(教材例题变式)(2024·南通)计算√27× 的结果是 A.9 B.3 C.33 D.3 2.下列运算中正确的是 二4 A.32×2 B.√7×3=21 C.√2×3=5 D.93×27 3.直接写出计算结果： (1)√8×0.5= (2)18× /1 √2 (3)252-242= (4)(-25)2= 4.化简：√/18= ;√/12a2b3= (a≥0，b≥0)；√32b3= (b≥0). 5.若√x2一4=√x+2·x-2,则x满足的条件是 6.计算： (3)xy· /1 (1)6×√14； (2)√2×√32； (4)N 5 ·√/40； (5)W18a·√2a(a≥0)； (6)23×3 (7)√6×(-√15)； (8)√18×√20X75; (9)√32×43×5. 132》 第1章二次根式 课后拓展 7.若50·√a的值是一个整数，则正整数a的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.5 8.若3=a,√30=b,则√90等于 A会 C.ab D.a+b 9.等式√(b-a)2x=(b一a)√x成立的条件是 A.a≥b,x≥0 B.a≥b,x≤0 C.a≤b,x≥0 D.a≤b,x≤0 10.若式子√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)成立，则有√12=√4·√3=2√3.请按照此性质化简 √45，使被开方数不含完全平方的因数：√45= 11.若直角三角形的两直角边长分别为√2cm、√/10cm,则此三角形的面积为 cm2. 12.计算： (1)/3x× b (2)√5ab× (a>0,b>0); W125a (3)√/10x·√101y·√/100z. 13.(1)发现规律： 1 等式1：1+3 √3 等式2：2+ 8+1 4 等式3+--i0×-4 /1 5 等式4： .(填写一个符合上述运算特征的等式) (2)归纳猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)请证明你的猜想. 《133 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》>)》) 第2课时二次根式的除法 课堂演练 1.(教材例题变式)计算18÷√2的结果是 A.25 B.4 C.3 D.√6 2.若6÷口=√3，则口是 A.2 B.√2 C.3 D.3 3.下列运算错误的是 1 A.⑧÷2=2 Cg-2 4.直接写出计算结果： (1)45÷√5= ;(2)√5÷√20= (3)v⑦2 √2 5.化简：(1) 2 8 21 9 ,(2)25 ;(3).4 425 6.能使等式 2-x√2-x x+5 成立的x的取值范围是 √x+5 7.已知长方形的面积为4，若一边长为2√2，则另一边长为 8.计算： 1 2 y b b (1)24÷ (2)Wxy÷ (3) 5 √20a2i (4) 3 2÷18 (5)6a÷2 (6)4√6.x3÷2 (x>0) 9b (7)√6a2÷√/24a; 1 (9)√54ab÷ Wa(a>0,6>0. 134》 第1章二次根式 课后拓展 9.如果△ABC的面积为√32，BC=√⑧，那么边BC上的高AD为 ()》 A.1 B.√2 C.2 D.4 10.已知ab>0,a+b<0,给出下列各式：① a_va a.b=1:③÷ 'Na a =-b. 其中正确的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 1.当代数式+÷区 2 的值是整数时，满足条件的整数x为 a 12.若点P(a,2)与点Q(-1,b)关于原点对称，则2a-36÷√一36 13.计算： 45÷(-51): a 12a (2)W3a÷32×2N3: 14.已知等 5-之-5成立，化简：lx-61+√(x一2)， NI-3 J-3 15已知a6满起，a-6T+后0-a-3=0求2a(日÷石)的位 《135 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)>》>》) 第3课时分母有理化 课堂演练 1.(教材例题变式)化简g的结果是 A号 B 2 C. 号 2.下列式子为最简二次根式的是 A.6 B.√12 C.3 D.√a2 3.下列计算正确的是 () 2_√一2 A.小3 -3 B.3 3-a C.3 =55a D.5 4.把下列各式化成最简二次根式： 3 4 √0.2= 8 N14 1 2√2 5.若3m-4是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 6.请写出一个大于3且小于4的最简二次根式： 7.化去下列各式根号内的分母： 1 (1)17 3)2 99 (a>0,b≥0) (3J2a (4)1/3 2W2 8.化简下列各式，使分母有理化： )v? 2 (2) (3) (4) √2 √/18 2(a>0,b>0): √J2a2b 3(x>0). √J6x 9.设长方形的面积是S,相邻两边的长分别是a、b. (1)若S=16cm2,a=√6cm,求b的值. (2)若S=√/72cm2,b=√50cm,求a的值. 136》 第11章二次根式 课后拓展 10.若mn>0,m十n<0,则化简√/mn÷ 的结果为 Nm A.m B.-m C.n D.-n 11.若xy<0,则化简√xy2的结果为 () A.y元 B.-y C.yx D.-y√-x 12.若二次根式√3a+5是最简二次根式，则最小的正整数a= 13.如图，已知每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在小正方形方格的顶点上，则AB边 上的高等于 14.计算： (1)3x÷√18x3; (2)1516 ava'ba39 (3) 23 5√2 (- ④15x2÷(-36). 15.已知三角形三边的长度能求出三角形的面积吗？古希腊数学家海伦在《测地术》中告诉你计 算的方法是：S=√p(p一a)(p-b)(p一c),其中S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角 形三边的长度，p表示三角形周长的一半，即p=Q++C.请你利用公式解答下列问题： 2 (1)在△ABC中，已知AB=4,BC=6,CA=8,求△ABC的面积. (2)计算(1)中△ABC的边BC上的高. 《137 8EL (0<90<) ÷(9号-o0 9 :8名×d ?÷a8(8) (L) Dt I x9L·cSf÷zx(9) ε÷zg×6(g) 43×(-)÷8L/() :s?×8zg×08(g) X a TX Z9 E :y小×oE÷2)） 莫中T 黝￥阳虹斗派二II蹈车 《<(<(<<(《 (S)班L由)（素隔中不降阳凿方 第11章二次根式 2.计算： 1 (1)212 ×2； ÷56 2÷3÷: ÷(2写×： (3)33 ÷a· (4)a a (6)-a万·9a6·a>06>0: √J8ab 62b.(-3a6)÷ (a>0,b>0): √a .a6÷b (7)aa 2a(a>0,b>0): 8)2(-)号厚>0v>0. 《139 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)>》>》))) 11.3二次根式的加减 第1课时二次根式的加减运算 课堂演练 1.(教材思考变式)下列各组根式是同类二次根式的是 A.√12与√48 B.2√5与32 D √2 2 C.√14与21 3 2.下列计算正确的是 ( A.√12-√3=√3 B.√2十√3=5 C.3+2√2=5√2 D.4√3-35=1 3.(2025·自贡)计算：√18-32= 4.直接写出计算结果： (1)√/48-√12= ②8+ (3)3 1 2√3 (4)35-2√5+√5= 5.若一个三角形的三边长分别为√8、√18、√32，则这个三角形的周长为 6.若最简二次根式√1一2x和√x十4是同类二次根式，则x= 7.计算： (1)80-√20+√5； 1 (2)8-62+1-21 (3)/18+12-4、2 (4)9x+2√4x-3x +6,-2 +32a. (6)a8a-2a28a 140》 第1章二次根式 课后拓展 8.如果a+1与/12的和等于3√3，那么a的值是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 9.若|m-√3|一√3+m=0,则m的取值范围是 () A.m<√3 B.m≤/3 C.m>√3 D.m≥√3 10.已知√/18-√2=a√2-√2=b√2，则ab= 11.若一个等腰三角形的两边长分别为2√3、3√2，则这个等腰三角形的周长为 12.计算： a(s-82)-3传-42) (3)2-.7万-(5+号48)： (4)/12-9 E+12-31. 13.已知a+b=-2,ab=1,求b ^a a的值. 14.若x十y=2,则称x与y是关于1的平衡数. (1)填空：4与 是关于1的平衡数；5十√2与 是关于1的平衡数。 (2)已知m为整数，(m十5)·(1一√5)=一7+3√5，判断m+√5与5一√5是不是关于1 的平衡数，并说明理由. 《14 ⑦ (是-)-（受-经）on ）管是倍y广8+ge) (2-9)-(管ε+0-超e) (经-e)-(g-29)2) 8-88-+z9) 8+S/8(S) :SL+0z-S五-Lz(币) +tge :8L-Sz+0五8(I) 莫中T 粼0r阳虹斗2派二Z1蹈车 (S)班L由)（素源中不降阳盖 E五》 `80虹￡ 8+8”-z D 》 ‘e88+ z?-8(6) 40<)9q-g+9:2-g”() N 8+ 8-Z个z(9) (0≤9)9z+22号：9z() %-98^+8 -9z/z(e) (- 9）-a :9 9z-S+9,”个8-”？(T) 点1⑦ 二享L患 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》))) 第2课时二次根式的混合运算 课堂演练 1.(教材例题变式)计算/15×√3一√5的结果是 () A.√40 B.3 C.25 D.45 2.下列运算正确的是 A.3+2=5 B.√3X√2=√6 C.5w5-45=1 D.√15÷√5=3 3.下列各数中，与2一√3的积为有理数的是 A.2+3 B.2-3 C.-2+√3 D.3 4.直接写出计算结果： (1)W2(12-√3)= (2)(15-√/1I)(√15+√11)=； (3)(3-1)2= (4)(W8- 区)x6= (5)(√24+√50)÷√2= (6)6÷(2+3)= 5.若x=√3十1，y=3-1,则代数式x2-y2的值为 6.计算： l6-4F+32: (2)(5+√10)(5√2-2√5)； (④4s+）÷27 52亚-6日1÷： (6)(3+√2)(2-√2)+(1+√2)2. 144》 第1章二次根式 课后拓展 7.若x=√a-√6，y=√a十√6(a>0,b>0),则xy的值为 A.2√a B.2√b C.a+b D.a-b 8估计愿×+万的运算结果应在 () A.5到6之间 B.6到7之间 C.7到8之间 D.8到9之间 9.若a-6√2=(b十c√2)2，则bc的值为 10.计算（√10+3）226（√/10-3）2027的结果是 11.已知x=2-√/10，则x2-4x一6的值为 2先化简，再求位：平63g1-）其巾=区-8 13.已知x=2-√3，y=2+√3. (1)求x2+y2-xy的值. (2)若x的小数部分是a,y的整数部分是b,求ax一by的值. 14.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理 数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可知，若ax十b=0,其中a、b为有理数，x 为无理数，则a=0,且b=0.运用上述知识解决下列问题： (1)若√2(a十2)-b十3=0，其中a、b为有理数，则a=,b= (2)若2b-a-3(a十b-4)=5,其中a、b为有理数，求a十8b的算术平方根. (3)若a、b都是有理数，且a2+2b+√7(b+4)=17,试求a+b的立方根. 《145 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))少>) 专题13二次根式的混合运算 1.计算： 应- 任×厉+25： 22题÷-后×5+， (3)(5-√2)(5+√2)-(3-2)2； (4)(2-3)2-(√27-√12)÷√3； (5)(5-√3)2-(25+√3)(25-3)； (7)4√5-√3×w15+√18÷√2； (8(分团-v-3/层)xv2: (94v5M+0-)÷: 10(3停-)÷月-0义5. 146》 第11章二次根式 2.计算： 8i28g-(5+D5-: (2)(2-1)2-(2√2-1)(1+22)； (3)(3十√2)(3-√2)-(1+2)2； [2-8)-2月-4a.5]×, (5)(3-2√2)2-√2(3-2√2)； (6(3vs+560-4)÷v2, (7)(2√3-1)(3+1)-(1-23)2； 80-+×： e(-3’-g-2+5-D+v1-: √2 (10)(3+√2-√5)(5-√2-√5). 《147 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))>) 综合与实践 1.阅读课本材料《画画·算算》，解决下列问题： 如图，9个边长为1的小正方形组成3×3的网格，点A在左下角顶点处 (1)以A为端点且长度是√2的整数倍的对角线有 条 (2)计算所有以A为端点的对角线的长度之和.（结果保留根号） (3)若挖去中心一个小正方形（形成空心网格），剩余图形中以A为端点的对角线条数是否 变化？长度之和如何变化？ A 148》 第1章二次根式 2.我们称长与宽之比为√2：1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为√2，宽为1的矩形为 “基本奇异矩形”，如图1，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留 缝隙地)拼成一般的奇异矩形，例如，图2是用2个基本奇异矩形拼成的一个奇异矩形 图1 图2 (1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标 注必要的数据)； ②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形， 图3 图4 (2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述 你的发现： (3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 ②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为 ③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32√6，则m= 《149 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版) 》》》》》》》》) 复习课 知识梳理 1.二次根式的概念 (1)二次根式的定义 ①从形式上看：必须有二次根号； ②从条件上看：形如√a的式子中，a的取值必须满足a (2)最简二次根式满足的条件 ①被开方数中不含能 的因数或因式； ②被开方数中不含 ③分母中不含有 (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，若被开方数 ,则为同类二次根式. 2.二次根式的性质 (1)双重非负性：在二次根式√a中，√a 且a 0. (a≥0)， (2)运算性质：①（√a)2=a(a≥0）；②√a2=|a (a<0). 3.二次根式的运算 (1)二次根式的乘法：√a·√b= (a≥0，b≥0)； =a·√b(a≥0，b≥0). (2)二次根式的除法： a (a≥0，b>0)； =a(a≥0，b>0). 6 √6 (3)二次根式的加减：①化成最简二次根式；②合并同类二次根式（注意：不要丢掉被开方数 不同的部分). (4)二次根式的混合运算 ①运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，其结果要化成最简 形式. ②运算法则：整式中的运算法则、运算律和公式仍然适用于二次根式的运算. 题组提优训练 目/考点一/二次根式的概念和性质 1.现有下列各式：√、√5、√一4、√a2+1、⑧.其中一定是二次根式的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2,若式子x十1 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x-2 150》 第1章二次根式 3.若ab为实数，且6-a十1-a,则a十6的值为 a+7 4.若实数xy在数轴上的位置如图所示，则√(y-x)严-√(x十y)严= 目/考点二/二次根式的运算 5.下列式子中，最简二次根式是 () A.2 B.√21 C.√4 D.√/12 6.(2025·湖南)化简：√12= 7.已知最简二次根式√x十6与√⑧是同类二次根式，则x的值为 8.直接写出计算结果： (1)√8+√18= (2)12- √3 8得xvm (4)5×15 √3 (5)(3-√2)2= (6)(2-√3)2025(2十√3)2026= 9.如果一个直角三角形两条直角边的长分别为√2、√6，那么这个直角三角形斜边上的中线长 为 10.已知m是5的小数部分，则m2+ 2一2的值为 11.计算： (1)aa +9a- 3a 3 (2)3-2)2+24-6/日 V3; 8÷2品×(-)： (4)(1-23)(1+23)-(1+3)2. 《5] 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))>))) 12先化简，再求值(1+与.2己，其中x=3-1 13.已知a=5+26,b=5一2√6，求下列各式的值. (1)a2b+ab2. (2)a+√b. 14.【阅读理解】 问题：已知a 1,求2a2-8a+1的值. 2+3 爱思考的小名是这样分析与解答的： 1 2-√3 .a= 2+3(2+3)(2-3) =2-3,a-2=-5, .(a-2)2=3,即a2-4a+4=3. .a2-4a=-1. .2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小名的分析过程，解答下列问题： (1)计算： 1 2+1 (2)计算：。1十 1 1 1 2+1√3+2√4+3 100+√99 (3)若a=后-2 1,求3a2-12a-1的值. 152》 第11章二次根式 直击风中考前沿 1.(2025·连云港)若√x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ( A.x≤1 B.x≥1 C.x≤-1 D.x≥-1 2.(2025·河北)计算：(10+√6)(10-√6)等于 A.2 B.4 C.6 D.8 3.(2025·安徽)下列计算正确的是 A.√（-a)2=-a B.(-a)3=-a C.a3·(-a)2=a6 D.(-a2)3=a 4.(2025·广东)计算√/12×√3的结果是 A.3 B.6 C.6 D.26 5.(2025·北京)若3x一3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 6.(2025·绥化)若式子1一有意义，则x的取值范围是 √x+1 7.(2025·齐齐哈尔)若代数式， +(x一2025)°有意义，则实数x的取值范围是 √x-3 8.(2025·广西)√2X√5= 9.(2025·吉林)计算：√3+√12= 10.(2025·天津)计算(61+1)(61-1)的结果为 11.(2025·湖北)计算：|-6|-√2×√8+22. 12.(2025·甘肃)计算：12-6×】 《153