第9章 因式分解-【课时提优计划作业本】2025-2026学年八年级数学下册同步训练（苏科版·新教材）

积=△BOE的面积，∴.△AOE与△DOF的面积之 和=△B0A的面积=号×2X1=1.7.号 3 解析： 如图，过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足分别为 M、N,连接AM,则∠FMC=90°，四边形BMFN是矩 形，FN=BM.:SAm=2AB·FN,Sm 号AB·BM,Sm=SAe,:CFLBE,.AB=1= BC,∠EBC=30,∠BFC=90,CF-2BC- ∴.∠BCF=60°，.∠CFM=90°-∠BCF=30°， .CM-CF-BM-BC-CMSoM- 1 D NH. B 8.5解析：如图，连接BD、BF,AB=8,AD=6, ∴BD=√AB2+AD=10.G为BE的中点，H为 EF的中点，∴.BF=2GH,∴.当BF有最大值时，GH 有最大值.，F是CD上的点，∴当点F与点D重合 时，BF的最大值为10，∴.GH的最大值为5. D 9.证明：，EF是AC的垂直平分线，.EA=EC,FA= FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°.，四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF, ∠AOE=∠COF=90°， 在△OAE和△OCF中，OA=OC, ∠OAE=∠OCF, ∴.△OAE≌△OCF(ASA),∴.EA=FC,∴.EA=EC= FA=FC,.四边形AFCE是菱形.10.(1)证明： O是AC的中点，.OA=OC,OB=OD,.四边形 ABCD是平行四边形，：∠ABC=90°，□ABCD是 矩形.(2)根据题意，得l2一l1=BC-AB=b-a= b-a=2, 2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,. b+a=14, 课时提优计划作业本·数 ·3 /a6, .AB=6,BC=8,..AC=AB2+BC= b=8, 10.11.(1)BE是线段AA′的垂直平分线， .A'E=AE=1,BA'=BA,.BE=BE,.△ABE≌ △A'BE(SSS),∴∠BAE=∠BA'E=90°.，四边形 ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，，△A'DE是等腰直 角三角形，A'D=A'E=1,.DE=√2，.AD= AE+DE=√2+1，∴.AB=AD=√2+1.(2)①证 明：由题意可知，BA=BA'=BC,∴.∠BAA'=∠BA'A, ∠BCA'=∠BA'C,.∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B= 2180-∠ABA0+7(180-∠CBA0=180 45°=135°，.∠CA'F=180°-∠AA'C=45. ②△A'DG是等腰直角三角形，理由如下：如图，过点 C作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N,,CN⊥ BG,CG=CB,.M为BG的中点.AA'⊥BE, .CN∥AF,.MN是△ABG的中位线，.BN= 2AB.'∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE= ∠CBN=90°，AB=BC,.△ABE≌△BCN(ASA), ∴AE=BN-AB=号AD,即E为AD的中点， AG=GA',∴.EG∥A'D,∴.∠DA'G=∠EGA=90°，同 理可证△ADA'≌△BAG(ASA),∴.A'D=AG=A'G, ∴.△A'DG是等腰直角三角形. 第9章因式分解 9.1因式分解的概念 课堂演练 1.D2.B3.C解析：(3a-y)(3a+y)=9a2- y2.4.①5.2x2+5x-3解析：(x+3)(2x- 1)=2x2十5x-3.6.2x(答案不唯一)解析：x2十 2x+1=(x+1)2.7.①②③④8.-202解 析：根据题意，得x2一8x+m=(x-10)(x+n)= x2+(n-10)x-10n,.n-10=-8,-10n=m,解得 m=一20，n=2.9.(1)从左到右的变形属于整式乘 法，不是因式分解；(2)从左到右的变形符合因式分解 学·八年级下册(SK版) 的定义，是因式分解，(3)从左到右的变形不是化成整 式积的形式，不是因式分解；(4)从左到右的变形不是 化成整式积的形式，不是因式分解；(5)从左到右的变 形符合因式分解的定义，是因式分解；(6)从左到右的 变形符合因式分解的定义，是因式分解.10.(1)被 墨水污染的一次式为(x一2)(2x十5)一(2x2+3x 6)=2.x2+5x-4x-10-2x2-3x+6=-2x-4. (2)根据题意，得一2x一4≥2，解得x≤一3，即x的取 值范围是x≤一3. 课后拓展 11.B解析：(b3+2)(2-b3)=4-b.12.B解 析：.一16=一1X16=-2×8=一4×4=4×(-4)= 2×(-8)=1×(-16)=a×b,.m=a+b=-1+16 或一2十8或一4+4或4+（一4）或2+（一8）或1+ (-16),即m=士15或土6或0，则m的值有5个. 13.x2十6x十8=(x十2)(x十4)解析：四个独立图 形的面积和为x2+2x十4x+4×2=x2+6x+8,组合 图形面积为(x+2)(x+4),,∴.x2十6x十8=(x十 2)(x+4).14.15解析：分解因式x2+ax+b,甲 分解结果为(x十2)(x十4)=x2十6x+8,甲看错了b, 但a是正确的，∴.a=6;乙分解结果为(x+1)(x十 9)=x2十10x十9，乙看错了a,但b是正确的，.b=9, 因此a+b=15.15.有道理.x2+3x+2=(x2+ x)+(2x+2)=x(x十1)+2(x+1)=(x+1)(x+2), 即x2+3x+2中有因式(x+1). 9.2提公因式法 课堂演练 1.D2.B解析：12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy), 故A选项错误；3a2y-3ay+6y=3y(a-a十2)，故B 选项正确；一x2十xy一x之=一x(x一y十之)，故C选项 错误；a2b+5ab-b=b(a2+5a-1),故D选项错误. 3.A解析：原式=ab(a一b).,b一a=6,,.a b=6.又ab=7,.原式=7×6=42.4.(1)2a (2)3x(3)2a(4)4xy(5)5ax(6)x5.3xy 3x2-12y2+16.(1)-x(2)x-3y7.(1)a(a- 1)(2)m(x-2y)(3)ab(a+b)(4)2ab(4a-1) 8.-4xy29.(1)原式=5x2y2(y-5x).(2)原 式=2a(a2-2a十4).(3)原式=-8x3(x-6y). (4)原式=-2m(2m2-8m+13).10.(1)原式= ab(a2+2ab-b2).当a2-b2=2,ab=2时，原式=2X (2+2X2)=12.(2)原式=x3y3(2x-y).当2x- 课时提优计划作业本·数 ·3 y=gw=2时，原式=2×g-1. 1 课后拓展 11.A解析：原式=5(a-b)-m(a-b)=(a-b) (5-m),则另一个因式是(5-m).12.A解析： (-2)226+(-2)225=(-2)2025X[(-2)十1]= -225×(-1)=2225.13.A解析：(a-b)(a2+ ab+b2)+ab(b-a)=(a-b)(a2+ab+62)-ab(a- b)=(a-b)(a2+b2).14.(x+3y)(x+3y-1) (a-b)2(a-b+1)15.(1)原式=2(a-3)2-(a- 3)=(a-3)(2a-7).(2)原式=3m(x-y)-2(x- y)2=(x-y)(3m-2x+2y).(3)原式=6(a b)2(5b-2a).(4)原式=2(x+y)(3x-2y). (5)原式=(x-a)(a-b-c).(6)原式=2q(m+ n).16.(1)原式=91°×(9-1-8)=910×0=0. (2)原式=28.8×(11.6+18.4-20)=28.8×10= 288.17.(1)提公因式法2(2)2026(1十x)22 (3)原式=(1+x)·[1+x十x(x+1)+·+x(x+ 1)"-1]=(1+x)2[1十x+x(x+1)+…+x(x+ 1)-2]=…=(1+x)"-1[1+x+x(x+1)]=(1+ x)"(1十x)=(1+x)+1, 9.3公式法 第1课时运用平方差公式 课堂演练 1.A解析：1-4y2=1-(2y)2=(1-2y)(1+2y). 2.A3.C解析：a2-9b2=(a+3b)(a-3b),故A 选项错误；一x2十y2=(y十x)(y一x),故B选项错 误；-a2+9b2=-(a2-9b2)=-(a+3b)(a-3b),故 C选项正确；4x2-y2=(2x十y)(2x-y),故D选项错 误.4.(1)(a+1)(a-1)(2)(3+a)(3-a) (3)(x+3)(x-3)(4)(xy+1)(xy-1)5.16y 3x十4y6.40解析：原式=(a十b)(a-b)=8× 5=40.7.(1)原式=(5x+4y)(5x-4y).(2)原 式=(5n+2m)(5n-2m).(3)原式=(11x+ 121x-12).④原式=(5x+)(5x-: (5)原式=(0.7p+12)(0.7p-12).(6)原式= （+)y.(原式=(3a-(号6)'- (a+号6）(3a-号6”）.(8原式=[x+2)+ 学·八年级下册(SK版) 6· 3][(x+2)-3]=(x+5)(x-1).(9)原式=[(x+ a)+(y+b)][(x+a)-(y+b)]=(x+a+y+ b)(x+a-y-b). 课后拓展 8.B解析：原式=(x-1)2-32=[(x-1)+3][(x 1)-3]=(x+2)(x一4).9.D解析：原式=82一 (3a-2b)2=(8+3a-2b)(8-3a+2b).10.A解 析：x2-9y2=16,x+3y=2,∴.(x十3y)(x-3y)= 16,.2(x-3y)=16,x-3y=8.11.6解析： :x+y=2,x-y=1,.(x+1)2-y2=(x+1+ y)(x+1一y)=(2+1)×(1+1)=3×2=6.12.(1)原 式=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a). (2)原式=(2a)2-[3(b+c)]=[2a+3(b+c)][2a 3(b+c)]=(2a+3b+3c)(2a-3b-3c).(3)原式= [5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]=(7a+ 3b)(3a+7b).(4)原式=[9(a+b)+2(a b)][9(a+b)-2(a-b)]=(11a+7b)(11b+7a). (5)原式=(a2+4)(a+2)(a-2).(6)原式=(m+ 4n2)(m2-4n2)=(m2+4n2)(m+2n)(m-2n). 13.原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)= (4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).当4m+ n=40,2m-3n=5时，原式=-40×5=-200. 14.发现规律：(1-20)(1-)(1-)…(1 月)-方×”计(m≥8，且n为正整发).当%=2026 时(1-)1-)(1-)…-(1-22s)-2× 20272027 202640521 第2课时运用完全平方公式 课堂演练 1.D解析：x2-6x+9=x2-2·3·x+32=（x一 3)2.2.D解析：x2+2x十1=(x十1)2，故A选项 不符合题意；x2-2x十1=(x-1)2,故B选项不符合 恶意：7十x+1=(号+1)八，放C选项不符合题 意；x2+1加上-，无法构成完全平方式，故D选 项符合题意.3.C解析：a2+4a=a(a+4),故A 选项不符合题意；a2-9=(a十3)(a-3),故B选项不 符合题意；a2-2a十1=(a-1)2,故C选项符合题意； 课时提优计划作业本·数 ·3 a2+2a十4=(a+1)2十3，故D选项不符合题意. 4.(1)(x-3)2(2)(x-2)2(3)(a+1) (4)(3a-1)25.(1)(5x+1)(2)(b-1)(3)42 (4)(士12mn)(2m士3n)6.-1解析：，x2- a+是-(e+号)厂=2+红+a=-1.76 1 或-2解析：，多项式x2-3(m-2)x+36能用完全 平方公式分解因式，.一3(m一2)=士12，.m=6 或-2.8。(1)原式=(a-76.(2)原式=(g十 n°.(3)原武=(a+b八.（④原式=(xy-19. (5)原式=(4xy)2-40xy+52=(4xy-5)2.(6)原 式=2+3x+2+}=(x+)八.9.(1)原式 (45.8-35.8)2=100.(2)原式=2022+2×202× 98+982=(202十98)2=90000. 课后拓展 10.B解析x-1-子=-（行-x+1) -(分x-1).:-(2x-1)<0,∴多项式x-1- x2的值不可能为正数，1.A解析：(x+ y2)(x2+y2-8)+16=(x2+y2)2-8(x2+y2)+ 16=(x2+y2-4)2.12.（1)0解析：(x-y)2= x2-2xy十y2,当x2+y2=4,xy=2时，(x-y)2=0, x-y=0.(2)19解析：x-y=5,xy=6, ..x2-3xy+y2=x2-2zy+y2-zy=(x-y)2- xy=52-6=19.13.4解析：原式=(m-3n)2. ,m=3n十2，.m-3n=2,∴.原式=22=4.14.(1)原 式=[1-3(a-1)]=(4-3a)2.(2)原式=(2x- 5)2-6(2x-5)+9=[(2x-5)-3]2=(2x-8)2= 4(.x-4)2.(3)原式=(a十b-c)2.(4)原式=[a+ 2(a+b)]2=(3a+2b)2.15.P-Q=(2x2+4y+ 13)-(x2-y2+6.x-1)=x2-6x+y2+4y+14= x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1. (x-3)2≥0，(y+2)2≥0，.P-Q=(x-3)2+ (y+2)2+1≥1，.P>Q.16.(1)设M=x十y,则 原式=M(M-4)+4=M2-4M+4=(M-2)2,将 M=x+y代人，得原式=（x+y-2)2.(2)原式= (a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a2-5a+4)(a2- 5a十6)+1.令N=a2-5a十4.a为正整数，.N= 学·八年级下册(SK版) 7。 (a一1)(a一4)=a2一5a十4也是整数，则原式= N(N+2)+1=N+2N+1=(N+1)2.N为整数， 原式为整数的平方 第3课时综合运用提公因 式法、公式法分解因式 课堂演练 1.C解析：原式=x(x2-4)=x(x+2)(x-2). 2.D解析：原式=2(a2-6a+9)=2(a-3)2.3.B 解析：4x3-8x2y十4xy2=4x(x2-2xy十y2)= 4x(x一y)2,故A选项不符合题意；a2-b2=(a+ b)(a一b),故B选项符合题意；x2+2x十1=(x十1)2， 故C选项不符合题意；x2-25x=x(x-25),故D选 项不符合题意.4.（1)2(x-1)2解析：2x2-4x十 2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.(2)y(x+2)(x-2) 解析：x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2). (3)-(y-1)2解析：-y2+2y-1=-(y2-2y+ 1)=-(y-1)2.5.2解析：原式=2（x2+2xy+ y)=2c十.当x+y=1时，原式=分6(0)原 式=3x2(x2-4)=3x2(x十2)(x-2).(2)原式= 4a(x2+4xy+4y2)=4a（x+2y)2.(3)原式= a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x- y)(a+b)(a-b).(4)原式=[3(x-y)+2(x+ y)][3(x-y)-2(x+y)]=(5x-y)(x-5y). (5)原式=(a2+1+2a)(a2+1-2a)=(a+1)2(a 1)2.(6)原式=(4x2-y2)=(2x十y)(2x-y)2. 7.(1)原式=80×(3.52+2×3.5×1.5+1.52)=80× (3.5十1.5)2=80×52=2000.(2)原式=2026× (20262-2025×2027)=2026×[20262-(2026- 1)×(2026+1)]=2026×(20262-20262+1)= 2026×1=2026. 课后拓展 8.A解析：，3x(x+2y)(x-2y)=3x(x2-4y2)= 3x3-12xy2=3x3-mxy2,.m=12.9.D解析： 剩下部分的面积为12.752-7.252=(12.75+7.25)× (12.75-7.25)=20X5.5=110(cm).10.4a(x+ 2)解折：原式=a(x+4x+)=a(x+2 11.490解析：根据题意，得a十b=7,ab=10,.原 课时提优计划作业本·数 ·38 式=ab(a2+b2+2ab)=ab(a+b)2=10×72=490. 12.(①原式=号(x2-40=号(x+2)(x-2). (2)原式=3a[(b2十9)2-36b2]=3a(b2+9+ 6b)(b2+9-6b)=3a(b+3)2(b-3)2.(3)原式= (x2-2)2-14(x2-2)+49=(x2-2-7)2=(x+ 3)2(x-3)2.(4)原式=-(16x4-8x2+1)= -(4x2-1)2=-(2x十1)2(2x-1)2.(5)原式= (x2-2x十1)2=(x-1).(6)原式=9(x-y)2十 12(x+y)(x-y)+4(x+y)2=[3(x-y)+2(x+ y)]=(5x-y)2.13.原式=xy(x2-2xy+y2)= xy(x-y)2=2×12=2.14.(1)原式=x4十 4x2y2+4y-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+ 2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).(2)原式=a4+ 2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ ab)(a2+62-ab). 综合与实践 1.(1)44(x2-3x+2)(2)x2+5x+6=（x2+5x+ )-+6=(x+)°-青-[(+)+][(+ ）-2]=(x+30x+2》.(3)4x-12x+5 4(x-x+)=4[(-x+）+号-]= 4[(x-)-1]=4[(x-)+1][(x-)-] 4(x-2)(x-8）=(2x-1D2x-5.2.(1(2x- y)(3x-2y)(x-2y-2)(x-4y-3)解析：如图 1,其中6=2×3,2=(-1)×(-2)，而-7=2× (-2)+3×(-1),.6x2-7xy+2y2=(2x- y)(3x-2y);如图2，其中1×1=1，(-2)×(-4)= 8,(-2)×(-3)=6,而-6=1×(-4)+1×(-2)， -5=1×(-3)+1×(-2),14=(-2)×(-3)+ (-4)×(-2),x2-6xy+8y2-5x+14y+6= (x-2y-2)(x-4y-3). 图1 图2 (2)如图3，：关于x、y的二元二次式x2十7xy一 学·八年级下册(SK版) 18y2-5x+my一24可以分解成两个一次因式的积， ∴.存在1×1=1,9×（一2）=一18，（一8）×3=一24，而 7=1×(-2)+1×9,-5=1×(-8)+1×3,∴.m= 9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)X 3=-78. -8(3) 、3(-8) 图3 (3)x2+3xy+2y2+2x+4y=(x+2y)(x+y)+ 2(x+2y)=(x+2y)(x+y+2)=-1=1×(-1),且 x+2y=1, x+2y=-1, x、y为整数， 或 解得 x+y+2=-1x+y+2=1, x=-7,。|x=-1, 或 y=4 y=0. 复习课 知识梳理 1.整式积3.(2)①a-b②a±b4.(1)公因式 (2)公式(3)彻底 题组提优训练 考点一：1.B2.一3解析：根据题意可设x3十 ax2十bx一8=(x十1)(x-2)(x十k)(k为任意实数)， .x3+ax2+bx-8=(x2-x-2)(x+k)=x3+(k- 1)x2+(-k-2)x-2k,∴.k-1=a,-k-2=b, 2k=-8,.k=4,.a=3,b=一6，.a+b=3 6=-3. 考点二：3.A4.x-3解析：x2-9=（x-3)(x十 3);x2-6.x十9=(x-3)2.5.(1)原式=9a2bc(2a- 5bc).(2)原式=-5a(4+3b).(3)原式= 6x"(3x-4).(4)原式=3(a+b)[5(a+b)+y]= 3(a+b)(5a+5b+y).(5)原式=(2a-3)(b-c). 考点三：6.D7.D8.(x-2)29.(m十4)(m 4)10.4解析：：x+y=2,.x2-y2+4y=(x+ y)(x-y)+4y=2(x-y)+4y=2x-2y+4y=2x+ 2y=2(x十y)=2×2=4.11.9或-7解析：：多 项式x2-(m一1)x+16能用完全平方公式进行因式分 解，∴.m-1=士8，解得m=9或m=-7.12.(1)原 式=81n2-64m2=(9n+8m)(9n-8m).(2)原式= [(2x+y)+(x-2y)][(2x+y)-(x-2y)]=(3x- y)(x+3y).(3)原式=(x+y-5)2.(4)原式= 课时提优计划作业本·数 ·3 (x+y)2. 考点四：13.A解析：9一6x十x2=(3一x)2=(x一 3)2,故A选项符合题意；a2+2ab-4b2不能因式分 解，故B选项不符合题意；3ax2一6ax=3ax(x一2)，故 C选项不符合题意；m4+1-2m2=(m2-1)2=(m十 1)2(m一1)2，故D选项不符合题意.14.3m(x-y)2 解析：原式=3m(x2-2xy十y2)=3m(x-y). 15.7(m十2)(m一2)解析：原式=7(m2一4) 7(m十2)(m-2).16.(1)原式=a2(x-y) b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a b).（2)原式=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y). (3)原式=[3(x+y)+(x-y)][3(x+y)-(x- y)]=(4x+2y)(2x+4y)=4(2x+y)(x+2y). (4)原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4x+4)(x2- 4x十4)=(x十2)2(x-2)2. 考点五：17.等腰三角形解析：，a2-b2=ac-bc, .(a+b)(a-b)-c(a-b)=0.∴.(a-b)(a+b- c)=0..在△ABC中，a十b>c,∴.a+b-c>0,∴.a- b=0,即a=b,.△ABC是等腰三角形. 直击中考前沿 1.A2.a(a-b)3.(a+2)(a-2)4.(x+ 3)(.x-3)5.2m(x-y)2解析：2mx2-4m.xy十 2my2=2m(x2-2xy+y2)=2m(x-y)2.6.2(x 3y)2解析：2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+9y2)= 2(x-3y)2.7.1解析：，2a+b=-1,.b=-1- 2a,.4a2+2ab-b=4a2+2a(-1-2a)-(-1- 2a)=4a2-2a-4a2+1+2a=1.8.2x3-8x= 2x(x2-4)=2x（x+2)(x-2).9.（1)设四位数 M=abcd,要求最小的“十全数”，.a=1,c=1,.b= 10-1=9,d=10-1=9,.最小的“十全数”是1919. (2)一个“十全数”M=abcd,.a十b=c+d=l0, ∴.b=10-a,d=10-c,,∴.M=abcd=1000a+ 100(10-a)+10c十10-c=900a+9c+1010,.∴.M'= dcba=1000(10-c)+100c+10(10-a)+a=-9a- 900c+10100,∴F(M0=M-M' 909 900a+9c+1010-(-9a-900c+10100)= 909 a+c-10,G(M)= M+M' 11 900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)_ 11 学·八年级下册(SK版) 9 81a-81c+1010,.4F(M)+G(M)+15 13 4(a+c-10)+81a-81c+1010+15 13 85a-7c+985=-6a-6c+76+7a+g-3,:.ab+c4- 13 13 17 10a+10-a+10c+10-c_9a+9c+2 17 17 2=a+c+1- 8a+8c-34F(M+G(M0+15与a6+c网均是整 17 13 17 数：7a+g-3与8a十8e-3均是整数，7a十c-3能 13 17 被13整除，8a十8c一3能被17整除.，1≤a≤9,1 c9,∴.77a63,一2c-36,∴.57a十c-3 69,.7a十c-3的值可以为13,26,39,52,65，.依次 代人可得，仅当a=3,c=8时，7a+0-3=2, 13 8a十8c-3-5均是整数，符合题意，b=10-a=7, 17 d=10一c=2,.满足条件的M的值是3782. 第10章分式 10.1分式的概念 课堂演练 1.B2.A解析：根据题意，得x一2=0且x十3≠ 0,解得x=23.(1①号 解析：速度=时间一· 路程s (2) m 解析单价-0欲-六(3(。）】 解析：“原计划烧的天数=，现在烧的天数=” a-b* 比原计划多烧的天数=”-.4.(1)x≠2 a-b a 解析：根据题意，得x一2≠0，解得x≠2.(2)x≠0 解析：代数式8一2有意义，工≠0.(3)-1解 断：分式无意义，心1十x=0,x= 5.(1)1解析：根据题意，得x一1=0且2-x≠0， ∴x=1.(2)一2解析：根据题意，得|x|一2=0且 2-x≠0，x=-2.6.(1)6解析：x=2,y=1, 1 3工=2X=6.(2)2解析：由2-3z一m 0,得-m=3z,则2-m3x-工2x2 x x 1 一三 课时提优计划作业本·数 ·4 (3)-2(答案不唯一)7.(1)根据题意，得3x十2≠ 0,解得x大-子(2)根据题意，得x+1≠0.：x十 1>0,∴.x取任意实数.(3)根据题意，得|一x十2≠ 0,解得|x≠一2.x|≥0，∴x取任意实数. (4)根据题意，得x2一9≠0，解得x≠土3. 课后拓展 8B解折：代数武+有痕义一≠0 且x一4≠0，.x≠3且x≠4.9.D解析：原式= (1-m)(1+m) 1-m =1+m.当m=-1时，原式=0，故A 选项不符合题意；当m=0时，原式=1，故B选项不符 合题意；1一m≠0，.m≠1，.原式≠2，故C选项不 符合题意；原式=1十m>m,故D选项符合题意， 1 10.1(答案不唯一）解析：”分式x十3有意义， x十3≠0，解得x≠一3，∴.x可以是1（答案不唯一）. 11.x<2且x≠-1解析：易知x2十2x十1=(x十 x2+2x+1>0, 1)2≥0.由题意可得， 解得x<2且 x-2<0, x≠-1.12.-6 a8（-1)+1b2+1 解析：第1 na" 个分式是6=（一1）162x1+1】 a,第2个分式是 b 2a2- （-1)2*162x2+1 2a,第3个分式 3a=(-1)162x+1 3a3…, 第8个分式是a,第n个分式是()161】 na" (n为正整数).13.：当x=一2时，分式2b无意 x+a 义，∴x十a=-2十a=0,.a=2.,当x=4时，此分 式的值为0，.x一b=4一b=0,,,b=4,.a十b=2十 4=6.14.由题意，得2<0，则有1)/ 3x+2>0, x-2<0, 3x+2<0, 或(2) x一2>0. ”解不等式组(1)，得-子<<2：解 不等式组(2)，得不等式组无解，不等式的解集是 <2,当-名<x<2时，分式x十2的 x-2的值为 负数. 学·八年级下册(SK版) 0·第9章 因式分解 9.1因式分解的概念 课堂演练 1.(教材练习变式)下列各式从左到右的变形是因式分解的是 A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+2)+1 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b) 2.对于①5a-3ab=a(5-3b),②(m+6)(m-2)=m2+4m-12从左到右的变形，下列表述 正确的是 () A.都是因式分解 B.①是因式分解，②是乘法运算 C.都是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 3.将下列多项式因式分解可以得到(3a-y)(3a+y)的是 A.9a2+y2 B.-9a2+y2 C.9a2-y2 D.-9a2-y2 4.对于①x2+2x一3=(x十3)(x一1)，②(x+3)(x一1)=x2+2x一3从左到右的变形，属于 因式分解的是 .(填序号) 5.(x+3)(2x-1)是多项式 因式分解的结果 6.若使关于x的多项式x2十口十1可以进行因式分解，则□可以为 .（写出一个即可) 7.下列各式：①(5a-1)2=25a2-10a+1;②(a-6)(a+6)=a2-36;③m2-4=(m+ 2)(m-2);④2xy-2xz=2x(y一之).属于整式乘法的是 ,属于因式分解的 是 .(填序号) 8.若将多项式x2一8x+m分解因式得到(x一10)(x十n),则m= ,n= 9.下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？若不是，请说明理由. (1)(x+4)(x-4)=x2-16; (2)m2-9=(m-3)(m+3); (3)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1; (4)x2-2x+1=x(x-2)+1; (5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2; (6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2. 78》 第9章因式分解 10.已知2x2+3x一6+=(x-2)(2x+5),但是其中部分一次式被墨水污染看不清了. (1)求被墨水污染的一次式. (2)若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围. 课后拓展 11.若将一个多项式因式分解的结果是(b3十2)(2-b3),则这个多项式是 () A.b6-4 B.4-b6 C.b6+4 D.-b6-4 12.已知在x2十mx-16=(x+a)(x十b)中，a、b为整数，则能使这个因式分解过程成立的m 的值有 () A.4个 B.5个 C.8个 D.10个 13.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 14.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b,分解结果为(x+2)(x十4)；乙看错了 a,分解结果为(x+1)(x+9).则a十b= 15.小华认为在多项式2x2十3x+1中一定有因式(x十1)，他是这样想的：2x2+3x十1= 2x2+2x+x+1=2x(x+1)+(x+1)=(x+1)(2x+1). 你认为他这样做有道理吗？若你认为有道理，试着判断x2十3x十2中有没有因式(x十1)； 若你认为没有道理，试说出其中的错误所在 《79 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》》》) 9.2提公因式法 课堂演练 1.(教材练习变式)将6x3y2一3x2y3分解因式时，应提取的公因式是 A.3xy B.3x2y C.3x2y3 D.3x2y2 2.下列多项式的分解因式，正确的是 A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz) B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2) C.-x2十xy-xx=-x(x2+y-之) D.a2b+5ab-b=b(a2+5a) 3.若b-a=-6,ab=7,则a2b-ab2的值是 () A.42 B.-42 C.13 D.-13 4.直接写出下列多项式各项的公因式： (1)2ax+4ay: (2)3x2+6x: (3)4a2-6a: (4)4x2y-12xy: (5)-5a2x+15ax2: (6)-x3+2x2-3x: 5.多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式 后，另一个因式是 6.（1)-x2+2xy-xz=( )(x-2y+z);(2)4x2-12xy=4x( 7.用提公因式法分解因式： (1)(2025·宜宾)a2-a= (2)(2025·长沙)mx-2my= (3)(2025·广东)a2b+ab2= (4)8a2b-2ab= 8.若8x2y3-12xy2=M(3-2xy),则M= 9.将下列各式分解因式： (1)5x2y3-25x3y2; (2)2a3-4a2+8a; (3)-8x+48x3y; (4)-4m3+16m2-26m. 10.先分解因式，再代入求值. (1)已知a2-b2=2,ab=2,求a3b+2a2b2-ab3的值. (2已知2z-y=日y=2,求22y-y的值 80> 第9章因式分解 课后拓展 11.把5(a-b)十m(b一a)提公因式后一个因式是(a一b),则另一个因式是 A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5 12.计算(-2)2026+(-2)2025的结果是 A.22025 B.-2 C.-22025 D.-1 13.把(a一b)(a2十ab十b2)十ab(b-a)分解因式的结果是 A.(a-b)(a2+b2)B.(a-b)(a+b)2 C.(a-b)3 D.(a-b)(a+b) 14.分解因式：(x+3y)2-(x+3y)= ;(a-b)2-(b-a)3= 15.把下列各式分解因式： (1)2(a-3)2-a+3; (2)3m(x-y)-2(y-x)2: (3)18b(a-b)2-12(a-b)3; (4)6x(x+y)-4y(x+y); (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a); (6)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q). 16.计算： (1)911-910-8×910; (2)28.8×11.6+28.8×18.4-28.8×20. 17.阅读下列因式分解的过程，再回答后面提出的问题. 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次. (2)分解1十x十x(x十1)十x(x十1)2+…十x(x十1)226需应用上述方法 次，结 果是 (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)"(n为正整数，要求写出具体 过程). 《81 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》》)》) 9.3公式法 第1课时运用平方差公式 课堂演练 1.(教材练习变式)将1一4y2因式分解的结果为 () A.(1-2y)(1+2y)B.(2-y)(2+y) C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2y) 2.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是 () A.x2-9 B.x2+16 C.x2+2x+1 D.4x2-4x+1 3.下列分解因式正确的是 () A.a2-9b2=(a+2b)(a-2b) B.-x2+y2=(-x+y)(x-y) C.-a2+9b2=-(a+3b)(a-3b) D.4x2-y2=(-2x-y)(2x+y) 4.直接写出因式分解的结果： (1)(2025·内江)a2-1= (2)9-a2=; (3)(2025·连云港)x2-9= (4)(xy)2-1= 5.填空：9x2一 =(3x-4y)·( ) 6.若a+b=8,a-b=5,则a2-b2= 7.把下列各式分解因式： (1)25x2-16y2; (2)-4m2+25n2; (3)121x2-144y2; (4)25x2-1 y (5)0.49p2-144; (6)x2y2-x2; (7)9a2a-4 (8)(x+2)2-9; (9)(x+a)2-(y+b)2. 课后拓展 8.(x一1)2一9因式分解的结果是 () A.(x+8)(x+1)B.(x+2)(x-4) C.(x-2)(x+4)D.(x-10)(x+8) 9.64-(3a-2b)2因式分解的结果是 () A.(8+3a-2b)(8-3a-2b) B.(8+3a+2b)(8-3a-2b) C.(8+3a+2b)(8-3a+2b) D.(8+3a-2b)(8-3a+2b) 82》 第9章因式分解 10.已知x2一9y2=16,x+3y=2,则x-3y的值为 ( A.8 B.4 C.2√2 D.2 11.若x十y=2,x-y=1,则代数式(x十1)2-y2的值为 12.把下列各式分解因式： (1)(a+b)2-4a2; (2)4a2-9(b+c)2; (3)25(a+b)2-4(a-b)2; (4)81(a+b)2-4(a-b)2; (5)a4-16; (6)m4-16n4. 13.已知4m+n=40,2m-3n=5,求(m十2n)2-(3m-n)2的值. 14.观察下面计算过程： (1-1-=(1-1+21-31-)=××号×号=2× 1-11-制-号××号×××名× 、4421 4； 11-01-1-)3×2×号×××××号-×g… 你发现了什么规律？用含n的式子表示这个规律，并用你发现的规律直接写出 (1-2(1-1-)…(1-2026)的值 《83 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)》))园 第2课时运用完全平方公式 课堂演练 1.(教材练习变式)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.x2-6x+9 2.若多项式x2+1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项 式不可以是 () A.2x B.-2x D. 3.下列因式分解结果正确的是 ( A.a2+4a=a2(a+4) B.a2-9=(a+9)(a-9) C.a2-2a+1=(a-1)2 D.a2+2a+4=(a+2)2 4.用公式法分解因式： (1)(2025·甘肃)x2-6x+9= (2)x2-4x+4= (3)a2+2a+1= (4)9a2-6a+1= 5.在横线上填合适的因式： (1)25x2+10x+1= (2)1-2b+b2= (3)x2+4x+ =(x十 )2; (4)4m2+ +9n2= 2 6.若多项式x2-ax+可因式分解为(x+)户，则a 7.若多项式x2一3(m一2)x十36能用完全平方公式分解因式，则m的值为 8.把下列各式分解因式： (1)a2-14ab+49b2; (2)02 3n十n2; (3)a2+a6+4b; (4)x2y2-2xy+1; (5)16.x2y2-40xy+25; (6)(x+1)(x+2)+ 41 84》 第9章因式分解 9.利用因式分解计算： (1)45.82-2×45.8×35.8+35.82; (2)2022+202×196+982. 课后拓展 10.已知x是有理数，则多项式x-1-}2的值 () A.一定为负数 B.不可能为正数 C.一定为正数 D.可能是正数或负数或零 11.在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，对(x2+y2)(x2+y2一8)+16进行 因式分解的结果是 () A.(x2+y2-4)2B.(x-y)4 C.(x2-y2-4)2 D.(x2+y2+4)2 12.(1)已知x2+y2=4,xy=2,则x-y的值为 (2)若x-y=5,xy=6,则x2-3xy十y2的值为 13.若m=3n十2，则m2-6mn+9n2的值是 14.将下列各式因式分解： (1)1-6(a-1)+9(a-1)2; (2)(2x-5)2+6(5-2x)+9; (3)(a+b)2-2c(a+b)+c2; (4)a2+4a(a+b)+4(a+b)2. 15.已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,比较代数式P、Q的大小. 16.先阅读材料，再回答问题. 分解因式：(a-b)2-2(a-b)十1. 解：设a-b=M,则原式=M2-2M+1=(M-1)2, 再将a-b=M还原，得原式=(a-b-1)2. 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列 问题. (1)分解因式：(x+y)(x+y-4)+4. (2)若a为正整数，则(a一1)(a一2)(a-3)(a一4)+1为整数的平方，试说明理由. 《85 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)))>)) 第3课时综合运用提公因式法、公式法分解因式 课堂演练 1.(教材练习变式)将x3一4x因式分解的结果为 A.x(x2-4x) B.x(x+4)(x-4) C.x(x+2)(x-2) D.x(x2-4) 2.将2a2一12a+18因式分解的结果为 A.2(a2-6a+9) B.(a-3)2 C.2(a-3)(a+3)D.2(a-3)2 3.下列因式分解正确的是 A.4x3-8x2y+4xy2=4x(x2-2xy+y2) B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.x2+2x+1=x(x+2)+1 D.x2-25x=(x+5x)(x-5) 4.分解因式：(1)(2024·扬州)2x2-4x十2= (2)x2y-4y= (3)-y2+2y-1= 5.已知x+y=1,则代数式22十y十22的值为 1 6.将下列各式分解因式： (1)3x4-12x2; (2)4ax2+16axy+16ay2; (3)a2(x-y)+b2(y-x); (4)9(x-y)2-4(x+y)2; (5)(a2+1)2-4a2; (6)16x4-8x2y2+y4. 7.计算： (1)80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52； (2)20263-2025×2026×2027. 86》 第9章因式分解 课后拓展 8.若3x3-mxy2=3x(x十2y)(x-2y),则m的值为 A.12 B.-12 C.6 D.-6 9.在一个边长为12.75cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25cm的正方形，剩下部分的 面积等于 () A.100cm2 B.105cm2 C.108cm2 D.110cm2 10图式分解，紧+a十 11.如图，长、宽分别为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+ 2a2b2的值为 12.把下列各式分解因式： 2-2 (2)3a(b2+9)2-108ab2; (3)(x2-2)2+14(2-x2)+49; (4)8x2-16x4-1; (5)(x2-2x)2+2(x2-2x)+1; (6)9(x-y)2-12(y2-x2)+4(x+y)2. 13.已知x-y=1,xy=2,求x3y-2x2y2+xy3的值. 14.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一 项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添 项.例如：x4十4=(x4十4x2十4)-4x2=(x2十2)2-(2x)2=(x2-2x十2)(x2十2x十2). (1)按照这种方法把多项式x4+4y分解因式. (2)分解因式：a4+a2b2+b4. 《87 课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)))>)》) 综合与实践 1.阅读课本材料《用配方法分解二次三项式》，回答下列问题： (1)在4x2一12x+8的配方过程中，首先提取公因式 ,得到 ,然后配方. (2)使用配方法分解因式：x2+5x十6. (3)使用配方法分解因式：4x2-12x十5. 2.“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2十bxy十cy2的关于x,y的二次三项 式来说，方法的关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1、a2的积，即a=a1·a2,把y 项的系数c分解成两个因数c1、c2的积，即c=c1·c2,并使a1·c2十a2·c1正好等于xy项 的系数b,则可以直接写成结果：ax2+bxy十cy2=(a1x十c1y)(a2x十c2y). 例：分解因式：x2-2xy-8y2. 解：如图1，其中1=1×1，-8=(-4)×2，而-2=1×(-4)+1×2， .x2-2xy-8y2=(x-4y)(x+2y). 图1 88》 第9章因式分解 对于形如ax2+bxy十cy2十dx+ey+f的关于x、y的二元二次式也可以用十字相乘法来 分解.如图2，将a分解成m、n的乘积作为一列，c分解成p、g的乘积作为第二列，f分解成 j、k的乘积作为第三列，若mg十np=b,pk十qj=e,mk十n=d,即第1,2列、第2,3列和 第1,3列都满足“十字相乘”规则，则原式=(mx十py+j)(nx十qy十). 图2 例：分解因式：x2十2xy-3y2十3x+y+2. 解：如图3，其中1=1×1，-3=(-1)×3,2=1×2，而2=1×3+1×(-1)，1=(-1)×2十 3×1,3=1X2+1×1,∴.x2+2xy-3y2+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2). 图3 请同学们通过阅读上述材料，回答下列问题： (1)分解因式：6x2-7xy+2y2= ;x2-6xy+8y2-5x+14y+6= (2)若关于x、y的二元二次式x2十7xy-18y2-5x十my-24可以分解成两个一次因式的 积，求m的值. (3)已知x、y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x十4y=-1,求x、y的值， 《89 一课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版))>)) 复习课 知识梳理 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个 的 的形式，这种变形叫作因式分解. 因式分解 2.因式分解与整式乘法的关系：多项式 整式乘法 几个整式的积的形式 3.因式分解的方法 (1)提公因式法 ①依据：am+bm+cm=m(a十b+c); ②步骤：找公因式；提公因式；确定另一个因式 (2)公式法 ①平方差公式：a2-b2=(a+b)( ②完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2 4.因式分解的步骤 (1)一提：有公因式的先提 (2)二套：套用 (3)三检查：检查因式分解的结果是否分解 5.因式分解的应用 (1)简便计算；(2)求代数式的值. 题组提优训练 目/考点一/因式分解的意义 1.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 A.a(x-y)=ax-ay B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.x2-4x+3=x(x-4)+3 D.a'+1-a(a+i) 2.若多项式x3十ax2十bx一8有两个因式x十1和x一2，则a十b= 目/考点二/提公因式法分解因式 3.把多项式一7ab一14abx+49aby分解因式，提公因式一7ab后，另一个因式是 A.1+2x-7y B.1-2x-7y C.-1+2x+2y D.-1-2x+7y 4.代数式x2一9与x2一6x十+9的公因式是 90》 第9章因式分解 5.把下列各式分解因式： (1)18a3bc-45a2b2c2; (2)-20a-15ab; (3)18x+1-24x”; (4)15(a+b)2+3y(b+a); (5)2a(b-c)+3(c-b). 目/考点三/公式法分解因式 6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 () A.x2+x+1 B.x2+2x-1 C.x2-1 D.81+18x+x2 7.对于下列多项式：①a2十b2;②a2-b2;③一a2十b2;④-a2一b2.能用平方差公式进行因式 分解的是 () A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 8.分解因式：x2一4x+4= 9.（2025·山西)因式分解：m2-16= 10.若x+y=2,则代数式x2一y2+4y的值为 11.若多项式x2-(m一1)x十16能用完全平方公式进行因式分解，则m=· 12.把下列各式因式分解： (1)-64m2+81n2; (2)(2x+y)2-(x-2y)2; (3)(x+y)2-10(x+y)+25; (4)(x-y)2+4xy. 《⑨1 一、课时提优计划作业本数学八年级下册(SK版)少>>)>司 目/考点四/综合法分解因式 13.下列因式分解正确的是 A.9-6.x+x2=(x-3)2 B.a2+2ab-4b2=(a+2b)2 C.3ax2-6a.x=3(a.x2-2ax) D.m4+1-2m2=(2m2-1)2 14.分解因式：3mx2-6mxy+3my2= 15.（2025·北京)分解因式：7m2-28= 16.把下列各式因式分解： (1)a2(x-y)+b2(y-x); (2)16x4-8x2y2+y4; (3)9(x+y)2-(x-y)2; (4)(x2+4)2-16.x2. 目/考点五/因式分解的应用 17.已知a、b是△ABC的两边长，且满足a2-b2=ac一bc,则△ABC的形状是 直击中考前沿 1.(2025·广西)a2-1因式分解的结果为 A.(a+1)(a-1) B.a(a+1) C.(a+1)2 D.(a-1)2 2.(2025·吉林)因式分解：a2-ab= 3.(2025·扬州)分解因式：a2-4= 4.(2025·苏州)因式分解：x2-9= 5.(2025·绥化)分解因式：2mx2-4mxy+2my2= 6.(2025·烟台)因式分解：2x2-12xy十18y2= 7.(2025·自贡)若2a+b=-1,则4a2+2ab-b的值为 92》 第9章因式分解 8.(2025·齐齐哈尔)分解因式：2x3一8x. 9.(2025·重庆)我们规定：一个四位数M=abcd,若满足a十b=c十d=10,则称这个四位数 为“十全数”.例如：四位数1928，因为1+9=2+8=10，所以1928是“十全数”. (1)按照这个规定，求最小的“十全数”. (2)一个“十全数”M=abcd,将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字 圆换位置，得到一个新的数M=dba,记EQMD三，8，GOM三十，君 4F(M0)十G(M)十15与a6十c均是整数，求满足条件的M的值. 13 17 《93