精品解析：2026年山东省泰安市东平县中考二模考试数学试题

2025～2026学年第二次模拟检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 2. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国邮政发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 函数的自变量x的取值范围是_______． 12. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 13. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 15. 对于正整数，根据除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．若对正整数进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的的值之和为__________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、化简求值 （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中、满足． 17. 如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： （1）求的度数； （2）求的值． 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 19. 2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测． 【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率． 样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b 表中___________；___________． 请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩． 【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示． A组：；B组：；C组：． 请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）． 【监测反思】 ①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？ 20. 新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． （1）门打开的最大角度______； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，， ．（参考数据：，，，， （1）求的长； （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，当时，的最大值为，求的值； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二次模拟检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列四个数中，最大的是( ) A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较规则，先区分正负，再比较正实数大小即可得到结果． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴负数和0都小于正数和，只需比较和的大小． 对两个正数平方得，， ∵， ∴， 因此四个数的大小关系为，故最大的数是2． 2. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 4. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵对于科学记数法，当 时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，， ∴将的小数点向左移动位，得到原数为． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则，完全平方公式逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 中国邮政发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择1种购买，购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定总的可能结果数和满足条件的结果数，利用概率公式  计算即可 【详解】解：∵邮票共有4种不同图案，分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带 ∴总的可能结果数   ∵购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的情况只有1种 ∴满足条件的结果数   ∴购买的邮票图案恰好是莫比乌斯带的概率 ． 7. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有个客人，个盘子．则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子， 根据题意，得， 故选：D． 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求面积为四分之一圆的面积减去四分之一正十二边形的面积，四分之一正十二边形由3个顶角为、腰长为半径的等腰三角形组成，利用含角的直角三角形性质求出三角形的高，进而求出面积； 【详解】解：设圆半径为，则， 四分之一圆的圆心角为，  四分之一圆的面积， 正十二边形的中心角为，  图中四分之一正十二边形包含个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为，，， 过点作于点， 在中，，，  ， ， 四分之一正十二边形的面积， 剩余面积 ． 9. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， 通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 10. 在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，角平分线的判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质；能够通过给的面积关系，确定点的位置是解题的关键． 设点到的距离为，点到的距离为，根据面积比求得，则点在的角平分线上，作点关于的对称点，当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为，在等边三角形中求出的长即可． 【详解】解：设点到的距离为，点到的距离为， ， ， 点在的角平分线上， 作点关于的对称点， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，此时最小值为， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 函数的自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，列出不等式求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴且． 12. 如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 13. 如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需分情况讨论方程的类型，当时方程为一元一次方程，当时方程为一元二次方程，结合判别式与根的关系求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式， 即， 解得，此时． 综上，的取值范围为． 14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 15. 对于正整数，根据除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．若对正整数进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的的值之和为__________． 【答案】11 【解析】 【分析】先根据二次变换的结果为，求出第一次变换后所有符合条件的正整数，再逆推得到所有满足条件的正整数，最后计算所有符合条件的和即可． 【详解】解：设第一次变换后得到的数为，对进行一次变换得到，分三种情况讨论： 若除以余数为，则，解得，是正整数，符合题意； 若除以余数为，则，解得，不是正整数，不符合题意，舍去； 若除以余数为，则，解得，不是正整数，不符合题意，舍去； 因此第一次变换后得到的数只能为． 对正整数进行一次变换得到，分三种情况讨论： 若除以余数为，则 ，解得，是正整数，符合题意； 若除以余数为，则，解得，不是正整数，不符合题意，舍去； 若除以余数为，则，解得，是正整数，符合题意； 因此所有满足条件的的值为和， 它们的和为． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算、化简求值 （1）计算； （2）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）依据负指数幂、特殊三角函数、绝对值、零次幂公式分项求值，再计算即可． （2）先由平方+算术平方根非负性求，再分式通分、因式分解、除变乘约分，后代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， 解得， ， 当，时原式． 17. 如图，中，，，是的角平分线． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F． ②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G． ③以点G为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H． ④画射线． ⑤以点B为圆心，长为半径画弧，交射线于点M． ⑥连接分别交于点N，P．根据以上信息，解决以下两个问题： （1）求的度数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知，，由，，是的角平分线，得，，，过M作于点K，可得四边形为矩形，得，即得； （2）设，则，由矩形及平行线的性质得，由正切关系得，在中，由正切关系求得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据作图可知，． ，， 为等腰直角三角形，， 又是的角平分线， ，， ∴， 过M作于点K，则，如图所示： 是的角平分线，， ，即， ， ， ∴四边形为矩形， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， 即， 在中，， 即， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角函数等知识，掌握这些知识是关键． 18. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个 （2）费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购个单枪新能源充电桩，则加购个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为 如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍 解得 随的增大而减小 答：费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个． 19. 2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测． 【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率． 样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b 表中___________；___________． 请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩． 【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示． A组：；B组：；C组：． 请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）． 【监测反思】 ①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？ 【答案】学科测试：小亮、小莹作答相同试卷的概率为；，；评判见解析；问卷调查：甲校样本学生阅读课外书的平均数为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；监测反思：①答案见解析；②不可行，原因见解析 【解析】 【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位数和众数的定义求a和b的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可； 问卷调查：根据平均数的定义求解即可； 监测反思：①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小． 【详解】学科测试：设3套不用的试卷分别为1、2、3，列表如下： 1 2 3 1 （1,2） （2,1） （3,1） 2 （1,2） （2,2） （3,2） 3 （1,3） （2,3） （3,3） 一共有9种情况，而满足题意的有三种情况， ∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为， 由表可得甲校的中位数， 乙校的众数； 从平均数看两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看乙校的成绩好于甲校； 问卷调查：根据频数分布直方图可得， 甲校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）， 乙校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）； 监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些； 从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳； 综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量； ②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩． 【点睛】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，以及列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩． 20. 新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． （1）门打开的最大角度______； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）需大于 （3）能放进，理由见解析． 【解析】 【分析】（）易得，进而可得的余弦值，即可求得的度数，则可以求得的度数； （）作于点，连接，求得的长度，加上的长度，即可求得点到的距离，进而可得开关门不受阻挡，与的距离范围； （）求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：在图中作于点，连接， 则，， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴与的距离需大于； 【小问3详解】 解：能放进直径为的圆柱形桶，理由如下： 如图，设圆心为，内切圆半径为，连接切点，，，则四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴能放进直径为的圆柱形桶． 21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，， ．（参考数据：，，，， （1）求的长； （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 【答案】（1） （2）云梯大约旋转了 【解析】 【分析】掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作 于点G，过点D作 于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 22. 已知抛物线过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，当时，的最大值为，求的值； （3）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式求出，再代入对称轴公式​直接计算即可得对称轴； （2）代入得抛物线顶点式，分情况讨论的最大值和对称轴的位置，代入最大值点解方程并舍去不合理的解即可； （3）写出、两点坐标求出的绝对值表达式，分两种情况去绝对值，根据二次函数开口和对称轴，找出随增大而减小的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，由（1）可知，则， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，（舍去）， ∴最大值必在时取得， 当，即时，令时， 即，解得，（舍去）， 综上可知； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴， 当，即， 此时或， ， ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵或， ∴， 当，即，此时， ， ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵， ∴， 综上可知，或时，随的增大而减小． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．数学活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论． 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处． （1）【问题解决】 赵虎同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是__________，与的数量关系是__________． （2）【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； （3）【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，求出的最小值． 【答案】（1）， （2）的面积为定值，的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明可得、，再利用角的和差以及垂直的定义即可解答； （2）如图：作于N，证明得出，利用折叠的性质可得，即，最后利用三角形的面积公式求解即可； 即可得出结论； （3）如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，利用证明得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 如图：过F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：的面积为定值，的面积为． 如图：作于N， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处 ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：作点C关于的对称点Q，连接、、，则垂直平分， ∴， ∵将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长， 当时，，， ∴，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $