精品解析：2025年河北省唐山市丰南区中考数学二模试卷

2025年河北省唐山市丰南区中考数学二模试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 4. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图、左视图、俯视图的面积分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年中国某科研团队在量子计算领域取得突破，其研发的新型量子计算机每秒可进行约123000000000000次运算，将这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（ ） A. B. C. ，两点之间的距离为 D. ，，三点共线 7. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 8. 八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．”以下是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 淇淇 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． A. 都正确 B. 都不正确 C. 只有嘉嘉的正确 D. 只有淇淇的正确 9. 《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ） A. 走路快的人和走路慢的人的速度比为 B. 可得方程： C. 值为250 D. 可得方程： 10. 如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，当点落在的平分线上时，交于点，此时的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 11. 如图，分别为的中线，和相交于点，点为的中点，连接，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 12. 如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 实数，在数轴上对应的点如图所示，则______0(选填“”或“”)． 14. 若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 15. 如图，将含有的直角三角板的直角顶点和原点重合，转动三角板，使点落在的图象上，点正好落在第一象限内反比例函数的图象上，则的值是______． 16. 如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低级的关卡胜利才能到高级的关卡．例如：玩家同第1关，一次成功，能量值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点． （1）求每关的奖励值和惩罚值（用正负数表示奖励和扣除）； （2）嘉嘉同学通过第4关后能量值变为了145，则嘉嘉同学闯关中一共失败了几次； （3）嘉嘉要想能玩到第11关，且能量值不低于220点，则嘉嘉最多能失败几次？ 18 已知：分式， （1）计算； （2）利用（1）结论，解分式方程． 19. 某实验中学为了解学生周末玩手机时间，随机抽取部分学生进行调查，将所得数据整理成如下不完整的频数分布表，根据统计表解答下列问题． 时间（小时／周） 痴迷手机类型 频数 频率 极低型 轻度型 中度型 重度型 极重度型 （1）求样本容量及，的值； （2）利用各组的“组中值”求这组数据的平均数，并指出中位数落在哪一组； （3）该中学共有学生名，估计该校学生中周末玩手机时间不低于小时的学生的人数； （4）该校决定对抽查“极重度型痴迷手机”的名学生进行进一步调查，已知该名学生有名男生和名女生，若从中随机抽取名学生，请用画树状图或列表法求抽到的学生恰好是名男生和名女生的概率． 20. 某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式扶梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡与地面的夹角，米；改造后斜坡的坡度． （1）求的长（取1.73，结果保留一位小数）； （2）扶梯顶部距水平距离6.6米的处有一广告牌，米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌和点的距离调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 21. 如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 22. 【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算的长和扇形的面积（取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 23. 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点A，B（点在点左侧）． （1）求抛物线的解析式和A，B两点坐标； （2）线段上的两个点，分别过点D，E作轴的垂线交抛物线于点N，M，连接． ①线段的长度能否为线段长度的2倍，若能，求出的值，若不能，请说明理由； ②当为何值时的值最小，最小值是多少？ ③当时，直接写出的取值范围． 24. 如图1，在菱形中，，连接，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，设运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点，连接． （1）当点落在上时，的值为______； （2）如图2，当时，与交于点，求证：； （3）如图3，假设对角线上的点和点同时出发，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，当和相似时，求的值； （4）利用图4，作答： ①尺规作图，作出的内心（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河北省唐山市丰南区中考数学二模试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 骆驼最高适应温度为，最低适应温度为，则骆驼适应温度的最大温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，根据温差最高温度最低温度，列式即可解答，理解温差最高温度最低温度是解题关键． 【详解】解：骆驼最高适应温度为，最低适应温度为， 骆驼适应温度最大温差：． 故选：D． 2. 如图，和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线的平行和相交，三角形的外角性质．根据三角形的外角性质即可判断． 【详解】解：如图，直线和相交， 由三角形的外角性质知，， 故选：A． 3. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据求出，即可得到答案． 详解】解：， ， 故选：C． 4. 如图，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图、左视图、俯视图的面积分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用小立方块组成几何体的三视图，分别得出三视图是解题关键．根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，根据面积的大小，可得答案． 【详解】解：根据图形可知：从正面可以看到4个小正方形，从左面可以看到3个小正方形，从上面可以看到4个小正方形， 设一个小正方形面积为a， 则，，， ∴， 故选：D． 5. 2025年中国某科研团队在量子计算领域取得突破，其研发的新型量子计算机每秒可进行约123000000000000次运算，将这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：； 故选：C． 6. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（ ） A. B. C. ，两点之间的距离为 D. ，，三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由旋转性质可知，，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， 由于题中没有说明， ∴不能说明，原选项错误，符合题意； 、连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，两点之间的距离为，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， ∴，，三点共线，原选项正确，不符合题意； 故选：． 7. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8. 八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．”以下是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 淇淇 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． A. 都正确 B. 都不正确 C. 只有嘉嘉的正确 D. 只有淇淇的正确 【答案】A 【解析】 【分析】嘉嘉：根据平行四边形的性质得，，根据中点的定义得，，，，继而得到，，即可得证； 淇淇：根据平行四边形的性质得，，根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，即可得证； 【详解】解：嘉嘉和淇淇的做法都是正确的． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，中点的定义，三角形中位线定理等知识点，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 9. 《九章算术》中记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步；今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“现有走路快的人走100步，走路慢的人只能走60步；现在让走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？”设走路快的人走x步，则下列说法错误的是（ ） A. 走路快的人和走路慢的人的速度比为 B. 可得方程： C. 的值为250 D. 可得方程： 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查行程问题中的追及问题，关键在于理解相同时间内速度比等于路程比，利用这个关系建立方程，通过分析各个选项与正确方程及计算结果的差异来判断对错．本题是行程问题中的追及问题，根据走路快的人和走路慢的人在相同时间内的步数关系来建立方程求解，需要判断各个选项的正确性． 【详解】解：选项A： 已知走路快的人走步，走路慢的人走步，相同时间内速度比等于路程比， ∴速度比为，该选项正确． 选项B： 设走路快的人走步，已知速度比为，那么在走路快的人走步的时间内，走路慢的人走的步数是步 ，而走路慢的人先走步， ∴应该是，变形为，而不是，该选项错误． 选项C： 根据方程，交叉相乘得，去括号得，移项可得，即，解得，该选项正确． 选项D： 设走路快的人走步，已知速度比为，根据时间 = 路程÷速度，两人所用时间相等，则，该选项正确． 故选：B． 10. 如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，当点落在的平分线上时，交于点，此时的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键． 先由勾股定理求得，再平移性质得：，，从而可tj bm ，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由平移性质得：，， ∴， ∵ 是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，分别为的中线，和相交于点，点为的中点，连接，若的面积为4，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中线，中位线性质得到，，证明，利用相似三角形性质推出，再结合三角形重心性质求解，即可解题． 【详解】解：⸪分别为的中线， ， 点为的中点， ，， ，， ， ， ⸪的面积为4， ⸫， ⸪和相交于点，即点为的重心， ， 的面积为； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线，中位线，相似三角形性质和判定，三角形重心性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 12. 如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵两抛物线的对称轴相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 联立得：， 解得：或， ∴两抛物线的的交点分别为或， 即它们交点所在的直线为， ∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为， 即两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数， ∴两抛物线的开口大小一样， ∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确； 如图，连接， 由抛物线的对称性得：， 根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴， ∴， ∵两抛物线的顶点到直线的距离相等， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故③正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴不符合题意， ∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误； 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 实数，在数轴上对应的点如图所示，则______0(选填“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】先根据、在数轴上的位置确定出其符号，再根据两点与原点的距离即可进行解答． 【详解】解：由数轴上、两点的位置可知，，， 到原点的距离大于到原点的距离， ． 故答案为：． 14. 若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，二次根式有意义的条件．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则整数a的最小值是3． 故答案为：3． 15. 如图，将含有的直角三角板的直角顶点和原点重合，转动三角板，使点落在的图象上，点正好落在第一象限内反比例函数的图象上，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，涉及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点分别作轴的垂线，垂足为，则，则，可证明，由题意可设，由相似三角形性质得到，则，即可求解． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为，则， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴ 由题意可设， 则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可． 【详解】∵正六边形， ∴， ∴， ∵，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某闯关小游戏，玩家初始能量值为100点，每通过1关可获得固定能量奖励；相反，每失败1关需要扣除固定能量惩罚，只有低级的关卡胜利才能到高级的关卡．例如：玩家同第1关，一次成功，能量值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点． （1）求每关的奖励值和惩罚值（用正负数表示奖励和扣除）； （2）嘉嘉同学通过第4关后能量值变为了145，则嘉嘉同学闯关中一共失败了几次； （3）嘉嘉要想能玩到第11关，且能量值不低于220点，则嘉嘉最多能失败几次？ 【答案】（1）奖励值为15，惩罚值为； （2）失败了3次 （3）嘉嘉最多能失败6次 【解析】 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算的应用，不等式的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意利用有理数的加减法即可求解； （2）根据题意利用有理数的四则运算求解即可； （3）设嘉嘉最多能失败x次，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵玩家闯第1关，一次成功，能量值变为115点；玩家闯第2关，第一次失败，能量值变为110点． ∴， ∴奖励值为15，惩罚值为； 【小问2详解】 解：根据题意得一次性通过四关后能量值为：， 现在能量值为145， ∴， ∴失败了3次； 【小问3详解】 解：设嘉嘉最多能失败x次， 根据题意得：， 解得：， ∴嘉嘉最多能失败6次． 18. 已知：分式， （1）计算； （2）利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 19. 某实验中学为了解学生周末玩手机时间，随机抽取部分学生进行调查，将所得数据整理成如下不完整的频数分布表，根据统计表解答下列问题． 时间（小时／周） 痴迷手机类型 频数 频率 极低型 轻度型 中度型 重度型 极重度型 （1）求样本容量及，的值； （2）利用各组的“组中值”求这组数据的平均数，并指出中位数落在哪一组； （3）该中学共有学生名，估计该校学生中周末玩手机时间不低于小时的学生的人数； （4）该校决定对抽查的“极重度型痴迷手机”的名学生进行进一步调查，已知该名学生有名男生和名女生，若从中随机抽取名学生，请用画树状图或列表法求抽到的学生恰好是名男生和名女生的概率． 【答案】（1）样本容量为，，； （2）小时，中位数落在“”或“中度型”这一组； （3）估计该校学生中周末玩手机时间不低于小时的学生的人数为名； （4）抽到的学生恰好是名男生和名女生的概率． 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，中位数、加权平均数，样本估计总体，列表法与树状图法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）样本容量为“”的频数除以频率即可，然后通过“总数频数频率”即可求出的值； （）先求出五个组的组中值，然后利用加权平均数的计算方法即可求解； （）通过样本估计总体即可求解； （）画出树状图得到一共有种等可能结果，其中恰好是名男生和名女生的结果有种，然后用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， ∴，； 【小问2详解】 解：五个组的组中值分别是：，，，，， 平均数为：（小时）， 中位数是第 和个数据的平均数，落在“”或“中度型”这一组； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校学生中周末玩手机时间不低于小时的学生的人数为名； 【小问4详解】 解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，其中恰好是名男生和名女生的结果有种， ∴抽到的学生恰好是名男生和名女生的概率． 20. 某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式扶梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡与地面的夹角，米；改造后斜坡的坡度． （1）求的长（取1.73，结果保留一位小数）； （2）扶梯顶部距水平距离6.6米的处有一广告牌，米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌和点的距离调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 【答案】（1）的长为； （2）会碰到．需要将调整为超过米才能碰不到广告牌． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）先解，求出和的长，再解，求出的长，进一步求出的长即可； （2）延长交于点，求出的长，进而求出的长，进行判断即可，当调整为米，则米，米，据此列不等计算即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴，， ∵新坡面的坡度， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：会，理由如下： 延长交于点，由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴会碰到． 当调整为米，则米，米， 由题意得， 解得， ∴， 答：会碰到．需要将调整为超过米才能碰不到广告牌． 21. 如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求的值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质． （1）把点坐标代入，求出k的值；联立两个函数关系式求出点C的坐标即可； （2）联立，求出，根据为整点，，为整数，求出k的值即可； （3）先求出直线与直线和的两个交点间距离为，然后分两种情况求出m的值即可． 【小问1详解】 解：把点坐标代入，得， ∴，， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴， ∵为整点， ∴为整数，为整数， 又∵，为整数， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时； 综上分析可知：或． 22. 【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算的长和扇形的面积（取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 【答案】（1），扇形的面积约为； （2）圆锥的高为； （3）最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【解析】 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可； （2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可； （3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，记与交于点， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴扇形的面积； 【小问2详解】 解：设圆锥的底面半径为，， 由题意得， ∴， 过点作垂直于底面，连接， 在中，， 即圆锥的高为； 【小问3详解】 解：每个圆形纸片制作扇形纸片： （个） 制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片： （个） ， 答：最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【点睛】本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点A，B（点在点左侧）． （1）求抛物线的解析式和A，B两点坐标； （2）线段上的两个点，分别过点D，E作轴的垂线交抛物线于点N，M，连接． ①线段的长度能否为线段长度的2倍，若能，求出的值，若不能，请说明理由； ②当为何值时的值最小，最小值是多少？ ③当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；， （2）①不能；理由见解析；②当时，取最小值1；③或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；将代入抛物线的解析式，求出A，B两点坐标； （2）①先得出，，求出，，令，求出，，进行判断即可得出答案； ②先求出，得出当时，最小，即最小，求出最小值即可； ③根据，得出，即，得出或，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设抛物线L的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 把代入得：， 解得：，， ∴点，； 【小问2详解】 解：①∵线段上的两个点， ∴，， 整理得：， ∵点D，E在线段上， ∴，，， ∴，， 则， 解得：，， ∵，， ∴线段的长度不可能为线段长度的2倍； ②∵，， ∴ ， ∵当时，最小，即最小， ∴当时，取最小值1； ③当时，， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，求二次函数解析式，两点间距离公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24. 如图1，在菱形中，，连接，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，设运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点，连接． （1）当点落在上时，的值为______； （2）如图2，当时，与交于点，求证：； （3）如图3，假设对角线上的点和点同时出发，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，当和相似时，求的值； （4）利用图4，作答： ①尺规作图，作出的内心（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）时和相似 （4）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，以及已知条件得出是等边三角形，则，进而证明，根据轴对称的性质可得，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求解； （2）过点作于点，分别求得，进而得出，得出是等腰直角三角形，则，进而得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，结合，即可得证； （3）根据题意可得，，，根据已知得出，进而分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，解比例方程，即可求解； （4）①分别作的垂直平分线交于点，即可求解； ②连接，设的垂直平分线交于点，，则在为半径的上运动，当最小值，在上，进而解直角三角形求得，的最小值为即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 在菱形中，， ∴ ∵ ∴是等边三角形，则 ∵点为的中点， ∴ ∵关于对称 ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时， 如图，过点作于点， 由（1）可得 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴，则， 连接，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度， ∴，， ∵ ∴ ∵和相似， ∴分两种情况讨论， ①当时， ∴，即，此方程无解， ②当时， ∴，即，解得：或（舍去） 综上所述，时和相似， 【小问4详解】 解：①如图，点即为所求； ②如图，连接，设的垂直平分线交于点， ∵，则在为半径的上运动， ∴当最小值，在上， 同（1）可得是等边三角形，则， ∵是的内心， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的内心的性质，解直角三角形，相似三角形的性质，求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$