专题2.2 函数解析式及值域-2027年高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数解析式及值域高考核心考点，涵盖待定系数法、换元法等解析式求法及分离常数、判别式等值域求法，按“方法梳理-典例解析-分层训练”逻辑架构知识体系，通过考点归类、方法拆解、真题演练环节帮助学生突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用问题驱动式教学策略，如换元法求值域时引导学生通过根式换元转化函数模型，培养数学思维与抽象能力，设置基础到综合分层练习，配合即时反馈机制，确保有限时间内高效掌握解题方法，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题2.2 函数解析式及值域 2.2.1 函数解析式 1.待定系数法：解析式类型已知的，比如：一次函数，反比例函数，二次函数，且题目给出相应的条件，一般用待定系数法：先设解析式，再表达出题干的条件，解出答案. 2.换元法：已知复合函数的表达式，求函数解析式：先令，并用t表达x,最终得到，再换回即可，此时要注意t的取值范围. 3.方程组法（消元法）：成对出现或等类型的函数表达式，求函数解析式：一般情况是将另一部分替换x，得到新的等式，再和原等式联立解方程组求出. 4.已知函数奇偶性求函数解析式：已知函数奇偶性和一半函数的解析式，求另一半解析式：①设范围已知；②将代入已知解析式并计算结果；③利用奇偶性计算出答案. 例1.已知，求的解析式及定义域. 解：令，则，，且； 代入原式得， 换回得. 例2.已知，求的解析式及定义域. 解：由三角恒等式，代入原式得：， 令，则，故； 换回得. 例3.已知，且为一次函数，求的解析式. 解：设，则； 与对比得：，解得或. 当-时，，故； 当-时，，故. 例4.已知二次函数满足，且的最小值为，图像过点，求的解析式. 解：由知对称轴为，最小值为， 故设顶点式； 代入点得， 故， 将替换为，得. 例5.已知，求的解析式. 解：将替换为，得：， 与原方程联立：， 消元：将第二个方程乘以2，得， 减去第一个方程：. 例6.已知是定义在上的奇函数，当时，，求时的解析式. 解：设，则，代入已知解析式得； 又为奇函数，故. 所以当时，. 1.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1) ＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c ＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴,解得：. ∴f(x)＝x2－2x－1. 2.已知，则函数的解析式为 . 解：令得,, 3.设为奇函数,且当时,,则当时, . 解: 设, 则,∴ ∴ 设为奇函数, ∴即 4.已知的定义域为，满足，则函数 . 解：因为① 将替换为 ，得到:② ① - ② ，得:， 所以. 5.已知函数，则 . 解: 根据题意,令,则,且,则, 可得所以 6.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 解：由,得, 即 ①, 将换为,得 ②, 由① ②, 得 ,故. 7.，则( ) A. B. C. D. 解: , 则.故选: D. 8.已知，求的解析式及定义域. 解：令，则，原方程为； 若为偶函数，则，故， 即. 9.已知是定义在R上的偶函数，当时，，求时的解析式. 解：设，则，代入已知解析式得； 又为偶函数，故. 10.已知，求的解析式及定义域. 解：令，则，代入原式：， 换回得. 11.已知，求的解析式. 解：将替换为，得：， 与原方程联立：， 消元：第一式乘以2，得， 减去第二式得：， 所以. 12.已知定义域为的函数满足. (1)若,求;又若,求. (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析式. 解: (1)因为对任意,有 所以 又由,得,即 若, 则,即. (2)因为对任意,有. 又因为有且只有一个实数,使得 所以对任意,有 在上式中令,有 又因为,所以,故或 若,则,即 但方程有两个不相同实根,与题设条件矛盾. 故,若,则有,即,此时有且仅有一个实数解. 综上,所求函数为 () 2.2.2 分离常数求函数的值域 1.分离常数主要用来处理形如的有理函数（一次分式函数）.也可推 广到分子分母次数相同或有公共部分的情形，通过恒等变形把“变量部分”单独分离出来. 2.基本思想：将分子改写成“含分母的形式 + 常数”:. 再拆开为:.这样函数就变成：一个常数+一个易求范围的的简单分式，从而只分析的取值范围，再加上常数即可. 例1.求函数的值域. 解：分离常数：， 因为，所以.故答案为：. 例2.求函数在上的值域. 解：先分离常数：， 当时，，则，故. 故答案：. 例3.求函数的值域 解：分离常数：， 分母，故， 则，因此.故答案为：[1，2]. 例4.求函数的值域（）. 解：先化简：，再分离常数：， 因为，所以，故；又时，，时，. 故答案为：. 1.已知函数,则函数的最小值为( ) A. 0.4 B. C.2 D.-1 解: 因为 ,易知 在 上单调递增, 所以 .故选: . 2.函数的值域是 . 解：，所以函数值域是(-∞，1).故答案为：(-∞，1). 3.函数的值域为 . 解：， 因为，所以.故答案为：. 4.函数的值域为 . 解： 因为，所以.故答案为：. 5.已知, 则的值域为 . 解：令，则，由，得，所以， 根据对勾函数的性质，可得函数在上单调递减，单调递增， 所以当时，最小值，又当时，；当时，， 即当时，最大值，所以函数的值域为. 6.函数的值域是 . 解：，所以函数值域是(1，+∞). 7.函数的最大值为 . 解：; 在 上单调递减; 时, 取最大值 . 8.函数在上的值域为 . 解：分离常数：， 当时，，，故，； 当时，，，故，. 综上，值域为.故答案为： 9.函数在上的值域为 . 解：分离常数：， 当时，，则，故. 故答案为：. 10.函数在上的值域为 . 解：分离常数：， 当时，，则，故. 故答案为：. 11.函数在上的值域为 . 解：分离常数：，： 时，，，； 时，，，. 综上，值域为.故答案：. 12.函数的值域（）为 . 解：先化简：， 再分离常数：， 因为，所以，故.故答案为：. 2.2.3 判别式法（万能k法）求函数值域 1.适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,可避免讨论根的分布，直接用判别式判断即可；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论也可考虑此法. 2.解题思路：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题. 3.对于分式函数（，定义域为R），整理为关于的一元二次方程. ①若，验证是否存在实数解； ②若，方程有实根的充要条件为判别式，解不等式即得的取值范围. 例1.函数的值域是__________. 解：由，得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0， 当y＝3时，上式无解． 当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0. 即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3. ∴的值域为∪(3，＋∞).故答案为：∪(3，＋∞). 例2.函数的值域是__________. 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， ①当，即时，方程为，无解，故； ②当时，判别式：， 解得.结合，值域为.故答案为：. 例3.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 解：，，两边平方得:， 即，再平方得:， 化简得: 当,即时, . 此时最大值为 , 不符题意. 所以.因为方程有解,所以. 即化简得:,因为,所以. 又因为的最大值为, 所以.所以. 故答案为：. 1.则函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案为：. 2.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案：. 3.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案：. 4.函数的值域为 . 解：去分母得：，整理为 当时，方程为，解得（满足定义域），故可取； 当时，判别式，解得或. 综上，值域为. 故答案为：. 5.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， 当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； 当时，判别式：， 解得.综上，值域为. 故答案：. 6.已知，且，则的取值范围是 . 解：因为 , 所以 . 又因为,所以,解得 . 故答案为：. 7.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， ①当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； ②当时，判别式：； 化简：，即，解得. 综上，值域为.故答案为：. 8.函数的值域为 . 解：定义域为R，去分母得：， 整理为：， ①当，即时，方程为，解得，存在解，故可取； ②当时，判别式：， 化简：，即，解得. 综上，值域为.故答案：. 9.函数的值域是 . 解: 令,所以, 整理得, 所以关于的方程有实数解. 当时,原式为, 解得,满足. 当时,所以,整理得, 解得,此时且, 综上, 函数的值域为 10.函数的值域为 . 解：因为,整理得, 可知关于的方程有正根. 若,则 , 解得 , 符合题意; 若,则 , 可得或 解得或且,则或或. 综上所述:或,即函数的值域为: 2.2.4 换元法求函数值域 1.换元法是一种常用数学解题方法，通过引入新的变量代替原式中较复杂的部分，将原函数转化为更容易分析的新函数，从而简化计算或推理. 在求函数值域中，换元法的核心思想是：将原函数y=f(x)中“难处理”的部分用新变量t表示，使y成为关于t的较简单函数，再在t的取值范围内求出y的取值范围. 2.常见换元类型 （1）根式换元，隐含. （2）三角换元，需根据的范围确定的取值，保证三角函数的单调性与符号. （3）指数、对数换元，隐含. （4）分式或高次多项式换元，需分和讨论，利用均值不等式或导数求值域. 例1.求函数的值域。 解：令，则，且. 代入原函数得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增. 当时，，故值域为. 例2.求函数的值域。 解：定义域为，令，，则. 则， 当时，，，故. 例3.求函数的值域。 解：令，则，代入得：， 时，，故值域为. 例4.求函数的值域（） 解：令，当时，，代入得：， 开口向上，对称轴，故时，时，值域为. 例5.函数的值域为( ) A. B. C. D. 解：令， 令，则，原函数化为， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 又当时，，当时，，当 时，. 函数()的值域为，则函数 () 的值域为. 1.函数的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 解：函数的定义域为,令, 则， 设，可得， 当时, 有最大值为,所以函数的最大值为. 故选: D. 2.函数的值域是( ) A. B. C. D. 解：当时,；当时,设,则,从而，令. 则, 令 得: 或 , 令得: , 所以 在 , 上单调递增,在上单调递减. 又, 所以 的值域为 , 所以 的值域为.综上, 的值域为 .故选：C. 3.函数的值域为 . 解:由可得即函数的定义域为.所以设 则 因为,所以,所以 所以, 所以函数的值域为,故答案为: 4.若，函数的值域为 ． 解：. 设log2x＝t.∵，∴t∈[－1,2]， 则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－， ∴函数y＝－(t2＋t－2)在[－1,]上单调递增，在[,2]上单调递减， ∴当t＝时，有最大值，且ymax＝.当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2. ∴f(x)的值域为[－1,].故答案为：[－1,]. 5.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 当时，，值域为.故答案为：. 6.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 开口向上，对称轴，最小值：，值域为. 故答案：. 7.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 开口向下，对称轴，最大值：，值域为. 故答案为：. 8.函数的值域为 ． 解：定义域为，令，，则. 故，其中，， ，故.故答案为：. 9.函数的值域为 ． 解：定义域为，令，， 则：， 化简得，时，，，故. 故答案：. 10.函数的值域为 ． 解：定义域为，令，，则. 故， 当时，，，故.故答案：. 11.函数的值域为 ． 解：令，则，代入得：， 开口向上，对称轴，最小值：， 值域为.故答案为：. 12.已知且,则的最小值为 . 解：因为，所以. 当且仅当时等号成立, 所以. 因为， 令,则, , 所以 由对勾函数在上单调递增,则当时函数取到最小值, 所以当时,，所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 函数解析式及值域 2.2.1 函数解析式 1.待定系数法：解析式类型已知的，比如：一次函数，反比例函数，二次函数，且题目给出相应的条件，一般用待定系数法：先设解析式，再表达出题干的条件，解出答案. 2.换元法：已知复合函数的表达式，求函数解析式：先令，并用t表达x,最终得到，再换回即可，此时要注意t的取值范围. 3.方程组法（消元法）：成对出现或等类型的函数表达式，求函数解析式：一般情况是将另一部分替换x，得到新的等式，再和原等式联立解方程组求出. 4.已知函数奇偶性求函数解析式：已知函数奇偶性和一半函数的解析式，求另一半解析式：①设范围已知；②将代入已知解析式并计算结果；③利用奇偶性计算出答案. 例1.已知，求的解析式及定义域. 例2.已知，求的解析式及定义域. 例3.已知，且为一次函数，求的解析式. 例4.已知二次函数满足，且的最小值为，图像过点，求的解析式. 例5.已知，求的解析式. 例6.已知是定义在上的奇函数，当时，，求时的解析式. 1.已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则函数的解析式f(x) . 2.已知，则函数的解析式为 . 3.设为奇函数,且当时,,则当时, . 4.已知的定义域为，满足，则函数 . 5.已知函数，则 . 6.已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 7.，则( ) A. B. C. D. 8.已知，求的解析式及定义域. 9.已知是定义在R上的偶函数，当时，，求时的解析式. 10.已知，求的解析式及定义域. 11.已知，求的解析式. 12.已知定义域为的函数满足. (1)若,求;又若,求. (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析式. 2.2.2 分离常数求函数的值域 1.分离常数主要用来处理形如的有理函数（一次分式函数）.也可推 广到分子分母次数相同或有公共部分的情形，通过恒等变形把“变量部分”单独分离出来. 2.基本思想：将分子改写成“含分母的形式 + 常数”:. 再拆开为:.这样函数就变成：一个常数+一个易求范围的的简单分式，从而只分析的取值范围，再加上常数即可. 例1.求函数的值域. 例2.求函数在上的值域. 例3.求函数的值域 例4.求函数的值域（）. 1.已知函数,则函数的最小值为( ) A. 0.4 B. C.2 D.-1 2.函数的值域是 . 3.函数的值域为 . 4.函数的值域为 . 5.已知, 则的值域为 . 6.函数的值域是 . 7.函数的最大值为 . 8.函数在上的值域为 . 9.函数在上的值域为 . 10.函数在上的值域为 . 11.函数在上的值域为 . 12.函数的值域（）为 . 2.2.3 判别式法（万能k法）求函数值域 1.适用题型：在函数求值域时一般建议用在最简分式含二次项，且定义域为R,可避免讨论根的分布，直接用判别式判断即可；如果定义域不为R，若需要讨论根的分布，不建议此法，若不需要复杂讨论也可考虑此法. 2.解题思路：通过去分母将等式整理成关于x的一元二次方程，利用方程有解转化成方程判别式解题. 3.对于分式函数（，定义域为R），整理为关于的一元二次方程. ①若，验证是否存在实数解； ②若，方程有实根的充要条件为判别式，解不等式即得的取值范围. 例1.函数的值域是__________. 例2.函数的值域是__________. 例3.已知，函数的最大值为，则实数的值为 . 1.则函数的值域为 . 2.函数的值域为 . 3.函数的值域为 . 4.函数的值域为 . 5.函数的值域为 . 6.已知，且，则的取值范围是 . 7.函数的值域为 . 8.函数的值域为 . 9.函数的值域是 . 10.函数的值域为 . 2.2.4 换元法求函数值域 1.换元法是一种常用数学解题方法，通过引入新的变量代替原式中较复杂的部分，将原函数转化为更容易分析的新函数，从而简化计算或推理. 在求函数值域中，换元法的核心思想是：将原函数y=f(x)中“难处理”的部分用新变量t表示，使y成为关于t的较简单函数，再在t的取值范围内求出y的取值范围. 2.常见换元类型 （1）根式换元，隐含. （2）三角换元，需根据的范围确定的取值，保证三角函数的单调性与符号. （3）指数、对数换元，隐含. （4）分式或高次多项式换元，需分和讨论，利用均值不等式或导数求值域. 例1.求函数的值域。 例2.求函数的值域。 例3.求函数的值域。 例4.求函数的值域（） 例5.函数的值域为( ) A. B. C. D. 1.函数的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 2.函数的值域是( ) A. B. C. D. 3.函数的值域为 . 4.若，函数的值域为 ． 5.函数的值域为 ． 6.函数的值域为 ． 7.函数的值域为 ． 8.函数的值域为 ． 9.函数的值域为 ． 10.函数的值域为 ． 11.函数的值域为 ． 12.已知且,则的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $