6.2.4向量的数量积 分层作业-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，通过A、B层分层设计实现从基础概念到综合应用的知识进阶，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|数量积定义、投影向量、模长计算|单选（1-3）、多选（4）、填空（5）、基础解答（6），聚焦单一知识点直接应用| |B层|几何情境（外接圆/重心）、函数与向量结合、多向量夹角|单选（7-9）、多选（10）、综合解答（12），融入跨情境问题，需逻辑推理与模型构建|

6.2.4向量的数量积 分层作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A层 1．若向量满足，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（多选）在正中，边长为3，为边的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D． 5．已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 6．已知平面向量与的夹角为，且. (1)求； (2)若与垂直，求的值. B层 7．如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（    ）    A．10 B．13 C．18 D．26 8．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 9．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量等于. C． D．的最小值为 11．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 12．已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数. (1)记的相伴函数为，当时，若，求的值； (2)已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值； (3)已知为函数的相伴向量，在中，，，且点为的外心，求的最大值. 《 6.2.4向量的数量积》参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 答案 D C B ACD B C D ACD 1．D 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 2．C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 3．B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4．ACD 【分析】利用向量的运算法则计算各个选项可判断. 【详解】， 故选项A正确； 在上的投影向量为： ， ， 故选项B错误； 因为为边的中点， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故选项C正确； 因为为等边三角形，且为边的中点， 所以，，，， 所以：. 故选项D正确. 故选：ACD    5．4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 6．(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； （2）根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，得， 则. （2）因为与垂直， 所以， 即，解得. 7．B 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8．C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 9．D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 10．ACD 【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A，根据投影向量的定义，判断B；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D. 【详解】A.以为邻边作平行四边形，交于点，是的中点， 因为是的重心，所以三点共线，且， 所以，，所以，故A正确；    B.在上的投影向量等于，故B错误； C.如图，因为，所以, 即，即, 因为点是的重心，，故C正确； D. 取的中点，连结，取中点，则，， , 则， , 显然当重合时，，取最小值，故D正确.    故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化. 11． 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 12．(1) (2) (3)6 【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可； （2）将函数化成，由题意推得，化简可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得； （3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得. 【详解】（1）依题意，， 由，可得， 因，则，故， 于是； （2）依题意，，其中，， 因函数在时取得最大值，则，解得， 即，则，， 由 ， 因，函数在上单调递减， 故当时，取得最小值，此时取得最小值为； （3）依题，则，因，则. 如图作于点，因点为的外心，则， 如图， ， 则， 由正弦定理，，则，则， 因，则当时，取得最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $