6.2.4 向量的数量积 第2课时 （题型专练）数学人教A版必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.2.4向量的数量积第2课时 题型一：数量积的运算律、 已知数量积求模 基础达标题 题型二：数量积的运算律 题型三：数量积的运算律、 已知数量积求模、向量夹角 6.2.4向量 的计算 的数量积第 题型一：垂直关系的向量表 示、平面向量数量积的定义 2课时 能力提升题 及辨析 题型二：已知数量积求模 拓展培优题 基础达标题 题型一：数量积的运算律、已知数量积求模 1.(多选题)（江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题）已知a,五，c都 是单位向量，且ab=0,则下列结论正确的有(). A.(a+B)(a-B)=0 B.a+b a-B C.5a-6的夹角为好 D.存在C,使得c=3a+46 5 2.(多选题)(2026高三·全国·专题练习)若平面向量ā，6，c两两的夹角相等，且 a=1,=1,=3,则a+万+c=( A.2 B.√2 C.5 D.5 3.(多选题)(25-26高三上山东·月考)已知a=3,=4,@=6,则下列结论正确 的是() A.a+b+c的取值范围为0,13] B.若a1b,则c-a-的取值范围为1,1 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若a1万且c=Aa+d,ueR),则入+u最大值为号 D.若a1方，则(a+)a-c)的最小值为-21 4.(多选题)(25-26高三上·安微马鞍山·月考)已知点C在以AB为直径的圆上运 动，且AB=2,动点M为平面ABC内一点，且MA.MB=3,则下列结论正确的是 () A.MC的最小值为1 B.CM.AB的最小值为-6 C.MA+MB+2MC的最大值为10 D.MA+MB+2MC的最小值为8 题型二：数量积的运算律 1.(多选题)(2025高一·全国专题练习)（多选题)已知平面内三个非零向量 a,(i=1,2,3)满足a,⊥a2,且a-a=1(规定a4=a),则a·a可能的取值为(). A.1 B.3 C.0 D.4 2.(多选题)(25-26高三上·陕西宝鸡·期中)定义：平面向量ā，满足 ao6=aP+6+16P.若a=2,6=5,aoi=35,则() A.a.b=3 B.cos(. C.26-3aLa D.a-6=15 3.(多选题)（2025高三上·甘肃兰州·专题练习)已知单位向量ā，b的夹角为 0∈(0，π)，则下列结论正确的有() A.(a+B)L(a-B) B.向量a在向量方上的投影向量为a-)万 C.若a+=5,则6=2 3 D.若a+b)a=a-ba,则a⊥b 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(多选题)(25-26高三上·安徽期中)已知向量a,乃满足=2，=3，且 a.b=-3,则() A.a,的夹角为2 B.a+=7 C.在五让的投影向量为场 D.a+a元eR)的最小值为5 题型三：数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 1.(多选题)(2025·广东·模拟预测)若单位向量ā与b垂直，且ā+b与ā+μ6共 线，则() A.a+b与ua+b平行 B.λ2a+b与ā+u26垂直 C.1ā2+μb2的最小值为2 D.2ā+ub的最小值为√2 2.(多选题)(24-25高一下山西大同期末)已知G,6是鲜位向量，且名=号 ,若向量a满足e,·a=2,则下列选项正确的是（) A.日-e=1 B.日与G-g的夹角为 12 C.g在6上的投影向量的模为， :D.a在e上的投影向量为2e 3.(多选题)(24-25高一下.浙江期中)若a==2,a与的夹角为60°，则() A.a.6=2 B.a+B=23 c.(a-小a D.(a,i-a=60 4.(多选题)（24-25高一下江苏南京·期中)已知向量和满足a1,62, a+2=3,下列说法中正确的有（) A.a.b=-1 B.(a+b)⊥(a-b) C.a-2b=√21 D.与5的夹角为臂 B 能力提升题 题型一：垂直关系的向量表示、平面向量数量积的定义及辨析 1.(多选题)(24-25高一下·江苏徐州·月考)设a、五、c是三个非零向量，且相 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 互不共线，下列命题正确的是() A.a.b c-(c.a)B=0 B.la-B a-8 c.(b.ca-(a.c)b与c垂直 D.若ac=b.c,则a=b 2.(多选题)(23-24高二上·四川成都·期中)下列说法正确的是() A.对任意向量a,b,都有a.6=ia B.若a.b=ac且a≠0，则b=d C.对任意向量a,6,c,都有a)c=a(6c D.对任意向量a,b,c,都有a+bc=a.c+i.c 3.(多选题)(24-25高一下·陕西渭南·期末)已知向量ā，6，c，则下列说法正确的 是() A.a.b=0ea=0或b=0 B.a⊥b÷a.b=0 C.命题若ac=ab,则b=c”是假命题D.(a,b)c=d,(b,c) 4.(多选题)(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)已知向量a,五，c,其中d=1, =5,=2,且a-6=c,则() A.a-=2B.a+=5C.a+b+d=2D.a+b-c与洪线 题型二：已知数量积求模 1.(多选题)（23-24高一下·陕西咸阳期中)下列命题中正确的是() A.若a,五是单位向量，则a=b B.若ā∥b（b≠0)，则存在唯一的实数1，使得a=b C.若向量a和五，满足|a=1,6=a+6=2,则ā-b=√6 D.若向量a=(-1,3),6=(3,o),则a在方向上投影的数量是-310 10 2.(多选题)(24-25高一下·辽宁丹东·期末)已知向量a,五，c均为单位向量， a+b+2c=0,则() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a-=2 B.a+i+=2+1 c.(a-)1c D.a-月 3.(多选题)(24-25高一下·河北石家庄·期末)已知向量ā，6满足la=b=1且 -2=5则下列结论正确的是() A.a-B=2 B.a+B=2 C.(a,6)=60 D.a1B 4.(多选题)(24-25高一下·广东河源·期末)已知平面向量a,b满足 a-2b=3,ab=-1,则() A.a+26l=1 B.a+26=1 C.a+2的取值范围为[3，o] D.3a+2b的最大值为5 拓展培优题 1.(多选题)(2025陕西榆林模拟预测)已知非零向量ā，6满足d==a-，则 下列两个向量的夹角为的是() A.a和五 B.a和a-b C.b和a-b D.a和a+b 2.(多选题)(25-26高二上·河北保定·月考)若平面向量a,五满足==2， a+=25,则下列说法正确的是() A.a.b=2 B.a与的夹角为君 C.(a+b)⊥(a-b) D.a-B=2 3.(多选题)(25-26高三上·湖北期中)设0是两个非零向量a、五的夹角，若对 任意实数t,a+26的最小值为2，则下列结论中正确的是() A.若O确定，则d唯一确定B.若d确定，则O唯一确定 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若0-行，则a=45 3 D.若问5，则0-号 4.(多选题)(25-26高二上·辽宁·开学考试)下列关于向量的说法中，正确的是 () A.若a1b,b11元，则a1e B.若a6=0,则a1b C.若ā，6同向，则a+=+例 D.若a,6不共线，则a≠ 6.2.4 向量的数量积 第2课时 （答案版） 题型一：数量积的运算律、已知数量积求模 1.ABD 2．AC 3．ABD 4.ABC 题型二：数量积的运算律 1.BCD 2．BC 3.AD 4.ABD 题型三：数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 1.AD 2．ACD 3.ABC 4.AC 题型一：垂直关系的向量表示、平面向量数量积的定义及辨析 1.BC 2．AD 3．BC 4.ACD 题型二：已知数量积求模 1.BC 2．ACD 3．AD 4.ACD 1AB 2．ACD 3．AC 4.BC 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4 向量的数量积 第2课时 题型一：数量积的运算律、已知数量积求模 1.（多选题）（江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试数学试题）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 2.（多选题）（2026高三·全国·专题练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】AC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由平面向量两两的夹角相等可知有两种可能，分类讨论可求解. 【详解】因为平面向量 两两的夹角相等，所以其夹角为或. 当夹角为时，； 当夹角为时， ， 所以或2. 故选：AC. 3.（多选题）（25-26高三上·山东·月考）已知，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D. 【详解】对A：当、、能围成三角形，且、、时， 有，则， 当、、共线且同向时，有， 故，故的取值范围为，故A正确； 对B：若，则， 则当与反向时，取最大值，， 当与同向时，取最小值，， 故的取值范围为，故B正确； 对C：，即， 则可设，，， 则，其中， 故最大值为，故C错误； 对D：， 由，则， 则， 故， 即的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 4.（多选题）（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量与几何最值 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 题型二：数量积的运算律 1.（多选题）（2025高一·全国·专题练习）（多选题）已知平面内三个非零向量满足，且（规定），则可能的取值为（    ）. A．1 B． C．0 D． 【答案】BCD 【知识点】向量的运算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】由题意可作相应几何图形，再结合极化恒等式可得，再结合，从而可求解. 【详解】因为，所以． 如图，令，，，则是边长为1的等边三角形． 取的中点，由极化恒等式知， ， 由于，所以．同理，，故BCD正确. 故选：BCD． 2.（多选题）（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）定义：平面向量，满足.若，，，则（    ） A． B．， C． D． 【答案】BC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】A选项，根据定义得到方程，求出；B选项，利用平面向量夹角余弦公式得到B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，计算出，故，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，故，C正确； D选项，，故，D错误. 故选：BC 3.（多选题）（2025高三上·甘肃兰州·专题练习）已知单位向量的夹角为，则下列结论正确的有（　　） A． B．向量在向量上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据，得，所以A正确；由投影向量是向量，数量积是数量，可判断B错误；模的计算及数量积的定义求出，判断C；由数量积的运算律求得，判断D. 【详解】对于A，因为单位向量的夹角为，所以. 因为，所以. 所以A正确. 对于B，因为投影向量是向量，而是实数，所以B错误. 对于C，若，则，即， 所以，又，所以，所以C错误； 对于D，若，则，即. 所以，所以D正确. 故选：AD. 4.（多选题）（25-26高三上·安徽·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A．，的夹角为 B． C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的运算依次判断选项即可.    【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，为，故D正确. 故选：ABD 题型三：数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 1.（多选题）（2025·广东·模拟预测）若单位向量与垂直，且与共线，则（   ） A．与平行 B．与垂直 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【知识点】基本不等式求和的最小值、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据单位向量及平面基本定理计算判断A，应用数量积计算判断B，C，数量积公式及运算律结合基本不等式判断D. 【详解】由于单位向量与垂直，故且，. 又与共线，设，即，故，，解得. 存在使得，故A正确； ， 又，，，故上式等价于，，故显然不成立，B错误； 同理，，若，，则为负数，无最小值，C错误； 求的最小值等价于求的最小值. ，代入等于， 由于且，故由不等式，当且仅当或时取等， 即的最小值为2，故的最小值为，D正确. 故选：AD. 2.（多选题）（24-25高一下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且，若向量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C．在上的投影向量的模为 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据模长公式即可求解A，根据夹角公式即可求解B，根据投影以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B, ，故B错误， 对于C , 在上的投影向量的模为，故C正确， 对于D, 在上的投影向量为，故D正确， 故选：ACD 3.（多选题）（24-25高一下·浙江·期中）若，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，判断是否为0即可；对于D，计算即可. 【详解】对于选项A，，所以A正确； 对于选项B，， 则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 4.（多选题）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 题型一：垂直关系的向量表示、平面向量数量积的定义及辨析 1.（多选题）（24-25高一下·江苏徐州·月考）设、、是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（   ） A． B． C．与垂直 D．若，则 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量数量积的定义及辨析、向量数乘的有关计算、向量减法法则的几何应用 【分析】利用平面向量的数量积和线性运算可判断A选项；利用向量三角不等式可判断B选项；利用平面向量垂直与数量积的关系可判断CD选项. 【详解】对于A选项，不妨设，，则， 由于、、是三个非零向量，且相互不共线，则不一定为零向量，A错； 对于B选项，作，，则，如下图所示： 因为、不共线，由三角形三边关系可得，即，B对； 对于C选项，易知为非零向量， 则， 所以与垂直，C对； 对于D选项，若，则，所以或，D错. 故选：BC. 2.（多选题）（23-24高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【详解】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 3.（多选题）（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量的数量积公式和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，可能是，，不一定是或，故A错误； 对于B，若，则，，，反之，若，则，可能是，或或，且零向量和任何向量垂直，故，B正确； 对于C，若，则，可能是，不一定是，故命题“若，则”是假命题，C正确； 对于D，是数量，则表示与共线的向量，是数量，则表示与共线的向量，与不一定共线，则不成立，故D错误. 故选：BC. 4.（多选题）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 题型二：已知数量积求模 1.（多选题）（23-24高一下·陕西咸阳·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若，是单位向量，则 B．若（），则存在唯一的实数，使得 C．若向量和，满足，，则 D．若向量，，则在方向上投影的数量是 【答案】BC 【知识点】已知数量积求模、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据单位向量定义即可求解A，根据共线定理即可求解B，根据模长公式即可求解C，根据投影的计算公式即可求解D. 【详解】对于A,单位向量是模长为1的向量，无法确定，的方向，故A错误， 对于B，由共线定理可知B正确， 对于C，由可得，故， ，故C正确， 对于D, 在方向上投影的数量是,故D错误， 故选：BC 2．（多选题）（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 3.（多选题）（24-25高一下·河北石家庄·期末）已知向量满足且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解. 【详解】因为，所以； 因为，所以，所以，故C错误，D正确； 因为，所以，A正确； 因为，所以，B错误； 故选：AD. 4.（多选题）（24-25高一下·广东河源·期末）已知平面向量满足，则（） A． B． C．的取值范围为 D．的最大值为5 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】令，题目条件可转化为，.对于B，对条件进行平方即可求解；对于A，先求平方再开方，结合A即可求解；对于C，通过分析可知点在以的中点为圆心，为半径的圆上，数形结合即可判断CD. 【详解】令，则，， 对于B，，，即，即，故B错误； 对于A，，故A正确； 对于C，如图所示，设，的中点为，则， 则， 即，解得， 点在以的中点为圆心，为半径的圆上，    当点与点或重合时，取得最小值为， 由B可知，所以， 当且仅当时等号成立，由上图可知，当时，有， 故的最大值为，故的取值范围为，故C正确； 对于D，， ，， ， 当点与点重合时，取最小值，为， ，故D正确. 故选：ACD 1.（多选题）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【知识点】向量夹角的计算 【分析】如图，在菱形中，且，记，则，，再数形结合得到各项向量夹角即可． 【详解】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 2.（多选题）（25-26高二上·河北保定·月考）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 3.（多选题）（25-26高三上·湖北·期中）设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数，的最小值为，则下列结论中正确的是（    ） A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】已知模求参数、向量夹角的计算 【分析】设，结合二次函数的基本性质化简得出，逐项判断即可. 【详解】设，则恒成立， 当时，取得最小值， 此时， 化简得， 所以当确定，唯一确定，A对； 当确定时，的值不一定只有一个，B错； 当时，，解得，C对； 当时，因为，所以，故或，D错. 故选：AC. 4.（多选题）（25-26高二上·辽宁·开学考试）下列关于向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若同向，则 D．若不共线，则 【答案】BC 【知识点】垂直关系的向量表示、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，易知时不成立；对于B，由垂直的向量表示可得；对于C，由向量的模长的线性运算可得；对于D，易知不共线，但模长可能相等. 【详解】若都是非零向量，，则显然满足已知条件，但是结论不一定成立，故A错误； 当 时，若或 为零向量，根据规定，零向量与任意向量垂直，结论成立； 若和 均为非零向量，则两向量的夹角为，即 ，综上，B正确； 若同向，不妨设，则，故C正确； 因为不管是否共线，，都有可能相等，所以D错误． 故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $