6.2.3 向量的数乘运算 （题型专练）数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 （答案版） 题型一：向量数乘的有关计算 1.C 2．D 3．B 4.D 题型二：向量加法的法则、向量数乘的有关计算 1.B 2．A 3.C 4.B 题型三：向量减法的法则、向量数乘的有关计算 1.D 2．D 3.C 4.AB 题型一：平面向量的混合运算 1.D 2．C 3．C 4.B 题型二：向量减法的法则、平面向量的混合运算 1.B 2．B 3．BC 4.ABD 1.A 2．C 3．C 4.B 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3 向量的数乘运算 题型一：向量数乘的有关计算 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的线性运算法则逐一判断即可. 【详解】①③④正确，②错，因. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断. 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确． 故选：D 3.（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量数乘的有关计算 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 4.（25-26高三上·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 题型二：向量加法的法则、向量数乘的有关计算 1.（24-25高一下·湖南衡阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2.（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、用基底表示向量 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 3.（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可. 【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点， 则， 所以 . 故选：C. 4.（24-25高一下·湖南衡阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 题型三：向量减法的法则、向量数乘的有关计算 1.（2025高二下·湖南·学业考试）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 2.（25-26高三上·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 3.（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 4.（多选题）（24-25高一下·河北唐山·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量的加减法运算法则及数乘运算计算求解. 【详解】在中，，A选项正确； ，B选项正确； 在中，为边的中点，则，C选项错误； ，所以D选项错误； 故选：AB. 题型一：平面向量的混合运算 1.（2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D 2.（25-26高二上·广东佛山·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 3.（25-26高二上·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 4.（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 题型二：向量减法的法则、平面向量的混合运算 1．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 2.（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量加法的运算律、向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B 3.（多选题）（22-23高一下·山东菏泽·月考）化简下列各式，结果为的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量加、减法法则及运算律计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：BC 4.（多选题）（24-25高一下·全国·随堂练习）（多选）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 1.（25-26高三上·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 2.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 3.（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 4.（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.2.3向量的数乘运算 题型一：向量数乘的有关计 算 基础达标题 题型二：向量加法的法则、 向量数乘的有关计算 题型三：向量减法的法则、 向量数乘的有关计算 6.2.3向量 题型一：平面向量的混合运 的数乘运算 算 能力提升题 题型二：向量减法的法则、 平面向量的混合运算 拓展培优题 基础达标题 题壁一：向量数乘的有关计算 1.(2026高一.全国·专题练习)下列各式计算正确的有() ①(-7)-6a=-42a;②7(a+6)-85=7a+15i;③a-2b+a+2b=2a;④ 42a+b)=8a+46 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26高一下·全国·课堂例题)已知1,4∈R,则在下列各命题中，正确的 命题有() ①1<0，a≠0时，2a与a的方向一定相反： ②2>0，a≠0时，2a与a的方向一定相同； ③2u>0,a≠0时，入a与ua的方向一定相同； ④u<0,a≠0时，2ā与ua的方向一定相反. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25高一下·江西上饶·月考)“a=0”是实数1=0的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高三上·北京顺义·月考)P是ABC所在平面内的一点，满足 PA-PB-PC=BC,则() A.点P在线段BC上 B.点P在线段BC的延长线上 C.点P在线段AC上 D.点P在线段AC的延长线上 题型二：向量加法的法则、向量数乘的有关计算 1.(24-25高一下·湖南衡阳·月考)AB+AD+BD=() A.O B.2AD C.2AB D.2BD 2.(24-25高一下·安徽·月考)在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F 是CD的一个三等分点（靠近点C),则E=() A.+号 B.}+4 D.孤号0 3.(24-25高一下·福建龙岩期中)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则 向量)B-4c=() A.AE B.BE C.EA D.EB 4.(24-25高一下·湖南衡阳·月考)AB+AD+BD=（) A.可 B.24D C.2AB D.2BD 题型三：向量减法的法则、向量数乘的有关计算 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025高二下·湖南·学业考试)在平行四边形ABCD中，0为对角线的交点， 则AB-2Aō=() A.BD B.DB C.BC D.CB 2.(25-26高三上·北京顺义·月考)P是ABC所在平面内的一点，满足 PA-PB-PC=BC,则() A.点P在线段BC上 B.点P在线段BC的延长线上 C.点P在线段AC上 D.点P在线段AC的延长线上 3.(24-25高一下.浙江·期中)在ABC中，BC=3BD,则AC=() A.4AD-3AB B.3AD-4AB C.3AD-2AB D.2AD-3AB 4.(多选题)(24-25高一下·河北唐山期末)在ABC中，M为边AB的中点，则 () A.AB=CB-CAB.BC=BA+AC C.CM=CB+CA D.BM=CB-CM B 能力提升题 题型一：平面向量的混合运算 1.(2025·四川眉山模拟预测)在ABC中，D是线段BC的中点，E是线段AD的 中点，则BE=() A.14B-3AC B.34B-14C 4 4 C. D.-+c 3 2.（25-26高二上广东佛山月考)a+26-3)-3a-25-d)=（) A. B.+46-2G c.-a+7%+ D.-a-6-e 3.(25-26高二上·安徽·月考)在ABC中，E点在AC上，满足AE=3EC,则 BE=() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3B4+IBC B.1B4+28C 4 4 2 3 C. 4 D. 4.(24-25高一下山西·期末)己知点E为ABC所在平面内一点，且CE=4BE, 则() A.E=a+号4C 3 B.正-丽-背C C.AE--2B+AC 3 2 D.AE-248-1AC 3 2 题型二：向量减法的法则、平面向量的混合运算 1.（24-25高一下·天津滨海新·期中)如图，在平行四边形ABCD中， AC=a,D0=b,则CB=() D A06 B.+6 c.-6 D.5-6 2.(24-25高一下·湖北武汉·期中)化简以下各式，结果不是零向量的为() A.AB+BC+CA B.AB+AC-BD+CD C.OA-OD+AD D.NO+OP+MN-MP 3.(多选题)（22-23高一下·山东菏泽·月考)化简下列各式，结果为可的是(). A.OA+OD+AD B.NO+OP+MN-MP C.AB+BC+CA D.AB+AC-DB-CD 4.(多选题)(24-25高一下·全国随堂练习)（多选)下列算式中，正确的是() A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b)=3a C.a+b-(a+b)=0 D.42a+b)=8a+4b 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(25-26高三上·甘肃甘南·月考)在ABC中，D为BC中点，CP=CD, 40=24B+1AC,若D=2AP+340,则：() 3 5 51 A.月 B.多 c.4 D. 2.（24-25高一下·辽宁抚顺·期中)已知D为ABC所在平面内的一点， 4AB=3AD,E为CD的中点，则A正=(） A.等+}cB.0+cC.+c D.B+号C 3.(25-26高一上·北京延庆·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，则 CA+2DB=（) 2 2 D A.AB B.CD C.CB D.AD 4.(24-25高一下·甘肃定西·期末)在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BE的 中点，则正=() A.号B+2而 4 B. 3AB+AD 4 2 c.+而 D.2 4B+AD 4 2