专题07 期末真题百练通关（80题16大解答压轴题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末压轴，以80道真题构建16大题型体系，覆盖特殊四边形动态问题与函数几何综合，突出知识逻辑递进与解题思维培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|44题|含平行四边形→特殊四边形判定、折叠/旋转模型、新定义四边形等，融合动点与存在性问题|从基础判定到动态综合，体现“概念→性质→应用”逻辑，强化空间观念与推理能力| |函数综合|36题|涵盖一次函数+几何/应用题、反比例+几何/旋转、函数存在性综合，注重数形结合|从单一函数到综合应用，构建“解析式→图像→性质→几何关联”链条，培养模型意识与运算能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07期末真题百练通关(80题16大解答压轴题型) 真题实战，百练通关 题型1平行四边形→矩形/菱形/正方形判定 题型9一次函数+几何图形（面积、等腰、直角） 题型2矩形+正方形+折叠模型 题型10一次函数+行程/电费/方案选择应用题 题型3正方形+几何模型 题型11一次函数+四边形+新定艾 题型4菱形+动点+折叠+旋转 题型12一次函数+平行四边形/菱形存在性 题型5新定义四边形综合 题型13反比例+几何图形 题型6三角形中位线与重心综合应用 题型14反比例的实际应用 题型？坐标+平行四边形/菱形存在性 题型15反比例+旋转 题型8新定义点+几何证明 题型16反比例+一次函数+存在性 题型1平行四边形→矩形菱形正方形判定（共5小题） 1.(25-26八下·上海宝山实验学校期中)在ABCD中，点E、F是边AD和BC的中点，连接BE、DF. (1I)求证：四边形BFDE是平行四边形； (2)连接BD,若BD平分∠EBF,求证：四边形BFDE是菱形. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC. :点E,F分别是AD,BC的中点， :AE=DE=1AD,BF=CF=1BC, .:DE=BF. 又：DE∥BF, 四边形BFDE是平行四边形： (②)证明：连接BD, 1/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E :BD平分∠EBF, ∴.∠EBD=∠FBD, :四边形BFDE是平行四边形： ED∥BF, ∴∠EDB=∠FBD, ∠EBD=∠EDB, :EB=ED, :四边形BFDE是菱形. 2.(25-26八下，上海青浦区实验中学期中)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,O是BD上的一点， AO=EO,∠ABD=∠CBD,连接AO并延长交BC于点E. (I)求证：四边形ABED是菱形； (2)过点C作CF⊥AE,垂足为点F,若EO=FE,求证：四边形ODCF是矩形. 【详解】(I)证明：：AD∥BC, LADB=∠CBD, 在△AOD和△EOB中， ∠ADB=∠CBD ∠AOD=∠EOB, A0=EO △A0D≌EOB(AAS), :AD=BE, 四边形ABED是平行四边形， 2/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ABD=∠CBD, ∴.∠ABD=∠ADB, .AB =AD, 四边形ABED是菱形； (2)证明：四边形ABED是菱形， AE⊥BD, ∠A0D=∠F0D=90°， CF⊥AE, ∠EFC=90°=∠A0D, :AD∥BC, ·∠DA0=∠CEF, .AO=EO,EO=FE, ∴.A0=FE, 在△AOD和△EFC中， ∠DAO=∠CEF AO=FE ∠AOD=∠EFC :△AOD≌△EFC(ASA, .AD=EC, :AD∥BC, :四边形AECD是平行四边形， AE∥CD, .∠CD0=∠A0D=90°， :∠F0D=∠EFC=∠CD0=90°， .四边形ODCF是矩形. 3.(25-26八上海普陀区·期中)如图，已知：在ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于 点G,连接AG,点M是AG的中点，分别连接EM、DM. 3/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：四边形EGDM是平行四边形； (2)若AB=AC,∠GBC=45°，求证：四边形EGDM是正方形. 【详解】(1)证明：：点E,M是线段AB,AG的中点，即AE=BE,AM=MG, .EM∥BG, 同理，可得DMCG, :.四边形EGDM是一个平行四边形. (2)证明：：BD、CE分别是边AC、AB上的中线，并交于点G, 点G是ABC的重心. :.EG=EC,DG=-BD, 3 AB=AC, .∠ABC=LACB, AB=AC,AE =BE,AD=CD, .BE=CD, .BC=CB, △BEC≌△CDB, .BD=CE, ..EG=DG, :四边形EGDM是一个平行四边形， ·四边形EGDM是一个菱形， BD=CE,EG=DG, .BG=GC ·.∠GBC=LGCB, :∠GBC=45°， .∠GCB=45°， 4/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠GBC+∠GCB+∠BGC=180°， ∠BGC=90°， LEGD=∠BGC=90°， 四边形EGDM是一个矩形， ·四边形EGDM是一个正方形. 4.己知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF=CE,对角线BD分别交EC、 AF于点M、N,连接AM、CN. D (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： (2)求证：四边形AMCN是菱形. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AB∥CD,AB=CD, :点E、F分别在AB、CD上， .AEI CF, 又：AF=CE, AD=BC, 在△ADF和△CBE中， ∠D=∠B=90 AF=CE, ·.△ADF≌△CBE(HL), .DF=BE, .AB =CD, AB-BE=CD-DF,即AE=CF, 又：AE CF, :四边形AFCE是平行四边形. (2)解：连接AC,设AC与BD相交于点O 5/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M :四边形ABCD是正方形， :BD垂直平分AC,即OA=OC,AC⊥BD, 由(1)知四边形AFCE是平行四边形， AFI‖EC, .∠AN0=∠CMO, ∠ANO=∠CMO, 在△AON和△COM中， ∠AON=∠COM, OA=OC, ∴.△AOW≌△COM(AAS) 0N=0M, 又：0A=0C, :四边形AMCN是平行四边形， 又：AC⊥BD,即AC⊥MN, :四边形AMCN是菱形. 5.如图，在ABC中，AC=BC,D、E分别是边AB、AC中点，连接DE并延长到点F,使EF=DE, 连接CD、CF、AF. D E (I)求证：四边形DBCF是平行四边形； (2)求证：四边形ADCF是矩形 【详解】(1)证明：：D、E分别是边AB、AC中点， :DEIBC,DE=BC,即DF∥BC, :EF=DE,即DF=2DE, 6/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DF =BC, :.四边形DBCF是平行四边形： (2)证明：：点E是边AC中点， .AE CE, EF =DE, :四边形ADCF是平行四边形， :AC=BC,点D为AB的中点， CD⊥AD, 四边形ADCF是矩形 题型2矩形+正方形+折叠模型（共6小题） 6.(25-26八上海民办华育中学)综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科.通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形， 还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动. D 图1正方形ABCD图2对折正方形ABCD图3将点A折至EF上点H -- 图4正方形ABCD 图5对折正方形ABCD 图6将AB折至BF 图7将BC折至BF 【操作探究】 (1)高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中∠ABG=°，并写出求解 过程. (2)欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕BE、BG与折痕AC的交点分别是 和测量，发现点E、F、G始终三点共线，设正方形ABCD的 时，请你帮助欧拉小组求出此时线段CG的长，并写出求解过程， (3)【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段AE与线段CG之间存在着数量关系，设正 7/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方形ABCD的边长为l,当AE=m时，CG= (用含m的代数式表示)· (4)刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段AH和线段QC之间也应该存在着数量关系，于是同 样设正方形ABCD的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当AH=a时，QC=(用只 含a的代数式表示). 【解析】(1)30解：连接AH, H 由折叠的性质得AB=HB,∠ABG=LHBG,EF是AB的垂直平分线， :HA=HB, .HA=HB=AB, △ABH是等边三角形， :∠ABG=∠ABH=30°： 2 8co-3 解：：四边形ABCD为正方形，边长为1， LABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1, :AE=3' 1 DE=1-1=2 33' 根据折叠可得AE=EF,CG=GF, 设CG=FG=x,则DG=1-x, :E、F、G三点共线， 1 EG=EF+FG=。+x, 3 在R1aEDG中，根据勾股定理得DE2+DG?=EG2, -写 解得x一2 即CG=2 1 8/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：四边形ABCD为正方形，边长为1， ∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1, AE=m, :DE =1-m, 根据折叠可得AE=EF,CG=GF,∠EFB=∠BAD=90°，∠BFG=∠BCD=90°， ∠EFB+∠BFG=180°， :E、F、G三点共线， 设CG=FG=x,则DG=1-x，EG=EF+FG=m+x, 在RtAEDG中，根据勾股定理得DE2+DG2=EG2, (1-m2+(1-x2=(x+m)2, 解得x=1m m+1 即CG=1- m+1 (4)解：过点H作HM⊥AB于点M,作HN⊥AD于点N,过点Q作OK⊥CD于点K,作QJ⊥BC于点J, 如图所示： A. NE 则∠ANH=∠AMH=∠CKQ=∠CJQ=90°， 根据题意得：正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=1, 设AE=m,由(3)可得CG=1-m m+1 :正方形ABCD中，∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠ACB=90°x=45°， ∴△AMH,△ANH,△CQK,△CQJ都是等腰直角三角形， :AH=√MAP+MH=√2MH=√MH，AH=VNA+NH2=V2NH=√2NH, co=C+0=20J=QJ,co=ck+oK=20k=20K, m=g-9m-9。gs=Qw9c0, 2 9/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ?S4e=)AB×AB=)x1×m=m, 1 1 2 1 又：SABE=SABH+SBH= 八x,√212a=2a+2 a+m× -a= am 2 2 2 4 4 21 a+ -am =-m, 4 4 2 as②m 1+m S.w-BCxCG- 1 IxCG--CG, 又：SBc6=S.Bce+S.cG0 =BCxQJ+CG×QK 2 2 1 co+.cGx- 1。 2 c 2.co+CG.co 4 ccc 4 √2(1-m .C0= 2CG =1+m √2(1-m) 1+CG 1+1m 2 1+m .2C0=V21-m, m=1-√2C0, √2m2(-2cO) .a= 1+m1+1-√2C9 解得：c0-5-2a_5-2aj2+2.2-a-v2d 2-2a(2-v2aj2+v2a 2-a2 7.(25-26八下·上海交通大学附属第二中学)某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面 的探究片段，完成所提出的问题。 B2----------- 图1 图2 图3 图4 10/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【探究1】 (I)如图I,点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE,将aCEB沿BE翻折，点C刚好落在边AD上的点F 处，若AB=3,BC=6,AF长是 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形ABCD上一动点，连接BE,将△CEB沿BE翻折，点C落在正方形内一点 F处，小明延长EF交AD于点M,过点B、点M作射线BM,则射线BM是∠ABF的角平分线，请你判断 小明的作法是否正确，并说明理由， 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE,将aCEB沿BE翻折，点C落在矩形外一点F处， 连接AF,若AB=3,BC=6,CE=2,则△ABF的面积是 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形ABCD边CD上一点，连接BE,将aCEB沿BE翻折，点C落在点F处，LABF的 角平分线与EF的延长线交于点M,若AB=3,BC=6,当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长 是 【详解】(1)解：在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,∠A=90°， :将aCEB沿BE翻折，点C刚好落在边AD上的点F处， :BF =BC=6, ·在RtAABF中，AF=√BF2-AB2=62-32=3V5, AF的长为3V5; (2)正确： 理由：：四边形ABCD是正方形， .∠A=∠C=90°，BA=BC, :将△CEB沿BE翻折，点C落在正方形内一点F处， ∴.BF=BC,∠BFE=∠C=90°， .BA=BF,∠BFM=180°-∠BFE=90°=∠C, 11/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BAM和Rt△BFM中， BA=BF BM=BM' .RteBAM≌Rt△BFM(HL), ∠ABM=∠FBM, :射线BM是∠ABF的角平分线： (3)解：延长EF交BA的延长线于点H,过点F作FG⊥BH于点G,设AH=x,FH=y, H A B :在矩形ABCD中，AB=3,BC=6, ∠C=90°，AB∥CD,HB=HA+AB=x+3, ∠HBE=∠CEB, :将△CEB沿BE翻折，点C落在矩形外一点F处，CE=2, ∴.BF=BC=6,FE=CE=2,∠HEB=∠CEB,∠BFE=∠C=90°， ∴.∠HBE=∠HEB,HE=HF+FE=y+2, ∠HFB=180°-∠BFE=180°-90°=90°， .HB=HE,即x+3=y+2, y=x+1, 在RtHFB中，HB2=HF2+BF2, 即：(x+3)2=y2+62, (x+3)2=(x+1)2+62, 解得：x=7, ∴HB=x+3=10,FH=y=x+1=8, 12/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 SHm=)BH.GF=5HF·BF, 2 2 BH·GF=HF.BF,即10GF=8×6, GF=4.8, Se=ABGF=5×3×4.8=7.2 (4)解：过点M作MH⊥BA,交BA的延长线于点H,延长HM交CD的延长线于点G,设HM=m, M H---- D.∠H=90°， C :四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=6, ∴∠ABC=∠C=90°，CD=AB=3, :四边形BCGH是矩形， ∴.∠G=90°，HG=BC=6,CG=BH, :MG=HG-HM =6-m 将aCEB沿BE翻折，点C落在点F处， ∴.BF=BC=6,∠BFE=∠C=90°， :∠BFM=180°-∠BFE=90°=∠H, :∠ABF的角平分线与EF的延长线交于点M, .∠HBM=∠FBM, 在△BHM和△BFM中， ∠BHIM=∠BFM ∠HBM=∠FBM, BM=BM .∴△BHM≌△BFM(AAS), ∴.BH=BF=6,FM=HM=m, :四边形BCGH是正方形， :CG=BH=6, :当点E与点D重合时，GD=CG-CD=6-3=3, 此时在RIAMDG中，MD=MF+FD=m+CD=m+3, 13/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .MD2 MG2+GD2, 即：(m+3)2=(6-m)2+32, 解得：m=2, MG=6-m=6-2=4, :当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径是线段MG,长度为4. 8.在一次综合与实践活动课中，同学们对矩形纸片的折叠展开了探究，请你和他们一起完成此次探究活动. 图1 图2 图3 图4 图5 (1)【课内活动1】用矩形纸片折出正方形 操作步骤：如图1，在矩形ABCD中，点E在边AD上，折叠矩形使得点B与AD边上的点E重合，折痕为 AF,连接EF. 求证：四边形ABFE是正方形. (2)【课内活动2】用矩形纸片折出特殊矩形 操作步骤： ①把活动1中折出的正方形ABFE纸片展平； ②如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，得到折痕MN,把纸片展平； ③如图3，折出矩形MNFE的对角线NE,点P在边BC上，折叠纸片使得NE与NP重合； ④如图4把纸片展平，折出PQ,得到矩形EFPQ 求：矩形EFPQ的宽FP与长EF的比值， (3)【课后思考】可以用尺规作图作出黄金矩形吗？ 课后，欢欢通过查阅资料了解到：像课内活动2中这样的特殊矩形叫做黄金矩形.也就是说，如果一个矩形 14/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的宽与长的比值为5-」，那么这个矩形叫做黄金矩形，欢欢认为可以用尺规作图得到黄金矩形，具体作法 2 如下： ①把活动1中折出的正方形ABFE纸片展平： ②AE中点为M,连接FM; ③以点F为圆心，适当长度为半径作弧，分别交FB、FM于点S、T,再分别以S、T为圆心，大于】S7 长度为半径画弧，两段弧的交点记为点R; ④画射线FR,与边AB交于点G; ⑤以F为圆心，BG为半径画弧，与边EF交于点H,连接GH,得到四边形GBFH,那么四边形GBFH就 是黄金矩形 请你判断欢欢的作图是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠B=90°， 由折叠的性质可得：AB=AE,LAEF=∠B=90, ∴∠BAE=∠B=LAEF=90°， :四边形ABFE是矩形， 又AB=AE, :矩形ABFE是正方形. (2)解：设正方形ABFE的边长为Q, 由折叠得MN是正方形ABFE的中垂线， EM=FN-4E=号，MN=EP=a,∠NME=90, 在Rt△EMN中，由勾股定理：NE=V√EM+MW2= +a2=5a 由折叠性质得NP=NE=V5a 2 NP=FN FP, FP-NP-FN-15a_a_(V5-1)a 222 (5-a .FP 2 5-1. EF a 2 15/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：作图正确，证明如下： 设正方形ABFE边长BF=EF=AB=Q, :M是AE中点， 4M- 2 在Rt△FEM中，由勾股定理得：FM= a (2/ *a2s5 2 过点G作GK⊥FM,连接GM, 图5 设BG=x, 题目中尺规作图第③步是作∠BFM的角平分线，即FG平分∠BFM, ..GK =BG=x, 则AG=a-x, 1 S.FGM= FMxGK-1J5a5ax 22= 4 又S.FGM=SE方形ABFE-SAGM-S.BGF-SEFM a2-1（a-x/1 I a ax- a. 7222"2 a21 +Lox-1@-Id a2+ax- -aX-- 4 4 2 4 -ax, 4 5ar、1 a2-1 42 ax, 4 .x= 5-la 2 (5-la :BG= 2 由作图得FH=BG, :∠GBF+∠BFH=180°， 16/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BG∥FH, :∠GBF=∠BFH=90°， :四边形GBFH是矩形， :矩形GBFH的宽为BG= (5-1a 长为BF=a, (5-)a BG 2 √5-1，符合黄金矩形的定义，因此欢欢的作图正确。 BF a 9.(25-26八上海北郊学校期中)综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美.通过测量，我们发 现这种矩形的宽和长之比是5-（值约为0.618》.这就是“黄金矩形，世界上许多著名的建筑，为取得 2 最佳的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计. 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”. 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB,然后把纸带展平； 步骤2：如图2，把这个正方形MNAB对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕CB,并把折痕CB折到纸带下沿CD处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点D折出DE⊥AD,折出矩形BADE M F B M 图1 图2 图3 图4 【分析探究】 (1)图4中如果MN=2,则BC= AD= (2)求证：矩形ABED是“黄金矩形”. 【学以致用】 17/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)将一张正方形纸片ABCD,先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题， ①折叠正方形ABCD,使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边AB于点M,交边CD于点N; ②过点B折叠正方形ABCD,使点A落在BN上的点F处，折痕交边AD于点E,连接EF; ③过点E作边BC的垂线，垂足为H,矩形ABHE是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论 【详解】(1)解：在正方形MNAB中，MN=NA=AB=MB=2, :正方形MNAB对折成两个全等的矩形得矩形MNCF和FCAB, :MF=FB=NC=CA=IMB=INA=1, 2 在Rt△CAB中，BC=VCA2+AB2=√5， 由折叠可知，BC=CD=√5， ·AD=CD-CA=V5-1. (2)证明：设MN=x, 根据题意可得，AB=AN=MN=x,BC=CD, 1 4C=2N=2, 1 在Rt△CAB中，BC=VCA2+AB2 + 2 cD= -x 2 AD=CD-AC=5xx5-1 2 2 V5-1 4D=2 5-1, 一= BA 2 :矩形ABED是“黄金矩形”. (3)解：如图所示为所求： M 习B H 矩形ABHE是“黄金分割”矩形， 18/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：设正方形ABCD的边长为2a, .AB=BC=CD AD =2a, :正方形ABCD对折成两个全等的矩形得矩形ADNM和MNCB, :AM=BM =DN=NC=TAB=IDC=a, 2 在RtBCN中，BN=√BC2+CN=V2a2+a2=V5a, :△ABE沿BE翻折得△FBE, .△ABE≌△FBE(SSS), AB=BF=2a,AE=EF,LA=∠EFB=90°，∠ABE=∠FBE, 如图，连接EN, M A 刁B E D N :FN=BN-BF=(5-2)a, 设AE=EF=b,则DE=AD-AE=2a-b, 在Rt△EFN中，EW2=EF2+FN2, 在RtADEN中，EN2=DE2+DN2, :EF2+EN2=DE2+DN2,+(5-2)a=(2a-b)+a, :.b=(5-1)a,AE=EF=(5-1)a, 4Eb5-05-1, AB 2a 2a 2 :.矩形ABHE是“黄金分割矩形， 10.(25-26八上海虹口区·期中)综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸 方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°、30°、15°等大小的角，可以采用下面 19/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的方法（如图1)： (1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； (2)再一次折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A,得到折痕AM，,点B、 E的对应点分别为B、E,把纸片展平. D A E P M G 图1 图2 图3 (I)【知识运用】请根据上述过程，连接AB'、BB、BE',观察图1中∠1、∠2、∠3，试猜想这三个角的大小 关系是 ； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点N为边AD上的一点，连接BN,在AB上 取一点P,折叠纸片，使B、P两点重合，展平纸片，得到折痕EF;折叠纸片，使点B、P分别落在EF、 BN上，得到折痕I,点B、P的对应点分别为B、P,展平纸片，连接BB'、PB'.求证：BB'是∠NBC 的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕 EF,(其中，点E、F分别是边AB、CD的中点)，连接DE,将纸片沿DE翻折，使点A落在点处， 连接EA并延长，交边BC于点G,求证：CG:CB=1:3, 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、正方形折叠问题 【详解】(I)解：由折叠的性质可得AB'=BB,AB=AB,AE=BE,AE'=AE,BE=BE', .AB=BB'=AB',AE'=BE', :△ABB是等边三角形， ∠ABB'=60°， 又：AE'=BE', 1 六4=∠2=2∠ABB"=30°， :四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， ∠3=∠ABC-∠ABB'=30°， 20/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠2=∠3； (2)证明：如图所示，连接PB, W D F 图2 由折叠可知：EF是PB的垂直平分线， PB'=B'B,∠PB'E=∠BB'E: 由折叠的性质可得BP=B'P,∠BPB'=∠BB'P,∠BPB'=∠BP'B',∠PB'E=∠BB'E, △BPB'≌△B'BP'ASA), ∠P'BB'=∠PB'B=∠PBE+∠BB'E=2∠BB'E; 由折叠的性质可得EF⊥AB, 由矩形的性质可得AB⊥BC, EF∥BC, .∠BB'E=∠CBB', .ZP'BB'=22CBB', ∠P'BC=3∠CBB', :BB'是LNBC的一条三等分线； (3)证明：如图所示，连接DG, A B G :四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=90°，AD=CD=AB=BC, 由折叠的性质可得AE=A'E,AD=A'D,∠DAE=∠DA'E=90°， .AD CD, .∠DA'G=180°-∠DA'E=90°， 21/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠DA'G=∠C, 又：DG=DG, :RtADA'G≌Rt△DCG(HL, .A'G=CG: 设AB=BC=2x,CG=y,则BG=2x-y, :点E为AB的中点， .AE BE A'E =x, .EG=x+y; 在Rt△BEG中，由勾股定理得EG2=BE2+BG2, (x+y)2=x2+(2x-y2, 2x2=3xy, x>0, .2x=3y,即BC=3CG, CG:CB=1:3. 11.(25-26八·上海松江区·期中)综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图1的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列的问题.在 学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索， 言行思 有有无 物耻邪 书写效果 折三列效果 图1 A A B B H B B 图2 22/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、B E H M 备用图 【操作探索】 操作一：把正方形纸片ABCD对折，使DC与AB重合，得到折痕HE,把纸片展平； 操作二：沿着AE再一次折叠纸片，使点B落在点B处，得到折痕AE,AB交HE于点G; 操作三：将AD沿过点A的直线折叠，使AD与AB重合，得到折痕AM. 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点E、B、M三点共线，且①∠MAE= °；②线段ME、DM、BE之间 的数量关系为： (2小海说：“我发现线段DM与线段DC的比值是3即点M是线段DC的三等分点.“你认为小海的说法 正确吗？请说明理由。 【问题探究】 (3)在(1)和(2)的条件下，延长AB'交线段DC于点N,连接AC交HE于点0，你能发现线段G0与线 段DM的比值吗？请直接写出答案 【详解】(1)解：①由折叠性质：折叠后∠DAM=∠MAB',∠BAE=∠B'AE,正方形中LBAD=90°， ∠DAM+∠MAB'+∠BAE+∠B'AE=90°，即2∠MAB'+∠B'AE)=90°， .∠MAE=45°， ②由折叠得：DM=MB',BE=EB',且题目给出E、B、M三点共线， .ME MB'+EB'=DM+BE, 即：ME=DM+BE; (2)解：设正方形ABCD边长为a,则BE=EC=2, 设DM=x,则MC=a-x, 由(1)得ME=DM+BE=x+ 2 在RtAMEC中，∠C=90°， 由勾股定理：ME2=MC2+EC2, 23/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 代入得： 展开化简：x2+ax+ a2 =a-2ax+x+ 4 整理得3ar=a2, 解得x-号DM-写DC ·M是DC三等分点，小海说法正确： (3)解：设正方形边长为2m, B H E:DC与AB重合，得到折痕HE, B M :HE为中位线，DH=AH=m,HO=DC=m, 在△AHG和△EB'G中， AH=EB' ∠AHG=EB'G=90°， ∠AGH=∠EB'G △AHG≌△EB'GAAS, .HG=B'G, 设HG=y,则GE=2m-y, 在RIAEB'G中，EB'=m,B'G=y,GE=2m-y, 由勾股定理：(2m-y=m2+y2, 解将：，即G 3 ， 31 .GO=HO-HG=m- 4 im. m= DM-2m. 3 品” 3 8 24/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型3正方形+几何模型（共7小题） 12.(24-25八下·上海浦东新区川沙中学·期末)已知：如图，正方形ABCD中，AB=2√2，点F为对角线 AC上一点，联结DF,过点F作FE⊥DF交线段BC于点E(点E不与点B,点C重合)，过E作 EG⊥FE,过D作DG⊥DF,EG与DG交于点G. D (I)证明四边形DFEG为正方形； (2)联结CG,设CG=x,FC=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当△ECG为等腰三角形时，直接写出CG的长度. 【详解】(1)证明：FE⊥DF,EG⊥FE,DG⊥DF, ∠DFE=LFEG=LFDG=90°， 四边形DFEG是矩形， 过F作FM⊥BC于M,FN⊥CD于N,则∠FMC=∠FNC=∠FND=90°， B M E :四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90°，LACB=∠ACD=LCAD=45°， :四边形FMCN是矩形，FM=FN, ∠MFN=90°，则LMFE+LEFN=90°， 又∠EFD=∠NFD+∠EFN=90°， .∠MFE=∠NFD, 在△FME和△FND中， ∠MFE=∠NFD FM=FN ∠FME=∠FND=90° 25/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :△FME≌aFND(ASA), ∴EF=FD, :四边形DFEG为正方形； (2)解：四边形DFEG为正方形，四边形ABCD是正方形， D E :DF=DG,AD=DC,ZADC =ZFDG=ZDGE =ZB=ZBCD=90,AB=BC=CD=22, :ZADF ZCDG,AC=AB2+BC2=4, :△ADF≌ACDG(SAS), .AF=CG=x, :FC=y,AC=4,点E不与点B,点C重合， C(E) .y=4-x(0<x<2): (3)解：：△ADF≌△CDG, .∠AFD=∠CGD,∠DCG=∠FAD=45°， 又∠BCD=90°， ∠ECG=135°， :当△ECG为等腰三角形时，CE=CG, ∠CEG=∠CGE=22.5°， 又∠DGE=90°， ∠AFD=∠CGD=90°+22.5°=112.5°， ∠DFC=180°-112.5°=67.5°， 在△AFD中，∠ADF=180°-∠DAF-∠AFD=22.5°， 26/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDF=90°-22.5°=67.5°， ∠CDF=∠CFD, :CF=CD=2√2， .AF=AC-CF=4-22, :CG=AF=4-22. 13.(25-26八上海青浦平和双语学校)如图，已知：正方形ABCD边长为1，点P是对角线AC上一点， PQ⊥BP，,PQ交射线DC于点Q. (1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点Q在边DC的延长线上，△PCQ是等腰三角形时，求PC的长： (3)当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为二时，请直接写出PC的长是 3 【详解】(1)解：PB=PQ, 证明：四边形ABCD为正方形， ∴.LBCA=LDCA=45°，LBCD=90°， 如图，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, 则PE=PF,∠PEC=∠BCO=∠PFC=∠PEB=90°， :四边形PECF为矩形， ∠EPF=90°， :PQ⊥BP, .∠BPQ=90°=∠EPF, ∴∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ, ∠BPE=∠QPF, .△BPE≌△QPF(ASA), 27/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .PB=PQ; (2)解：：正方形ABCD边长为1， ∠BAC=∠BCA=∠ACD=45°，AB=BC=1, AC=√AB2+BC2=V, :点Q在边DC的延长线上， :∠PCQ=180°-45°=135°为钝角， :△PCQ是等腰三角形， .CP=CO, ∠Q=∠CPQ, :∠Q+∠CPQ=∠ACD=45°， .∠Q=∠CPQ=22.5°， PQ⊥BP, ∴∠APB=180°-∠BPQ-∠CPQ=67.5°， .∠ABP=180°-∠APB-∠BAP=67.5°， .∠ABP=∠APB, .AP AB=1, PC=AC-AP=√2-1： (3)解：如图，当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, E 由(1)可得∠BCA=∠DCA=45°，四边形PECF为矩形，△BPE≌△QPF, :△PEC为等腰直角三角形，S,PE=SQPr, 28/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .PE=CE, :.四边形PECF为正方形， “S日边形Pec=S.BPE+S日边形PEce=S.Per+S日边形PECQ=S正方形ECF, :以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为3 3,即PE2=CE=1 S正方形PECF 3 PC-PEC- 1,1V6 333 当点Q在DC的延长线上时，作PG⊥AB于G,延长GP交CD于H, A D G :四边形ABCD为正方形， :∠ABC=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°， .LABC=∠BCD=∠HGB=90°， :.四边形GBCH为矩形， .∠GHC=90°，BG=CH,BC=GH=1, “.CHP为等腰直角三角形， .HC=PH =BG, PQ⊥BP, .∠GBP+∠BPG=∠BPG+∠GQH=90°， ∠GBP=∠QPH, △BPG≌△POH(ASA, .BP=PO,GP=OH,BG=PH 设BG=PH=CH=a,则QH=GP=1-a, :以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为 1 Saawrg-Sa-.wo.+a)x1- 1 1 1 x(1-a)-2axa- 29/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 解得a=3 PH-CHE PC=P+C 3 综上所述，PC的长为6或2 3 3 14.(25-26八上海航华中学)已知：在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E、G分别在边BC、CD上， EG⊥AE.将EGC沿直线EG翻折得△EGF,连接AF. D E B E (1) (2) (I)如图(1)，若点F在AG上，求证：BE=EC; (2)如图(2)，若AE=EG,求△AEF的面积： (3)当△AEF为等腰三角形时，求线段BE的长 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°， :将EGC沿直线EG翻折得△EGF, .LEFG=∠C=90°，LCEG=∠FEG,EF=EC, 又：EG⊥AE,∠B=90°， ∠FEG=∠CEG=90°-∠AEB=∠BAE, :点F在AG上，即EF⊥AF, .LAFE=∠ABE=90°，∠AEF=90°-∠EAF=90°-∠FEG, ∴LEAF=∠FEG, ∠FAE=∠BAE, 又：AE=AE, :△ABE≌△AFE(AAS), :BE =EF, .BE EC; 30/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图，过点A作AH⊥EF于点H, A B E EG⊥AE,∠B=90°， LCEG=90°-LAEB=LBAE, 又：∠B=∠C=90°，AE=EG, .△ABE≌△ECG(AAS), .EC=AB=3, “折叠， :EF EC=3, 同(1)可得△ABE≌△AHE, .AH AB=3, S即=EF×AH=×3x3=为 (3)解：当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当AF=EF时， ∴LAEF=∠FAE, 如图，过点E作EK⊥AD于点K,则四边形ABEK是矩形， .AK=BE,KE=AB=3, A K B E :∠AEB=∠AEF, LFAE=∠AEB, :AD∥BC, ∠AEB=∠DAE, ∠DAE=∠FAE, F在AD上， 31/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设BE=a,则AK=BE=a, :折叠， .EF =EC BC BE =4-a, .AF EF 4-a, .KF AF-AK =4-a-a=4-2a, 在RtaKEF中，KE2+KF2=EF2, 32+(4-2a)2=(4-a2, 此方程无解，故此情形不存在： ②当AE=EF时，设BE=a,则EC=4-a, A D “折叠， .EC FE =4-a, 在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2, 即(4-a2=a2+32, 7 解得：a=8 ③当AE=AF时，过点A作AH⊥EF于点H, B :EH=HF=1EF=1EC, 2 2 同(1)可得△ABE≌△AHE, .BE EH=- 2 1 4 BE-3BC=3 综上所运，当△4EF为等腰三角形时，线段服的长为或手 15.(25-26八上海闵行区浦江第一中学)问题发现 32/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B F H D G D D E D E 图1 图2 图3 (1)基本模型一十字架模型 如图1所示，在正方形ABCD内，点E在边DC上，点F在边BC上，AE、DF交于点H,①若AE⊥DF则 有结论AE=DF;②反之若有AE=DF,则有结论AE⊥DF. 对于上述问题请选择一个命题加以证明， (2)模型运用 如图2，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边CD上（不与C、D重合），连接AE,将ADE沿AE翻 折，得到△ADE,连接DD'并延长交BC于点F. ①若DE=3,求DD'的值 ②如图3，若AE与DF交于点G,连接BG,若BG∥D'E,求证：△ADD'≌△BAG. 【详解】(1)选择①，证明如下： 证明：：四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°， .LADF+∠CDF=90°， :AE⊥DF,∠AHD=90°，.∠ADF+∠DAE=90°， ∠DAE=LCDF, 在ADE和aDCF中， [∠DAE=∠CDF AD=DC ∠ADE=∠DCF :△ADE≌△DCF(ASA, :AE=DF 选择②，证明如下： 证明：：四边形ABCD是正方形， :LADE=∠DCF=90°，AD=DC, 33/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在RIA ADE和RtADCF中， AD=DC AE=DF' .RtAADES≌RIADCF(HL), ∠DAE=∠CDF, :.∠ADF+LCDF=LADF+∠DAE=90°， ·∠AHD=90°， AE⊥DF; (2)①解：：四边形ABCD是正方形，AB=4, AD=AB=4,∠ADE=90°， 在RIAADE中，AE=VAD2+DE2=V32+42=5, 由翻折得，AE垂直平分DD', 记AE与DD相交于点O,则AE⊥DD',且DD'=2DO, y B E C 在Rt△ADE中， S.4e-xADDE=)×AED0,即x4x3=x5xD0, 1 2 2 解得，D0=2 DD'=2D0= 24 ②证明：由翻折得，AD=AD',∠AED=∠AED',LAD'E=LADE=90°， 四边形ABCD是正方形， AB=AD=AD',AB∥CD, .∠BAG=∠AED, BG I D'E ∠BGA=∠AED', 34/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :ZBAG ZAED ZAED'=ZBGA, LBAG=∠BGA, 由翻折得，AE垂直平分DD', :△ADD'是等腰三角形，AE是∠DAD的角平分线， :∠ADD=LADD, 在R1aAD'E中，∠ADE=90°，.∠D'AE+∠AED'=90°， 在RIAAOD'中，AE⊥DD',∠D'AE+∠ADD'=90°， ∠ADD'=∠AED', ∠ADD'=∠AD'D=∠AED'=∠BGA=∠BAG, ∠ADD'=∠BAG,∠AD'D=LBGA, 在△ADD'和△BAG中， ∠ADD'=∠BAG ∠ADD=∠BGA, AD'=AB △ADD'≌△BAG(AAS) 16.(25-26八下·上海宝山实验学校期中)数学活动课上，萱萱同学将大小两个正方形的顶点C重合，按如 图的方式摆放，使B、C、E在同一直线上.CD边与CG边重合，连接AF. 图1 图2 图3 (I)初步探究：如图1，连接GE交AF于H,连接CH.她猜测HA=HC,请证明她的猜想是正确的， (2)大胆尝试：如图2，将正方形CEFG绕点C转动，当点D在AF上时，CG交DF于点N,连接GD,她通 过测量发现∠GDF=45°，请证明她的结论； (3)拓展延伸：如图3，将正方形CEFG继续绕点C转动，当B、C、F在同一直线上时，取AF的中点P,连 接DP、GP,若AB=4,EF=5√2，求△DPG的面积. 【详解】(1)证明：连接AC, 35/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B :四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ∠DAC=∠DCA,GC=GF,∠CGH=∠FGH=45°，∠ADC=LCGF=90° GH=GH △GHC≌aGHF(SAS .∠GCH=∠GFH :∠ADG=LCGF=90° AD∥GF ∠DAH=∠GFH=∠GCH ∴.∠DAH+∠DAC=LGCH+LDCA .∠∠HAC=∠HCA .HA=HC; (2)证明：作GM⊥GD交DF于点M, G D :∠DGC+∠CGM=∠MGF+∠CGM=90 .∠DGC=∠MGF :∠DCN+∠DNC=LNFG+∠GNF,∠DNC=∠GNF .DCN=∠NFG .GC=GF :△GDC≌△GMF(ASA) GD=GM,又GM⊥GD LGDF=45°： 36/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：延长DP交CF于点K,连接GK, B :P为AF中点 :AP=PF :AD∥CF :∠DAP=∠KFP,∠ADP=∠FKP △APD≌△FPK(AAS .DP=PK,AD=KF=4 :EF=5√2 ∴CF=√2EF=10 ..CK =CF-KF=6 .DC=4 :DK=VDC2+CK2=V42+62=2V3 DP=PK =13 GC=GF,CD=FK,ZGCD=ZGFK=450 :.△GDC≌aGKF(SAS) .GD=GK,∠DGC=LKGF .∠DGC+∠CGK=∠KGF+∠CGK=90°， .∠DGK=90°，又DP=PK, :.Rt△DGK是等腰直角三角形， GP⊥DK,GP=DP=V3 :△DPG的面积为x厅x丽= 2 37/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 17.(25-26八下·上海宝山实验学校期中)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E 不与B、C重合)，连接DE,以DE为直角边作等腰直角三角形DEF,DF与正方形AB边相交于点N, 连接BD. E E 图1 图2 (I)求证：∠BEF=∠FDB; (2)当E运动到BC的中点时，求线段AN的长： (3)如图2，连接AC交DF于点P,G是AD的中点，连接PG、PE,求PE+PG的最小值. 【详解】(1)证明：：△DEF是等腰直角三角形， ∠DEF=90°，∠EDF=45°. :正方形ABCD, ∠C=90°，∠CDB=45°， LCDE=45°-LEDB=∠FDB, :∠DEF=90°， ∴LBEF=90°-LDEC=LCDE, ∴∠BEF=∠FDB. (2)解：：点E是BC的中点， .BE CE =1. 设AN=x,则BN=2-x. 如图，延长BA至H,使AH=CE=I,连接HD,NE, 38/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :正方形ABCD, ∠C=∠BAD=∠DAH=90°，CD=AD. .△CDE≌△ADH(SAS). DE=DH,∠CDE=∠ADH. :△DEF是等腰直角三角形， ∠EDN=45°. .∠CDE+∠ADN=45°. :∠HDN=∠ADH+∠ADN=45°，即LHDN=∠EDN=45°. 又：DE=DH,DN=DN, .△HDN≌△EDN (SAS. .EN NH x+1. 在Rt△BEN中，BE2+BW2=EN2,即12+(2-x)2=（x+12, 解得x= 3, 线段AN的长度为 (3)解：如图，过F作FH⊥BC于H点，连接FB,PB,GB,设AC与BD交于O点. G D 由(1)∠FEH=∠EDC,又LH=∠ECD=90°，EF=ED, △HEF≌△CDE(AAS). ∴HF=CE,CD=HE=BC. 39/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .HB=CE =HF. :.△BHF是等腰直角三角形. ∠FBH=45°， :在正方形ABCD中，∠ACB=∠CBD=45°， .∠FBH+∠CBD=90 ∠FBD=90°. .PB=PD, ∠PBD=∠PDB, BFD=90°-∠PDB=90°-∠PBD=∠PBF, .PF PB, :PF=PD,即点P是DF的中点， :在RtaDBF和RtADEF中，PB=DF,PE=DF, 2 :PB=PE. PE+PG=PB+PG≥BG, 当B、P、G共线时，PE+PG有最小值，最小值为BG的长， G是AD的中点， .AG=1, BG=AB2+AG2=5, ∴PE+PG的最小值为√5. 18.(25-26八下·上海宝山实验学校期中)在四边形ABCD中，边AB绕点B按顺时针方向旋转，点A与点M 重合，且点M在四边形内，连接AM、CM、DM,延长AM交边CD于点N. D 图1 图2 B 备用图 (1)如图1，当四边形ABCD是菱形时， ①若∠ABC=70°，则LCMN=。(直接写出度数)； ②若∠ABC=a,用含a的式子表示∠CMW,并说明理由； 40/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当四边形ABCD是正方形时，AB=5,作DP∥CM交AM的延长线于点P,当aDMP是直角三 角形时，求DP的长。 【详解】(1)解：①：边AB绕点B按顺时针方向旋转，点A与点M重合， .BA=BM E∠BMAI80°-∠ABM=90°-∠ABD :四边形ABCD是菱形， .BA=BC .BM=BC E∠BMC=I80°-ZMBC=90°-∠MBO .∠AMC=∠AMB+∠BMC =90°-1∠ABM+900-1∠MBC 2 =I80-∠ABM+∠MBC 1 =180°- ∠ABC ÷∠CMN=180°-∠AMC=∠ABC :∠ABC=70°， :∠CMN=∠ABC=350 2 ②：边AB绕点B按顺时针方向旋转，点A与点M重合， .BA=BM :∠81=0-∠48M=90r-4M :四边形ABCD是菱形， .BA=BC .BM=BC ∠BMC=180°-∠MBC)=90°-∠MBC .∠AMC=∠AMB+∠BMC =90°-L∠ABM+90°-1∠MBC 2 =180-∠A8M+∠MBC 41/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =180°- ∠ABC 1 :∠CMN=180°-∠AMC=5∠ABC :∠ABC=a, :∠CMN=∠ABC=& 2 2 (2):四边形ABCD是正方形， :∠ABC=∠BAC=90°，AD=AB 由0)可得∠CMP-AC=4S, :DP∥CM, ∠DPM=45°， 当∠DMP=90°时，则△PMD是等腰直角三角形， 如图，过点B作BN,⊥AP于点M, N B ∠AMD=180°-∠DMP=90° :∠BAD=∠AMD=∠BN,A=90° .∠BAN1=90°-∠DAM=∠ADM 又：AD=AB, △ABN≌△DAMA,A,S】 .DM=AN 又：BA=BM,BN1⊥AP 4N=M-号w 设DM=AN1=x,则AM=2x 在Rt△AMD中，AD2=DM2+AM2 42/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 52=x2+(2x 解得：x=5 :△PMD是等腰直角三角形， :PD=√2DM=V10 当∠MDP=90°时，如图，过点B作BQ⊥MC于点Q, M 同理可得△BCO≌△CDM, .DM=CO 又：BC=BM,BQ⊥MC .MO-0C-MC 设DM=CQ=y,则CM=2y 在RtACMD中，CD2=DM2+CM2 52=y2+(2y)2 解得：y=√5 :△PMD是等腰直角三角形， PD=DM=5 题型4菱形+动点+折叠+旋转（共4小题） 19.(24-25八下·上海曲阳第二中学.期中)如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠A=45°，将菱形ABCD绕点 A按逆时针旋转，得到菱形AB,CD,其中B、C、D的对应点分别是B、C、D D D 备用图 43/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)填空：当旋转角为45°时，则点C、C的距离是 (2)连接BD,当C在BD的延长线上时，求∠CAD的大小. 【详解】(1)解：：∠A=45°，旋转角为45°， 旋转后D与B重合 如图，连接CC, C D D(B :菱形ABCD的边长为6，∠A=45 ∴.∠ADC=∠ABC=135°，CD=6, ∠CDC1=360°-∠ADC=∠AB,C=90° :将菱形ABCD绕点A按逆时针旋转，得到菱形AB,C,D, .CD=CD=6, :CC,=6V2 故答案为：62； (2)解：当C在D上方时， 如图，连接CC,AC,AC, B D B :菱形ABCD, BD垂直平分AC, 44/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即C在AC的垂直平分线上， .AC=CC, AC =AC, .AC=AC=CC :△AC,C是等边三角形， 即∠CAC1=60°， :∠B,AD1=45°， ∠C1AD1=22.5°， ∠CAD1=∠CAC1+∠CAD,=82.5°； 当G在B下方时， 同理可得∠CAD,=∠CAC1-∠C,AD,=37.5°； 综上所述，∠CAD,=82.5°或37.5°. 20.(24-25八下·上海西初级中学期中)如图1，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=∠C,点P在边 AB上. D D D D B 图1 图2 图3 图4 (1)判断四边形ABCD的形状并加以证明： (2)以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B,C分别落在点B,C上，且B'C'经过点D,折痕与 四边形的另一交点为Q; ①在图2中作出四边形PBCQ(保留作图痕迹，不必说明作法和理由) (提示：为使折叠后B'C'经过点D,可以先考虑BC边上与点D对应的点D'); ②如图3，如果AB=AD,∠C=60°，且BP1AB,试求北的值： BP ③如图4，如果AB=AD,∠C=45°，且B'P⊥AB,请直接写出 的值 AP 45/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：四边形ABCD是平行四边形； 证明：：在四边形ABCD中，AD‖BC, ∠A+LB=180°， :∠A=∠C, ∠C+∠B=180°， .AB‖CD, :四边形ABCD是平行四边形： (2)解：①作图如下： D B ②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形， 由折叠可得，BP=B'P,CQ=CQ,BC=B'C',LC=∠C'=60°=∠A, 当B'P⊥AB时，由BPICO,可得CQ⊥CD, :∠PEA=30°=∠DEB',∠QDC'=30°， ∠ADC=180°-∠A=120°， :∠B'DE=180°-∠ADC-∠QDC'=30°， :B'D B'E, 设AP=a,BP=b,则直角三角形APE中，PE=√3a,且B'P=b,BC=B'C'=CD=a+b, ..B'E=b-3a=B'D, :i.C'D=a+b-(b-3a)=a+a, :直角三角形CQD中，CQ=1+5。 2a=co, D0=3c'0=3+ 20, .CD=DO+Co=a+b, :3+5a+l+ -a+ 2 2 -a=a+b, 整理得(5+1)a=b, 46/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a 1= b=5),即APV5- PB 2 ③连接AB', A B 当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形， .ABI CD, :∠C=45°， ·∠ABC=135°，∠A=45°， 由折叠的性质得到∠PB'C'=135°，PB'=PB, :B'P⊥AB, ∠APB'=90°， ∠AB'P=45°， .∠AB'P+∠PB'C'=180°， :A,B,D,C四点共线， 点B在AD上， “△APB是等腰直角三角形， .AP=PB', .AP=PB, =1 21.(22-23八下·上海进才中学北校月考)在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=8,左右作平行移动的正方形 EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上.当点G到边BC中点时，点E恰好在边AB上. D D 8 H B B F G 图1 备用图 (1)如图1，求正方形EFGH的边长： 47/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)假设点B与点F的距离为x,在正方形EFGH作平行移动的过程中，正方形EFGH与菱形ABCD重叠部 分的面积为y,求y与x的函数解析式，并写出它的定义域； (3)连接FH、HC,当△FHC是等腰三角形时，请直接写出BF的长. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形， .BC=AB=8, 1 当点G到边BC中点时，BG=。BC=4, :∠B=45°，正方形EFGH的两个顶点F、G始终在边BC上， :BF=EF =FG, :BG=4, ∴FG=2 即正方形EFGH的边长为2： (2)解：当0<x≤2时，如图，由∠B=45°和正方形EFGH知，RtABFM、Rt△EMN为等腰直角三角形， 则BF=MF=x,EM=EN=2-x, M B4 y=S五边形FGHNM=SE方影EFGH-S△EMN =2x2-2-x)2 2 =4- 4-4x+x2 2 =4+4x-x2 2 当2<x≤6时，y=S正方形EFGH=2×2=4; 综上所述，y= 4+4x-8(0<x52 2 42<x≤6) (3)解：如图3-1所示，当FH=HC时， ∠HFC=∠HCF, :四边形EFGH, 48/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠HFC=∠HCF=45°， :△FHC是等腰直角三角形， :HG⊥CF, .FG=CG=HG=2, BF=BC-GG=8-2-2=4; D E B F G 图3-1 如图3-2所示，当FC=HC时，即此时点G与点C重合， FC=2, .BF=BC-BF=8-2=6; E H FCG) 图3-2 如图3-3所示，当FH=FC时，则FC=FH=V22+22=22,此时BF=BC-FC=8-2V2, 综上所述，当△FHC是等腰三角形时，BF的长为4或6或8-22， A D E B FGC 图3-3 22.(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形ABCD中，∠B=a(a≥90)，点E在边BC上（不与B、C重合）， 将线段AE绕着点E顺时针旋转后，点A落在点F处，连接AF,交边CD于点P, 49/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图1 图2 (I)如图1，如果a=90°，延长EC至点H,使得EH=AB,连接FH,求证：CH=FH; (2)连接CF, ①如图2，设LDCF=B,求B与a之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果a=120°，DC=4PD.求证：BE=EC. 【详解】(1)解：如图， B 由题意可得∠B=∠AEF=a=90°， ∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90 ∴.LBAE=LCEF 由旋转可得AE=EF, 在△ABE与△EHF中， AE=EF ∠BAE=∠HIEF AB=EH .△ABE≌△EHF(SAS :BE =FH :菱形ABCD, .AB=BC, EH AB ∴EH=BC,EH-CE=BC-CE, EH-CE=BC-CE,即CH=BE .CH=FH, 50/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，延长EC至点H,使得EH=AB,连接FH. D ①由题意可得∠B=∠AEF=Q, LBAE+LAEB=LCEF+∠AEB=I80°-a .ZBAE ZCEF 由旋转可得AE=EF, 在△ABE与△EHF中， AE=EF ∠BAE=∠HEF AB=EH △ABE≌△EHF(SAS .BE=FH,∠EHF=∠ABE=a, :菱形ABCD, .AB=BC,AB∥CD .∠BCD=180°-a, EH AB .EH =BC,EH-CE=BC-CE, ∴.EH-CE=BC-CE,即CH=BE .CH=FH, .HCFF) .∠BCD+∠DCF+∠HCF=1809 1 180-a+B+909-2a=1800, “B=3a-90°， 3 ②：B+90°-。a,a=120°， 2 ∠DCF=B=90° 过点A作AG⊥CD交CD延长线于G,过点H作HO LCF于Q,如图， 51/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、D :菱形ABCD, AB=BC=CD=AD,AB∥CD,BC∥AD, 设AB=BC=CD=AD=4m, ∠BCD=180°-a=180°-120°=60°， ∠ADG=∠BCD=60°， :AG⊥CD, ∠GAD=30°， :GD=4D=2m,AG=2m .DC=4PD, :PD =m,CP =3m, ..GP=GD+PD =3m, .GP=CP, :∠AGP=∠FCP=90°， ∠APG=∠CPF, :△APG≌△FPC(ASA), .CF=AG=23m, CH FH,HOLCF, co=3m, AB∥CD, ∠HCD=∠B=a=120°， :∠HCQ=∠HCD-∠DCF=120°-90°=30°， .CH=2HO, 由勾股定理，得CH2=HQ+CQ2, 52/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cu-cHm :CH 2m, EH AB =4m, ∴CE=2m, BC =4m, .BE 2m, .BE CE. 题型5新定义四边形综合（共3小题） 23.(25-26八上海交通大学附属第二中学期中)我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸 四边形叫做“等对角四边形”. D 图1 图2 (1I)已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C,∠A=75°，∠B=80°，求∠C,∠D的度 数. (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2)，其中∠ABC=LADC, AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论 (3)己知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7,AD=5.求对角线AC的长 【详解】(1)解：：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C,∠B=80°， LD=∠B=80°， :∠C=360°-∠A-∠B-∠D=125°； (2)证明：AB=AD, ∠ABD=∠ADB, .∠ABC=∠ADC, :∠ABC-∠ABD=∠ADC-LADB,即LCBD=∠CDB, .CB=CD 53/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：分两种情况讨论： ①如图，当∠DAB=∠DCB=60°时， 过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F, C 0 T1 A B ·AED=∠BED=∠BFD=∠CFD=90°， ∠ADE=90°-∠DAB=30°，∠CDF=90°-∠DCB=30°， CF-CD. DE-DFE- 2 :LBED=∠BFD=LABC=90°， :四边形DEBF是矩形， DF-BE-3 BF-DE-55 9 2 设CF=x,则CD=2x, 在RtACDF中，CD2=CF2+DF2, 解得95，母C6 2 .BC=BF+CF=43, 在RtAABC中，AC=VAB2+BC2=√97： ②如图，当LADC=∠ABC=90°时，∠BCD=360°-LADC-∠BAD-∠ABC=120°， 过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥BC于点N, 54/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D N M B ∠AMD=∠BMD=∠BND=90°，∠DCN=180°-∠BCD=60°， ∠ADM=90°-∠DAB=30°，∠CDN=90°-∠DCN=30°， M-DCN-CD. BM=4B-AM =2' 9 :LBMD=∠BND=∠ABC=90°， :.四边形DMBN是矩形， :DN=BM=2’ 9 设CN=a,，则CD=2a, 在RtACDN中，CD2=CN2+DN2, 解得a=3V3 2 CD=2a=3V5, 在RIAADC中，AC=VAD2+CD2=2V3; 综上，对角线AC的长为√97或2√13. 24.(25-26八下·上海崇明区上海师范大学附属崇明正大中学五四制)·期中)学习了矩形和正方形的知识后， 同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究.对于平面 内的一个四边形ABCD,AD上若存在一点O,使得OB=OC且OB⊥OC,则称这样的四边形是“可等垂四 边形”，点O为四边形ABCD的“等垂点”. B 图(1) 图(2) 55/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)【初步探索】 如图(1)，矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的等垂点”，则AB和AD的数量关系是 (2)【类比探究】 如图(2)，四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的等垂点”，分别过点B、C作AD的垂线，垂足分 别为G、H ①请写出BG,CH,GH之间的数量关系，并证明； ②若AB=0B=CD=2V5,A0=4,求0D的长. 【详解】(1)解：AD=2AB 证明：如图(1)，过点O作OP⊥BC于点P,则AB=OP, 图(1) :矩形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的等垂点”， .0B=0C,0B⊥0C, ∴.△BOC是等腰直角三角形， ∴.BP=OP=CP, .AB=BP=CP, .BC=2AB, 即AD=2AB, (2)①GH=BG+CH 证明：BG⊥AD,CH⊥AD, .∠0GB=LCH0=90°， ∴∠GB0+∠B0G=90°； :四边形ABCD是“可等垂四边形”，O是它的“等垂点”， .0B=0C,0B10C, .∠B0G+∠H0C=90°， ∴.∠GB0=∠HOC, 在△GBO和△HOC中， 56/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠GBO=∠HOC ∠OGB=∠CHO OB=OC △GB0≌△HOC(AAS), ..OG=CH,BG=OH, ..GH=G0+OH=BG+CH, ②在△ABO中，AB=OB,BG⊥A0, 4G=oG=20= 2*4=2, .CH=0G=2, ÷0H=BG=VB02-0G2=V25-2=4, :0C=0B=CD,CH⊥OD, ∴.0D=20H=8. 25.(25-26八下·上海普陀区梅陇中学期中)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形. B B (1) (2) (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 (请填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图(1)，菱形ABCD中，LA=60°，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF,求证：四边形 DEBF是完美四边形； (3)如图(2)，四边形ABCD为完美四边形，且AB=AD,连接AC. ①求证：CA平分∠DCB; ②当∠BAD=90°时，CD=1,BC=3,请直接写出AC的长， 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、正方形性 质理解 【详解】(1)解：①平行四边形的邻边不一定相等，故不是完美四边形： 57/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②菱形的对角不一定互补，故不是完美四边形： ③矩形邻边不一定相等，故不是完美四边形： ④正方形任意一组邻边相等且对角互补，故是完美四边形： (2)证明：如图，连接BD, 1111111 B :四边形ABCD是菱形， AB=AD,AD∥BC, :∠A=60°， .△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°， .AD=BD :在菱形ABCD中，BD平分∠ABC, ÷∠DBC=∠ABC=60=∠A, AE BF, :△ADE≌△BDF(SAS), DE=DF,∠AED=∠BFD, :∠AED+∠DEB=I80°， ∠BFD+∠DEB=180°， :四边形DEBF是完美四边形 (3)①证明：延长CB至点E,使BE=CD,连接AE, E 58/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD为完美四边形 ∠ABC+∠D=180°， :∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠D, 又：AB=AD,BE=CD .△ADC≌aABE(SAS), ∠ACD=∠E,AC=AE, .∠ACE=∠E, .ZACD=ZACE, :CA平分∠DCB: ②由①得，△ADC≌△ABE(SAS】 AC=AE,∠EAB=∠CAD,CD=BE=1, .∠EAB+∠BAC=LCAD+LBAC,CE=CB+BE=3+1=4 LCAE=∠DAB=90°， .AE2 +AC2=CE2 2AC2=42, ∴AC=2√2 题型6三角形中位线与重心综合应用（共7小题） 26.(25-26上海金山区·期中)阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4(1)三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明 产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究 D B 己知：如图(1)，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点. 求证：DE∥BC,且DE=二BC. 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点E作EG∥AB,交BC于点G,过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F, 59/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 乙：连接BE,CD,过点A作AF⊥DE,垂足为F,分别过点B、C作BG⊥DE,CH⊥DE,交ED、 DE延长线于点G、H. 丙：延长DE至点F,使EF=DE,连接FC、DC、AF, A(x,) D B G C (,0 甲 丙 丁：以点B为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为x,y),点C的坐标为x2,0). (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有 (填人名) (②)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整. (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现B、C两地被某人工湖隔开，由于 只有工具：一把皮尺（测量长度略小于BC),某同学提出方案“我们可以在与BC平行的人行步道上的点A 、D处作好标记，通过皮尺找到AB与DC的中点M、N,通过皮尺测量AD,MN的长度，就可以估算出 B、C两点间的距离了”，若测得AD=m,MN=n,请直接写出B、C两点间的距离.（用含m、的代 数式表示) M 【详解】(1)解：甲乙丙丁： (2)解：选择甲： 过点E作EG∥AB,交BC于点G,过点A作BC的平行线交GE的延长线于点F. EGI‖AB,AF‖BC, 四边形AFGB是平行四边形， :AF=BG,AB=FG, .AFI BC, ∠F=∠CGE, :D、E分别是AB、AC的中点， 60/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD-BD-24B.AE-CE. 在△AFE和ACGE中， LF=∠CGE ∠FEA=∠GEC, AE=EC △AFE≌△CGE(AAS, AF-CG-BG=IBC,FE=EG-1FG-1AB=AD, 2 “四边形ADEF是平行四边形， :AF DE,AF DE, DEBC.DE-8C. 选择乙； 证明：连接BE,CD,过点A作AF⊥DE,垂足为F,分别过点B、C作BG⊥DE,CH⊥DE,交ED、 DE延长线于点G、H ∠AFD=∠BGD=90°. :D是AB的中点， .AD BD 在△AFD和△BGD中， ∠AFD=∠BGD ∠ADF=∠BDG, AD=BD △AFD≌△BGD(AAS, :FD =GD,AF=BG. 同理，：LAFE=LCHE=90°，∠AEF=∠CEH,AE=EC, △AFE≌aCHE(AAS), :FE =EH,AF=CH. .DE-FDEF BGCW 1 2 :BG⊥GH,CH⊥GH, .BGI‖CH, 61/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形BGHC是平行四边形， ∴.BCIIGH,BC=GH, 1 .DEBC,DE=。BC: 2 选择丙； 证明：延长DE至点F,使EF=DE,连接FC、DC、AF, :E是AC的中点， :AE EC, 在△ADE和aCFE中， EF=DE ∠AEF=∠DEC, AE=EC ∴△ADE≌△CFE(SAS, AD=CF,LDAE=∠FCE, ∴.DBIFC, :D是AB的中点， :AD DB, :DB=CF, ·四边形DBCF是平行四边形， .DE BC,DF BC, DE EF, DE-DF-8C 选择丁； 证明：以点B为原点建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(x,y),点C的坐标为x2,0). :BC=X2, :D、E分别是AB、AC的中点， 2 x+x2丛 ec,0E=5-音-号-c (3)解：如图，连接AN并延长，交BC延长线于点P, 62/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B “点N是DC的中点， :DN=CN, AD BC, .∠DAN=∠P,∠D=∠NCP, 在△ADN和aPCN中， 「∠DAN=∠P ∠D=∠NCP, DN =CN .△ADN≌△PCN AAS), :AD=CP,AN=NP,即点N是AP的中点， :点M是AB的中点， :MN是△ABP的中位线， .MN=BP-(BC+CP)-(BC+AD),(BC+m). :BC=2n-m, 即B、C两点间的距离为2n-m, 27.(25-26八下·上海徐汇区教育学院附属实验中学期中)解决下列问题 图1 图2 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形， 说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在ABC中，如图2，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上(D不是AB的中点)， 63/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=EC.如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：。BC<DE; (3)在Rt△ABC中，LACB=90°，∠A<60°，D、E分别是边AB、边BC的中点，连接DE,小明发现这 张纸片沿着DE和CD剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段DE剪开 后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图 形（非尺规作图）· 【详解】(I)解：如图所示，作ABC的中位线DE,沿DE将纸片剪开，并将ADE纸片绕点D旋转 18O°得到△BDE',即可拼成平行四边形纸片BCEE'. D :DE是ABC的中位线， :DE=BC,DE BC, :将aADE绕点D旋转180°得到△BDE', DE'=DE,E,D,E三点共线， .EE'=DE +DE'=BC, 、.四边形BCEE'是平行四边形， (2)证明：如图所示，沿DE剪开，将△ADE放至下图△CEG位置，其中A点与C点重合，D点与E点重 合，即△ADE≌ACEG,连接DG, ∴∠A=∠ACG,AE=CG,DE=EG, AB‖CG, AB=AC,AD=CE, .DB=AE, .GC=DB, .四边形DBCG是平行四边形， 64/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DG=BC, 在△DGE中，DE+GE>DG,即2DE>BC, BC<DE. 2 (3)解：下图EF和四边形EFFE'为所求作， A F D F 以点E为圆心，AC长为半径画弧交AC于点F,连接EF,则EF=AC,沿DE和EF将纸片剪开，将 △CEF绕点E旋转180°得到△BEE,再将四边形AFED绕点D旋转180°，得到四边形EFFE', :△CEF≌△BEE,四边形AFED与四边形BF,E'D全等， .EF=EF=AC,BF=FC,AF=BF,E'D=DE,E'F,EF =AC, :DE是ABC的中位线， :DE=1AC, 2 1 .EE'=DE+DE'=AC+AC=AC.FF;=BF +BF;=CF+AF=AC, 2 2 E'F2=EF=FF2=EE'=AC, :.四边形EFF,E'为所求菱形. 28.(25-26八下上海杨浦区期中如图(1)，线段DE是A8C的中位线，我们可以得到D-4二=1， DB EC DE∥BC. B B 图(1) 图(2) 图(3) 65/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0在图(2》，段将D正所在的直线Y移至经过48C的重心G的位翼，请的：品与 E的值 (填 相等或不相等)，如果相等，那么等于 ②血国(3)，己点M为是48C中线证上一点，且子，现将DE所在的直线平移至经过直M的 位置，请间：册与气的值还相等喝？如果扫等，那么等于多少？并说明理由。 EC 【详解】(1)解：设BC的中点为F,连接AF, 图(2 :G是ABC的重心， :4G=2GF,即4G=2, GF DE∥BC, 片D-4G4E4G DB FG'EC FG D8EC FG AD AE AG =2, 即伦与化的佰相等，且都等于2 EC ②》解：胎与瓷的值相等，等十号 理由是：：DE∥BC, AD AE AM DB EC MF AM 2 MF3 :AD=E AM 2 DB EC MF3' 即8与瓷的值相等，等于号 29.(25-26八下·上海闵行区莘松中学期中)【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题， 请完成这道题的证明. 66/175 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D M A N W B 图① 图② 图③ (I)如图①，在四边形ABCD.中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点.求 证：∠PMN=∠PNM. (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E,延长线段BC交NM的延长线于点F,求证： ∠AEN=LF. (3)【应用探究】 如图③，在ABC中，点D在AC上，AD=BC=3,M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延长， 与BC的延长线交于点G,若∠GMC=45°，求MN的长. 【详解】(I)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， :PM=IBC. :P是BD的中点，N是AB的中点， PN-AD. AD=BC, .PM PN, ∠PMN=∠PNM; (2)证明：如图，由(1)得∠PMN=∠PNM, D B 图2 :N是AB的中点，M是DC的中点，P为BD的中点， .PNI AD,PM BC, 67/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠AEN=∠PNM,∠PMN=∠F, :∠AEN=∠F: (3)证明：如图，连接BD,取BD中点P,连接PM,PN,由(I)知LPMN=LPNM, D A P B 图3 由(2)可知，PMI‖BG,PWI‖AM, .ZPMN =ZCGM ZPNM ZAMN, ∠CGM=∠AMN, :∠GMC=45°，LAMN=LGMC, .∠PMN=∠PNM=∠CGM=∠AMN=45°， .∠MPN=180°-45°x2=90°， ∴.△PMN为等腰直角三角形， AD =BC=3, 由(I)知PM=PN=AD 2 2 MN=PM2+PNT 2 30.(25-26八下·上海梅陇中学)【问题探究】 D E B FC H D B 图1 图2 图3 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD边上，BE=CG,连接EF,过点G作 GH∥EF,交BC的延长线于点H,若EF=√6，求GH的长； (2)如图2，在菱形ABCD中，连接AC,点P、Q分别是BC、AB边上的动点，连接PQ,点M、N分别是 PQCP的中点，若AB=5,AC=6,求MN的最小值： 68/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)【问题解决】如图3，叔叔家有一个正方形菜地ABCD,他计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且 ∠ABP=60°，E为CD的中点，点F、G分别为AD、BC边上的动点，在改造的过程中始终要满足 CG=DF,Q为AP的中点，他计划在三角形ABP区域内种植茄子，在三角形DEF区域内种植西红柿，其 余区域内种植辣椒，并分别沿EF、GQ修建灌溉水渠，经测量，AB=400米，为了控制成本，要求灌溉水 渠EF+GQ)的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（EF+GQ)总长度的最小值. 【详解】(1)解：如图， F :四边形ABCD是矩形， ∠B=LBCD=LDCH=90°， :GH∥EF, .∠EFB=∠GHC, .BE=CG, ∴.△EBF≌△GCH(AAS), GH=EF=√6， GH的长为6； (2)解：如图，连接CQ,连接BD,与AC交于点O, B :点M、N分别是PQCP的中点， 69/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :MN是△PQC中位线， w-c0. :当CQ⊥AB时，CQ最小，从而MN最小，如图， B M P :四边形ABCD是菱形， :AC I BD.04=OC=1AC-3.0B-OD-1BD. ∠A0B=90°， ·OB=VAB2-OA2=V53-32=4, BD=8, ACxBD=ABxCO. x6×8=5×C0, 2 ·即c0最小值为24 ·C0=24 MN的最小值为5 (3)解：如图，取AB的中点T,作射线TQ,交CD延长线于H,在DC的延长线上截取CW=DE,连接 GW,TE, 70/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形， ∠BAD=∠ADC=∠ACD=∠BCW=90°，AB∥CD,AB=CD=400米， AT=1AB,DE=ICD, 2 2 AT=DE,TH∥BP, .∠ATH=∠ABP=60°，四边形ATED是平行四边形， :∠BAD=90°， :四边形ATED是矩形， ∠DET=∠ATE=90°，AD=TE=400米， ∴.∠ETH=30°，∠H=∠ATH=60°， :EH=TH,即TH=2EH, TE2+EH2=TH2, 4002+EH2=(2EH)2, ·EH=400V5 3 (米)， :DF=CG,∠FDE=∠GCW=90°，DE=CW, :△DEF≌aCWG(SAS), .EF=GW, .EF+GO=GW+GO, Q、G、W三点共线，且WQ⊥TH时，GW+GQ最小，即WQ长，如图， 71/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 2 :∠WQH=90°， :∠H=60°， ∠W=30°， :OH=THW, 由勾股定理得：QH2+WQ2=HW2, +WO2=HW2, ÷w0=5Hw, 2 :E为CD的中点，CD=400米， .CE=DE=200米， .CW=200米， EW=400米， ÷Hm=EW+EH=400+405(米)， .wo= -HW= 400+ 400v3 =200√5+200（米）， :灌溉水渠(EF+GQ总长度的最小值为200V3+200米 31.(25-26九上·上海徐汇中学)在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没 有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当 两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点： 72/175 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为RtaABC,C为直角顶点， 瓷行将这有个三角形 拼成一个四边形，使得斜边重合： (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心G；(不用写作法，写出结论) (2)直接写出线段AG与线段BG的比值. 【详解】(1)解：①如下图所示， A 直角ABC的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边AB的交点就是四边形的重心； ②如下图所示， 入 M 直角ABC的重心是直角三角形三条中线的交点M, 73/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直角△AHB的重心是直角三角形三条中线的交点N, 由题意可知△ACH和BCH是等腰三角形且AC=AH,BC=BH, .△ACH和BCH的重心都在AB边上， :四边形ACBH的重心是线段MN与AB的交点； (2)解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， A 矩形对角线互相平分， B :.AG=BG, AG BG =1; 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， AM =AN, H B :AB是MN的垂直平分线， BC 1 AC-2' 设BC=2a,则AC=4a, AB=VAC2+BC2=(2a)+(4a)=2V5a AE=V4a'+a2=7a,BF=2a)2+(2a'=22a, :点M是重心， 74/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM BM 2 AE BF 3' AM=2 3 a,BM= 42a, 设AG=x, 则有g=n-4G-侵o-, MG=8M2-8G2-后x22@-25a-. （号x2j-25a--（Gaj-r, 整理得：4a2=-20a2+4V5ax, 解得：x=65 , BG=AB-4G=2W5a-65a=45 5a= 5, 65 AG 5 3 -a 5 综上所述：线段4G与线段8G的比值是1或 3 32.(24-25八·上海同济大学嘉定附属实验中学·月考)如图1，在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC, AD=2,AB=3,BC=8,点F是线段DC的中点，点G是线段DF上的一个动点（不与点F重合），连 接BG并延长，交线段AD的延长线于点P. D D G 图1 图2 备用图 (I)如果AB+DP=BP,求PD的长 (2)如图2，点E是BP的中点 ①如果设DP=x,EF=y,求y与x的函数关系式并写出定义域. ②连接DE和PF,如果DE=PF,求PD的长 【详解】(I)解：“AB+DP=BP,AB=3, 75/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BP=3+DP, :∠A=90°，AD=2,AB=3, BP:=AB'+AP2,AP=AD+DP=2+DP (3+DP)=9+(2+DP)2, DP=2, :DP的长为2 (2)解：①如图2，连接DE并延长交BC于点H. D B 图2 E是BP的中点， .BE PE, :AP∥BC, ∴.∠DPE=∠PBH, .△DEP≌△HEB(ASA), .DE EH,BH =DP=x, ..CH=8-x, :F是线段DC的中点， Ef=2CH=28-,DP∥EF 2 :y=29 5x+4(0≤x<8). ②：DP∥EF,DE=PF. a.当四边形DEPF是平行四边形时， B 图3 :DP=EF, 76/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8 .x=-二x+4,解得：x= PD的长为 8 b.当四边形DEPF是等腰梯形时， 图4 DE=EF, :EP DF, E、F是BP、CD的中点， .BP=DC, 如图：过点D作DM⊥BC于M. 四边形ABMD是矩形， ∴.BM=AD=2, ∴.CM=BC-BM=8-2=6, 在RtADCM中，CD=VDM2+CM2=35, 在RtABP中，BP=VAB2+AP-V32+(x+2)2, ·V32+(x+2)2=35,解得x=4和-8（舍弃）， 经检验x=4是原方程的解且符合题意， :PD的长为4. 综上所述，PD的长为或4. 3 题型7坐标+平行四边形/矩形/菱形存在性（共4小题） 33.(25-26八下·上海华东师范大学附属进华中学期中已知矩形ABCD,AB=6,BC=10,以BC所在直线为 x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E,将ADE沿AE翻折， 点D恰好落在BC边上的点F处， 77/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D -------------1D B 图1 图2 (I)求线段EF长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m>0)个单位，点G是坐标平面内的点，如果以 A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出点A、G的坐标 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， :AD=BC=0C=10,CD=AB=0A=6,∠A0C=∠ECF=90°， 由折叠性质得：EF=DE,AF=AD=10, :CE CD-DE=CD -EF =6-EF, 由勾股定理得：BF=OF=VAF2-OA=V100-36=8, .FC=0C-0F=10-8=2, 在RtAECF中，由勾股定理得：EF2=CE2+FC2, 即：EF2=(6-EF)2+22, 解：F9 (2)如图， G D G4- B G 图 当四边形AOGF为菱形， 78/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0A=AF=10, .A(0,10), :矩形ABCD平移距离m=OA-AB=10-6=4, 即0B=4, 设FG交x轴于H,如图所示： :OA∥FG,BC∥x轴， ∠FB0=∠B0H=∠0HF=90°， ·四边形OBFH是矩形， :FH=0B=4,OH=BF=8, HG=10-4=6, ·点G的坐标为(8，-6) 若四边形AOFG'是菱形， 0A=0F, (m+6)2=82+m2, 7 “m=3' 40=+6=25 7 3 .A(0, 2 3, GF=2 :G的坐标为8,3) 32 当四边形AFOG”是菱形， :.OB=AB=6,BF=FG"=8,A0L FG", m=6,A(0,12), “点G”的坐标为-8,6， 2 综上所述：40,10，G8,-6)或40,25，G8 3 或A(0,12),G-8,6) 34.(25-26八下·上海徐汇区教育学院附属实验中学期中如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4,0)， 点B的坐标是(O,2),过点B向第一象限作BC⊥AB且BC=AB. 79/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求点C的坐标. (2)E是平面内一点，以A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标是 (直接写 出答案)； (3)若∠0AB=26°，请描述点A相对于点C的位置. (4)平面内有一点Da,6),且SBcD=SBc,求点D的坐标. 【详解】(1)解：过点C作CD⊥y轴于点D,如图所示： D--- .∠CDB=∠BOA=90°， B o :点A的坐标是(4,0)，点B的坐标是(0,2)， 0A=4,0B=2, 在Rt△BCD中，∠C+∠DBC=90°， :BC⊥AB,且BC=AB, ∠DBC+∠0BA=90°， LC=∠OBA, 在△CDB和△BOA中， ∠CDB=∠BOA=90° ∠C=∠OBA BC=AB :△CDB≌△BOA(AAS), .CD=OB=2,BD=0A=4, 0D=0B+BD=2+4=6, 80/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·点C的坐标是2,6)； (2)解：设E(x,y), ①如图，当AB为对角线时， B A ÷+2_0+4,y+62+0 2 2 2 2 .x=2,y=-4, E(2,-4); ②如图，当AC为对角线时， B :+0-2+4,y+26+0 2 22 x=6,y=4, E(6,4; ③如图，当AE为对角线时， 81/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B :+4_0+2,y+02+6 2 2， 22 x=-2,y=8, E-2,8): 综上所述，点E的坐标是(2，-4)或(6,4)或(-2,8)： (3)解：点A的坐标是(4,0)，点C的坐标是2,6)， AC=V2-4)2+6-0)2=210, 如图，连接AC,作CE⊥x轴交x轴于点E, B EA :BC⊥AB且BC=AB, ∠BAC=∠BCA=180°-90 =45°， 2 :∠0AB=26° ∠0AC=71°， “.点A在点C下偏右71°距离2√10个单位处； (4)解：：点A的坐标是(4,0)，点B的坐标是0,2)， BC=AB=25, 82/175 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 Sc=×AB×BC=号×2N5×2W5=10, 2 2 S acD=S aBc, .S△BcD=10 Da,6,C2,6), “C、D均在直线y=6上， ÷a-4=10 解得：a=7或a=-3, .点D的坐标为(7,6)或(-3,6). 35.(25-26八·上海张江集团学校等学校·期中)平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多 图形以及图形变换问题. B B. 图① 图② 图③ (1)如图①，在菱形0ABC中，若点A(3,4,则点B坐标为 (2)如图②，线段AB、CD关于点P对称，若点A3,3),B(5,,D(-3,-I),则点C的坐标为 (3)如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-1,2)、（-5,1)，点M、N分别是x轴、y轴上的点， 若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 【详解】(1)解：：点A的坐标为A3,4), 0A=V32+42=5, 四边形OABC是菱形， :AB=5,AB∥OC, ·点B的坐标为(8,4). (2)解：：B(5,1,D(-3,-1关于点P对称， 83/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5,3=1,1号-0，点P的坐标为1,0， 2 设点C的坐标为(x,y), :A(3,3与C(x,y)关于点P对称， 3+x=1, 3+y=0, 2 解得x=-1,y=-3, ·点C的坐标为-1，-3). (3)解：如图，当ABII NM, :点N在y轴上，点A、B的坐标分别为-1,2)、(-5，)， O :点M的横坐标为-5-(-1)=-4： 如图，当AB∥MN, B :点N在y轴上，点A、B的坐标分别为-1,2)、（-5,1， 点M的横坐标为-1-（-5)=4； 如图，当AB为对角线， VA B A :点N在y轴上，点A、B的坐标分别为(-1,2)、(-5,1， M 84/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设点M的横坐标为a, a+0_-1+(-5) 2 2 解得a=-6,即点M的横坐标为-6， 综上，点M的横坐标为4，-4，-6. 36.(25-26八·上海奉贤区·期中)如图①，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6,0)、 B(4,0)、C(-1,2),点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度. G B D B (1) (2) (1)求m的值。 ()②在x铺上是否存在点M,使SACOM-SAC?若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由. (3)如图②，把线段AB向上平移2个单位长度得到线段EF,连接AE、BF、EF交y轴于点G,过点C作 CD⊥AB于点D,将长方形GOBF和长方形AECD同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度 向右平移，经过多长时间长方形GOBF与长方形AECD重叠的面积为1？请你直接写出运动的时间. 【详解】(1)解：：点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度，B(4,0), .4-2m-6=6, 解得m=2; (2)解：存在， :AB=6,C(-1,2), S48=6, .S.CoM =2, 当点M在x轴上时， 设M(a,0), 85/175 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.OM a, 5aC0M=30MxC=3×ax2=2, a=±2， M(-2,0或(2,0)； (3)解：设经过b秒后长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1， 由题意可得，bs后，点D'(-1+2b,0),Ob,0),B'(4+b,0), ①当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时， “高必为2， 底为； ∴-1+2b-b=0.5, .b=1.5, ②当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时， :高必为2 底为5， : .4+b-(-2+2b=0.5, b=5.5 综上所述：运动时间为1.5或5.5秒 题型8新定义点+几何证明（共4小题） 37.(25-26八上海虹口区·期中点P是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点P向x轴、y轴作垂线段， 垂足分别为A、B,如果PA+PB=5,那么点P称为“好点”.例如：点M(-1,4,因为1+4=5，所以 点M是“好点”。 ()在点A2,-3)、 (22 C(-2,7)中，“好点”是 (2)如果D(2a,-5a是“好点”，求a的值. 【详解】(1)解：点A(2,-3)是“好点”，因为其坐标满足|2|+|-3=2+3=5； 37 373. 点B22是好点”，因为其坐标满足 1=5 2222 点C(-2,7)不是“好点”，因为-2|+|7=2+7=9≠5， 86/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因此“好点”是A和B: (2)解：：D(2a,-5a)是“好点”，且点P不在坐标轴上， .|2a|+|-5a=5,且a≠0， 分两种情况讨论： ①当a>0时，原式化简为2a+5a=5,即7a=5, 朝帝0-男 ②当a<0时，原式化简为-2a-5a=5,即-7a=5, 解约a- 综上，a=± 5 38.(25-26八上海北郊学校期中)小海在探究平面直角坐标系中线段长的时候发现，如果已知两点A(x,”) ,B(x2,y2),则线段AB的中点M的坐标可以是 x1+x2月1+y2 例如已知P(2,3),Q(4,5),则线段P9 2 2 的中点坐标是 /2+43+5 、2,2 ,即中点坐标是3,4) (1)已知两点A(0,6),B(4,0),那么线段AB中点M的坐标是 (2)据此，他进一步探究：已知平面直角坐标系中三个点的坐标，可以找出第四个点和已知三个点构成平行 四边形.例如：已知A1,2)、B(3,1、C(4,3,如果以A、B、C、D四点为顶点可以构成平行四边形，就 可以求出D的坐标. 小海的求法： 设D(x,y) 如果以AB、CD为对角线，则AB的中点与CD的中点重合， (4+x3+y 重合 得4+x=2 3+y3 2 22 解得x=0,y=0, D(0,0) 写出小海的求法是依据了平行四边形的判定定理： (3)乐乐觉得用这种方法做，应该还有其他位置的D点，请用此方法求出其他位置D点的坐标 87/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0+46+0 【详解】(1)解：由题意知，AB中点M的坐标是 2,2 即中点坐标是(2,3) (2)解：小海的方法中，说明两条对角线的中点重合，即对角线互相平分，依据的平行四边形判定定理为： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. (3)解：设D(x,y), 此时分两种情况讨论： ①以AC,BD为对角线， 4C的中点坐标为生生)（引80的中点为“，） 由中点重合可得： 3+x-5,1+y-5 22 22 解得x=2,y=4, 此时D(2,4； ②以BC,AD为对角线， :C的中点坐标为专），仔20的中点为生2生) 由中点重合可得： 1+x_7,2+y=2, 22’ 2 解得x=6,y=2, 此时D(6,2), 综上所述，其他位置D点的坐标为2,4)或(6,2) 39.(25-26八上海杨浦区·期中)阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M,(x,y)、M,x2,y,)，我 们把d=Vx-)子+（出-）2叫作M1、M两点间的距离，记作d(M,M,.如A(-2,3列、B(2,5),则 d(4,B)=V-2-22+(3-52=2W5.请根据以上阅读材料，解答下列问题： ()若A3V2,0、B0,4W),则d(A,B)=- (2)当A(a,1)、B(-1,4)的距离d(A,B)=5时，求出a的值； (3)若在平面内有一点C(x,以，使式子Vx+)+(y-4)+V3-x2+(1+y)2有最小值，请求出这个最小值. 【详解】(1)解：：A32,0、B0,4V2), 88/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 d(4,B)=V32-0+(0-4=52, (2)解：：A(a,1)、B(-1,4)的距离d(A,B)=5, V-1-a2+(4-1)2=5, .（-1-a2+4-12=25, a2+2a+1+9=25, 解得a=-5或a=3; (3)解：Vx+12+y-42+3-x)2+(1+y)月 x-(-]+(y-4+x-3'+[y-(-1]· V[x-(-1]+(y-4)}表示点(x,到点(-1,4)的距离， √x-3+[y-(-1]表示点(x,)到点(3，-)的距离， √x+1)2+(y-4)+V3-x2+(1+y)2表示的是点(x,川到点(-山，4)的距离与点(x,)到点(3，-1刂的距离之 和， 根据两点之间，线段最短可知，当点(x,y)在点(-1,4)和点(3，-)组成的线段上时， Vx+1)2+(y-4)2+V3-x)2+(1+y)2有最小值，最小值为点(-1,4)与点(3，-1)的距离， V-1-32+[4-(-]=4, Vx+1)2+(y-4)2+V3-x2+1+y2的最小值为4 40.(25-26八·上海普陀区·期中)定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角 四边形.如图1，直线！∥l,点A、D在直线（上，点B、C在直线马上，若∠BCD=∠BAD,则四边形 ABCD是半角四边形， E D O(C) 图1 图2 图3 (I)如图2，点E是口ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB=4,AE=6,如果四边形ABCE是半角四边形， 89/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 那么BC的长是 (2)如图3，以口ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系.点E是边AD上一点，满足BC=AE+CE. ①求证：四边形ABCE是半角四边形； ②当AB=AE=4,∠B=60°时，如果在第一象限内存在点P,使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半 角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标 【详解】(1)解：：四边形ABCE为半角四边形，∠A=60°，AB=4,AE=6, &∠BCE=)∠A=30°，ADI BC,LBCD=LA=60°，CD=AB=4 ∠DEC=∠BCE=30°， ∠DCE=∠DEC=30°， .:DE=CD=4, :BC=AD=AE+DE=10; (2)①证明：：四边形ABCD为平行四边形， :BC /AD,BC=AD AE+ED=AE+CE, .CE=ED LAEC=2LEDC=2LB,即∠B=)∠AEC, 又：AE∥BC, :四边形ABCE是半角四边形； ②解：：AB=AE=4,∠B=60°，四边形ABCD为平行四边形， :OB=2AB=8,OD=AB=4,AEll BC, :0A=V82-42=4√5，DE=8-4=4,∠BAD=120°， .E为AD的中点， ：点A的坐标为(0,4V3),点B的坐标为(4,4√5)，点D的坐标为(4,0)，点E的坐标为(-2,2√3)， 当AB川PE时，则∠AEP=180°-∠DAB=60°， :AB平行x轴， EPI‖x轴， 点P纵坐标为2√3，∠EMA=90°， .∠EAM=30°， 90/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EM=。AE=2, AM=V√AE2-EM2=2V5, 若∠BPE=∠B4E=60,图，过点B作8G上EP,设EP交y轴于点M, 则LBGP=90°， AM⊥EP,BG⊥EP,ABIEP, ∠AMG=LMGB=∠GBA=90°， :.四边形AMGB是矩形， BG=AM=23,MG=AB=4, :∠GBP=90°-∠BPE=30°， ÷PG=BP, 2 BG=BP2-PG2, PG=2, .MP=MG+PG=6, P6,25): 当AE‖PB,且∠AEP=∠B=30°时，如图，过点R作PH⊥x轴于点H, 2 E D o(C)H 则∠PEC=∠AEC-∠AEP=90°， 91/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°， AD‖BC,∠ADC=60°， .CE=ED=4, .∠DCE=∠ADC=60°， ∠EPC=30°， CP=8, :ADIBC,∠ADC=60°， ∠PCH=60°， :∠PHC=90°， ∠CPH=30°， 1 .CH=。CD=4, PH=CP2-CH2=43, :P4,4v5与点B重合（舍去）： 当E1BB,且∠AB=∠AB时，如图，过点B作BH⊥AB交AB延长线于点， P B :∠ABC=60°，AE IPC, ∠EAB=120°， AB=AE=4, ∠AEB=(180°-∠EAB=30°， 92/175 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠AP,B=LAEB=15°， 、23 AE II PB, ∠EAP=165°， .∠BAP=∠EAP-∠EAB=45°， ∠PBH=∠APB+∠BAP2=60°， :∠PHB=90°， .∠BPH=30°，∠APH=45°， 、AH=PH,BP=2BH, 设BH=x,则AH=AB+BH=4+x,BP=2BH=2x, .PH=AH=4+x, 在Rt△P,BH中，PB2=BH2+P,H2, 4x2=x2+(4+x2,即x2-4x-8=0, x2-4x+4=8+4,即(x-2)2=12, x-2=±2√5， 解得x=2+2√5或x=2-2√5（舍去）， P2H=AH=4+2+2V5=6+2V5, “点A的坐标为(0,4V3), :B(6+25,6+65: 当BE AR,且∠AB=∠AEB时，如图，过点B作PH⊥AB交AB延长线于点H, 2 93/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P3 D (c 同理，得∠AEB=30°， 则∠EAP=150°，∠APB=15 ∠PAH=30°， 2.BH=3Bd. 、∠PBH=45°， ∠PHB=90°， ∠BPH=45°， ∠BPH=∠PBH=45°， .PH=BH, 设PH=BH=y,则￡A=2y,AH=4+x, 在Rt△PAH中，PA2=AH2+PH, .4y2=y2+(4+y),即y2-4y-8=0, 解得y=2+25或y=2-25(舍去)， P,H=2+2V5,AH=6+25, :点A的坐标为(0,4V3), .B(6+25,2+65: 当BEAP,且∠EBP=∠EAP时，如图，过点B作PH⊥AB交AB于点H, 94/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理，得∠EAP,=150°，∠ABE=30°， ∠EBP=75°，∠PAB=30°， .∠PBA=45°， :PH=AP,P.H=BH. Γ2 设PH=BH=z,则AH=4-z,AP=2z, AP,2=AH2+P,H2,即4z2=z2+(4-z2, ·z=2√3-2（负值舍去）， P,H=2V5-2,AH=6-25, P的坐标为6-25,6V5-2): 当8EI,且∠4E8=∠时，如图， P D OC 同理，得∠AEB=30°，LPAE=150°， :∠PAB=30°，∠P=60°， ∠ABP=90°， 95/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 RB-4, .AP2=AB2+PB2, B=43 (负值舍去)， 3 ￡的坐标为 163 3 综上，符合要求的点P的坐标为(6,25)或6+25,6+65或(6+2W5,2+65)或(6-2W5,63-2或 题型9一次函数+几何图形（面积、等腰、直角）（共5小题） 41.如图，已知点P(1,2)在一次函数y=mx(m≠0)的图像上，过点P作x轴垂线，垂足为点A,点A、 Q(q,I都在一次函数y=c+b(k>0)的图像上，直线y=mx与直线y=x+b交于点B. (1)求m的值； (2)如果△APQ的面积是4，求k、b的值： )在(2)的条件下，点C在函数)=mx的图像上，如果Sc8S,求点C的坐标 【详解】(1)解：将P1,2)代入y=mx,得2=m1, 解得：m=2. (2)解：过P1,2)作x轴垂线，垂足A坐标为(1,0)， 3 2 (o 1 234 96/175 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则AP=2-0=2, Saare=4,0(9.1), sw4P9-1-29-=g-=4 q=5或q=-3. :直线y=kx+b过A(1,0)、Q(9,1, [0=k+b 1=gk+b' 解得：k= 9-1, k>0, 9-1>0,解得：9>1， 9=5, Q(5, k+b=0 将A1,0、Q(5,1)代入y=c+b,得方程组： 5k+b=1' 1 k= 4 解得： 1 b=- 4 y=2x (3)解：联立直线方程 11 y=4x-4 解得： 引 sm21- 8 :点C在直线y=2x上， :设C(t,2t, 则S4c=2×2x1-小=1-， 97/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SABc=SAPB-SHc= 1 氵1-=+1 1 心7+t=7 解得t=0; 或S4c=Sc-S4m=1-)-8=-1, 7-7 11 “71=7 解得：1=-2 7 ·.点C的坐标为(0,0)或 42.(25-26八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，直线y,=-。x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B.直 线y2=kx+1与x轴相交于点C(-1,0).两条直线相交于点D. BD D A (1)k的值为·点D的坐标为 (2②如图，P(m,m)是直线y=-2x+2在第一象限内的点，连接PC、P0,且s0PC的面积为S, ①求S与m之间的关系式，并写出m的取值范围. ②点P关于y轴的对称点为点Q,连接CQ,BQ.若直线CD恰好将四边形CPBQ分为两部分，且满足 1 S△cm=6S四边形0’求此时m的值。 6 【详解】(1)解：将点C(-1,0)代入y2=c+1,得， 0=-k+1, 解得k=1, 直线y2=x+1, 联立直线y,=-。x+2与直线y2=x+1,得， 2 98/175 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 y=2x+2 y=x+1 「2 x= 3 解得5' y= 3 :点D的坐标为引： (2)解：①将y=0代入y,=-。x+2,得x=4, 2 点A的坐标为(4,0)， 1 :Pm,m)是直线乃=-x+2在第一象限内上的点， n-1 m+2(0<m<4到， C-1,0), 0C=1, :Sopc=5OC·yp, 2 1 (1 1 .S=。×1×-m+2=-m+1(0<m<4): 2（2 4 ②如图，延长BQ交x轴于点E, E C O A m,-1m+2与点Q关于y轴对称， :点Pm,- ·点0的坐标为 -m,一2m+2 又：点B在y轴上， :.直线BQ与直线BP关于y轴对称， 点E与点A关于y轴对称， 点E的坐标为-4,0)， CE=3,AE=8, 99/175 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC=AE-CE=5, 1 将x=0代入y=2+2,得y=2, 点B的坐标为(0,2,0B=2, m+3, 4 5. 5 2 m+2= m+5, 4 =AB:0B=号×8×2=8， 1 2 :Sg边蒂0p0=S△E-S△Ap-SAE=2m， :CD在四边形CPBQ内部， 55 S.CPD =S.ACD-S.ACP= =4m-6 1 551 m- m, 4 63 解得m=10 11 43.(25-26八下·上海青浦区实验中学期中)已知：如图，一次函数y=-x-3与%=x-4的图象相交于点A. (1)求点A的坐标； (2)若一次函数=-x-3与乃=x-4的图象与x轴分别相交于点B、C,求ABC的面积； (3)结合图象，直接写出≤y2时，x的取值范围. 【详解】(1)解：联立一次函数y,=-x-3与2=x-4,得， y=-x-3 y=x-4’ 100/175 专题07 期末真题百练通关（80题16大解答压轴题型） 题型1 平行四边形→矩形/菱形/正方形判定 题型9一次函数+几何图形（面积、等腰、直角） 题型2 矩形+正方形+折叠模型 题型10 一次函数+行程/电费/方案选择应用题 题型3 正方形+几何模型 题型11一次函数+四边形+新定义 题型4 菱形+动点+折叠+旋转 题型12一次函数+平行四边形/菱形存在性 题型5 新定义四边形综合 题型13 反比例 + 几何图形 题型6 三角形中位线与重心综合应用 题型14反比例的实际应用 题型7 坐标+平行四边形/菱形存在性 题型15反比例+旋转 题型8 新定义点 + 几何证明 题型16反比例+一次函数+存在性 题型1 平行四边形→矩形/菱形/正方形判定（共5小题） 1．(25-26八下·上海宝山实验学校·期中)在中，点、是边和的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，求证：四边形是菱形． 2．(25-26八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，已知在梯形中，，是上的一点，，，连接并延长交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，垂足为点，若，求证：四边形是矩形． 3．(25-26八·上海普陀区·期中)如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 4．已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线BD分别交、于点M、N，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是菱形． 5．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 题型2 矩形+正方形+折叠模型（共6小题） 6．(25-26八·上海民办华育中学·)综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)高斯小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中____，并写出求解过程． (2)欧拉小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现点、、始终三点共线，设正方形的边长为1，当时，请你帮助欧拉小组求出此时线段的长，并写出求解过程． (3)【尝试应用】经过数学老师的启发和指导，欧拉小组发现线段与线段之间存在着数量关系，设正方形的边长为1，当时，_____（用含的代数式表示）． (4)刘徽小组在看到欧拉小组的发现和结论后，觉得线段和线段之间也应该存在着数量关系，于是同样设正方形的边长为1，通过几次操作测量后，得到了这个结论：当时，_____（用只含的代数式表示）． 7．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 8．在一次综合与实践活动课中，同学们对矩形纸片的折叠展开了探究，请你和他们一起完成此次探究活动． (1)【课内活动】用矩形纸片折出正方形 操作步骤：如图，在矩形中，点在边上，折叠矩形使得点与边上的点重合，折痕为，连接． 求证：四边形是正方形． (2)【课内活动】用矩形纸片折出特殊矩形 操作步骤： ①把活动中折出的正方形纸片展平； ②如图，把这个正方形折成两个全等的矩形，得到折痕，把纸片展平； ③如图，折出矩形的对角线，点在边上，折叠纸片使得与重合； ④如图把纸片展平，折出，得到矩形． 求：矩形的宽与长的比值． (3)【课后思考】可以用尺规作图作出黄金矩形吗？ 课后，欢欢通过查阅资料了解到：像课内活动中这样的特殊矩形叫做黄金矩形．也就是说，如果一个矩形的宽与长的比值为，那么这个矩形叫做黄金矩形．欢欢认为可以用尺规作图得到黄金矩形，具体作法如下： ①把活动中折出的正方形纸片展平； ②中点为，连接； ③以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长度为半径画弧，两段弧的交点记为点； ④画射线，与边交于点； ⑤以为圆心，为半径画弧，与边交于点，连接，得到四边形，那么四边形就是黄金矩形． 请你判断欢欢的作图是否正确，如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由． 9．(25-26八·上海北郊学校·期中)综合与实践【问题情境】 我们熟知的世界名画《蒙娜丽莎的微笑》，其构图呈现出了非常协调、匀称的矩形美．通过测量，我们发现这种矩形的宽和长之比是（值约为0.618）．这就是“黄金矩形”．世界上许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都不约而同地采用了“黄金矩形”的设计． 为了进一步了解“黄金矩形”，在综合实践活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】：利用矩形纸带，折出“黄金矩形”． 步骤1：在一张矩形纸带的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸带展平； 步骤2：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸带展平； 步骤3：如图3，折出内侧矩形对角线的折痕，并把折痕折到纸带下沿处； 步骤4：如图4，展平纸带，按照所得的点折出，折出矩形 【分析探究】 (1)图4中如果，则________；________． (2)求证：矩形是“黄金矩形”． 【学以致用】 (3)将一张正方形纸片，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①折叠正方形，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕交边于点M，交边于点N； ②过点B折叠正方形，使点A落在上的点F处，折痕交边于点E，连接； ③过点E作边的垂线，垂足为H，矩形是“黄金分割”矩形吗？请证明你的结论． 10．(25-26八·上海虹口区·期中)综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． (1)【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； (2)【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； (3)【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 11．(25-26八·上海松江区·期中)综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 题型3 正方形+几何模型 （共7小题） 12．(24-25八下·上海浦东新区川沙中学·期末)已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 13．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 14．(25-26八·上海航华中学·)已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 15．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 16．(25-26八下·上海宝山实验学校·期中)数学活动课上，萱萱同学将大小两个正方形的顶点C重合，按如图的方式摆放，使B、C、E在同一直线上．边与边重合，连接． (1)初步探究：如图1，连接交于H，连接．她猜测，请证明她的猜想是正确的． (2)大胆尝试：如图2，将正方形绕点C转动，当点D在上时，交于点N，连接，她通过测量发现，请证明她的结论； (3)拓展延伸：如图3，将正方形继续绕点C转动，当B、C、F在同一直线上时，取的中点P，连接，若，，求的面积． 17．(25-26八下·上海宝山实验学校·期中)如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 18．(25-26八下·上海宝山实验学校·期中)在四边形中，边绕点按顺时针方向旋转，点与点重合，且点在四边形内，连接、、，延长交边于点． (1)如图1，当四边形是菱形时， ①若，则_______（直接写出度数）； ②若，用含的式子表示，并说明理由； (2)如图2，当四边形是正方形时，，作交的延长线于点．当是直角三角形时，求的长． 题型4 菱形+动点+折叠+旋转（共4小题） 19．(24-25八下·上海曲阳第二中学·期中)如图，已知菱形的边长为，，将菱形绕点按逆时针旋转，得到菱形，其中、、的对应点分别是、、． (1)填空：当旋转角为时，则点、的距离是______； (2)连接，当在的延长线上时，求的大小． 20．(24-25八下·上海西初级中学·期中)如图1， 在四边形中， ， ， 点P在边上． (1)判断四边形的形状并加以证明； (2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q； ①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由） （提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）； ②如图3， 如果， 且， 试求的值： ③如图4， 如果， 且， 请直接写出的值． ②当时，平行四边形是菱形， 由折叠可得，，，，， 当时，由 ，可得， ，， 21．(22-23八下·上海进才中学北校·月考)在菱形中，，，左右作平行移动的正方形的两个顶点、始终在边上．当点到边中点时，点恰好在边上．    (1)如图1，求正方形的边长； (2)假设点与点的距离为，在正方形作平行移动的过程中，正方形与菱形重叠部分的面积为，求与的函数解析式，并写出它的定义域； (3)连接、，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 22．(23-24八下·上海闵行区·期末)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 题型5 新定义四边形综合（共3小题） 23．(25-26八·上海交通大学附属第二中学·期中)我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 24．(25-26八下·上海崇明区上海师范大学附属崇明正大中学五四制）·期中)学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 25．(25-26八下·上海普陀区梅陇中学·期中)我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． (1)在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图（1），菱形中，，E、F分别是、上的点，且，求证：四边形是完美四边形； (3)如图（2），四边形为完美四边形，且，连接． ①求证：平分； ②当时，，，请直接写出的长． 题型6 三角形中位线与重心综合应用（共7小题） 26．(25-26·上海金山区·期中)阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 27．(25-26八下·上海徐汇区教育学院附属实验中学·期中)解决下列问题 (1)有一张三角形纸片，如图1，沿一条线进行裁剪，使裁剪的两部分拼成（不重叠无缝隙）一个平行四边形，说一说你是怎样裁剪和拼的？ (2)小明发现：在中，如图2，，点、分别在、上（不是的中点），．如果将其裁剪进行拼接，也可以得到一个平行四边形的四个顶点，请进行证明：； (3)在中，，，、分别是边、边的中点，连接，小明发现这张纸片沿着和剪开后即可拼成一个菱形，请你再另外寻找一条线段，沿着这条线段和线段剪开后，可以拼成（不重叠无缝隙）一个菱形，用尺规作图做出这条线段，说明做法，并简要画出拼接后的图形（非尺规作图）． 28．(25-26八下·上海杨浦区·期中)如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 29．(25-26八下·上海闵行区莘松中学·期中)【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 30．(25-26八下·上海梅陇中学·)【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 31．(25-26九上·上海徐汇中学·)在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 32．(24-25八·上海同济大学嘉定附属实验中学·月考)如图1，在梯形中，，，，，，点F是线段的中点，点G是线段上的一个动点（不与点F重合），连接并延长，交线段的延长线于点P． (1)如果，求PD的长． (2)如图2，点E是的中点． ①如果设，，求y与x的函数关系式并写出定义域． ②连接和，如果，求的长． 题型7 坐标+平行四边形/矩形/菱形存在性（共4小题） 33．(25-26八下·上海华东师范大学附属进华中学·期中)已知矩形，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点处． (1)求线段长； (2)如图2，将图1翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，点是坐标平面内的点，如果以为顶点的四边形为菱形，请求出点、G的坐标． 34．(25-26八下·上海徐汇区教育学院附属实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 35．(25-26八·上海张江集团学校等学校·期中)平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题． (1)如图①，在菱形中，若点，则点坐标为_______． (2)如图②，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为_____． (3)如图③，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为______． 36．(25-26八·上海奉贤区·期中)如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 题型8 新定义点+几何证明（共4小题） 37．(25-26八·上海虹口区·期中)点是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点向轴、轴作垂线段，垂足分别为．如果，那么点称为“好点”．例如：点，因为，所以点是“好点”． (1)在点、、中，“好点”是__________． (2)如果是“好点”，求的值． 38．(25-26八·上海北郊学校·期中)小海在探究平面直角坐标系中线段长的时候发现，如果已知两点，，则线段的中点M的坐标可以是．例如已知，，则线段的中点坐标是，即中点坐标是． (1)已知两点，，那么线段中点M的坐标是________． (2)据此，他进一步探究：已知平面直角坐标系中三个点的坐标，可以找出第四个点和已知三个点构成平行四边形．例如：已知、、，如果以A、B、C、D四点为顶点可以构成平行四边形，就可以求出D的坐标． 小海的求法： 设 如果以、为对角线，则的中点与的中点重合． 即与重合 得 解得，， 写出小海的求法是依据了平行四边形的判定定理：________． (3)乐乐觉得用这种方法做，应该还有其他位置的D点，请用此方法求出其他位置D点的坐标 39．(25-26八·上海杨浦区·期中)阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫作、两点间的距离，记作．如、，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若、，则 ； (2)当、的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 40．(25-26八·上海普陀区·期中)定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫作半角四边形．如图1，直线，点A、D在直线上，点B、C在直线上，若，则四边形是半角四边形． (1)如图2，点E是的边上一点，，，，如果四边形是半角四边形，那么的长是______； (2)如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足． ①求证：四边形是半角四边形； ②当，时，如果在第一象限内存在点P，使得以点A、B、E、P为顶点的四边形是半角四边形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标． 题型9一次函数+几何图形（面积、等腰、直角）（共5小题） 41．如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 42．(25-26八下·上海青浦区实验中学·期中)如图，直线与轴、轴分别相交于点，．直线与轴相交于点．两条直线相交于点． (1)的值为_____．点的坐标为_____． (2)如图，是直线在第一象限内的点，连接、，且的面积为． ①求与之间的关系式，并写出的取值范围． ②点关于轴的对称点为点，连接，．若直线恰好将四边形分为两部分，且满足，求此时的值． 43．(25-26八下·上海青浦区实验中学·期中)已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 44．(25-26八下·上海建平中学西校·)4．已知一次函数图像经过点，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在点，使，求点的坐标； (3)点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，直接写出点坐标． 45．(25-26八下·上海闵行区莘松中学·期中)如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 题型10 一次函数+行程/电费/方案选择应用题（共5小题） 46．(24-25八下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图像． (1)当_______分钟时，小明爸爸正好回到家； (2)与之间的函数表达式为_______； (3)当___________分钟时，小明和爸爸第一次相遇．（第（3）需要写出过程） 47．(24-25八下·上海风华初级中学·月考)、两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从城出发沿这一公路驶向城，甲车到达城1小时后沿原路返回．如图是它们离城的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图像． (1)求甲车返回过程中与之间的函数解析式，并写出定义域； (2)乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度； (3)在（2）的条件下，当甲车出发___________小时，甲乙两车相距180千米． 48．(24-25八下·上海松江九峰实验学校·月考)某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 49．(24-25八下·上海莘松中学·期中)随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 50．(25-26八·上海第一中学·)阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 题型11一次函数+四边形+新定义（共3小题） 51．(24-25八下·上海中学东校·期末) 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． (1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； (2)求直线上的“倒数点”坐标； (3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 52．(24-25八下·上海嘉定区·期末)定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 53．(25-26八·上海天山初级中学等·期中)定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为“对等四边形”，该条对角线称为“对等对角线”．如图1，在凸四边形中，如果，那么四边形为“对等四边形”，为四边形的“对等对角线”．    (1)下列图形中，一定是对等四边形的是 （填写你认为正确的序号） ①等腰梯形；②平行四边形；③直角梯形； (2)如图2，在凸四边形中，对角线交于点M，且，求证：四边形是“对等四边形”； (3)如图3，在平面直角坐标系内，已知点，，，点H在线段上且，点P在线段上且四边形为“对等四边形”，请直接写出点P的坐标． 题型12一次函数+平行四边形/菱形存在性（共2小题） 54．(25-26八下·上海青浦区东方中学·期中)如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 55．(25-26八下·上海普陀区梅陇中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 题型13 反比例 + 几何图形（共2小题） 56．(25-26八下·上海南洋模范初级中学·)如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 57．如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 题型14反比例的实际应用（共3小题） 58．(25-26八上·上海外国语大学附属外国语学校·期中)双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 59．(23-24八上·上海宝山区·期末)越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 60．(24-25八上·上海黄浦区·期末)小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 题型15反比例+旋转（共4小题） 61．(23-24八下·上海西南模范中学·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线上． (1)求k的值； (2)如果将绕的中点旋转得到． ①请直接写出点P的坐标； ②请判断点P是否在双曲线上，并说明理由． 62．(23-24八上·上海杨浦区·期中)如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．    (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点C是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 63．(24-25八上·上海宝山区实验学校·期中)如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 64．定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 题型16反比例+一次函数+存在性（共9小题） 65．(24-25八下·上海宝山实验学校·期中)如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 66．(25-26八·上海民办华育中学·)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 67．(24-25八上·上海曹杨第二中学附属学校·月考)如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 68．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中)在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 69．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 70．(24-25八上·上海浦东新区进才中学·月考)如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 71．(24-25八上·上海延安初级中学·期中)在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． (1)已知点在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； (2)已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，连接，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 72．(24-25八上·上海杨浦区·期中)已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 73．(23-24八下·上海青浦区·期中)3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 1．在正方形中，对角线与相交于点，在上有一点，若，交于点． (1)求证：； (2)若正方形的面积为，，求的长． 2．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分)的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)　　，　　，　　； (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 3．在平面直角坐标系中，已知点、、．若、满足． (1)求点、、的坐标； (2)点为坐标平面内一点； ①若的面积大于，求的取值范围； ②若点在直线上，且满足，求点的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 5．已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 6．【问题背景】在学习了平行四边形后，某兴趣小组研究了一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： (1)如图①，在平行四边形中，，，为边的中点，点在边上，，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断四边形的形状为___________； 【探究证明】 (2)在（1）的条件下，取的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接、，如图②，求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】 (3)在（1）（2）的条件下，若四边形为轴对称图形，请直接写出的值为___________． 7．如图1，一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为2，点是直线上一点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数的图象交于点D，与y轴交于点E，连接． (1)求反比例函数表达式； (2)若直线上存在点G，它到直线的距离与到y轴的距离相等，求点G的坐标； (3)将沿射线方向平移一定的距离后，得到，点Q是反比函数上一点，连接，，若四边形是平行四边形，则点Q的坐标为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $