专题 期末真题百练通关（期末复习专项训练，201题30个常考题+13大压轴题型）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦八年级下册几何与函数核心模块，通过201道真题构建"基础巩固-综合应用-压轴突破"三阶训练体系，强化直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填常考题|30题型150题|覆盖多边形、特殊四边形、函数定义与性质|从图形性质到坐标计算，构建"概念-判定-性质-应用"逻辑链| |解答压轴题|13题型51题|动态几何、存在性问题、函数与几何综合|以图形变换和函数建模为主线，培养数学抽象与模型观念|

专题01 期末真题百练通关 （201题30个常考题+13大压轴题型） 选填常考题 题型23 一次函数的应用 题型1 多边形 题型24 反比例函数的定义 题型2 平行四边形的性质与判定 题型25 反比例函数的图象 题型3矩形的性质与判定 题型26 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4 矩形的折叠问题 题型27 根据反比例函数的增减性求参数 题型5菱形的性质与判定 题型28 根据反比例函数系数求图象面积 题型6 根据菱形的性质求面积 题型29 一次函数与反比例函数综合 题型7正方形的性质与判定 题型30 反比例的实际应用 题型8 三角形的中位线与重心 解答压轴题 题型9 点的基础属性 题型31 特殊四边形的综合模型 题型10 坐标对称规律 题型32 中位线与重心综合应用 题型11 坐标平移规律 题型33 坐标系中四边形存在性问题 题型12 两点距离公式 题型34 四边形中动态几何问题 题型13 变量与函数 题型35 坐标系中的动点问题 题型14 正比例函数的定义及图象 题型36 一次函数与几何综合 题型15 正比例函数的性质 题型37一次函数动态最值问题 题型16 根据一次函数的定义求参数 题型38一次函数分配方案问题 题型17 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型39一次函数最大利润问题 题型18 比较一次函数值的大小 题型40一次函数梯度计费问题 题型19 根据一次函数增减性求参数 题型41 反比例函数与一次函数综合 题型20 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型42反比例函数与几何综合 题型21 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型43反比例函数与动态问题综合 题型22 求直线围成的图形面积 题型1 多边形 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 【答案】D 【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果． 【详解】解：设多边形边数为，根据题意得， ， 解得， 即该多边形为六边形， ∴该多边形对角线条数为（条）． 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）八边形的内角和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：八边形内角和为． 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项 ，结果是正整数，符合要求； B选项 ，结果是正整数，符合要求； C选项，结果不是整数，不符合要求； D选项 ，结果是正整数，符合要求． 4．（25-26八年级下·上海·期中）一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】任意多边形的外角和是固定值，与边数无关，据此即可判断变化情况． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，不随边数的改变而改变， ∴当多边形的边数增加1时，其外角和保持不变． 5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为的性质，用外角和除以单个外角的度数即可求出多边形边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都是， ∴该多边形的边数． 题型2 平行四边形的性质与判定 6．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，结合已知角度比例即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补， ∴， 又∵平行四边形对角相等， ∴． ∵， 设，， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，A不符合题意． B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意． C、∵四边形内角和为，，， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是平行四边形，C不符合题意． D、∵， ∴，， 又， ∴， ∴，即四边形对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，D不符合题意． 8．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 9．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，且，为中点，连接交于点，则下列结论中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、直角三角形斜边中线的性质以及三角形重心的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，为中点， ∴在中，， ∴，故A成立； ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，故B成立； ∵，为中点， ∴、是的中线， ∴点是的重心， ∴， ∵， ∴，故D成立； 只有当时，才成立，题目未给出此条件，故C不一定成立． 10．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，可判断①正确；由三角形中位线定理得出，则可得出②正确；证明，由勾股定理求出的长，则可得出③正确；利用三角形面积公式可得出④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵，，， ∴点O为的中点，点E为的中点， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即， ∴，故④错误， 综上所述，正确的结论有①②③． 题型3矩形的性质与判定 11．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 【答案】D 【详解】A、在矩形中，， 两条对角线把矩形分割成四个等腰三角形，故A错误； B、矩形绕点旋转后，能与自身重合，故B错误； C、对角线、不是矩形的对称轴，故C错误； D、将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形，故D正确； 故选：D． 12．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，结合与的周长差得出，再根据矩形周长得出，联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， ∵矩形的周长为28， ∴， 即， 联立， 解得，． 13．（21-22八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ； 在和中， ， ， ， ； ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键． 14．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 15．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确． 综上，错误的结论只有1个． 题型4 矩形的折叠问题 16．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 17．（2024·贵州毕节·一模）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 18．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C不正确，符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：C 19．（21-22八年级下·福建莆田·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点A落在上的点G处，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，根据折叠的性质可得 ，再由矩形的性质可得 ，从而得到 ，然后设 ，则 ，在 中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 在矩形纸片中， ， ∴在 中， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ，解得： ， 即 ． 故选：B． 20．（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，． 故选：B． 题型5菱形的性质与判定 21．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、相交于点O， ∴，，，故A、C、D选项不符合题意． 只有当菱形中，时，，故B选项符合题意． 故选B． 22．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形，则需添加的一个条件是，其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； 故选：C． 23．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 24．（15-16八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，结合平行四边形的性质可得；然后通过证明得到四边形为平行四边形，再由推出四边形为菱形；根据菱形的性质可得、、，利用勾股定理计算出的长，进而可得的长． 【详解】解：如图，是的角平分线， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． ，，． 在中，， ． 故选：C．    【点睛】本题侧重考查平行四边形的性质、角平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，掌握两种四边形的性质定理是解决此题的关键． 25．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据折叠性质可得OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE，即可得出∠ACB=30°，进而可得∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°， 可证明AE∥CF，AE=CE，根据矩形性质可得CE∥AF，即可得四边形AECF是平行四边形，进而可得四边形AECF为菱形，由∠BAE=30°，可得∠AEB=60°，即可得∠AEC=120°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，即可得OE的长，根据菱形的面积公式即可求出四边形AECF的面积，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB：BC的值，综上即可得答案． 【详解】解：∵将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上， ∴OC=CD=AB=OA，∠COF=∠EOA=∠B=∠D=90°，∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE， ∴∠ACB=∠CAD=30°，∠BAC=∠ACD=60°， ∵∠OCF=∠DCF，∠BAE=∠OAE， ∴∠OCF=∠DCF=∠BAE=∠OAE=30°， ∴AE∥CF，AE=CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE=CE， ∴四边形AECF是菱形，故①正确； ∵∠BAE=30°，∠B=90°， ∴∠AEB=60°， ∴∠AEC=120°，故②正确； 设BE=x， ∵∠BAE=30° ，∴AE=2x， ∴x2+22=（2x）2，解得， ∴OE+BE=， ∴S菱形AECF=，故③正确； ∵∠ACB=30°， ∴AC=2AB， ∴BC=， ∴AB：BC=1：，故④错误； 综上，正确的结论为①②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定方法是解题的关键． 题型6 根据菱形的性质求面积 26．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（  ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质求面积以及利用算术平方根的非负性解题，先由得出，因为菱形的两条对角线的长分别为a和b，所以菱形的面积等于，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的两条对角线的长分别为1和5 ∴ 故选：D 27．（2015·江苏徐州·二模）如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　）    A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 【答案】C 【分析】利用菱形的性质依次进行判断即可． 【详解】解：A．在菱形中，， ∵由图可知，的周长，的周长， ∴的周长大于的周长 故选项错误，不符合题意； B．菱形的周长与两条对角线之和无关，故选项错误，不符合题意； C．，，则与的面积相等，故选项正确，符合题意； D．菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的运用，正确灵活的运用菱形的性质是解决问题的关键． 28．（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）如图，在菱形中，，cm，则菱形边上的高的长是（    ）    A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据等积法解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴cm； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 29．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26八年级下·上海·期中）已知菱形的边长为8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交于点，利用直角三角形性质和勾股定理求出菱形的高，再结合菱形面积公式计算结果． 【详解】解：过点作，交于点． ∵ 菱形边长为，一个内角为， ∴ ，． 在中，， ∴ ，可得． 由勾股定理得 ． ∴ 菱形的面积为 ． 故选：D． 题型7正方形的性质与判定 31．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 平行四边形是矩形，不能判定为正方形． B、∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，无法判定为正方形． C、， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． D、，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形，无法判定为正方形． 32．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（    ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 33．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 34．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 35．（20-21八年级下·上海宝山·期末）四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积=AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM=AD'，D'M=AM=AD'，然后求出菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2，即可求解． 【详解】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积=AB2，AB=AD，∠BAD=90°， ∵∠DAD′=30°， ∴∠D'AM=90°-30°=60°， ∴∠AD'M=30°， ∴AM=AD'，D'M=AM=AD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB=AD'=AD，菱形ABCD的面积=AB×D'M=AB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比=， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M=AD'是解题的关键． 题型8 三角形的中位线与重心 36．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线， ，，， 故A正确，不符合题意； ， ， 故B正确，不符合题意； ，是边的中点， 不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 故D正确，不符合题意． 37．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 38．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到，再根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ∵为的中点， 是的中位线， ． 39．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接交于，根据三角形中位线定理得，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ， ∴菱形的面积． 【点睛】注意中点四边形的性质和三角形中位线的性质． 40．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故A正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故B正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故C正确； ，， ，， ∴ ，故D不正确． 题型9 点的基础属性 41．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题根据各象限内点的坐标的符号特征即可判断． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴横坐标，纵坐标， 四个象限的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， ∴点符合第二象限点的坐标特征，点在第二象限． 42．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ∴，， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 43．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 44．（25-26八年级下·上海·期中）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据点A所在象限得到m，n的取值范围，再推导点B横纵坐标的符号，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． ∴，． ∴ ，． ∵第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0． ∴点在第三象限． 45．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本作图，得射线平分，又点P在第二象限，点P的横坐标，纵坐标互为相反数，求解即可； 【详解】解：根据基本作图，得射线平分， 又点P在第二象限， 故满足横坐标为负，纵坐标为正，且绝对值相等，即横坐标，纵坐标互为相反数， 故即； 题型10 坐标对称规律 46．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 47．（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 48．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限， ∵，， ∴点在第二象限，故A正确； ∵，， ∴点和点关于原点对称，故B正确； 点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误； 由勾股定理可得，，故D正确． 故选：C． 49．（24-25八年级下·陕西西安·期中）点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 50．（2022七年级下·上海·专题练习）在直角坐标系中，点A的坐标为(﹣3，4)，那么下列说法正确的是（    ） A．点A与点B(﹣3，﹣4)关于y轴对称 B．点A与点C(3，﹣4)关于x轴对称 C．点A与点C(4，﹣3)关于原点对称 D．点A与点F(﹣4，3)关于第二象限的平分线对称 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案． 【详解】A.点A的坐标为（﹣3，4），则点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称，故此选项错误； B.点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（3，﹣4）关于原点对称，故此选项错误； C.点A的坐标为（﹣3，4），点A与点C（4，﹣3）不是关于原点对称，故此选项错误； D.点A与点F（﹣4，3）关于第二象限的平分线对称，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于x、y轴对称点的坐标点的规律，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆． 题型11 坐标平移规律 51．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 52．（22-23八年级上·重庆·周测）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 54．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 55．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 题型12 两点距离公式 56．（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 57．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴线段的长度是， 故选：A． 58．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长度，根据作图可知，结合点在轴正半轴的位置即可得到点的坐标． 【详解】解：原点坐标为，点坐标为， ， 以点为圆心长为半径画弧，交轴的正半轴于点， ， 点坐标为． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 60．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 题型13 变量与函数 61．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 62．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． 63．（25-26八年级下·北京·阶段检测）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（    ） A．t是自变量 B．y是t的函数 C．对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 【答案】C 【分析】根据函数图象一一判断选项即可得出答案． 【详解】解：．根据图象可知，当t变化时，y也随着变化，所以t是自变量，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，y随t的变化而变化，t是自变量，y是因变量，所以y是t的函数，故该选项不符合题意； ．根据图象可知，对于y的每一个确定的值，不都是有唯一确定的对应值，故该选项符合题意； ．当时，碳酸钠的溶解度最大为，故该选项不符合题意． 64．（25-26六年级下·全国·课后作业）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】A 【分析】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量．根据常量，变量的定义解法即可． 【详解】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，是变量， 故选：A． 65．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的运用，正确读取函数图象上的信息，结合题意进行分析是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以逐一判断各个小题中的结论是否成立，从而可以求解． 【详解】解：A、根据函数图象可知，货车行驶与轿车相遇，未到达B地，故该选项错误，不符合题意； B、∵轿车用了从B地到达了A地，两地相距， ∴轿车的速度为：， ∵两车相遇时间为， ∴货车的速度为：，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵货车速度为， 又∵， ∴货车到达目的地用时， 轿车到达目的地用时， ， ， 即轿车比货车早到达目的地，故该选项说法正确，符合题意； D、相遇前两车相距时，货车行驶的时间是： ， ， 根据图象可得：当相遇后两车相距时，轿车到达目的地， ∴两车相遇后两车相距时，货车行驶的时间是： ，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 题型14 正比例函数的定义及图象 66．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义（形如（其中为常数，且）的函数是的正比例函数）对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、符合正比例函数的定义，符合题意； B、是一次函数，常数项不为，不是正比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、中未说明，当时不是正比例函数，不符合题意． 67．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义得到函数的常数项为0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：正比例函数的一般形式为 （ 为非零常数），即函数的常数项为， ∵ 函数 是正比例函数， ∴ ， 解得 ． 68．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 69．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与所经过的象限的问题．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴， ∴． 故选：C． 70．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 题型15 正比例函数的性质 71．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 通过点坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较和的大小即可． 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点， ∴ 设函数为，代入得， ∴， ∴ 函数解析式为， ∵ 点和点在图象上， ∴，， ∵， ∴，即 ． 故选：B． 72．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例的图象与性质，涉及解一元一次方程等知识．根据题意，将代入并解方程求出，得到，把代入即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得， ∴ 把代入得到， ， 故选：B． 73．（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：作直线，如图所示： 则点，点，点， 结合三个点的位置可知，． 故选：B． 74．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点不在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 75．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 题型16 根据一次函数的定义求参数 76．（23-24八年级下·上海宝山·阶段检测）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 77．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练运用一次函数的性质是解题的关键．根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：当x增加3时，y增加6， ， 即， ， ， 故选：C． 78．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义“一次函数的一般形式为，其中是常数，”，熟练掌握一次函数的定义是解题关键．根据一次函数的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，且， 解得，且， 综上，的值为2， 故选：B． 79．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象中两直线平行的性质，形如的一次函数，两直线平行时一次项系数相等且常数项不相等．解题的关键是掌握“若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（斜率）相等”这一性质．直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等的性质，直接可得． 【详解】解：∵ 一次函数图象中，两条直线平行的条件是一次项系数相等，且常数项不相等 ∵ 直线：与直线：平行 ∴ ，且（满足常数项不相等的条件） ∴ 的值为 故选A． 80．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 题型17 一次函数图象与坐标轴的交点问题 81．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）一次函数的图象如图所示，当时，．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象过点 B．图象过点 C．函数表达式为 D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论． 【详解】解：∵当时，， ∴当时，， ∴图象过点，故选项A正确，但不符合题意； 由图象知：图象过点，故选项B正确，但不符合题意； 把，代入， 得， 解得， ∴函数表达式为，故选项C正确，但不符合题意； 由图象知：当时，，故选项D错误，不符合题意． 82．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 83．（2026·广西贺州·二模）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 令，得， 令，即，解得， 一次函数与轴、轴交点分别为，， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和， 面积为． 84．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 85．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交轴于点，先根据待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，根据全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据两直线平行，值相等，结合点的坐标，求出直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，如图， 把代入解析式，得， 解得：， 故光线所在直线的函数解析式为； 将代入，得， 故点的坐标为， ∴； 由光的反射可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得； 故直线的解析式为：． 题型18 比较一次函数值的大小 86．（25-26八年级下·北京西城·期中）一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一次函数的性质即可得到与的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 87．（2026·内蒙古通辽·二模），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，函数中，随的增大而减小 ，通过分类讨论进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小 ， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，． 88．（25-26八年级下·福建漳州·期中）某快递驿站的每日未取件量（单位：件）与当日室外温度（单位：）满足一次函数关系：，已知当温度为时，未取件量为；当温度为时，未取件量为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用一次函数的图象和性质求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵对应的温度，对应的温度，满足， ∴ ． 89．（2026·陕西安康·模拟预测）一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知不等式判断一次函数的增减性，得到的取值范围，再代入点的坐标求出的范围，最后结合选项得到答案． 【详解】解：， 与异号， 随增大而减小， 一次函数中， 把代入函数解析式得：， ， ， ， 的值可能为． 90．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 【答案】D 【分析】根据函数图象即可判断经过的象限以及的符号，再由增减性判断的大小，最后由直线与坐标轴的交点求解即可． 【详解】解：由直线经过第一、二、三象限可得，，故A、B错误； 由得，随的增大而增大， ， ，故C错误； 对于，当时，， 由图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得：， 解得，故D正确． 题型19 根据一次函数增减性求参数 91．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而增大． 【详解】解：当时，y的值随x的增大而增大， 解得：． 92．（25-26八年级下·广东江门·期中）当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【分析】根据一次函数的增减性，分一次项系数大于零、小于零、等于零三种情况讨论，计算出m，舍去不符合条件的解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 93．（25-26八年级下·北京·阶段检测）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 94．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 95．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 题型20 根据两条直线的交点求不等式的解集 96．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 97．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合不等式的性质，把整理得，再根据一次函数与的图象交于点，以及运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵一次函数与的图象交于点， ∴的解集为， 即不等式的解集为． 98．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 99．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 100．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 题型21 两直线的交点与二元一次方程组的解 101．（25-26八年级下·北京西城·期中）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移规律得到平移后直线的解析式，再联立两直线解析式求出交点坐标，根据第二象限内点的横纵坐标特征列不等式组，求出m的取值范围，即可得到m可取的整数值个数. 【详解】解：直线向上平移个单位后，解析式为 联立两直线解析式得 ， 解得， ∴两直线交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴，解得； ∴可以取得的整数值为，共5个. 102．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 103．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 104．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， ∴的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 105．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 题型22 求直线围成的图形面积 106．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 107．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】先根据平移性质得到的解析式．再求出两条直线与轴的交点，以及和的交点，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，得到的解析式为， 令，分别求两条直线与轴的交点坐标： 对，，解得 ， 即与轴的交点为； 对，， 解得， 即与轴的交点为； ∴三角形在轴上的底边长为． 联立与的方程求交点： 解得，即两直线交点纵坐标为，三角形的高为． ∴三角形面积． 108．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 109．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 110．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 题型23 一次函数的应用 111．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 112．（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 113．（2026·湖北武汉·一模）甲，乙两名运动员在笔直的公路上进行自行车训练（同向行驶），行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，行驶1.5小时，乙在甲前的距离是（     ） A．6.5 B．7.5 C．10 D．11.5 【答案】B 【分析】根据图像分别求出甲的函数解析式和乙在时的函数解析式，将代入计算路程差即可； 【详解】解：设甲的函数解析式为， 图像过点， ， 解得， ， 当时，， 设乙在时的函数解析式为， 图像过点，， ， 解得， ， 当时，， 乙在甲前的距离为（千米）． 114．（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【答案】B 【分析】根据费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，设出一次函数解析式，代入求值即可． 【详解】解：设， 由题意知，， 解得， ， 当时，， 答：该停车场免费停车时间为1小时． 115．（2026·湖北武汉·一模）成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 题型24 反比例函数的定义 116．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）在双曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需将点的坐标代入函数解析式，满足方程则在图象上，否则不在．将各点坐标代入双曲线验证即可． 【详解】解：A. ∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； B.∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； C.∵, ，∴点在双曲线上，符合题意； D.∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； 117．（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 118．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可得到答案． 【详解】解：A、，不符合题意， B、，符合题意， C、，不符合题意， D、，不符合题意， ∴该函数图象经过点． 119．（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 120．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 题型25 反比例函数的图象 121．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点的坐标一定满足其对应的函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为3， ∴四个选项中只有C选项不符合题意． 故选：C． 122．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 123．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限， ∴反比例函数在一三象限， 故选：A． 124．（18-19九年级上·北京海淀·期末）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 125．（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择． 【详解】假设点A在该反比例函数图象上， ∴， ∵点A实际在该反比例函数图象上方， ∴． 选项中只有A选项的值小于2． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 题型26 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 126．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 127．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先确定和，再根据对称性确定两函数的另一交点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：函数，的图象都经过点， ，， 正比例函数与反比例函数都关于原点对称， 两函数的另一交点为，如图所示， 由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即， 当时，的取值范围是或． 128．（25-26九年级下·重庆开州·期中）关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第一、三象限 C．两个分支关于原点成中心对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入，得，即选项A错误； B．由，则函数图像的两个分支分布在第二、四象限，故选项B错误； C．反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，故选项C正确； D．由，当时，图像位于第二象限，随的增大而增大，故选项D错误． 129．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 130．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 题型27 根据反比例函数的增减性求参数 131．（25-26八年级下·四川资阳·期中）已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质求出m的取值范围，再判断点P的横纵坐标符号，最后根据关于y轴对称的点的坐标特征判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数中，随的增大而减小， ∴比例系数， 解得， ∴，， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限， ∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正， ∴在第一象限． 132．（2026·上海奉贤·二模）在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数的增减性判断的符号，再结合反比例函数中的关系判断各点是否符合要求即可． 【详解】解：对于反比例函数，在每个象限内随的增大而减小， ， 因为反比例函数中满足，因此该点横纵坐标的乘积应为正， 、，不符合要求； 、，不符合要求； 、，不满足，不符合要求； 、  ，满足，符合要求； 故选：． 133．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中随增大而增大的条件，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，再从选项中筛选符合条件的数值． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大， ∴，解得． 观察选项，只有，因此的值可能是2， 故选：A． 134．（25-26九年级上·浙江台州·期末）对于函数，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 135．（2024·山东济南·模拟预测）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质结合点的坐标，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 在反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ， 点都在第一象限． ． 解得：． 故选：C 题型28 根据反比例函数系数求图象面积 136．（22-23八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 137．（2023·浙江·模拟预测）若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 【详解】解：如图：    设点A的坐标为，则， 故的面积为， 与同底等高， ， 故选：A． 【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 138．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 139．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 140．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 题型29 一次函数与反比例函数综合 141．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 142．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 143．（2026·上海黄浦·二模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 144．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 145．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，根据函数图象确定不等式的解集，利用数形结合的思想是解题的关键．函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围，借助图象即可求解． 【详解】解：由题意得，， 当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围， ∴由图象可得：或， 故选：C． 题型30 反比例的实际应用 146．（21-22九年级上·四川成都·期中）电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题求反比例函数解析式，点在函数图象上，就一定适合这个函数解析式．设函数解析式为，由于点在函数图象上，故代入可求得的值． 【详解】解：设函数解析式为，代入点， 那么有 解得 故选：A． 147．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 148．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 利用已知条件时，，从而得到 w 与 n 的反比例关系式． 【详解】解：设， 由题意可得时，，代入可得， ， 解得， 故函数关系式为， 故选：A． 149．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】仔细观察图象，得出与的积为定值，从而得出满足反比例函数关系，利用函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 150．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】D 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 题型31 特殊四边形的综合模型 151．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论； （2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 152．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长； (3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)1 (2) (3)的长为或 【分析】（1）如图1中，先由矩形的性质与旋转的性质得，，在中，利用勾股定理求得，即可解决问题； （2）连接，设，根据矩形性质得，，，，得，由旋转得到，，，证明∴，得，由，得，由，得； （3）分两种情况：当时，是等腰直角三角形，可求，即得；当时，由轴对称知是等边三角形，可得，求出，即得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ； （2）解：连接，设， 四边形是矩形， ，，， ∵ ∴ 矩形是由矩形旋转得到， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得， 故； （3）解；当时， 四边形是矩形， ，， 由旋转可得，， ∴， 由勾股定理，得， ∴； 当时， 连接， 由轴对称性质知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 综上，当是以为腰的等腰三角形时， 的长为或． 【点睛】本题考查矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，轴对称性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 153．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数学活动课上，萱萱同学将大小两个正方形的顶点C重合，按如图的方式摆放，使B、C、E在同一直线上．边与边重合，连接． (1)初步探究：如图1，连接交于H，连接．她猜测，请证明她的猜想是正确的． (2)大胆尝试：如图2，将正方形绕点C转动，当点D在上时，交于点N，连接，她通过测量发现，请证明她的结论； (3)拓展延伸：如图3，将正方形继续绕点C转动，当B、C、F在同一直线上时，取的中点P，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，先证明得到，再证明得到，进而得到，再根据等角对等边可得结论； （2）作交于点M，证明得到，利用等腰三角形的性质可得结论； （3）延长交于点K，连接，先证明得到，，利用勾股定理求得，再证明得到，，进而证明，再利用等腰直角三角形的性质求得 ，，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形和四边形都是正方形 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴∠ ∴； （2）证明：作交于点M， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，又 ∴； （3）解：延长交于点K，连接， ∵P为中点 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 题型32 中位线与重心综合应用 154．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【分析】（1）作于，于，证明四边形是正方形，得出，，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，可得，再求解即可； （3）设，由（2）得：，，由，列出方程，求解方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：作于，于，如图1所示：    则， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形，是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形； （2）四边形是正方形，四边形是正方形，， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）设， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴当或时，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形性质、三角形的全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 155．（21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或2；图形见解析； (4)或或 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键． （1）由平行四边形的定义可得，，由折叠的性质可得，于是可得是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）设，由（1）解答可得，由折叠的性质可得，由可得是矩形，中由勾股定理建立方程求得x，进而求得即可解答； （3）分和两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可； （4）分和，三种情况，根据直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可； 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）解答可得， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴ 中，， ∴， ∴， ∴， ∴面积； （3）解：①如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴； ②如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ∴或2； （4）解：①如图，时， ，则， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴ ； ②如图，时， ∵四边形是平行四边形，，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ③如图，时，作于点H， 由四边形是平行四边形得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ，则， ∴ 综上所述的长为：或或. 156．（2022·上海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过作，证明，在中，利用勾股定理可得，进而可得的值； （3）延长、交于，证出，再过作，取的中点，连接、、、，从而可证出，再证，，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：过作，交于， ∵四边形 是平行四边形，， ∴，，，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中 ，， ， ， ∴． （3）解：延长、交于， ， ∵， ∴, ，， 由（2）得：， ， 即：， 是等边三角形， 设， ，， ， 在中 ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过作，取的中点，连接、、、， ， ，， 是的中点， ，， ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了考查了平行四边的判定与性质，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线等，掌握相关判定定理及性质，根据题意作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 题型33 坐标系中四边形存在性问题 157．（20-21八年级下·上海·期中）若直线分别交轴、轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴，B为垂足，且S△ABC= 6 (1)求点B和P的坐标； (2)点D是直线AP上一点，△ABD是直角三角形，求点D坐标； (3)请问坐标平面是否存在点Q，使得以Q、C、P、B为顶点四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B（2，0），P（2，3） (2)（2，3）或（，） (3)（0，5）或（0，-1）或（4，1） 【分析】（1）设B（x，0），则P（x，x+2），由S△ABC=6列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标； （2）当点D与点P重合时，△ABD是直角三角形；当点D与点P不重合时，过点C作CE⊥AP，先求出直线CE的解析式，再由直线BD∥CE求出直线BD的解析式且与y=x+2联立方程组，求出点D的坐标； （3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标． 【详解】（1）解：如图1，设B（x，0），则P（x，x+2）， 对于y=x+2，当y=0时，由x+2=0，得，x=-4；当x=0时，y=2， ∴A（-4，0），C（0，2）， ∵点P在第一象限，且S△ABC=6， ∴×2（x+4）=6， 解得x=2， ∴B（2，0），P（2，3）． （2）如图1，点D与点P重合，此时∠ABD=∠ABP=90°， ∴△ABD是直角三角形， 此时D（2，3）； 如图2，点D在线段AP上，∠ADB=90°， 此时△ABD是直角三角形，作CE⊥AP，交x轴于点E， 则∠ACE=∠ADB=90°， ∴BD∥CE，AC=， 设E（m，0）， 由AE•OC=AC•CE=S△ACE，得AE•OC=AC•CE， ∴2（m+4）=CE， ∴CE=（m+4）， ∵∠COE=90°， ∴OE2+OC2=CE2， ∴m2+22=(m+4)]2， 整理得，m2-2m+1=0， 解得，m1=m2=1， ∴E（1，0）； 设直线CE的解析式为y=kx+2，则k+2=0， 解得，k=-2， ∴y=-2x+2； 设直线BD的解析式为y=-2x+n，则-2×2+n=0， 解得，n=4， ∴y=-2x+4， 由，得：， ∴D（，）； 由图象可知，当点D在PA的延长线上，或点D在AP的延长线上，则△ABD不能是直角三角形， 综上所述，点D的坐标是（2，3）或（，）； （3）存在．如图， 当四边形CQBP是平行四边形时， 此时，CQ=PB=3， ∴Q（0，-1）； 当四边形CQ1PB是平行四边形时， 此时，CQ1=PB=3， ∴Q1（0，5）； 当四边形CPQ2B是平行四边形时， 此时，CP∥BQ2且CB∥PQ2， ∴Q2（4，1）； 综上所述，点Q的坐标为（0，5）或（0，-1）或（4，1）． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 158．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①；②不存在，见解析 (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： （1）①当时，，，得到，求出反比例函数的解析式为，将代入即可求出点E的坐标； ②由，得到，证明，得到，由①可知，，则，表示出，求出，不符合题意； （2）设，得到，求得，当时，，求出，，计算出，即可求出比值． 【详解】（1）①当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； ②不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在； （2）设， ∵， ∴， ∴ 将点代入，得， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴． 159．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点在第四象限时（如图1），求证：． (2)当点落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4或5 (3)存在，点或或或 【分析】（1）由三角形外角和定理和折叠的性质可得，，能够推导出，从而可证明； （2）①当时，此时点与点重合，；②当点与点重合时，在中，，求得； （3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时，或；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 点为中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：①当时，如图所示： ，此时点与点重合， ， ，四边形是矩形， ， ； ②当点与点重合时，如图所示： ，， 在中，，即，解得， ； 综上所述：的长为4或； （3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 当四边形为平行四边形时，如图所示： ，且， ，， ， 是的中点，， ， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ，且， 是的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由折叠性质可得，则四边形为菱形， ， 是的中点，， ， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ； 当四边形为平行四边形时，如图所示： ， ， ， 在中，，则由勾股定理可得， ， ； 综上所述：点或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，涉及折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、中点坐标公式、等腰三角形的性质，直角三角形的性质、两点距离公式等知识，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键． 题型34 四边形中动态几何问题 160．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 【答案】(1)补图如图 (2)， 证明：如图， 在正方形中，， 作于点M，交于N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据（1）可得， 根据对称可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中，，即，则， ∴； (3) 【分析】（1）先画出图形，再根据对称的性质得，然后根据得出答案； （2）在正方形中，，作于点M，交于N，证明，得出．根据（1）可得，根据对称可得，则，证明，则，得出，即可得，．在中，，即可得； （3）连接，取中点，连接，根据，得出，则，证明，得出，求出当点在点时，当点在中点时，的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 为中点， ∴， ∵，， ∴当点三点共线，即点在点时，最大，此时， ∵，为定值， ∴当最小时，最小，此时点在中点， 过点作，过点作， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴的取值范围为． 161．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，菱形的边长为5，对角线把菱形分成和，将绕着点顺时针旋转得到，所在的直线与对角线所在的直线交于点． (1)如图1，若，求点到所在直线的距离； (2)如图2，当的顶点落在对角线上时，若此时点，，在同一条直线上，求的度数； (3)在（1）的条件下，绕着点顺时针旋转的过程中，在备用图中画出当最小时的位置，并求出此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)当最小时，，的位置如图所示， 的最小值为 【分析】（1）如图，连接交于，，求解，设点到所在直线的距离为，进一步求解即可； （2）设，由旋转可得：，，，求解，利用点，，在同一条直线上，可得，再进一步求解即可； （3）由（1）得：点到所在直线的距离为，可得点到所在直线的距离为，如图，过作于，则，当重合时，，且，此时最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于， ∵菱形的边长为5，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 设点到所在直线的距离为， ∴， 解得：， ∴点到所在直线的距离为． （2）解：如图，连接， ∵菱形，当的顶点落在对角线上时， ∴设， 由旋转可得：，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 解得：． （3）解：由（1）得：点到所在直线的距离为， ∴点到所在直线的距离为， 如图，过作于，则， 当重合时，，且，此时最小， ∵，， ∴最小， ∴，此时最小， ∴当最小时的位置如图所示， ∴， ∴． 162．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，．理由如下： 延长交于点，如图所示： 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ； (2)，．理由如下： 延长交于点，交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ，， 又， ，即； (3)，．理由如下： 延长交于点，如图所示： 由（2）知，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，． 【分析】（1）延长交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质、直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可； （2）延长交于点，交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质求解即可； （3）由（2）求得的相关边及相关角度等量关系，得出，且，最后由平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型35 坐标系中的动点问题 163．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)，，四边形的面积； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或． 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴四边形的面积； （2）解：不发生变化，理由：如图1， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得：， 此时点M的坐标为； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得：，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 此时点M的坐标为 综上所述，点M的坐标为或． 164．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)的值是定值，定值为3． 【分析】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 165．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． ∴点C的坐标为； （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ∵,，，，，， 过点作轴于点，过点作轴于点，取中点，连接， ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∴， ∵轴，中点为， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：或（舍）， ∴当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解：时，由（2）知，，此时点与点重合，， ∵， ∴轴， 画出图形如下所示，    根据平行四边形可得， ∴，即；，即：， 根据平行四边形可得， ∴，即：， 综上：点M的坐标为或或． 题型36 一次函数与几何综合 166．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 167．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)或 【分析】（1）根据点P的横坐标求解其纵坐标，根据对称性求出点B的坐标，并利用B、P两点的坐标写出直线的函数关系式； （2）设出点Q的坐标，根据三角形的面积等于底乘以高以及题设中给出的条件，列方程求解点Q的坐标； （3）设出点C的坐标，根据对称性求解点C关于直线的对称点D的坐标（用点C的坐标表示），再根据求解点C的坐标． 【详解】（1）将代入得： 令，则 ∴点的坐标为： ∵点和点关于直线对称 ∴点的坐标为： 设直线的函数关系式为： 将，代入得 ∴， ∴直线的函数关系式为： （2）设点的坐标为 ，， 若点在轴的上方 点的坐标为 若点在轴的下方 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 （3）如图， 设y轴上一点C的坐标为，做出点C关于直线的对称点D，连接、，和交于点E，根据对称性易知点E是的中点，且， 设点D的坐标为，根据直线斜率和相应的正切值的关系容易证明，两条相互垂直的直线的斜率乘积为1，因此有， 因为点E是的中点，所以点E的坐标是，根据点E在直线上有 联立式①，②可以 所以点D的坐标为 根据对称性可知，， 所以，直线和直线的斜率乘积等于，可列出方程 代入 化简得， ， 解得：或 综上所述，点的坐标为， 【点睛】本题考查一次函数的关系式，一次函数与三角形面积的问题，一次函数的动点问题，解题的关键是能够根据题目的条件，分情况讨论． 168．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1)①3；②1或 (2) (3)或或． 【分析】（1）①写出一次函数的关联函数，再根据点E的坐标中横坐标的符号代入相应的解析式中即可求解； ②分n为非负与负的情况考虑即可； （2）易得一次函数（，k、b为常数）的关联函数，由点P在上得k、b的方程；再由面积条件得点N的坐标，从而得k、b的中一个方程，解方程组即可求解； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当关联函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的关联函数为， ∵点中横坐标为负， ∴； ②当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，n的值为1或； （2）解：一次函数（，k、b为常数）的关联函数为， ∵P点坐标是， ∴点P在函数图象上， 即； 如图，设与y轴交于点F， ∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，， ∴轴， ∴， ∵的面积为， 即， ∴， ∵， ∴， ∵点N在函数图象上， ∴， 联立①②，解得：， ∴； （3）解：∵满足， ∴， 则，即， 当时，，即过定点， ∴一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象过点与， ∴，且点在平行四边形内， 设关联函数与y轴的交点为G， 如图2，点G沿y轴向上平移的过程中，当关联函数图象经过点A时，平行四边形有三个交点， 把代入中，得， 解得：， ∴， ∴当时，关联函数的图象恰好与平行四边形有两个交点， 即， ； 当点继续沿y轴向上平移，关联函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点，当关联函数经过点时，则，不符合题意，如图3， ∴当时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即， 解得：； 当点继续沿y轴向上平移，如图4， 此时，关联函数与平行四边形恰好有两个交点， 即，解得：； 综上，当关联函数与平行四边形恰好有两个交点，k的取值范围为或或． 题型37一次函数动态最值问题 169．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．       (1)求两点的坐标； (2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据，列出方程，解方程得出或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交于点，则点为所求点，进而求解； （4）当点在上方时，证明，得到的坐标为，进而求解，当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于， 令， 解得：， 令，则， ∴点的坐标分别为、； （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ， 即， 解得：或， 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 把代入得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上分析可知：点M的坐标为或； （3）解：点为线段的中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点为所求点， 设直线的表达式为：，则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点的坐标为； （4）解：存在，理由： 当点在上方时，如图2，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在Rt和Rt中， ， ， ， 故点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 故点的坐标为， 当点在下方时， 过点作交于点， 则， ∴， ∴、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点、的坐标同理可求得直线的表达式为：， 当时，， 综上分析可知：点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式，中点坐标公式，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论，避免遗漏． 170．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 【答案】(1)为等腰直角三角形；理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及、、的长，即可得出的形状； （2）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，说明要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，求出的解析式为，求出即可； （3）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，设点E的坐标为，点H的坐标为：，求出点F的坐标为：，得出，，，分三种情况：当时，当时，，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 则， ， ， 则，且， ∴为等腰直角三角形． （2）解：由题意知，即，连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小， 设的解析式为，把、代入得： ， 解得：， ∴的解析式为，令，， ∴． （3）解：连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： 根据解析（2）可知，，， 设点E的坐标为， ∴， ∴， ∴点H的坐标为：， ∴点F的坐标为：， 把代入代入得：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 171．（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点． (1)求出直线的函数表达式，及交点的坐标； (2)如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积； (3)如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)4 (3)或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解，把直线与直线的函数表达式联立即可求得点D的坐标； （2）连接，则有的面积等于的面积，利用割补思想即可求解； （3）连接并延长，交直线于点N，则当点P与点N重合时，取得最大值，求出直线的表达式，可求得点N的坐标，分三种情况，利用全等三角形的判定与性质即可求得满足条件的点Q的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点A、B的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线的函数表达式得：， 解得：， 即点D的坐标为； （2）解：连接，如图， 对于，令，得；对于，令，得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点E、点P到的距离相等， ∴的面积等于的面积， 而 ， ∴； （3）解：连接并延长，交直线于点N， ∵， ∴当点P与点N重合时，取得最大值， 设直线解析式为， 把代入得：， ∴， 即直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 把点代入中，得， ∴直线解析式为， 令，解得：， ∴， ∴； 当时，如图， 由于A、P两点的横坐标相同，连接，则轴，过点E作于M，过点作交的延长线于点T， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为1，纵坐标为， 即； 当时，同理证明， 得， ∴； 当，时，如上图，此时点Q为线段的垂直平分线与的交点，也是的中点，见上图， 则，即； 综上，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，求直线围成的图形的面积等知识，注意数形结合的运用． 题型38一次函数分配方案问题 172．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 【答案】(1)， (2)学校选择方案一购买的劳动工具较多 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）按方案一购买：根据付款总金额劳动工具单价件数运费即可得；按方案二购买：根据付款总金额劳动工具单价件数即可得； （2）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：当时，，解得：， 当时，，解得， 因为， 所以学校选择方案一购买的劳动工具较多． 173．（24-25八年级上·陕西西安·期中）书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． (1)请分别求出，与x之间的函数关系式． (2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)； (2)选择方案B更划算．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案A：； 方案B：． （2）解：若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算 当时， 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴， ∴若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算． 174．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 题型39一次函数最大利润问题 175．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 【答案】(1) 最少生产100件智能手表 (2) 安排生产100件智能手表，50件智能手环可使总成本w最小 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数的实际应用；解题的关键是根据题意列出不等式和函数关系式，结合函数的增减性求解最值． （1）设智能手表的生产数量为件，根据“智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍”列出不等式求解； （2）根据成本公式建立总成本关于的一次函数，结合函数的增减性和（1）中的取值范围，求的最小值． 【详解】（1）解：设生产智能手表件，则生产智能手环件． 由题意得：, , , ∴， 答：该公司最少生产100件智能手表． （2）解：由题意得：， ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，取得最小值， 此时． 答：当生产智能手表100件、智能手环50件时，总成本最小． 176．（25-26八年级下·福建漳州·期中）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节后每千克粽子的进价是元 (2)该商场节前购进千克粽子获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元   依题意得：     解得：    经检验，是所列方程的解，且符合题意     答：该商场节后每千克粽子的进价是元； （2）设购进的粽子全部售出后可获得的总利润为，则      即     ， 随的增大而增大     当时，取得最大值，最大值为     答：该商场节前购进千克A粽子获得利润最大，最大利润是元 177．（25-26八年级下·河南周口·期中）河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元 (2) (3)购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元 【分析】（1）设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套，根据题意，列出函数关系式，即可求解； （3）求出x的取值范围，设商家获得的利润是元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设款文创产品购进的单价为元，款文创产品购进的单价为元，根据题意，得 ， 解得 答：A款文创产品购进的单价为40元，B款文创产品购进的单价为30元． （2）解：设购进款文创产品套，则购进款文创产品套． 根据题意，得． 答：与之间的函数关系式为． （3）解：根据题意，得， 解得． ， ， 设商家获得的利润是元，则． ， 随的增大而增大． ． 当时，的值最大，最大值为， ． 答：购进A款文创产品60套、B款文创产品40套可使商家获得最大利润，最大利润是1120元． 题型40一次函数梯度计费问题 178．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 179．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 180．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 【答案】(1) (2)小明家月的电费元 (3)该户月的用电量为 【分析】本题考查一元一次方程的应用以及一次函数的应用，关键是电费与用电量之间的数量关系； （1）利用表格所给数据，即可找出电费与之间的关系式； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可； （3）根据电费是元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：当时， ， 即； （2）解：当时，（元）， ∴小明家月的电费元； （3）解：当时，， 当时，， ， ∴该户月用电量属于第二档， 当时，，解得， ∴该户月的用电量为． 题型41 反比例函数与一次函数综合 181．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 182．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为； （2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论； （3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， （2）解：联立， 解得：或， ， 观察图象得，时，的取值范围为或， 即时，的取值范围为或； （3）解：设， ∵轴， ∴， ， ， 解得：， ． 183．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 题型42反比例函数与几何综合 184．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据求出，，根据是线段的中点可得，，代入求出的值，可得反比例函数解析式，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据直线解析式求出，即可求出，设，得出，根据列方程可求出的值，即可得出点坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，分，和三种情况，利用等腰直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，， ∴， 解得：，即，， ∵是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， 如图所示： ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 综上所述：存在点，使得，点的坐标为或． （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图，当时，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时，， ∵轴，在上， ∴点与原点重合， ∴， ∴； 综上所述：存在点，，使是等腰直角三角形，点的坐标为或或． 185．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可； （2）为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点代入反比例函数解析式求解即可； （3）设，，①当为边时：分为平行四边形和为平行四边形两种情形画出图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∴ ∵为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为， ∴， ∴，设， 如图，过点D作轴于点F，过点C作于点G， ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，则，，即轴 ， ∴点P的纵坐标为，即，解得：， ∴，即， ∴，解得：， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形， ∴，解得：， ∴； ②当为对角线时：如图所示， ∵， ∴点P、B的横坐标相同，即，解得：， ∴，即， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，；；． 186．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）连结，根据矩形的性质可得，结合反比例函数的几何意义进而得到；连结，同理可得，进而得到，即可得出结论； （2）连接，由轴对称的性质可得，．由，推出，证明，即可推出，即点是的中点，进而得到点，即可解答； （3）如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F，由勾股定理求出，利用三角形面积公式分别求出，再利用勾股定理求出，同理求出，即可得到，即可解答． 【详解】（1）解：连结， ∵矩形中，， ∴， 连结， 由同理可得， ， ； （2）解：如图，连接，由轴对称的性质可得，． ， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ∵点的坐标为， ∴点， ． （3）解：如图，连接，设交于点，过点E分别作轴，轴的垂线，交于点，交轴于点G，交于点F， ， ， ， ∵， ∴， 由题意可知点的轨迹为过点的的垂线的一部分，最短距离即为点到直线的垂线段， 即当时，有最小值，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为边上的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的性质，翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型43反比例函数与动态问题综合 187．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或N() 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识． （1）求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案； ②设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明，可得，即可解得，；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得，． 【详解】（1），， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， ， 的最小值是； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ，； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ，； 综上所述，的坐标为，或，． 188．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）根据题意为等腰直角三角形，过点分别作轴于，轴于，则设，根据一次函数的图像经过点,求得的值，进而求得的坐标,即可求得反比例函数解析式； （2）根据在中，①，在中，②，①－②即可求得； （3）分三种情况讨论①若，，如图，连接，证明，进而求得，从而求得的坐标，即可求得点的坐标；②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，证明，设，由，可得，解方程即可求得点坐标；③若，如图，过点作轴于，过作轴于，证明，设，则，由，可得，解方程即可求得点坐标；综合①②③即可求得所有的坐标． 【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设， 点在直线上， ， 解得， ， 反比例函数（）的图像经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2） , 把代入，解得， ， ， 在中，①， 在中，②， ①-②,得， （3）①若，，如图，连接， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 把代入，得， ， ②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为， 在与， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， ③若，如图，过点作轴于，过作轴于， 在与中， ， ， ， 设，则， 由， 可得， 解得， 经检验，m是原方程的解， ， ， ， 综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，解可化为一元二次方程的分式方程，掌握以上知识是解题的关键． 189．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 1．已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过F作于M，于N，证明四边形是矩形得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）根据正方形的性质和勾股定理求得，证明得到，进而可求解； （3）先根据全等三角形的性质得到，，则，当为等腰三角形时，，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推导出，利用等角对等边可得，进而求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 过F作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：∵四边形为正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点E不与点B，点C重合， ∴； （3）解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为N，在上取点M，使，证明是等腰直角三角形，求出，根据含30度的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； ②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)式子的值不发生改变，值为4． 【分析】（1）根据平方的非负性，求出点和点的坐标，再证明，得到，即可得到点P的坐标； （2）过点分别作、的垂线，垂足分别为、，根据多边形内角和得到，，进而证明，推出平分，即可证明结论； （3）连接，利用等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形斜边中线的性质，证明出，得到，进而得到，即可得解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， 点P的坐标为； （2）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又，， 平分， ； （3）解：式子的值不发生改变， 如图，连接， ，，点D为的中点， ，，，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 式子的值不发生改变，值为4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； (3)如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求出的坐标，进而得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示，由已知条件，利用三角形全等的判定与性质得到，再由待定系数法确定函数关系式求出直线，最后由一次函数图象与性质求解即可得到答案； （3）设，，根据题意，分两种情况讨论，由，得到点坐标，从而消去，得到点的运动轨迹，从而由动点最值问题-点线模型，结合等面积法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即；当时，，即； 点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为，将、代入得，解得， 直线的解析式为； （2）解：在轴上取点，使，连接，作交的延长线于，作轴于，如图所示： 由（1）知、、， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， 在等腰中，，则，即是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， 设，将、代入得，解得， 直线，则直线与轴的交点的坐标为； （3）解：设，， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， 、， ，， ，即， 当时，， ， ，则令，消去得，即在线段长运动， 当时，在处；当时，在处；则线段交轴于点，如图所示： 利用点到直线的距离垂线段最短可知，当且仅当时，有最小值， ， ，， ，即， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合，综合性强、难度较大，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、三角形全等的判定与性质、动点最值问题-点线模型、两点之间距离公式、等面积法求线段长等知识，熟记一次函数图象与性质、数形结合是解决问题的关键． 6．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或 【分析】（1）把分别代入两个解析式计算即可； （2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可； （3）设，分四种情况：当时，利用平移的性质可得；当时，运用平移的性质可得；当时，通过构造全等三角形建立方程即可得出；当时，利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得：， ； 双曲线经过点， ， 解得：， ； （2）解：如图，设直线交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 解得：，， ， 又， ，， 在中，令，得， 解得：， ， ， 设，且， ， ，即， ， ，即， 解得：， ； （3）解：平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，理由如下． ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，， 设，当时，如图， 则，，． 解得：， ； 当时，如图， 则，，， 解得：， ； 当时，如图，设直线交轴于点，过点作轴于，作轴，过点作于， 则，， 由（2）知：， ，， ， ，， 是等腰直角三角形，， 轴， ， ， ，即， ，， ， ，， ，， ，， ； 当时，如图， 则，， ， 解得：， ； 综上所述，平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是“绣湖四边形”，点的坐标为或或或． 7．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】(1)A材料每千克5元，B材料每千克6元 (2)购进A材料2400千克，最少资金为13800元 (3)20；2或38 【分析】（1）根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． （2）根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． （3）①根据图象即可求解；②根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A材料每千克元，B材料每千克元， 根据题意，得， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； （2）解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． 答：当购进A材料2400千克时所需资金最少，最少资金是13800元； （3）解：①由图象可知，乙车追上甲车所需时间为分钟； ②由图象可知，甲车速度为千米/分钟， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， 设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 8．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 【答案】(1)的值为30，b的值为10 (2)共有6种进货方案，见解析 (3)当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大 【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案； （3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式， 分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为30，b的值为10； （2）解：共有6种进货方案，理由如下： 设购进快充个，则购进慢充个， 由题意得：， 解得：， 由于为整数， 则的取值可以为：75、76、77、78、79、80， 因此，共有6种进货方案； （3）解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意得：， 分以下三种情况讨论： 由（2）知，， ①当，即时， 此时随的增大而增大， 则当时，最大，此时； ②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500； ③当，即时，随的增大而减小， 则当时，最大，此时； 综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 10．本题如图，在平面直角坐标系中有两点，，连接，点C在线段上，连接，若点C纵坐标为m． (1)直线的解析式是______； (2)若，求点C的坐标； (3)将绕点O顺时针旋转得到点，设点D的坐标为，求y与x的关系式； (4)已知直线：，将沿折叠得，当点A的对应点F恰好落在直线上时，直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查一次函数的解析式、点的坐标特征、旋转的性质、折叠的性质，熟练掌握利用待定系数法求解析式，分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形的面积公式得到，进而得到，利用直线AB的解析式为进行求解即可； （3）过点C作轴于点G，过点D作轴于点H，易证得，根据全等三角形的性质得到、，设点，点D的坐标为，根据旋转的性质得到，将代入进行求解即可； （4）设点，点，由折叠的性质得，进而得到点或，分情况讨论，利用，求出点C坐标，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将两点，代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ， 即， 解得或（舍去）， 将代入得，， 解得， 则点C的坐标为； （3）解：如图，过点C作轴于点G，过点D作轴于点H，设点， 将绕点O顺时针旋转得到点， 、， ， 、， ， ， 、， 点、点D的坐标为， 、、、，， 、， 点C位于第四象限，点D位于第三象限， ，即， 将代入得： ， 即， 因此，y与x的关系式为； （4）解：设点，点， 由折叠的性质得， 则， 即， 解得或， 当时，，此时点，即点， 当时，，此时点， 由折叠的性质得， ①当时， ， ， 则， 解得， 令时，，此时点， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 则直线的解析式为； ②当时， ， ， 则， 解得， 令时，此时点， 则直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 11．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最小值时点的坐标 (3)存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 12．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，， ，再根据题中定义得到，进而有，根据等角对等边求得即可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质得到，利用三角形的外角性质推导出，根据题中定义可证得结论； （3）先求得点A、B、E及其平移后对应点的坐标，再分点和落在反比例函数的图像上和点和落在反比例函数的图像上两种情况，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到a和k的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形平行四边形，，， ∴，，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴，则， ∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是半对角四边形； （3）解：由（2）知，， ∵， ∴是等边三角形，则，， 过E作于H，    ∴则，， ∴，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 将四边形向左平移a（）个单位后，点A的对应点坐标为，点B的对应点坐标为，点E的对应点坐标为， ∵平移后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上， ∴分两种情况： 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时； 若点和落在反比例函数的图像上，则， 解得，此时， 综上，满足条件的k值为或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形、平移性质、求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 239 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关 （201题30个常考题+13大压轴题型） 选填常考题 题型23 一次函数的应用 题型1 多边形 题型24 反比例函数的定义 题型2 平行四边形的性质与判定 题型25 反比例函数的图象 题型3矩形的性质与判定 题型26 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4 矩形的折叠问题 题型27 根据反比例函数的增减性求参数 题型5菱形的性质与判定 题型28 根据反比例函数系数求图象面积 题型6 根据菱形的性质求面积 题型29 一次函数与反比例函数综合 题型7正方形的性质与判定 题型30 反比例的实际应用 题型8 三角形的中位线与重心 解答压轴题 题型9 点的基础属性 题型31 特殊四边形的综合模型 题型10 坐标对称规律 题型32 中位线与重心综合应用 题型11 坐标平移规律 题型33 坐标系中四边形存在性问题 题型12 两点距离公式 题型34 四边形中动态几何问题 题型13 变量与函数 题型35 坐标系中的动点问题 题型14 正比例函数的定义及图象 题型36 一次函数与几何综合 题型15 正比例函数的性质 题型37一次函数动态最值问题 题型16 根据一次函数的定义求参数 题型38一次函数分配方案问题 题型17 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型39一次函数最大利润问题 题型18 比较一次函数值的大小 题型40一次函数梯度计费问题 题型19 根据一次函数增减性求参数 题型41 反比例函数与一次函数综合 题型20 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型42反比例函数与几何综合 题型21 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型43反比例函数与动态问题综合 题型22 求直线围成的图形面积 题型1 多边形 1．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）八边形的内角和为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中一定错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海·期中）一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）一个多边形，它的每一个外角都是，则该多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 题型2 平行四边形的性质与判定 6．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，且，为中点，连接交于点，则下列结论中不一定成立的是（  ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，、交于O，平分，，．以下结论①平分；②；③；④．正确的有（   ）个． A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 题型3矩形的性质与判定 11．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在矩形中，，对角线、相交于点．下列说法中，正确的是（   ） A．两条对角线把矩形分割成两个等腰三角形和两个等边三角形 B．矩形绕点旋转后，能与自身重合 C．对角线、是矩形的对称轴 D．将矩形沿对角线所在的直线对折后，得到的图形是轴对称图形 12．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，比的周长大2，矩形的周长为28，则的长为（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 13．（21-22八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 14．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　） A．1 B． C． D．2 15．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、．结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中错误的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 矩形的折叠问题 16．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 17．（2024·贵州毕节·一模）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 18．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（21-22八年级下·福建莆田·阶段检测）如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点A落在上的点G处，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（24-25八年级下·广东江门·阶段检测）矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 题型5菱形的性质与判定 21．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 23．（2025·四川内江·中考真题）按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（15-16八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为（    ）    A．16 B．15 C．14 D．13 25．（21-22八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片分别沿、折叠，若、两点恰好都落在对角线的交点上，下列说法：①四边形为菱形，②，③若，则四边形的面积为，④，其中正确的说法有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 题型6 根据菱形的性质求面积 26．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（  ） A．5 B．4 C．3 D． 27．（2015·江苏徐州·二模）如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　）    A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 28．（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）如图，在菱形中，，cm，则菱形边上的高的长是（    ）    A． B． C．5 D．10 29．（25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 30．（25-26八年级下·上海·期中）已知菱形的边长为8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积为（   ） A．64 B．32 C． D． 题型7正方形的性质与判定 31．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 32．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（    ） A．，， B．， C．， D．，， 33．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 35．（20-21八年级下·上海宝山·期末）四边形不具稳定性，四条边长都确定的四边形．当内角的大小发生变化时．其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 题型8 三角形的中位线与重心 36．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 38．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为（　 　） A． B． C． D．4 40．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型9 点的基础属性 41．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 42．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级下·上海·期中）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 题型10 坐标对称规律 46．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 47．（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·上海·期末）在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 49．（24-25八年级下·陕西西安·期中）点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 50．（2022七年级下·上海·专题练习）在直角坐标系中，点A的坐标为(﹣3，4)，那么下列说法正确的是（    ） A．点A与点B(﹣3，﹣4)关于y轴对称 B．点A与点C(3，﹣4)关于x轴对称 C．点A与点C(4，﹣3)关于原点对称 D．点A与点F(﹣4，3)关于第二象限的平分线对称 题型11 坐标平移规律 51．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 52．（22-23八年级上·重庆·周测）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 54．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 55．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型12 两点距离公式 56．（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 57．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 58．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 59．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 60．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型13 变量与函数 61．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示y是x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 63．（25-26八年级下·北京·阶段检测）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如右图所示，下列说法不正确的是（    ） A．t是自变量 B．y是t的函数 C．对于y的每一个确定的值，t都有唯一确定的对应值 D．当时，碳酸钠的溶解度最大 64．（25-26六年级下·全国·课后作业）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 65．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）一辆货车从地去往地，一辆轿车从地去往地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止运动，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离（单位：）与货车行驶的时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．货车行驶到达地 B．货车的速度是 C．轿车比货车早到达目的地 D．货车行驶或，两车相距 题型14 正比例函数的定义及图象 66．（25-26八年级下·上海闵行·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 67．（25-26八年级下·河北唐山·期中）若函数（为常数）是正比例函数，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 68．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 69．（24-25八年级上·上海崇明·期末）若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 70．（2025·上海嘉定·二模）已知正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 题型15 正比例函数的性质 71．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 72．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 73．（17-18八年级下·全国·单元测试）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 74．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 75．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 题型16 根据一次函数的定义求参数 76．（23-24八年级下·上海宝山·阶段检测）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 77．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，若当x增加3时，y增加6，则k的值是（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 78．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如果函数是一次函数，那么m的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 79．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 80．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 题型17 一次函数图象与坐标轴的交点问题 81．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）一次函数的图象如图所示，当时，．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象过点 B．图象过点 C．函数表达式为 D．当时， 82．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 83．（2026·广西贺州·二模）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 84．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 85．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数解析式为，则光线所在直线的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 题型18 比较一次函数值的大小 86．（25-26八年级下·北京西城·期中）一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 87．（2026·内蒙古通辽·二模），是一次函数图象上的不同的两点，则（    ） A． B． C． D．的符号无法判断 88．（25-26八年级下·福建漳州·期中）某快递驿站的每日未取件量（单位：件）与当日室外温度（单位：）满足一次函数关系：，已知当温度为时，未取件量为；当温度为时，未取件量为，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 89．（2026·陕西安康·模拟预测）一次函数的图象经过点，，，且，则的值可能为（　　　） A． B． C． D． 90．（23-24八年级下·福建龙岩·期中）函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象过第一、二、四象限 C．若点和点在直线上，则 D．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 题型19 根据一次函数增减性求参数 91．（25-26八年级下·山西临汾·期中）已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 92．（25-26八年级下·广东江门·期中）当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 93．（25-26八年级下·北京·阶段检测）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 94．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 95．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型20 根据两条直线的交点求不等式的解集 96．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 97．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 98．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 99．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 100．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 题型21 两直线的交点与二元一次方程组的解 101．（25-26八年级下·北京西城·期中）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 102．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 103．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 104．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 105．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型22 求直线围成的图形面积 106．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 107．（2026·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线，直线、直线与轴围成的三角形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 108．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 109．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 110．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 题型23 一次函数的应用 111．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 112．（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 113．（2026·湖北武汉·一模）甲，乙两名运动员在笔直的公路上进行自行车训练（同向行驶），行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的关系如图所示，行驶1.5小时，乙在甲前的距离是（     ） A．6.5 B．7.5 C．10 D．11.5 114．（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 115．（2026·湖北武汉·一模）成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 题型24 反比例函数的定义 116．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）在双曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 117．（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 118．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点（     ） A． B． C． D． 119．（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 120．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 题型25 反比例函数的图象 121．（2024·重庆·二模）函数 的图象一定不经过点（　　） A． B． C． D． 122．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 123．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A．B．C． D． 124．（18-19九年级上·北京海淀·期末）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 125．（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 126．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 127．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 128．（25-26九年级下·重庆开州·期中）关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第一、三象限 C．两个分支关于原点成中心对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 129．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 130．（25-26九年级上·山东滨州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 题型27 根据反比例函数的增减性求参数 131．（25-26八年级下·四川资阳·期中）已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 132．（2026·上海奉贤·二模）在函数的图像所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 133．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 134．（25-26九年级上·浙江台州·期末）对于函数，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 135．（2024·山东济南·模拟预测）点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型28 根据反比例函数系数求图象面积 136．（22-23八年级上·上海·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 137．（2023·浙江·模拟预测）若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 138．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 139．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 140．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型29 一次函数与反比例函数综合 141．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 142．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 143．（2026·上海黄浦·二模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 144．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 145．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型30 反比例的实际应用 146．（21-22九年级上·四川成都·期中）电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 147．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 148．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 149．（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 150．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 题型31 特殊四边形的综合模型 151．（23-24八年级下·福建莆田·期中）在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 152．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形中，，将矩形绕着点B逆时针旋转后得到矩形，点C恰好落在边上，点C的对应点是点E，点D的对应点是点F，点A的对应点是点G． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，延长交边于点H，设，用m的代数式表示线段的长； (3)连结，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 153．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数学活动课上，萱萱同学将大小两个正方形的顶点C重合，按如图的方式摆放，使B、C、E在同一直线上．边与边重合，连接． (1)初步探究：如图1，连接交于H，连接．她猜测，请证明她的猜想是正确的． (2)大胆尝试：如图2，将正方形绕点C转动，当点D在上时，交于点N，连接，她通过测量发现，请证明她的结论； (3)拓展延伸：如图3，将正方形继续绕点C转动，当B、C、F在同一直线上时，取的中点P，连接，若，，求的面积． 题型32 中位线与重心综合应用 154．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长； (3)在（2）的条件下，当等于多少时，． 155．（21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 156．（2022·上海虹口·三模）已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)如图2，点E、F 分别在、上，连接交于点K，，，，求：的值 (3)如图 3，在（2）的条件下，点P是下方一点，连接，，，G为中点，连接KG，若， ，求的值． 题型33 坐标系中四边形存在性问题 157．（20-21八年级下·上海·期中）若直线分别交轴、轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥轴，B为垂足，且S△ABC= 6 (1)求点B和P的坐标； (2)点D是直线AP上一点，△ABD是直角三角形，求点D坐标； (3)请问坐标平面是否存在点Q，使得以Q、C、P、B为顶点四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 158．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，且与边相交于点E． (1)当时， ①若，求点E的坐标； ②连接．是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)若，求的值（用含n的代数式表示）． 159．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接． (1)当点在第四象限时（如图1），求证：． (2)当点落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型34 四边形中动态几何问题 160．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 161．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，菱形的边长为5，对角线把菱形分成和，将绕着点顺时针旋转得到，所在的直线与对角线所在的直线交于点． (1)如图1，若，求点到所在直线的距离； (2)如图2，当的顶点落在对角线上时，若此时点，，在同一条直线上，求的度数； (3)在（1）的条件下，绕着点顺时针旋转的过程中，在备用图中画出当最小时的位置，并求出此时的长度． 162．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 题型35 坐标系中的动点问题 163．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 164．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 165．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 题型36 一次函数与几何综合 166．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 167．（22-23八年级上·辽宁丹东·期末）如图，直线与直线相交于点，两条直线与轴分别交于点、点，且点和点关于直线对称，已知直线的函数关系式为． (1)请直接写出： ①___________； ②直线的函数关系式___________； (2)若点是直线上的一个动点，当时，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 168．（25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：对于给定的一次函数（，为常数），把形如（，为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． ②若点在这个一次函数的关联函数图象上，则______． (2)如图1，一次函数（，k、b为常数）的关联函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，的面积为，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则k的取值范围是______． 题型37一次函数动态最值问题 169．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段的中点，过点C作轴，垂足为D．       (1)求两点的坐标； (2)若在直线上有一点M，使得的面积为9，求点M的坐标； (3)若点E为y轴负半轴上一点，连接交x轴于点F，且，在直线上有一点P，使得最小，求P点坐标； (4)如图2，直线上存在点Q使得，请直接写出点Q的坐标． 170．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 171．（25-26八年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点C，B为上一点，其中点的坐标为，点的坐标为．直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点． (1)求出直线的函数表达式，及交点的坐标； (2)如图2，过点作直线的平行线交轴于点，点为直线上一动点，连接，求出的面积； (3)如图3，在（2）问条件下，连接，当最大时，在直线下方找一点，使得为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 题型38一次函数分配方案问题 172．（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 劳动工具价格 方案一 50元 元/件 方案二 0元 15元/件 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出，与之间的函数关系式； (2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？ 173．（24-25八年级上·陕西西安·期中）书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． (1)请分别求出，与x之间的函数关系式． (2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 174．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 题型39一次函数最大利润问题 175．（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳某科技公司计划生产智能手表和智能手环两种产品共150件，用于参加“深圳国际智能硬件展”．已知生产一件智能手表的成本为2000元，生产一件智能手环的成本为1200元，智能手表的生产数量不少于智能手环数量的2倍． (1)该公司最少生产多少件智能手表？ (2)假设该公司的生产总成本为w元，如何安排生产才能使总成本w最小？ 176．（25-26八年级下·福建漳州·期中）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测粽子能够畅销．根据预测，每千克粽子节前的进价比节后多元，节前用元购进粽子的数量是节后用元购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进粽子千克，若节前购进粽子千克，按照节前每千克元，节后每千克元全部售出，那么该商场节前购进多少千克粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 177．（25-26八年级下·河南周口·期中）河南非遗文化底蕴深厚，朱仙镇木版年画、淮阳泥泥狗等文创产品深受游客喜爱．某文旅商店购进A，B两款河南非遗文创产品共100套售卖，已知购进4套A款文创产品和5套B款文创产品共需310元，购进6套A款文创产品和8套B款文创产品共需480元． (1)求A，B两款文创产品购进时的单价． (2)设购进A款文创产品套，购进A，B两款文创产品的总花费为元，求与之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A款文创产品的售价为52元/套，B款文创产品的售价为40元/套．该商家计划购进A，B两款文创产品所花的总费用不超过3600元，要使A，B两款文创产品全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 题型40一次函数梯度计费问题 178．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 179．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 180．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价／[元／ 第一档 第二档 第三档 (1)当时，写出电费（单位：元）与用电量之间的表达式； (2)小明家月用电量是，求小明家月的电费； (3)某户月的电费是元，求该户月的用电量． 题型41 反比例函数与一次函数综合 181．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 182．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 183．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 题型42反比例函数与几何综合 184．（25-26八年级下·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，连接交轴于点．已知轴于点，轴于点，是线段的中点，，， (1)求反比例函数和所在直线的函数表达式； (2)连接，，求所在直线上是否存在一点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究：是否存在点，，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 185．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 186．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别落在，轴上，点的坐标为，反比例函数的图像分别与边，交于点，，将沿翻折，得到． (1)连接，用含的代数式表示的面积；判断与的位置关系，并证明． (2)如图，当点落在上时，求的值． (3)点为边上的中点，在点的运动过程中，求的最小值直接写出答案． 题型43反比例函数与动态问题综合 187．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 188．（20-21八年级下·上海·期中）如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作于点，求的值； （3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标． 189．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 1．已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． (1)证明四边形为正方形； (2)联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，直接写出的长度． 2．已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 3．如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P，求点P的坐标； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于点N，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 4．问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 5．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图1，点在轴正半轴上，，求点的坐标； (3)如图2，点在上，过作交于点，将点向下平移长度到点，连接，当点从点运动至点过程中，求的最小值． 6．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为，点P是x轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接，，，，若，求点P的坐标： (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“绣湖四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是绣湖四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 8．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．本题如图，在平面直角坐标系中有两点，，连接，点C在线段上，连接，若点C纵坐标为m． (1)直线的解析式是______； (2)若，求点C的坐标； (3)将绕点O顺时针旋转得到点，设点D的坐标为，求y与x的关系式； (4)已知直线：，将沿折叠得，当点A的对应点F恰好落在直线上时，直接写出直线的解析式． 11．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若，则四边形是半对角四边形．    (1)如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求的长； (2)如图3，以平行四边形的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移a（）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $