专题05 函数（6大考点期末真题汇编，辽宁专用）高二数学下学期人教B版

**基本信息** 高中数学函数专题期末试题汇编，覆盖定义域/值域等6大高频考点，精选辽宁多地期末联考真题，基础题与综合题结合，如单调性解答题考查函数增减性证明及恒成立问题，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|18|6大考点全涵盖|如指对幂函数比较大小，结合图像分析| |填空|10|定义域、单调性等|如周期性函数求值，需综合对称性与奇偶性| |多选|6|单调性、周期性等|如判断函数单调区间，选项设置梯度合理| |解答|5|单调性、指对幂函数等|如含参数函数单调性讨论，关联逻辑推理|

耐学科网 www.zxxk.com 专题05函数 目目 考点01 定义域/值域 一、 单选题 1.C 2.C 3.D. 4.D 二、填空题 5.(1,+0) 目目 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1.A 2.C 3.D 4.A 二、多选题 5.AD 6.BCD 三、填空题 7.2≤a≤5 8.[2,+∞) 四、解答题 9.【详解】(1)由f(m+n=f(m)+f(n)-1, 故此令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1, 则f0)=1: (2)设x1,x2是R上任意两个实数，且x1<x2,令m=x2-x1,n 则fx)=fx2-x)+f(x1)-1,所以f-fx1)=f(x2-x) 由x1<x2得x2-x1>0,所以f(x2-x)>1,故fx)-fx1)>0, 1/6 让教与学更高效 =81, 1, 即fx)<fx, 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故此函数fx)为R上增函数； (3)由已知条件得：f(ax-2)+f(x-x2)=f[ax-2)+(x-x2]+1<3, 故f-x2+(a+1x-2]<2,:f2)=3=2f1)-1,f(1)=2, :f-x2+(a+1x-2]<f(1),由(2)可知fx)在R上为增函数， :-x2+(a+1x-2<1,即x2-(a+1)x+3>0, x∈(2，+∞时，可得a+1<x+是恒成立， 令g(x)=x+最， 由对勾函数性质可得g(8)=x+是在(2，十)上单调递增， 所以gx)>g(2)=2+是=， 所以a+1≤子→a≤号，综上，ae(-∞号] 目目 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1.A 2.A 3.D 二、多选题 4.AC 5.BD 三、填空题 6.1 7.- 四、解答题 8.【详解】(1)当-1≤x<0时，则0≤x十1<1， 因为f(x+1)=2f(x),所以f(x)=专f(x+1), 又当0≤x≤1时，f(x)=x(1-x)-1,所以 f(x)=f(x+1)=[(x+1)(1-x-1)-1]=-(x2+x+1): (2)因为Vx∈[-1,0)，f(x)≤号x,所以-专(x2+x+1)≤号x对[-1,0)恒成立， 2/6 耐学科网 www.zxxk.com 即a≤-(x+1+)对[-1,0)恒成立，即a≤-(x+1+)mn' 令fx)=-（x+1+最)=-x--1, 当xe[-1,0),则-x∈(0,1]，f8=-x-京-1≥2W(-x)( 当且仅当一x=一是时取等号，即x=一1时取等号， 所以f6=1,所以实数a的取值范围为-o,1], 目目 考点04 指对幂函数 一、单选题 1.C. 2.C 3.D 4.B. 5.D 6.C 7.C 二、多选题 8.AD 三、填空题 9.(克1) 10.81 11.4 12.(7,8) 13.2 四、解答题 14.【详解】(1)解：(1)由题意可知f(0)=f(4),则1og2（24+1) 化简得，1og2（24+1)-0=1og2(24a4+1)-1og24, 1og,(2+1)=10g学兰，则2+1=学兰，解得=2， 3/6 让教与学更高效 安)-1=1， 0=1og2(244+1)-4, 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当a=2时，f(x)=log2(22-4+1)-x=1og2（24+2),显然满足f(x)=f(4-x), 即函数f(x)的图象关于直线x=2对称， 故a=2. (2)(2)由(1)可知f(x)=1og2(2-4+2), 又2x4+28≥2√24.2京=，当且仅当x-4=-X,即x=2时取得等号， 根据对数函数的单调性可知f(x)min=f(2)=1og2克=-1， 关于x的方程m2+4m=3f(x)有解，：m2+4m≥3f(x)mn 即m2+4m+3≥0，解得m≥-1或m≤-3， 故m的取值范围为(-∞，-3]U[-1,+∞). 15.【详解】(1)当a=-1时，f(x)=-24+2-1=-2(2)2+2-1 令t=2,xE[-3,0], 则y=-2t2+t-1=-2(t-)2-员，te[信，1] 因为函数y=-2(t-)2-居在区间[言，]上单调递增，在区间[完1小上单调递减， 所以当t=子时ymx=一首：当t=1时ymn=-2, 故函数y=-2(t-)2-,te[言，1]的值域为[-2，-] 所以当a=-1时，f(x)在x∈[-3,0]上的值域为[-2，-] (2)当a=0时，f(x)=2-1,满足f(x)在[1，+∞)上单调递增，满足题意； 当a≠0时，设t=2,则y=2at2+t-1,（t≥2) 因为t=2产单调递增， 所以要使f(x)在[1，+∞)上单调递增， 须使y=2at2+t-1在[2，+∞)上单调递增， 【a>0, 所以-吉≤2，解得a>0 综上可得：实数a的取值范围为a≥0，即[0，十∞). 16.【详解】(1)方法一：由fx)为奇函数，得f(-x)=-fx, og4+x)-log (43-ax)=-10g4-x)+log4a+ax) 4/6 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则l0g2=1og授，即袋=授，整理得(a2-1x2+161-)=0, 由上式对定义域内一切x都成立，得a2-1=0,解得a=1或a=-1, 当a=1时，fx)的定义域为(-4,4)，关于原点对称，f(-x)=-f(x),满足fx)为奇函数： 当a=-1时，f(x)的定义域为（一∞，一4），不关于原点对称，不满足f(x为奇函数， 所以a=1. 方法二：当a>0时，f(x)的定义域为(-4,4)，关于原点对称， 由f(x)为奇函数，得f0)=0,即log24-log4a=0,解得a=1, 当a=1时，f司-x刘=log,(4+x刘-log,4-x,-f()=-lg,4-+log,4+x 因此f(-x)=-fx),fx)为奇函数，满足题意， 当a<0时，fx的定义域为（一∞，一4），不关于原点对称，不满足fx)为奇函数， 所以a=1 (2)由(1)知f☒=log,4-x-log4+x=log=og,是-1，定义域为(-4,4)， 当x∈[-号，号]时，函数y=品-1单调递减，且是-1∈[，8]，则fx)∈[-2,3]， 令f(x=t,则tE[0,3],gx)>0恒成立等价于t2-mt+8>0恒成立， 当t=0时，t2-mt+8=8>0,当te(0,3时，t2-mt+8>0恒成立，即m<t+是恒成立， 又t+≥2Wt·=42,当且仅当t=是，即t=2V2时取等号，因此m<4W2, 所以m的取值范围是(-∞42) 目目 考点05 函数图像 一、 单选题 1.B 2.A 3.B. 目目 考点06 函数应用 一、单选题 1.D 二、多选题 2.BCD 5/6 耐学科网 www.zxxk.com 6/6 让教与学更高效 专题05 函数 6大高频考点概览 考点01定义域/值域 考点02单调性/奇偶性 考点03周期性/对称性 考点04指对幂函数 考点05函数图像 考点06函数应用 地 城 考点01 定义域/值域 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若函数的定义域为，则的取值范围是______． 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 二、多选题 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 三、填空题 7．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 8．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 四、解答题 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 地 城 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知函数满足，且，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（   ） A． B． C．1 D． 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．图象的一个对称中心为点 B． C．的一个周期为12 D． 5．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)（多选）已知函数则下列结论正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．若函数有且仅有两个零点，则 C．当时，若存在实数，使得，则的最小值为2 D．已知点在的图象上，且的图象上存在点，使得关于坐标原点的对称点也在的图象上，则 三、填空题 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源中学·期末）已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则______． 四、解答题 8．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 地 城 考点04 指对幂函数 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）“或”是“幂函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数，则（    ） A．729 B．81 C．27 D．3 3．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，若且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 三、填空题 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 10．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，且，则的最小值为_________. 11．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，若恒成立，则_______． 12．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 13．（24-25高二下·辽宁省协作校·期末）函数的零点个数是__________. 四、解答题 14．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)若关于的方程有解，求的取值范围． 15．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 16．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)若，当时，恒成立，求m的取值范围． 地 城 考点05 函数图像 1、 单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）（是自然对数的底数） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）函数在的图像大致为 A．B．C．D． 地 城 考点06 函数应用 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（    ）(参考数据：，) A．年 B．年 C．年 D．年 二、多选题 2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）（多选）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（     ） A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C．若，则 D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数 6大高频考点概览 考点01定义域/值域 考点02单调性/奇偶性 考点03周期性/对称性 考点04指对幂函数 考点05函数图像 考点06函数应用 地 城 考点01 定义域/值域 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母不为零、被开方式大于等于零，列不等式求解即可. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 2．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得． 综上，． 故选：C 3．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)表示三个数中的最小值，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个函数在时的图像画在同一个平面直角坐标系中，可得的图像，根据图像即可求得的最大值. 【详解】作出的图像， 由图像可知， ， 由图可知 的最大值为. 故选：D. 二、填空题 5．(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)若函数的定义域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过恒不为零，将问题转化为方程没有实根，再通过判别式即可确定的取值范围. 【详解】由题意，， ∴恒不为零， 即方程没有实根， ∴， 解得， 故答案为：. 地 城 考点02 单调性/奇偶性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B．（1，4） C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合奇函数的定义推理判断. 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 3．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】A 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 二、多选题 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 6．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，对，都有：①，②当时，，③当时，，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据对称性直接可得函数的对称轴，再根据定义法可判断函数的单调性，利用赋值法可判断函数的奇偶性，进而根据函数的性质分别判断各选项. 【详解】由，可知曲线关于直线对称，所以为偶函数， 由已知当时，， 令，可得，则， 令，可得，即函数为奇函数，即函数关于中心对称， A选项错误，B选项正确； 设，则，即， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 又的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在上单调递增，C选项正确； 由，，得， 则，所以， 所以是以为一个周期的周期函数， 所以，， 易知在上单调递减，且， 所以，D选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 7．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用给定的分段函数单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以，综上，. 地 城 考点03 周期性/对称性 一、单选题 1．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)已知函数满足，且，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】由题可得一个周期为4，则，然后由已知条件可得答案. 【详解】， 则一个周期为4，从而，则. 故选：A 2．(24-25高二下·辽宁大连·期末)已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到，为一个周期为8的周期函数，故，代入求值即可. 【详解】函数图象关于对称，故， 又为奇函数，故，所以， 所以，故， 为一个周期为8的周期函数， 故， 时，，故，所以. 故选：A 3．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)若曲线关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出. 【详解】因为函数的定义域为R，且曲线关于点中心对称， 所以，即. 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)（多选）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．图象的一个对称中心为点 B． C．的一个周期为12 D． 【答案】AC 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 5．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)（多选）已知函数则下列结论正确的是（   ） A．当时，函数在上单调递减 B．若函数有且仅有两个零点，则 C．当时，若存在实数，使得，则的最小值为2 D．已知点在的图象上，且的图象上存在点，使得关于坐标原点的对称点也在的图象上，则 【答案】BD 【分析】对A，根据函数特点直观判断即可；对B，讨论，，函数的单调性判断即可；对C，根据函数特点可判断；对D，求出函数，然后与联立求解即可. 【详解】对A，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误； 对B，当时，函数在单调递减，在单调递增，错误；，有两个零点； 当时，令，则，有无数个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以有1个零点； 所以若函数有且仅有两个零点，则，正确； 对C，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，令，则，如图， 由图可知，当时，的范围是， 即不存在实数，使得成立的的最小值为2，故错误； 对D，将点代入可知，当时，，则函数关于原点对称的函数解析式为， 由题可知：与有两个不同的交点， 所以或，所以， 所以，正确. 故选：BD 三、填空题 6．（24-25高二下·辽宁省朝阳凌源中学·期末）已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 【答案】1 【分析】根据及是偶函数代入可得. 【详解】由题意可知． 故答案为： 7．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则______． 【答案】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 所以， 又当时，，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高二下·辽宁重点中学协作校·期末)定义在上的函数满足．若当时，． (1)当时，求的解析式； (2)，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，则，由，结合已知可求解； （2）由已知可得对恒成立，可得，构造函数求解即可. 【详解】（1）当时，则， 因为，所以， 又当时，，所以； （2）因为，，所以对恒成立， 即对恒成立，即， 令， 当，则，， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以，所以实数的取值范围为． 地 城 考点04 指对幂函数 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）“或”是“幂函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用幂函数定义及充要条件的定义判断. 【详解】由为幂函数，可得，解得或， 且时，为偶函数， 当时，也为偶函数 ，故“或”是“幂函数为偶函数”的充要条件． 故选：C． 2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数，则（    ） A．729 B．81 C．27 D．3 【答案】C 【分析】由内向外，先计算，再算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．(24-25高二下·辽宁辽阳·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数的运算，根据对数函数的单调性得，又，即可比较大小. 【详解】因为，且在定义域上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，故． 故选：D 4．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，若且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数性质变形得，然后结合对勾函数性质求得范围. 【详解】，即，又，所以，所以且， ， 由对勾函数性质知函数在时是减函数，所以时，， 故选：B. 5．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）若函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性；再根据函数的性质将不等式转化为关于的二次不等式，求解即可. 【详解】要使函数有意义， 须满足，解得， 即函数的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以是奇函数. 又因为， 函数，，在上均为减函数， 所以在定义域上是减函数. 则不等式可化为 即， 所以，解得. 故选：D. 6．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 7．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案． 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴； 又， ∴，即． ∴． 故选C． 二、多选题 8．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 【答案】AD 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，的值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 三、填空题 9．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 10．(24-25高二下·辽宁普通高中联考·期末)若，且，则的最小值为_________. 【答案】81 【分析】利用基本不等式及对数的运算法则,最后借助对数函数的单调性即可求解. 【详解】，，， ， 当且仅当即时等号成立， 又，， ，则的最小值为. 故答案为：. 11．(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，若恒成立，则_______． 【答案】4 【分析】求出的定义域，讨论恒成立的条件，联立不等式求解.. 【详解】已知函数，则真分数，即分子分母同号： ①若：真分数为,无定义域，排除. ②若，则，因，时，x与a同号为负值.不等式变形为. 判断符号：时，，，故. 判断符号：真分数在内取值范围为，故. 所以当时，，违反不等式恒成立条件. 因此，时无解. ③若，由可得定义域. 已知，则. 当时，，故，需满足，即，因为，故 当时，，需满足，即，因为，故 当时，，故，需满足，即，因为，故， 联立得，又，解得. 故答案为：4. 12．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数，若方程有4个不同的实数根，，，（），则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出函数的图象，把方程有4个不同的根转化函数的图象与直线有4个交点，结合二次函数和对数函数的性质即可求解． 【详解】由题意作出函数的图象，如图， 方程有4个不同的实数根，，，（）， 即函数的图象与直线有四个不同的交点， 易知，则，即， 由二次函数对称性可得且， 则， ，则，所以， 故答案为：．    13．（24-25高二下·辽宁省协作校·期末）函数的零点个数是__________. 【答案】2 【分析】根据函数零点的定义，由分段函数，当时，解方程可得零点个数，当时，零点个数转化为的图像交点个数，画出图像可得. 【详解】令得，，只有符合题意； 令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是.    故答案为：2. 四、解答题 14．(24-25高二下·辽宁县域重点高中·期末)已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)若关于的方程有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数图像关于直线对称的性质求解的值； （2）先求出的值域，再根据方程有解确定的取值范围. 【详解】（1）解：（1）由题意可知，则， 化简得，， ，则，解得． 当时，，显然满足， 即函数的图象关于直线对称， 故． （2）（2）由（1）可知， 又，当且仅当，即时取得等号， 根据对数函数的单调性可知， 关于的方程有解，， 即，解得或， 故的取值范围为. 15．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. （2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增，     所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 16．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）已知函数是奇函数． (1)求a的值； (2)若，当时，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定函数，利用奇函数定义求出并验证得解. （2）由（1）求出确定单调性，再求出的范围，分离参数并结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）方法一：由为奇函数，得， 即， 则，即，整理得， 由上式对定义域内一切x都成立，得，解得或， 当时，的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数； 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以. 方法二：当时，的定义域为，关于原点对称， 由为奇函数，得，即，解得， 当时，，， 因此，为奇函数，满足题意， 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以. （2）由（1）知，定义域为， 当时，函数单调递减，且，则， 令，则，恒成立等价于恒成立， 当时，，当时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当，即时取等号，因此， 所以m的取值范围是. 地 城 考点05 函数图像 1、 单选题 1．（24-25高二下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知是减函数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 2．（24-25高二下·辽宁省沈阳市郊联体·期末）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）（是自然对数的底数） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象观察函数定义域和在处的函数值符号可排除错误选项. 【详解】由图知，，可排除BC；又由图可知，因为选项D中函数，则，故D错误. 故选：A 3．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）函数在的图像大致为 A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果． 【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 地 城 考点06 函数应用 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（    ）(参考数据：，) A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【解析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项. 【详解】设2020年起第年投入的研发资金为（2020年为第一年），则， 即， 令，故，故. 故2030年第一次研发资金超过. 故选：D. 二、多选题 2．（24-25高二下·辽宁省普通高中·期末）（多选）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（     ） A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C．若，则 D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 【答案】BCD 【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可. 【详解】为正常数. 对于A，， 由，得， 所以，解得，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，由，得，即， 则 ，故正确； 对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $