精品解析：四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

广安加德学校2025-2026学年下期高2025级领航班半期考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及虚部概念求解. 【详解】因为， 所以z的虚部为1. 故选：B 2. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，利用线面平行的性质定理、平行关系的转化判断即可. 【详解】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误； 对于B，若，设，，，则． 又，则． 因为，，则， 所以，故B正确； 对于C，若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误； 对于D，若，，则，或，故D错误． 故选：B． 3. 现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ） A. M发生的概率为 B. M与N互斥 C. M与N相互独立 D. P发生的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】求出古典概率判断A；利用互斥事件的定义判断B；利用相互独立事件的定义判断C；分两种情况讨论求出概率判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误； 对于C，，，与相互独立，C正确； 对于D，若先取出同色小球，都为白球时，混合后有4个白球6个红球，取出红球概率； 若取出的都为红球，混合后有4个红球6个白球，取出红球概率为， 若先取出异色小球，混合后有5个白球5个红球，取出红球概率为，D错误. 故选：C 4. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【解析】 【分析】A由图结合极差概念可判断选项正误；B由图结合百分位数概念可判断选项正误；C由图可判断甲乙平均数的大小关系；D由图结合方差概念可判断选项正误. 【详解】A，由图甲的极差约为30，乙的极差大于30，故A正确； B，对甲成绩排序，又，则第2个成绩为甲成绩的第25百分位数，由图估计值为90； 对乙成绩排序，又，则第5个成绩为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90， 则甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，故B错误； C，由图可知，甲的成绩在90分上下浮动，乙的成绩有3次低于60分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数，故C正确； D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故D正确. 故选：B 5. 内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求得米，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为米，所以在三角形中，由正弦定理得，解得米， 在直角三角形中，米. 故选：D. 6. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.352 C. 0.288 D. 0.648 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可 【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为 二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为， 而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为， 故选：D 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可. 【详解】由题可知， 点在上， 则存在实数λ，使得 ， ， ， ， 故选：C 8. 在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在和中用正弦定理，得到与θ的表达式，代入面积和的表达式中，得到面积关于θ的函数，对得到的面积函数求最小值，找到面积取最小值时θ满足的条件，再求解对应的值. 【详解】由题意知，，，，. 可得，， 所以， 在中，由正弦定理得，，， 即， 在中，由正弦定理得，，即， 因此， 设，可得， 由二次函数性质可知，令， 当时，取最大值，最大值为正， 即当，取到最小值，此时. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用复数乘法法则和模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则计算；C选项，可举出反例；D选项，先得到复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆，由复数的集合意义得到的最小值. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，若复数，满足，但，C错误； D选项，若复数满足， 则复数的集合为复平面内，到点的距离等于1的圆， 表示圆上的点到点的距离，的最小值为， 显然圆心到的距离为， 则的最小值为，D正确. 故选：ABD 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A：根据数量积的公式和三角形面积公式计算即可；选项B：根据题目条件得到边的大小关系从而求解；选项C：根据题目条件得到角的范围，结合正弦定理进行求解；选项D：根据题目条件用向量的模表示线段长度，结合余弦定理结合基本不等式进行求解. 【详解】选项A：因为， 所以，化简可得， 因为，所以解得，故A错误； 选项B：若，且，则， 因此有两解，故B正确； 选项C：若为锐角三角形，则，且， 所以，即， 根据正弦定理可得，即， 所以取值范围是，故C正确； 选项D：若为边上的中点，则， ， 根据余弦定理可得， 即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以， 因此，当且仅当时等号成立，故D错误. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为________. 【答案】6 【解析】 【详解】由题意知数据4，5，5，5，6，8，9，10，已按从小到大排列， 因为，故这组数据的60%分位数为6. 13. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果. 【详解】 设，则， 平面，即为与底面所成角，即， ，， ，，； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，，即，又， 顶点的曲率为. 故答案为：. 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则________；________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【详解】由题意可知：，， 若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到， 则， 据此可得，，，，，，所以， 因为5到9共有，，，，五条不同的路线， 所以经过5的路线共有条， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可； （2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解. 【小问1详解】 由题意，设， 因为，所以，所以， 所以或． 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 即， 设与的夹角为，则， 又，所以，所以与的夹角． 16. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1），2人 （2）平均数为71，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用频率之和为1，求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数. （2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数. （3）根据独立事件的概率计算方法求事件的概率. 【小问1详解】 由， 解得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽取（人） 【小问2详解】 平均数． 由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3， 设学生成绩中位数为t，，则：，解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的面积； （3）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求解; （2）利用余弦定理求出，在利用面积公式即可求解； （3）建立坐标系，根据平面向量得坐标表示，表示出两点以后，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； 【小问3详解】 以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，由得， 因为，所以设， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 【答案】（1）①16；② （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由余弦定理得，①当时，，由余弦定理即可求解；②当时，，利用均值不等式即可求解； （2）先证，由面面垂直的性质定理得，即可求，由面面垂直判定定理得平面平面，平面平面，进而求得， 同理求得，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得：， ①当时，， . ②当时，， 当且仅当即时取等号， 的最大值为. 【小问2详解】 由，， 由余弦定理得， 即，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： ， 故， 由平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故. 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面和棱，平面和棱，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025-2026学年下期高2025级领航班半期考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ） A. M发生的概率为 B. M与N互斥 C. M与N相互独立 D. P发生的概率为 4. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 5. 内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 60米 6. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ） A. 0.36 B. 0.352 C. 0.288 D. 0.648 7. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，P为边AB上一点，，，，，.当面积最小时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为________. 13. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则________；________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的面积； （3）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $