四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

广安加德学校2025-2026学年下期 高2025级领航班半期考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i是虚数单位，复数的虚部是（ ） A． B． C．i D．1 2．已知a，b是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．现有A，B两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球a为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（ ） A．M发生的概率为 B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为 4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔．它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工．三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神．内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点C与D塔底B同一水平面，并测得米，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（ ） A．60米 B．米 C．米 D．米 6．甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 7．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近C点的三等分点，点F在BE上，若，则（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，P为边AB上一点，，，，， ．当△ABC面积最小时，（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A． B． C．若复数z满足，则 D．若复数z满足，则的最小值为 10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A． B．若，则△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 11．如图，棱长为2的正方体．中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥体积的最小值为 C．与不可能垂直 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为________． 13．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角．角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD，．PC与底面ABCD所成的角为，在四棱锥中，顶点B的曲率为________． 14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量，． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16．（15分）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （Ⅱ）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及第50百分位数； （Ⅲ）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 17．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E为棱AD的中点，平面ABCD． （1）求证：平面PCE； （2）求证：平面平面PBD； （3）若二面角的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值． 18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，且，，求△ABC的面积； （Ⅲ）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的最小值． 19．（17分）在平面四边形ABCD中，，且． （1）△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值． （2）若，且，将△ABC沿AC翻折成△PAC，使得平面平面ACD，在四面体PACD中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较、、的大小． 广安加德学校2025-2026学年下期 高2025级领航班半期考试数学试卷答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A D C A 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABD BC ABD 12．6 13． 14．5； 8．解：，，，，． 可得，， 所以，在△ACP中，由正弦定理得， ，，即， 在△BCP中，由正弦定理得，，即， 因此， 设，可得， 由二次函数性质可知，， 当时，f（m）取最大值，且最大值为正， 即当，取到最小值，此时． 10．解：A．因为，所以，， 又，所以，A错； B．若，且，则，三角形有两解，B正确； C．若△ABC为锐角三角形，则，， 所以，，，，C正确； D．若D为BC边上的中点，则， ， 又，， ∴，， 当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：BC． 14．解：由题意可知：，， 若移动到数字，则由数字或数字n移动一次得到， 则， 据此可得，，，，，，所以， 又因为5到9共有56789，5679，5689，5789，579五条不同的路线， 所以经过5的路线共有，所以．故答案为：8；． 15．解：（1）由题意，设，因为，所以， 所以，所以或． （2）因为，所以， 所以，即， 设与的夹角为，则， 又，所以，所以与的夹角． 16．解：（Ⅰ）由，解得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽（人）； （Ⅱ）平均数． 由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3， 设学生成绩中位数为t，，则：， 解得，所以中位数为． （Ⅲ）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 17．【解答】（1）证明：连接CE，因为，， 且E是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以， 又平面PCE，平面PCE，所以平面PCE． （2）证明：在直角梯形ABCD中，， 所以，，所以，即， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面PAB， 所以平面PAB，又平面PBD，所以平面平面PBD． （3）解：因为平面ABCD，，所以由三垂线定理知，， 所以∠ADP就是二面角的平面角，即， 所以，所以， 由（2）知，平面平面PBD，所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB， 在Rt△PAB中，， 故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为． 18．解：（Ⅰ）因为， 所以由正弦定理得， 所以，又，， 所以，又，所以； （Ⅱ）因为，且，，所以，， 在△ABD中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以△ABC的面积； （Ⅲ）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，，由，可得， 因为，，，所以设，， 则，，，， 由，得，由， 得，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为． 19．【小问1详解】 ∵，∴，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得：， ①当时，， ． ②当时，， ∴，当且仅当即时取等号， ∴ac的最大值为． 【小问2详解】 由，， 由余弦定理得， 即，所以，， 又平面平面ACD，平面平面， 所以平面ACD，又平面ACD，所以，， 所以在四面体PACD中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： ，，，，， 故， 由平面ACD，平面PCD，所以平面平面ACD， 又，平面平面， 所以平面PAC，又平面ADP，所以平面平面ACP， 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面ACD，平面平面ACD，平面平面ACP， 故． 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面APC和棱AD，平面ACD和棱PC，故， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $