17.2.3 综合运用提公因式法和公式法 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解中提公因式法与公式法的综合运用，通过复习回顾提公因式法、平方差公式及完全平方公式，衔接探究新知环节，构建从单一方法到综合运用的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以“先提公因式再套公式”为核心解题顺序，结合三大必考题型及高频易错点分析，培养学生推理意识与运算能力。通过标准解题步骤和详细解析，引导学生规范表达，既助力学生巩固知识，也为教师提供清晰教学路径。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 17.2.3综合运用提公因式法和公式法 第十七章 因式分解 17.2.3 综合运用提公因式法和公式法分解因式 练习题 一、本节核心总法则（考试万能顺序） 因式分解终极解题顺序（必须背熟） 第一步：提公因式（提干净）→ 第二步：套公式（平方差/完全平方）→ 第三步：检查彻底（不能再分解为止） 所有复杂因式分解题，永远先提公因式，再用公式，直接套公式必错、必分解不彻底！ 二、两大方法核心回顾 1. 提公因式法 适用：多项式各项有公共因式（数字、字母、整体括号） 要点：首项为负先提负号，括号内全部变号；提尽所有公因式，不留剩余 2. 两大公式法 平方差公式（两项式）：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 适用：两项、异号、均可化为平方形式 完全平方公式（三项式）：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$ 适用：三项、首尾正平方、中间首尾两倍乘积 三、三大必考综合题型（本节重难点） 题型一：先提公因式，再用平方差公式（最高频） 特征：多项式有公因式，提取后剩余部分为平方差结构 例题：分解因式 $$2x^2-50$$ 解：原式$$=2(x^2-25)=2(x+5)(x-5)$$ 题型二：先提公因式，再用完全平方公式（必考） 特征：多项式有公因式，提取后剩余部分为完全平方式 例题：分解因式 $$3x^2-12x+12$$ 解：原式$$=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$$ 题型三：多次分解（提公因式+公式+再分解） 特征：一次分解不彻底，需要连续运用方法，直到无法分解 例题：分解因式 $$x^4-16$$ 解：原式$$=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$ 解析：第一次平方差分解后，剩余$$x^2-4$$可继续分解，必须分解彻底 四、标准满分解题步骤 1. 看符号：首项为负，先提取负号，统一括号内符号； 2. 提净公因式：数字、字母、整体公因式全部提取干净； 3. 判结构套公式：剩余两项用平方差、三项用完全平方； 4. 复查彻底性：每个因式括号内无公因式、无公式可用、不能再拆分。 五、高频易错扣分点 1. 跳过提公因式：直接套公式，导致分解不彻底，直接扣分； 2. 公因式提不干净：漏提数字、低次字母公因式； 3. 分解不彻底：一次分解完成就结束，忽略二次、三次可分解结构； 4. 公式混淆：两项套完全平方、三项套平方差，结构判断错误； 5. 符号出错：提取负公因式后，括号内部分项忘记变号。 六、选择题（每题4分，共20分） 1. 分解因式 $$3x^2-27$$ 的最终结果是（） A. $$3(x^2-9)$$ B. $$3(x+3)(x-3)$$ C. $$(3x+9)(x-3)$$ D. $$3(x-3)^2$$ 2. 分解因式 $$2a^2-8a+8$$ 正确的是（） A. $$2(a^2-4a+4)$$ B. $$2(a-2)^2$$ C. $$(2a-4)^2$$ D. $$2(a-2)(a+2)$$ 3. 分解 $$x^4-81$$ 需要用到的方法是（） A. 仅提公因式 B. 仅完全平方公式 C. 两次平方差公式 D. 提公因式+完全平方 4. 多项式 $$-4x^2+16$$ 分解第一步正确的是（） A. 直接平方差 $$(2x+4)(2x-4)$$ B. 提取负公因式 $$-(4x^2-16)$$ C. $$-4(x^2-4)$$ D. $$4(-x^2+4)$$ 5. 下列分解因式完全正确的是（） A. $$x^3-x=x(x^2-1)$$ B. $$4x^2-4=4(x^2-1)$$ C. $$2x^2-18=2(x+3)(x-3)$$ D. $$x^2+4x+4=x(x+4)+4$$ 七、填空题（每题4分，共20分） 1. 因式分解的优先级：先________，再________。 2. $$5x^2-20=$$________。 3. $$4a^3-16a^2+16a=$$________。 4. $$x^2y-9y=$$________。 5. $$-2x^2+8x-8=$$________。 八、解答题（共60分，全是考试必考综合题型） 1.（12分）提公因式+平方差：$$4x^2-36$$ 2.（12分）提公因式+完全平方：$$3a^3-12a^2+12a$$ 3.（12分）多次分解题型：$$16-x^4$$ 4.（12分）带负号综合题型：$$-3x^2+6xy-3y^2$$ 5.（12分）整体综合题型：$$2(x-y)^2-8$$ 九、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：先提公因式3，再平方差分解，分解彻底。A分解不彻底，C、D公式误用。 2. B 解析：先提2，剩余完全平方式，最终化简为$$2(a-2)^2$$。 3. C 解析：$$x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)$$，两次平方差分解。 4. C 解析：优先提尽公因式$$-4$$，一步到位简化式子，后续可继续平方差分解。 5. C 解析：A、B分解不彻底；D未化成整式乘积形式，不是因式分解。 （二）填空题 1. 提公因式、套公式 2. $$5(x+2)(x-2)$$ 3. $$4a(a-2)^2$$ 4. $$y(x+3)(x-3)$$ 5. $$-2(x-2)^2$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=4(x^2-9)=4(x+3)(x-3)$$ 解析：先提数字公因式，再用平方差公式分解彻底。 2. 解：原式$$=3a(a^2-4a+4)=3a(a-2)^2$$ 解析：先提公因式$$3a$$，剩余三项为完全平方式。 3. 解：原式$$=(4+x^2)(4-x^2)=(4+x^2)(2+x)(2-x)$$ 解析：首次平方差分解后，剩余式子可继续二次分解，必须分解到底。 4. 解：原式$$=-3(x^2-2xy+y^2)=-3(x-y)^2$$ 解析：首项为负，先提负公因式，再套用完全平方差公式。 5. 解：原式$$=2\left[(x-y)^2-4\right]=2[(x-y)+2][(x-y)-2]=2(x-y+2)(x-y-2)$$ 解析：先提公因式，将多项式整体作为平方项，再用平方差公式分解。 十、本节满分终极总结 1. 综合分解铁律：先提后套，绝不反过来； 2. 两项剩余用平方差，三项剩余用完全平方； 3. 分解必须层层拆解，直到所有因式都不能再分解； 4. 带负号、高次、整体式子，统一先整理、再提公、后套公式。 十一、第十六、十七章因式分解全章收尾总结 整式乘法：积变和差（展开） 因式分解：和差变积（化简） 解题万能流程：提公因式（干净）→ 判断项数 → 两项平方差 / 三项完全平方 → 检查彻底 能灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 复习回顾 2. 分解因式： (1) 2x4y3 – x3y4 = _____________； (2) 25a2 – 1 = ________________； (3) m2n2 + 8mn + 16 = _________. x3y3(2x – y) (5a + 1)(5a – 1) (mn + 4)2 1. 我们目前学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法 ，公式法 ：平方差公式、完全平方公式 探究新知 例5　分解因式：　 (1) x4 – y4； 解：(1) x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 分析：可以用___________分解因式 = (x2 + y2)(x2 – y2) 平方差公式 其中 a = ____，b = ____ x2 y2 结束了吗？ 还能用平方差公式再分解 = (x2 + y2)(x + y)(x – y) 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (2) a3b – ab. 解：(2) a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1) 还能用____________再分解 分析：可以用___________分解因式 提公因式法 平方差公式 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 例6　分解因式：　 (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) – ax2 + 2a2x – a3 . 解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a(x2 + 2xy + y2) 先提出公因式，再用公式法进一步分解因式 (2) – ax2 + 2a2x – a3 = –a(x2 – 2ax + a2) = –a(x – a)2 = 3a(x + y)2 探究 你会把 x2 + 3x + 2 分解因式吗？ 完全平方公式 1 + 1 提公因式 方法一：x2 + 3x + 2 = (x2 + 2x + 1) + x + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) = (x + 1)(x + 1 + 1) = (x + 1)(x + 2) 2x + x 方法二：x2 + 3x + 2 = x2 + 2x + x + 2 = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 1)(x + 2) 提公因式 提公因式 还有其他方法吗？ 阅读与思考 x2 + (p + q)x + pq 型式子的因式分解 多项式乘法法则： (x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq 由等式性质可得： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 方法三：x2 + 3x + 2 = x2 + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2) 竖分二次项系数和常数项 交叉相乘 十字相乘法 x2 + (p + q)x + pq 1 1 p q × 1·q x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 1·p + = p + q 积相加 思考 分解因式的一般步骤有哪些？ （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 3. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符 号代表的内容. 分解因式： . 解： * ☆. 其中运用到的方法是 和 . . . . . 考试考法 11 下列回答错误的是( ) D A. *代表 B. ☆代表 C. 可能代表提公因式法 D. 可能代表完全平方公式法 返回 考试考法 12 4. ［2025南阳期中］如果， ，那么 的值为( ) D A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 5. 有一个因式分解的等式 ， 则式子中的， 对应的一组数字是( ) B A. 16，2 B. 16， C. ， D. ，2 返回 考试考法 13 6.把下列各式因式分解： （1） ； 【解】 . （2） ； . 考试考法 14 （3） ； . （4） . . 返回 考试考法 15 课堂小结 分解因式的一般步骤： （1）如果多项式的各项含有公因式，那么应先提取公因式； （2）如果多项式的各项不含有公因式，那么可以尝试运用公式法、十字相乘法因式分解； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. $