17.1.2 用提公因式法分解稍复杂的因式 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用提公因式法分解稍复杂的因式”，通过前置回顾简单单项式与基础整体公因式，进阶到多次提公因式、符号变形、分组提公因式等高频重难点，构建从基础到复杂的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“因式分解铁律”和“奇次变号，偶次不变”口诀强化抽象能力，通过分组提公因式例题培养推理意识，结合易错点分析与中考链接提升应用意识。采用五步解题法和分层练习，学生能系统掌握分解技巧，教师可直接用于培优教学，提高课堂效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 17.1.2用提公因式法分解稍复杂的因式 第十七章 因式分解 17.1.2 用提公因式法分解稍复杂的因式 练习题 一、本节前置回顾 上一节：简单单项式公因式、基础整体公因式； 本节进阶：多次提公因式、符号变形公因式、分组提公因式、高次多项式提公因式，是考试高频重难点。 二、本节核心重难点知识 1. 因式分解铁律（必考） 因式分解第一步：先提公因式，分解必须彻底！ 只要多项式有公因式，必须优先提取，直到括号内无任何公因式、无同类项为止。 2. 复杂公因式两大符号变形（超级重要） 当出现互为相反数的括号因式时，统一变形规律： $$a-b=-(b-a)$$ $$(a-b)^2=(b-a)^2$$（平方后符号消失） $$(a-b)^3=-(b-a)^3$$（奇次幂保留负号） 口诀：奇次变号，偶次不变 3. 复杂提公因式三种题型 题型一：双重公因式（数字+字母+整体） 多项式同时含有数字公因式、字母公因式、整体括号公因式，需要一次性全部提干净。 例：$$2x(x-y)-4y(x-y)$$，公因式为$$2(x-y)$$ 题型二：互为相反数的整体公因式 式子表面无相同因式，变形后出现相同公因式，是本节最大难点。 例：$$a(x-b)+b(b-x)=a(x-b)-b(x-b)=(x-b)(a-b)$$ 题型三：分组提公因式（四项式专用） 四项多项式，两两分组，先分组局部提公因式，再整体提公因式。 例：$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)$$ 4. 标准进阶解题五步 ① 看首项：首项为负，先提取负号； ② 找全公因式：数字、字母、整体括号全部找齐； ③ 符号变形：相反数括号统一结构； ④ 整体提取公因式； ⑤ 复查：括号内无公因式、无同类项，分解彻底。 三、高频易错重灾区（本节专属扣分点） 1. 不会变形：看不出$$a-b$$与$$b-a$$的互换关系，无法提公因式； 2. 提不彻底：只提字母不提数字，或只提局部不提整体； 3. 平方符号出错：分不清$$(a-b)^2=(b-a)^2$$，多余变号； 4. 四项式乱提：不分组直接乱提，导致分解错误； 5. 缺项漏1：某项全部提完后，剩余常数1遗漏。 四、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 对于式子$$a(x-y)+b(y-x)$$，变形正确的是（） A. $$a(x-y)+b(x-y)$$ B. $$a(x-y)-b(x-y)$$ C. $$a(y-x)+b(y-x)$$ D. 无法变形 2. 分解因式$$6a(x-y)-3b(y-x)$$的公因式是（） A. $$3(x-y)$$ B. $$6(x-y)$$ C. $$3a-b$$ D. $$3(x+y)$$ 3. 下列变形正确的是（） A. $$(m-n)^2=-(n-m)^2$$ B. $$(m-n)^3=-(n-m)^3$$ C. $$m-n=n-m$$ D. $$(m-n)^2=-(m-n)^2$$ 4. 分解$$ab-ac+bc-b^2$$分组正确的是（） A. $$(ab-ac)+(bc-b^2)$$ B. $$(ab+bc)-(ac+b^2)$$ C. $$(ab-b^2)+(ac-bc)$$ D. 任意分组均可 5. 分解因式$$4m(a-b)^2-2n(b-a)^2$$结果正确的是（） A. $$2(a-b)^2(2m-n)$$ B. $$2(a-b)^2(2m+n)$$ C. $$(a-b)^2(4m-2n)$$ D. $$2(a-b)(2m-n)$$ 五、填空题（每题4分，共20分） 1. $$x-y=$$________$$(y-x)$$。 2. $$(a-b)^2=$$________$$(b-a)^2$$。 3. 分解因式：$$3m(x-2)-6n(2-x)=$$________。 4. 分解因式：$$ax-ay-bx+by=$$________。 5. 分解因式：$$5(a-b)^3-10(b-a)^3=$$________。 六、解答题（共60分） 1.（15分）分解因式：$$4a(m-n)-8b(n-m)$$ 2.（15分）分解因式：$$x(a-b)^2-y(b-a)^2$$ 3.（15分）分组分解因式：$$mn-m+n-1$$ 4.（15分）综合分解：$$-2x^2(x-y)+4x(y-x)^2$$ 七、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：$$b(y-x)=-b(x-y)$$，统一公因式$$x-y$$。 2. A 解析：原式变形为$$6a(x-y)+3b(x-y)$$，公因式为$$3(x-y)$$。 3. B 解析：偶次幂符号不变，奇次幂变号。 4. A 解析：两两分组，保证分组后两组能提取相同公因式。 5. A 解析：$$(b-a)^2=(a-b)^2$$，原式$$=4m(a-b)^2-2n(a-b)^2=2(a-b)^2(2m-n)$$，分解彻底。 （二）填空题 1. $$-1$$ 2. $$1$$ 3. $$3(x-2)(m+2n)$$ 4. $$(a-b)(x-y)$$ 5. $$15(a-b)^3$$ （三）解答题 1. 解：原式$$=4a(m-n)+8b(m-n)$$ $$=4(m-n)(a+2b)$$ 解析：先统一$$m-n$$结构，再提取整体公因式。 2. 解：原式$$=x(a-b)^2-y(a-b)^2$$ $$=(a-b)^2(x-y)$$ 解析：平方结构无需变号，直接提取整体平方公因式。 3. 解：原式$$=(mn-m)+(n-1)$$ $$=m(n-1)+(n-1)$$ $$=(m+1)(n-1)$$ 解析：四项式先分组，局部提公因式，再整体提公因式。 4. 解：原式$$=-2x^2(x-y)+4x(x-y)^2$$ $$=-2x(x-y)[x-2(x-y)]$$ $$=-2x(x-y)(-x+2y)$$ $$=2x(x-y)(x-2y)$$ 解析：多重公因式$$-2x(x-y)$$，提取后化简括号，整理符号至最简。 八、本节压轴总结（考试必用） 1. 简单提公因式看表面，复杂提公因式看变形； 2. 相反数括号：奇次变号、偶次不变是核心解题钥匙； 3. 四项式因式分解，优先两两分组法； 4. 提公因式必须提干净、变对号、化最简。 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系. 能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解； 能运用整体思想进行因式分解. 探究新知 例2　把 8a3b2 + 12ab3c 分解因式.　 分析：先找公因式. ①定系数： ②定字母： ③定指数： 4 a 1 8与12的最大公因数是4 a3b2 与 ab3c 都含有字母 a 和 b b 2 a的最低次数是1，b的最低次数是2 4ab2 8a3b2 + 12ab3c 如果提出公因式 4ab，另一个因式的两项是否还有公因式？ (8a3b2 + 12ab3c)÷(4ab) = 2a2b+ 3b2c 还能提出公因式 b 解： 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2·2a2 + 4ab2·3bc = 4ab2(2a2 + 3bc) 例3　分解因式：　 (1) 2a(b + c) – 3(b + c)； (2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 . 解：(1) 2a(b + c) – 3(b + c) = (b + c)(2a – 3) 分析：(1) 公因式为_______ (2)公因式为______ (b + c) 4(a – b)2 公因式可以是一个单项式，也可以是多项式 (2) 4(a – b)3 + 8(b – a)2 = 4(a – b)2·(a – b) + 4(a – b)2·2 = 4(a – b)2(a – b + 2) (b – a)2 = (a – b)2 判断下列各式因式分解是否正确？如果错误，请改正. (1) –a3 + a2b2 – a2b 解：原式 = –a2(a + b2 – b)； (2) 36a3 + 24a2b 解：原式 = 6a2(6a + 4b)； (3) a(a – b) + a(a – b)(a + b) 解：原式 = a(a – b)(a + b)； 原式 = –a2(a – b2 + b) 注意：首项有负常提负，提负要变号 原式 = 12a2(3a + 2b) 注意：公因式要提尽 原式 = a(a – b)(1 + a + b) 注意：某项提完莫漏1 归纳 因式分解常用到的恒等变形： （1）b – a = __________； （2）(a – b)2 = __________； – (a – b) (b – a)2 （3）(a – b)3 = __________. – (b – a)3 1. 分解因式：x2–3x=_________． 2. 若mn=2，m-n=1，则m2n-mn2=　　． 解析：∵mn=2，m-n=1， ∴m2n-mn2=mn(m-n) =2×1 =2． x(x–3) 2 链接中考 随堂练习 1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(　　) A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2 2. 把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(　　) A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是(　　) A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz) B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2) C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z) D．a2b+5ab–b=b(a2+5a) B C D 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 4.把下列各式分解因式： (1)m2–3m=　 ；(2)12xyz–9x2y2=_____________； (3)(x+2)x–x–2=___________　； (4) –x3y3–x2y2–xy=_______________； 3xy(4z–3xy) –xy(x2y2+xy+1) (5)(x–y)2+y(y–x)=_____________. (y–x)(2y–x) 5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于_____________. 3a(x–y)2 m(m–3) (x+2)(x–1) 课堂检测 随堂练习 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013–20142; (3)(–2)101+(–2)100. (2) 原式=2013 ×(2013+1) –20142 =2013×2014 –20142 =2014×(2013–2014) = –2014． 解：(1) 原式=1.99 ×(1.99+0.01)=3.98； (3)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100. 课堂检测 随堂练习 解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12. (2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)] =(2x+1)(2x+1–2x+1) =2(2x+1). (1)已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x= . 当x= 时， 能力提升题 原式=2×(2× +1)=4. 课堂检测 随堂练习 12 △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等腰三角形． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc，得a＋2ab–c–2bc＝0， (a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0， ∴a–c＝0或1＋2b＝0， 即a＝c或b＝–0.5(舍去)， 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 1. ［2025青岛期中］把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 2. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个 因式是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 14 3. 把 因式分解，正 确的结果是( ) B A. B. C. D. 4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是 , 则 的值可能为( ) A A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 返回 考试考法 15 5. 多项式 可以因 式分解成，则 的值是( ) C A. 2 B. 4 C. 4或 D. 【点拨】，故，或， ， 则或 .故选C. 返回 考试考法 16 6.［2024徐州］已知，，则 ___. 2 7. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式 为 ，请你写出一个符合条件的多项式：____________ __________. （答案不唯一） 返回 考试考法 17 8.母题教材P125练习 分解因式： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 考试考法 18 课堂小结 用提公因式法分解因式的注意事项： 1. 公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式； 2. 当多项式第一项的系数为负数时，一般提出负号，且各项都变号； 3. 公因式的提取要彻底，分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式. $