暑假作业04 矩形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 矩形 【知识点1 矩形的定义】 1． 矩形的定义：有一个角是 的 叫做矩形。 【知识点2 矩形的性质】 1.边的性质：对边 且 ；邻边 ； 2.角的性质：四个角都是 ； 3.对角线的性质：对角线 且 ； 4.整体性质：矩形是 图形，而且也是 图形； 【知识点3 矩形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 有一个角是 的 是矩形； ∵, ∴四边形ABCD是矩形. 判定1 个角是 的四边形是矩形； ∵四边形, ， ∴四边形ABCD是矩形. 判定2 对角线 的 是矩形． ∵, ∴四边形ABCD是矩形. 【题型1 根据矩形性质求角度问题】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长问题】 6．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 8．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 9．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【题型3 矩形折叠问题】 11．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 13．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 14．在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 15．如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠得到，延长交于点．若，，则的长为_______． 【题型4 根据矩形的性质证明线段关系】 16．如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 17．如图，在矩形中，点在边上，且交于点M．求证：． 18．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 20．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【题型5 添加一个条件证明是矩形】 21．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 25．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【题型6 证明一个四边形是矩形】 26．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 27．如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 28．如图，、分别是的内角和外角的平分线，．求证：四边形是矩形． 29．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 30．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质和判定的综合运用】 31．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 32．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 33．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 34．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 35．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【题型8 矩形与动点相关问题】 36．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当 时，四边形是矩形． (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当时，直接写出的长为 ． 37．如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值． (2)当四边形是矩形时，求t的值． 38．如图，矩形中，，，动点P从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点Q从点D出发，沿方向以的速度向点A运动．动点P、Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动． (1)若点E在线段上，且，经过几秒钟，点A、E、P、Q组成平行四边形？ (2)动点P、Q在运动的过程中，线段是否经过矩形对角线的交点？如果线段过此交点，请求出运动的时间；如果线段不过此交点，请说明理由． 39．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 40．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 1．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 3．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 5．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 6．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 7．如图，点在的边上，，请从以下三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项添加到已知条件中，使得为矩形，并证明． 8．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 9．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 50．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 1．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，点是边的中点，且，连接，线段的垂直平分线恰好经过点，则矩形的边的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 4．如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（  ） A．18 B． C． D． 5．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 6．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 7．如图，在矩形中，，垂足为点E．求的长． 8．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 9．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 10．【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边． 兴趣小组进行了如下设计： 1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）； 2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成． 探究任务： (1)基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ； (2)模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由； (3)拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 矩形 【知识点1 矩形的定义】 1． 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 【知识点2 矩形的性质】 1.边的性质：对边平行且相等；邻边垂直； 2.角的性质：四个角都是直角； 3.对角线的性质：对角线相等且互相平分； 4.整体性质：矩形是中心对称图形，而且也是轴对称图形； 【知识点3 矩形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ∵, ∴四边形ABCD是矩形. 判定1 三个角是直角的四边形是矩形； ∵四边形, ， ∴四边形ABCD是矩形. 判定2 对角线相等的平行四边形是矩形． ∵, ∴四边形ABCD是矩形. 【题型1 根据矩形性质求角度问题】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 5．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型2 根据矩形的性质求线段长问题】 6．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】容易判断是等腰直角三角形，则，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，因此． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 8．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 9．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质及判定为等边三角形，求出及、的长，再通过角度计算证明为等腰三角形，从而求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【答案】2或8 【分析】先得到四边形是平行四边形，则，由勾股定理求解得到，设与交于点，可证明，则，，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∵， 设与交于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， 同理：． 综上：的长为或． 【题型3 矩形折叠问题】 11．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 12．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据折叠的性质得到、、，设，用表示出、，最后在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：由四边形是矩形，， 则，，， 在中，由勾股定理得，， 由折叠性质可得：，，，， 设，则，故， 在中，根据勾股定理， 代入得：， 解得， ． 13．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为．点为边上一点，将翻折，使点落在边上的点处，折痕为，则（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折的性质可得，推出，，设，中，由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由翻折的性质可知：，，，， ∴， 在中，， ∴， 设，在中有：， ∴， 设，在中，， ∴， ∴， ∴． 14．在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，分两种情况作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴，， 情况1：如图1，时， ∵， ∴三点共线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得 ∴； 情况2：如图2，时， 此时， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 15．如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠得到，延长交于点．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】设，先利用折叠性质和是中点的条件，通过证明，得，再用长方形边长表示出，，最后中用勾股定理列方程求解， 得到． 【详解】解：设， 由折叠可知：，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在长方形中，，， ∴，， 在中，由勾股定理，代入得：， 展开化简得：， 解得， 即． 【题型4 根据矩形的性质证明线段关系】 16．如图，矩形的两条对角线相交于点O，．求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 为等边三角形，即， ． 【分析】由矩形的性质先证明为等边三角形，进而得到． 【详解】略 17．如图，在矩形中，点在边上，且交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质，得出，证得，可得到，进而得到． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 18．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 19．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 20．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 【题型5 添加一个条件证明是矩形】 21．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 在中，，可得四边形是矩形， 故选：D． 22．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 23．如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 24．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 25．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【题型6 证明一个四边形是矩形】 26．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再结合得到，最后根据和得到四边形为矩形． 【详解】证明：∵，D为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 27．如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，，再由，即可得出结论； （2）先求出，由勾股定理求出，证出是的中位线得出，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       ， 即，       ，平分， ，       又， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点．       ， ， ，       ，即D是的中点． 是的中位线． ，       28．如图，、分别是的内角和外角的平分线，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先证明，再根据垂直得出，最后根据矩形的判定，即可得出结论． 【详解】证明：∵、分别是的内角和外角的平分线， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 29．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 30．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质和判定的综合运用】 31．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 32．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 33．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 34．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）先证，再由勾股定理求出，然后由矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得：， 由（1）得：四边形是矩形， ∴． 35．如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 【题型8 矩形与动点相关问题】 36．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)当 时，四边形是矩形． (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当时，直接写出的长为 ． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）过点P作，首先证明出四边形是矩形，得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； （2）在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）如图所示，过点P作 当时，， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 37．如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值． (2)当四边形是矩形时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，进一步求解即可． （2）根据矩形的性质，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． 38．如图，矩形中，，，动点P从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点Q从点D出发，沿方向以的速度向点A运动．动点P、Q同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动． (1)若点E在线段上，且，经过几秒钟，点A、E、P、Q组成平行四边形？ (2)动点P、Q在运动的过程中，线段是否经过矩形对角线的交点？如果线段过此交点，请求出运动的时间；如果线段不过此交点，请说明理由． 【答案】(1)当时，可以构成平行四边形 (2)能， 【分析】（1）根据t的值讨论P和Q的位置，根据平行四边形的判定定理即可求解． （2）由矩形的中心对称性得出，即，解方程即可． 【详解】（1）解：在直角中，.设运动的时间是t秒． 当时，P在上，Q在上，若四边形是平行四边形，则且，而不可能成立； 当时，P在上，若四边形是平行四边形，则, ∵， ∴，， ∴， ∴或 解得：（不合题意，舍去）或 总之，当时，可以构成平行四边形． （2）解：∵矩形是中心对称图形， 若线段经过对称中心O，则， 即， 解得：， ∴当时，线段经过矩形的对称中心． 39．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 40．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，交对角线于点．设点的运动时间为（秒）． (1)用含的式子表示：和； (2)当四边形是矩形时，求出的值； (3)某学习小组发现，在运动过程中，无论为何值，四边形的面积都不变，请加以说明，并求出此面积． 【答案】(1)， (2)2 (3)24 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识； （1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． （3）根据梯形面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． （3）解：， ∴无论为何值，四边形的面积都不变，面积为． 1．如图，的直角顶点与矩形的顶点重合，点在上，交于点．若，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，利用矩形对边平行得到内错角相等求出，最后利用平角的定义计算的度数； 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 四边形是矩形， ， ， 点、、在同一直线上， ． 2．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的另一边的长是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，即可判定为等边三角形，则，求出对角线，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 3．如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 4．如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 5．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 7．如图，点在的边上，，请从以下三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项添加到已知条件中，使得为矩形，并证明． 【答案】添加条件①或②，证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，添加条件①或②可证明推出，据此可证明为矩形． 【详解】解：添加条件①，为矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为矩形． 8．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 9．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的值； (3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)四边形是矩形，证明见解析． 【分析】（1）判断出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，证明为等边三角形，即可得出结论； （3）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明，继而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：四边形是矩形， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 10．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 1．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得，再结合已知得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 3．如图，在矩形中，点是边的中点，且，连接，线段的垂直平分线恰好经过点，则矩形的边的长为（     ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】连接，根据题意易得，故，再根据垂直平分线的性质可得，然后在中，由勾股定理解得的长度，结合即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点是边的中点，且， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∴． 4．如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（  ） A．18 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质结合角平分线的定义求得，推出，利用矩形的性质求得，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 5．如图所示，将绕的中点O顺时针旋转得到．在不添加任何辅助线的前提下，添加一个条件______，使四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由旋转的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，再结合矩形的判定定理即可得出结果． 【详解】解：∵将绕的中点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 故添加的条件为． 6．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，垂足为点E．求的长． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由等面积法求即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， 即，解得， 的长为． 8．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ． ， ． ． 又， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 9．将矩形纸片按如图的方式折叠，为折痕，，，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处； (1)连接，求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据折叠的性质证明即可； （2）由直角三角形的性质结合勾股定理易得长，证明为等边三角形，那么就得到的长，即为长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，∵折叠， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴，，， ∵， ∴， ，， 折叠后为， ， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ． 10．【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】 八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边． 兴趣小组进行了如下设计： 1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）； 2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成． 探究任务： (1)基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ； (2)模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由； (3)拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形对边平行的性质，结合折叠前后角相等的性质，利用平行线的内错角相等，求出的度数． （2）由矩形对边平行得内错角相等，结合折叠的性质，推出，进而根据等角对等边判断的形状． （3）根据三角形面积公式，当高固定时，底边长最大则面积最大，因此需找到的最大值，当点与点重合时，最大，再结合勾股定理和矩形边长关系求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ． ， ． ． 是等腰三角形． （3）解：，． ， ， 要的面积尽可能大，则即可能大， 当点与点重合时，最大，此时． 设，则． ， ． 解得． ． ． 故面积的最大值为． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $