暑假作业06 正方形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以正方形定义-性质-判定为逻辑主线，通过6类典型题型系统训练角度计算、线段求解、折叠变换等核心能力，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心点|定义法判定；性质（边/角/对角线/对称性）应用；矩形/菱形特殊化判定|定义→性质推导→判定定理，构建"概念-性质-应用"完整链条| |题型|6类共30题|角度计算用直角与对角线性质；折叠问题结合全等与勾股；面积问题关联勾股定理|从基础计算到综合证明，梯度覆盖中考高频考法，培养空间观念与应用意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 正方形 【知识点1 正方形的定义】 1. 正方形的定义：四个角是 ， 叫做正方形。 【知识点2 正方形的性质】 1.边的性质：对边 ，邻边垂直，四边 ． 2.角的性质：四个角都是 ． 3.对角线的性质：对角线 且 ． 4.整体性质：正方形既是 对称图形，也是 对称图形． 【知识点3 正方形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 ， 是正方形 ∴四边形ABCD是正方形 判定1 有一组 相等的 是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 判定2 有一个角是 的 是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 【题型1 根据正方形的性质计算角度】 1．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据正方形的性质计算线段长】 6．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 第6题 第7题 7．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 9．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 第9题 第10题 10．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 【题型3 正方形的折叠问题】 11．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 第11题 第12题 12．如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 13．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 第13题 第14题 14．如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则________．延长交的延长线于点H，则________． 【题型4添加条件使四边形称为正方形】 16．如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 17．如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 19．如图，在矩形中，添加一个条件：______，可使四边形是正方形． 20．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【题型5 与正方形有关的面积问题】 21．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 第21题 第22题 22．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（   ） A．100 B．63 C．58 D．56 23．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 第23题 第24题 24．三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3、则中间的一个大正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．9 D．13 25．如图，正方形的顶点在正方形上，四边形也是正方形，且点，，在同一直线上，则正方形与正方形的面积比为(    ) A． B． C． D． 【题型6 正方形的性质与判定的综合问题】 26．问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 27．在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）；当点在线段上时，如图②； (1)连接，求证：； (2)求证：； 28．四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 29．如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 30．如图①，的两外角平分线交于点，过点分别作，，分别交与的延长线于点． (1)判断四边形的形状； (2)求的长； (3)如图②，在正方形内部有一点，且满足，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为______．（直接写出答案） 1．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 2．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形的边长为2，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 5．如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是________． 第5题 第6题 6．如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时，______． 7．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 第7题 8．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 9．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 10．问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 1．如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 2．如图，E是正方形的边上的一点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到，连接．若的面积为，比长3，则正方形的边长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 4．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 5．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 6．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 7．如图，点P是正方形的对角线上一个动点，于点E，于点F，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的个数是______________ 8．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 9．已知四边形是正方形． (1)如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点、和正方形顶点三点在一条直线上，连接，求证：； (2)在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； (3)若正方形边长为4，为所在直线上一动点，连接，为中点，连接，以为直角边，为直角，如图3构造等腰，连接，当在运动时，求线段的最小值． 10．在正方形中，点E在直线上，过点E作交直线于点F，以、为边构造矩形． (1)提出问题：当点E在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作交的延长线于点，交于点，则______，易证可得______，进而可知矩形是正方形； (2)类比探究：当点E在线段上时，如图②；试写出线段、与之间的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：过点E作直线，垂足为N，若，则 ______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 正方形 【知识点1 正方形的定义】 1. 正方形的定义：四个角是直角，四边相等叫做正方形。 【知识点2 正方形的性质】 1.边的性质：对边平行，邻边垂直，四边相等． 2.角的性质：四个角都是直角． 3.对角线的性质：对角线相等互相垂直平分． 4.整体性质：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形． 【知识点3 正方形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 四个角是直角，四边相等的四边形是正方形 ∴四边形ABCD是正方形 判定1 有一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形ABCD是矩形,AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 判定2 有一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形ABCD是菱形,∠A=90° ∴四边形ABCD是正方形 【题型1 根据正方形的性质计算角度】 1．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 3．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 4．如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据正方形的性质确定，，再利用菱形的性质，确定，，，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，确定，解答即可． 【详解】解：∵正方形 ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 5．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 【题型2 根据正方形的性质计算线段长】 6．如图，在中，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则的长为（   ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，和都是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故选：C． 7．如图，正方形的边长为3，在边上取一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，作，垂足为．若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出的长． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形的边长为3，， ∴，，； ∵将沿直线翻折得， ∴，，， ∴； 在和中， ∴， ∴； 设，则，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得； 在中，． ∵，， ∴， 解得； 故选：B． 8．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 9．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 10．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 【答案】 【分析】延长至G，使得，连接，先根据正方形的性质证明，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，即可得出，接下来设，则，，再结合可得方程，求出解，进而求出，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，延长至G，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∴， ∴． 【题型3 正方形的折叠问题】 11．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 12．如图，正方形，，E为的中点，将沿BE折叠到，延长EF交于点G．连接，则下列结论错误的是（　　） A．的周长为4 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 证明得出可判断A正确；设，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理求出可判断B错误；根据三角形面积公式求出和的面积可判断C，D正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴ ， ∴， ∴， ∴的周长，故选项A正确， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴，， ∴的周长，故选项B错误， 的面积，故选项C正确 的面积，故选项D正确． 故选：B． 13．正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 14．如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，过点F作于G；可证明四边形是矩形，则；由得；设，则，，从而；再证明，则；在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点F作于G； 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴； 设，则，， ∴； 由折叠知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即， 整理得：，即， ∴； 在中，，由勾股定理得． 故选：A． 15．如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则________．延长交的延长线于点H，则________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质．先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，，，进而得到，过点作于点F，过点C作于点G，则，于是，由三角形内角和定理得到，，由可算出，在中，，则. 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， 在中，， ∵将沿着翻折，得到， ∴，，，， ∴， 如图，过点作于点F，过点C作于点G， 则， ∴ ， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ , ∴， 在中，， ∴， 故答案为：，． 【题型4添加条件使四边形称为正方形】 16．如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法中错误的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 但当，四边形不一定是正方形，故添加不使平行四边形成为正方形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形，故添加能使平行四边形成为正方形，不符合题意； 故选：． 17．如图，菱形的对角线，交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，解题的关键是掌握对角线相等的菱形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．据此逐个判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． A.∵四边形是菱形，∴，故A选项不能判定菱形成为正方形； B.∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴B选项能判定菱形成为正方形； C.由得，故C选项不能判定菱形成为正方形； D.由四边形是菱形，得，故D选项不能判定菱形成为正方形； 故选：B． 18．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 19．如图，在矩形中，添加一个条件：______，可使四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，由正方形的判定方法直接求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 20．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 【题型5 与正方形有关的面积问题】 21．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理得到正方形边长，再根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，，， ∴， 四边形是正方形， ． 故选：A． 22．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（   ） A．100 B．63 C．58 D．56 【答案】C 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，证明，由题意得，证明，再证明，得出，根据，通过计算可得． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， 故答案为：58． 23．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 24．三个正方形如图所示放置，已知两边的两个正方形的面积为2和3、则中间的一个大正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．9 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．如图（见解析），先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由正方形的性质得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴中间的一个大正方形的面积为5， 故选：A． 25．如图，正方形的顶点在正方形上，四边形也是正方形，且点，，在同一直线上，则正方形与正方形的面积比为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．延长交于点，连接，依题意得是线段的垂直平分线，则，证明和全等得，进而得，设，则，则，进而由勾股定理得，则，由此求出正方形与正方形的面积比即可得出答案． 【详解】解：延长交于点，连接，如图所示： 四边形和四边形都是正方形， ，， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，其中， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 正方形与正方形的面积比为． 故选：C． 【题型6 正方形的性质与判定的综合问题】 26．问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B沿顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图②，若，求证： (3)若，，求DE的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转可知：，再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明四边形是正方形； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合即可解答； （3）过点作于，由（1）可知四边形是正方形，得，结合条件，，得到和的长，由（2）可知：，最后可利用勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： 是由绕点B沿顺时针方向旋转得到的，， ，， 又， ， 四边形是矩形． 由旋转的性质可知，， 四边形是正方形． （2）证明：如图，过点D作于点， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 由旋转的性质可知，， ∵四边形是正方形， ， ， ． （3）解：四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍）， ， ， 如图，过点D作于点， 根据（2）可知， ，， ， 在中，由勾股定理，得． 27．在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）；当点在线段上时，如图②； (1)连接，求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可得证． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴， ∴； （2）解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 28．四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 29．如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、正方形的判定方法即可求证； （）在延长线上截取，连接，，由四边形是正方形，则，，证明，，设，则，，则，即，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 30．如图①，的两外角平分线交于点，过点分别作，，分别交与的延长线于点． (1)判断四边形的形状； (2)求的长； (3)如图②，在正方形内部有一点，且满足，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为______．（直接写出答案） 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可判定四边形是正方形； （2）由（1）知，进而得到，，根据已知，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示，结合旋转性质及勾股定理求解相关线段长，在中，由三角形三边关系可知，且三点可以共线，即，当三点共线时，可得的最小值为，即可确定答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 理由如下： ，，， ， 四边形是矩形， 过点作，如图所示： 分别是和的角平分线， ，， 即， 四边形是正方形； （2）解：如图所示： 由（1）知， ，，， ，， ， ， 正方形的边长为，， 设，则， ， 在中，，，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ； （3）解：连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 在正方形内部有一点，且满足， 由旋转性质可得，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， ， 是等腰直角三角形，则由勾股定理可得， 在中，由三角形三边关系可知，且三点可以共线，即，当三点共线时，可得的最小值为， 故答案为：． 1．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理． 利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到，证明，即可解决问题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：A． 3．如图，已知正方形的边长为2，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 如图：连接交于点P，过点F作于点H，设，则，由翻折性质得，先求出四边形的面积得，由此得，证明四边形是矩形得，进而得，再证明和全等得，然后在中，由勾股定理构造关于a的方程，再解此方程求出a即可得出线段的长． 【详解】解：如图：连接交于点P，过点F作于点H， ∵四边形是正方形，且边长为2， ∴， 设，则， 由翻折性质得：， ∴正方形的面积为4，四边形是直角梯形， ∵四边形与四边形的面积比为， ∴设四边形的面积为：，四边形的面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴，解得：， ∴四边形的面积为：， 又∵四边形的面积为：， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 4．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 5．如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，的面积是________． 【答案】// 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造合适的全等三角形是解题的关键． 先求，过点作交的延长线于点，由正方形的性质可求解，利用证明可得，再根据三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 6．如图，在边长为3的正方形中，点、分别是、边上一点且，连接和相交于点，点是边上的一点，当时，______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，证明得出是解题关键. 先证明，从而可得，再利用面积法求出斜边的高，从而可得，在中，利用勾股定理即可求出. 【详解】解：∵边长为3的正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴. 故答案为. 7．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，．过点E作于点H，则四边形是矩形，可得，证明≌，得到．则．设，则，根据勾股定理，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． 如图，过点E作于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠得，， ∴， 又∵， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 8．已知中，平分，交于E，交于F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，正方形的判定等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 9．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转可知，，，然后由正方形的判定方法即可求解； （）由（）知，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，垂足为，则，，然后证明，所以，又，，则，，从而可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由： 由旋转可知：，，， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：由（）知，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，过点作，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接，，交于G，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，根据正方形的性质可证得，从而得出，，再证为等腰直角三角形，得出，． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 又∵， ∴， ，， ， ， 即， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 2．如图，E是正方形的边上的一点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到，连接．若的面积为，比长3，则正方形的边长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先结合正方形的性质得，故，根据旋转的性质得，，则，又因为的面积为，所以，再解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 设， ∵比长3， ∴， ∴， ∵以点A为旋转中心，把顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， ∴的面积， ∵的面积为， ∴， 整理得， 解得（舍去）， ∴， 故选：A 3．如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 5．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【答案】36 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 6．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线分别交，于点，，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】如图，过点作的平行线分别交，于点，， 则四边形是矩形， ，． 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ． 四边形是正方形， ， ． 四边形是正方形， ，，， ， ， ． ， ，， ， ， 在中，． ， 故答案为：， 7．如图，点P是正方形的对角线上一个动点，于点E，于点F，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的个数是______________ 【答案】①②④⑤ 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤； 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M， ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①④正确； 在与中，， ∴， ∴，（故②正确）； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 故正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤ 8．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 9．已知四边形是正方形． (1)如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点、和正方形顶点三点在一条直线上，连接，求证：； (2)在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； (3)若正方形边长为4，为所在直线上一动点，连接，为中点，连接，以为直角边，为直角，如图3构造等腰，连接，当在运动时，求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题可得，由此得，根据证明△△； （2）作辅助线构建正方形和等腰直角三角形，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． （3）作辅助线构建正方形和全等三角形，可得△是等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， ， 即， ，， △△； （2）证明：如图2，设与的交点为， 过作于，过作于，于， 在等腰△，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图3， 过作于，，交的延长线于，延长、交于，连接延长交，于点， ， ， ，， △△， ， ， ， △为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形， ， △是等腰直角三角形， 当时最小， 即． 10．在正方形中，点E在直线上，过点E作交直线于点F，以、为边构造矩形． (1)提出问题：当点E在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形； 小明的解题思路如下，请补充完整： 作交的延长线于点，交于点，则______，易证可得______，进而可知矩形是正方形； (2)类比探究：当点E在线段上时，如图②；试写出线段、与之间的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：过点E作直线，垂足为N，若，则 ______． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)6或10 【分析】（1）作延长线于P，于Q．利用证，得出，即可证明矩形是正方形； （2）作于P，于Q，则，根据正方形性质得到，推出四边形是矩形，根据，得到，推出，推出矩形是正方形，得到，根据四边形是矩形，得到，推出，结合，推出，得到，推出矩形是正方形；根据正方形性质得到，，，推出，推出．得到，根据，即可得到； （3）先证得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，可得，，，然后分当点E在线段CA延长线上时和当点E在线段AC上时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作延长线于P，于Q． 则，， 又∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：；理由如下： 如图，作于P，于Q． 则， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵正方形和正方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴、为等腰直角三角形， ∴，，， 如图，当点在线段延长线上时，结合（1）中作图，，， ∴，， ∴， 此时； 如图，当点在线段上时，结合（2）中作图，，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $