精品解析：山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二下学期6月份教学诊断检测数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 若，，，则事件A与B满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. A与B互斥 2. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A. 1440种 B. 1560种 C. 1920种 D. 5760种 6. 某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据如下表所示 第天 1 2 3 4 5 6 7 高度 1 4 6 9 11 12 13 由表格数据可得到关于的经验回归方程为，则第6天的残差为（ ） A. B. 2.12 C. D. 0.08 7. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是数列中的最大值 C. D. 数列无最大值 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A. 若，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小 二、多选题 9. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 10. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若，则与试验次数无关 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 两点分布中，时，方差最大 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 三、填空题 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 13. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______. 14. 某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 四、解答题 15. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 18. 已知等比数列的前n项和为，且，其中. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 19. 某公司组织两部门的50名员工参加技术培训. （1）此次技术培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次技术培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格. （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率： （ⅱ）经预测，开展此次技术培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润－其他成本和费用）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期6月份教学诊断检测数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 若，，，则事件A与B满足（ ） A. 互为对立事件 B. C. D. A与B互斥 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件、互斥事件判断AD，利用概率加法公式判断B，根据条件概率公式判断C. 【详解】对于A，，因为，所以A与B不是对立事件，A错误. 对于B，，B错误. 对于C，，C正确. 对于D，互斥事件要求，而，故D错误. 2. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 3. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 4. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 5. 有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A. 1440种 B. 1560种 C. 1920种 D. 5760种 【答案】B 【解析】 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 6. 某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得一些数据如下表所示 第天 1 2 3 4 5 6 7 高度 1 4 6 9 11 12 13 由表格数据可得到关于的经验回归方程为，则第6天的残差为（ ） A. B. 2.12 C. D. 0.08 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本中心得回归直线方程，由残差的计算即可求解. 【详解】 根据线性经验回归方程过样本中心，故有，则有, 此时，当时，，残差， 故选:A. 7. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是数列中的最大值 C. D. 数列无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的性质分析公比的范围，由此分析选项可得答案． 【详解】解：等比数列的公比为，则，由，则有，必有， 又由，即，又，则有或， 又当时，可得，由，则与矛盾 所以，则有， 由此分析选项： 对于A，，故，故A错误； 对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误； 对于C，等比数列中，则，则，故C正确； 对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误. 故选：C. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（ ） A. 若，则取最大值时 B. 当时，取得最小值 C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系. 二、多选题 9. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 10. 关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若，则与试验次数无关 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 两点分布中，时，方差最大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据均值与方差性质、二项分布和两点分布的均值与方差、正态分布的基本意义依次判断各个选项即可． 【详解】对于A，由，得，，A错误； 对于B，由，得，， 则，与无关，B正确； 对于C，由，得服从超几何分布，，C错误； 对于D，若服从于两点分布，则方差， 则当时，取得最大值，D正确. 故选：BD 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解 【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为， ，所以为等比数列，C错误； 为首项是，公比是的等比数列， ，故A正确； 前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率， ∴传到乙手中共有11种传法，B正确； ，显然， ，D正确. 三、填空题 12. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 13. 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______. 【答案】45 【解析】 【分析】先选出一个球的编号与盒子的编号相同，再用列举法求出另外4个球的编号与盒子的编号不同的投放种数，再用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况， 例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种， 故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种， 故答案为：45. 14. 某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 四、解答题 15. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性； （2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可. 【小问1详解】 由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． 【小问2详解】 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， （3）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论； （2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和； （3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得， 故，． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为； 且服从超几何分布： 故所求分布列为 0 1 2 3 可得 17. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 【答案】（1）0.997，与的线性相关程度强； （2），1.78 （3）该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【解析】 【分析】（1）由散点图可知与之间线性相关，用不同公式计算可知相关系数，即线性相关程度强； （2）用不同的公式计算出回归直线方程为，将代入可得出估计值为1.78. （3）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 本小题主要考查变量间的相关关系､样本相关系数､一元线性回归方程､正态分布的等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想､化归与转化思想､或然与必然思想等；体现综合性､应用性，导向对数学建模､数学运算核心素养的关注. 【小问1详解】 解法一： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 解法二： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， ，，， ， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 【小问2详解】 解法一： 设，则， 所以， 故时，. 解法二： 设，则， 所以， 故时，. 【小问3详解】 依题意，得， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 18. 已知等比数列的前n项和为，且，其中. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由： 由题设可得， 若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列， 则，因为等差数列， 故即，故， 故即，这样不同矛盾， 故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式； （2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列. 【小问1详解】 因为，故，故， 而为等比数列，故其公比为， 又，故，故， 故. 【小问2详解】 略 19. 某公司组织两部门的50名员工参加技术培训. （1）此次技术培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自A部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次技术培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格. （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率： （ⅱ）经预测，开展此次技术培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润－其他成本和费用）. 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100万元． 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记 “每位领导经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），利用即可求解； （ⅱ）记两部门开展培训后合格的人数为，则，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．， ，．的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ．即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展培训后合格的人数为，则， 则（万元）， 即估计两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为1100万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $