2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习必考点5：因式分解（分层练习）

**基本信息** 以分层练习为载体，系统整合因式分解全方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，强化数学思维与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|选择1-4、填空9-10|提公因式法、平方差/完全平方公式|从定义辨析到公式直接应用，夯实运算能力| |进阶技巧|选择5-7、填空11-13|分组分解、换元法、几何直观辅助|通过错误辨析（题6）、参数讨论（题7）深化推理意识| |综合应用|解答20-24|配方法、分裂重组法、模型构建|结合毕加索作品（题8）、程序运算（题16）实现实际问题转化，发展应用意识|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点5：因式分解 (分层练习) (满分100分，时间90分钟) 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.多项式2m2+12m+18因式分解，正确的结果是（) A.2m2(m+3 B.2(m+3)2 C.2m(m+3) D.2m2+6m+9 2.已知x+3y)()=-x2+9y2,则横线上应填的代数式是() A.x+3y B.x-3y C.-x-3y D.-x+3y 3.已知下列多项式：①r2+y+y；②x2+2y+y；③2+6y-9y2；④x-x+4,其中，能用完 全平方公式进行因式分解的有() A.②③④ B.①③④ C.②④ D.①②③ 4.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是() A.-x2+16y2 B.-x2-2x-1 C. D.-x2-y2 5.把多项式x2-6x+9-y2先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是() A.（x2-6x)+(9-y2） B.（x2-y2）-(6x-9) C.(x2-6x+9-y2 D.x2-(6x+y2-9 6.把多项式(x-2-4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是() 解：原式=(x-2+(4x-8)① =（x-2)+4x-2)② =(x-2)(x-2+4③ 第1页共17页 =(x-2)(x+2).④ A.① B.② C.③ D.④ 7.若a2+(2t-1ab+4b2是完全平方式，则实数t的值为() B.或 C.5 D.4 8.著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉 的三角形组合而成，如图，在△ABD中，AB=AD,AE⊥BD,若BC=10,CD=6,则AC2-AD的 值为() B A.16 B.24 C.32 D.60 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.因式分解：x2-9= 10.因式分解：m2-4mn+4n2= 11.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则整数 12.如图，根据所示的拼图过程，因式分解：x2+5x+6=一 x+3 x+2 13.若x-y=2,w=2, 则2x2y-2xy2的值为 14.若长方形的长为a,宽为b,它的周长为24，面积为32，则a2b+ab2=__ 15.已知x2+2x-1=0,则代数式x+x2+7x-1的值为一 16.某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567， 将该数除以7，然后除以质数a,再除以质数b,结果又得到了567，则a+b= 第2页共17页 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.因式分解： (1)x2y-2xy2+y3; (2)x2+y2）-4x2y2. 18.利用公式简便运算： (1)20252-2024×2026;(2)20.32+20.3×19.4+9.72. 19.已知a+b=5,ab=3. (1)求a2b+ab2的值； (2)求a2+b的值. 第3页共17页 20.阅读材料：根据代数式x2-6x-7的特征进行如下变形后可将其因式分解， 例如：x2-6x-7 =x2-6x+9-9-7 =(x-3)2-42 =（x-3+4)(x-3-4 =(x+1(x-7) 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式x2-8x+15因式分解： 【拓展】(1)把代数式x2+2y-3y2因式分解； (2)当x2+2xy-3y2=0时，求出的值. 21.在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简 化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解.下面是某同学对多项式 (a2-2a-1(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程. 解：设a2-2a=m. 原式=(m-1(m+3+4…(第一步) =m2+2m+1…(第二步) =(m+1)…(第三步) =(a2-2a+12…(第四步) (1)第二步到第三步运用了因式分解的 ；(A.提公因式法B.公式法) (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果 (3)请模仿以上方法，对多项式(x2+4xx2+4x+8+16进行因式分解. 第4页共17页 22.【观察思考】 观察下列各式， (x-1(x+1)=x2-1; (x-1x2+x+1=x3-1; (x-l0(x3+x2+x+1=x-1; … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： (1)①(x-10x+x3+x2+x+1= ②(x-I)x"-+…+x+1= (其中为正整数) 【规律应用】 (2)分解因式：x-1= (3)计算：22026-22025+22024-22023+22022--2+1. 23.阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解.具体步骤如下： 例如：分解因式2x2+3x+4x+6=2x2+4x)+(3x+6) =2xx+2)+3(x+2) =2x+3)x+2 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式3x2+5x+6x+10. 【方法深化】 第5页共17页 分解因式4x3-6x2+2x-3 【拓展创新】 已知多项式ax2+bx+c,通过“多项式分裂重组法”可分解为6x+5(7x+4),求a、b、c的值. 24.我们知道，a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解.有 些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题. 例如：①分解因式：x2-2x-3; 解：原式=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4=(x-1)2-22=(x-1+2)x-1-2) =(x+1)(x-3); ②求代数式x2-2x-3的最小值. 解：原式=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4, .(x-1)220,∴.(x-1)2-4≥-4， .当x=1时，代数式x2-2x-3有最小值-4. 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：x2-8x+7: (2)当x为何值时，x2-8x+7有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x,y取任何实数，代数式x2+y2+4x-6y+15的值恒为正数. 第6页共17页 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分) 1.多项式2m2+12m+18因式分解，正确的结果是（) A.2m2(m+3 B.2(m+3)2 C.2m(m+3 D.2(m2+6m+9 【答案】B 2.已知(x+3y)()=-x2+9y2,则横线上应填的代数式是() A.x+3y B.x-3y C.-x-3y D.-x+3y 【答案】D 3.已知下列多项式：①x2+y+y；②x2+2y+y；③2+6w-9y；④-x+好，其中，能用完 全平方公式进行因式分解的有() A.②③④ B.①③④ C.②④ D.①②③ 【答案】C 4.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是() A.-x2+16y2 B.-x2-2x-1 C. D.-x2-y2 【答案】D 5.把多项式x2-6x+9-y2先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是() A.（x2-6x+9-y2) B.（x2-y2）-(6x-9) C.(x2-6x+9-y D.x2-(6x+y2-9 【答案】C 6.把多项式(x-2)2-4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是() 解：原式=(x-22+(4x-8① 第7页共17页 =(x-22+4(x-2)② =x-2)(x-2+4)③ =(x-2)(x+2.④ A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 7.若a2+(2t-1)ab+4b2是完全平方式，则实数t的值为() B线 C.5 D.4 【答案】B 8.著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉 的三角形组合而成，如图，在△ABD中，AB=AD,AE⊥BD,若BC=10,CD=6,则AC2-AD2的 值为() A.16 B.24 C.32 D.60 【答案】D 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.因式分解：x2-9= 【答案】(x+3x-3) 10.因式分解：m2-4mn+4n2= 【答案】(m-2n2 11.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则整数 【答案】±4 第8页共17页 12.如图，根据所示的拼图过程，因式分解：x2+5x+6=· +3 x+2 【答案】（x+2(x+3 13.若x-y=2,9, 则2x2y-2xy2的值为 【答案】6 14.若长方形的长为a,宽为b,它的周长为24，面积为32，则a2b+ab2= 【答案】384 15.己已知x2+2x-1=0,则代数式x4+x3+7x-1的值为 【答案】2 16.某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567， 将该数除以7，然后除以质数a,再除以质数b,结果又得到了567，则a+b= 【答案】24 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.因式分解： (1)x2y-2xy2+y3; (2)(x2+y2}2-4x2y2. 【答案】(1)解：原式=(x-2y+y) =x-y川： (2)解：原式=x+y)-(2y2 =(x2+y2+2xy)x2+y2-2y) =(x+(x-y2 第9页共17页 18.利用公式简便运算： (1)20252-2024×2026;(2)20.32+20.3×19.4+9.72. 【答案】(1)原式=20252-(2025-1)(2025+1) =20252-(20252- =20252-20252+1 =1； (2)原式=20.32+2×20.3×9.7+9.72 =(20.3+9.7)2 =302 =900. 19.已知a+b=5,ab=3. (1)求a2b+ab2的值； (2)求a2+b的值. 【答案】(1)解：ab+ab2=ab(a+b) 当a+b=5,ab=3时， 原式=3×5=15； (2)解：a2+b2=(a+b)2-2ab 第10页共17页 当a+b=5,ab=3时， 原式=25-6=19. 20.阅读材料：根据代数式x2-6x-7的特征进行如下变形后可将其因式分解. 例如：x2-6x-7 =x2-6x+9-9-7 =(x-32-42 =(x-3+4)x-3-4 =(x+1)(x-7) 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式x2-8x+15因式分解； 【拓展】(1)把代数式x2+2y-3y2因式分解： (2)当x2+2y-3y2=0时，求出C的值. 【答案】【探究】解：x2-8x+15 =x2-8x+16-16+15 =(x-4)2-12 =x-4-1x-4+1 =(x-5(x-3): 【拓展】(1解：x2+2y-3y =x2+2xy+y2-y2-3y3 第11页共17页 =(x+y)2-4y2 =(x+y-2y)(x+y+2y) =（x-y(x+3y); (2)x2+2xy-3y2=0, (x-y)x+3y=0, .x-y=0①或x+3y=0②， 由①可得：x=y, 由②可得：x=-3y, 或 21.在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简 化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解.下面是某同学对多项式 (a2-2a-(a2-2a+3)+4进行因式分解的过程. 解：设a2-2a=m. 原式=(m-1)(m+3)+4…（第一步) =m2+2m+1…（第二步) =(m+1)2…(第三步) =(a2-2a+1…(第四步) (1)第二步到第三步运用了因式分解的 ;(A.提公因式法B.公式法) (②)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果 (3)请模仿以上方法，对多项式(x2+4xx2+4x+8)+16进行因式分解. 【答案】(1)解：根据题意，从m2+2m+1变为(m+1)2, 第12页共17页 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B. (2)解：不彻底， (a2-2a+1'=(a-1, 故答案为：不彻底；(a-1)4. (3)解：设x2+4x=m 原式=mm+8+16 =m2+8m+16 =(m+4)2 =(x2+4x+4 =(x+2). 22.【观察思考】 观察下列各式. (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1x2+x+1=x3-1; (x-1x3+x2+x+1=x4-1; 第13页共17页 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： (1)①(x-1)x4+x3+x2+x+1= ②(x-1)x-+…+x+1= (其中n为正整数) 【规律应用】 (2)分解因式：x-1=; (3)计算：22026-22025+22024-22023+2202--2+1. 【答案】 (1)①解：由规律得(x-1)(x+x3+x2+x+1)=x3-1, 故答案为：x-1. ②解：由规律得(x-1)(x-1+..+x+1)=x”-1, 故答案为：x”-1. (2)解：逆用规律得x-1=(x-1)(x6+x3+x4+x3+x2+x+1), 故答案为：(x-1)(x6+x3+x4+x3+x2+x+1). (3)解：令x=-2, 原式=(-2)2026+(-2)2025+(-2)2024+.…+(-2)+1 =-220-】 （-2)-1 -207-1_27+1 -3 3 23.阅读材料：我们引入“多项式分裂重组法”进行因式分解.具体步骤如下： 例如：分解因式2x2+3x+4x+6=2x2+4x)+(3x+6) 第14页共17页 =2xx+2)+3(x+2) =(2x+3)x+2 【基础应用】 利用“多项式分裂重组法”分解因式3x2+5x+6x+10. 【方法深化】 分解因式4x3-6x2+2x-3 【拓展创新】 已知多项式ax2+bx+c,通过“多项式分裂重组法”可分解为(6x+5)(7x+4),求a、b、c的值. 【答案】[基础应用] 3x2+5x+6x+10 =(3x2+6x)+5x+10 =3xx+2)+5(x+2) =(x+2(3x+5): [方法深化] 4x3-6x2+2x-3 =(4x3-6x2)+2x-3 =2x2(2x-3)+(2x-3 =(2x-3(2x2+1); [拓展创新] (6x+5(7x+4 =42x2+24x+35x+20 =42x2+59x+20 =ax2+bx+c' 第15页共17页 a=42,b=59,c=20. 24.我们知道，a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解.有 些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题. 例如：①分解因式：x2-2x-3: 解：原式=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4=(x-1)2-22=(x-1+2)(x-1-2) =(x+1)(x-3); ②求代数式x2-2x-3的最小值. 解：原式=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4, .(x-1)2≥20，.(x-1)2-4≥-4， ∴.当x=1时，代数式x2-2x-3有最小值-4. 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：x2-8x+7; (2)当x为何值时，x2-8x+7有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x,y取任何实数，代数式x2+y2+4x-6y+15的值恒为正数. 【答案】(1)解：x2-8x+7 =x2-2.x.4+42-42+7 =(x-4)2-9 =(x-4+3)(x-4-3) =(x-10x-7): (2)解：x2-8x+7 =x2-2x.4+42-42+7 第16页共17页 =(x-4)2-9 .(x-4)2≥0 ∴.(x-4)2-9≥-9 当x=4时，代数式x2-8x+7取最小值-9； (3)解：x2+y2+4x-6y+15 =(x+2)2+(y-3)2+2 ,(x+2)2≥0，(y-3)2≥0 .(x+2)2+(y-3)2+2≥2 .无论x,y取任何实数，代数式x2+y2+4x-6y+15的值恒为正数. 第17页共17页