期末复习必考点5：因式分解2025-2026学年八年级下册苏科版数学

**基本信息** 以“概念辨析-方法应用-综合拓展”为主线，系统整合因式分解的提取公因式、公式法、十字相乘等核心方法，通过典型例题与变式训练培养抽象能力和运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6例|公因式提取、公式法、简便计算|从基础概念（例2）到方法应用（例5），构建因式分解基本框架| |举一反三|6变式|整体思想、分组分解|结合几何（变式4）与代数推理（变式6），深化方法迁移| |巩固练习|15题|十字相乘法、面积法|覆盖中考高频题型，强化应用意识与推理能力|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点5：因式分解 【典型例题】 【例1】将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【例3】分解因式：=___________ 【例4】已知，，则代数式________． 【例5】因式分解： (1)； (2)． 【例6】用简便方法计算： (1)； (2)． 【举一反三】 【变式1】对多项式进行因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【变式3】若多项式的值为0，则的值为________． 【变式4】已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【变式5】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式6】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【巩固练习】 1.将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3.甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 4.已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 5.将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ）    A． B． C． D． 6.多项式中，各项的公因式是___________． 7.分解因式：___________． 8.如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 9.根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    10.我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 11.把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 12.阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 13.分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 14.若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”，每一种表示方法叫做一个平方差分解． 例：， 可平方差表示，是15的一个平方差分解． (1)请写出5的平方差分解； (2)已知是正整数，k是常数，且，要使N可用平方差分解表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 15.阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 答案解析 【典型例题】 【例1】将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【例2】关于下列自左向右的两个变形，其中说法正确的是（    ） 甲：；乙：． A．甲、乙均是因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【例3】分解因式：=___________ 【答案】 【例4】已知，，则代数式________． 【答案】 【例5】因式分解： (1)； (2)． 【答案】（1）解： ． （2）解： ． 【例6】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三】 【变式1】对多项式进行因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【变式2】如果，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【变式3】若多项式的值为0，则的值为________． 【答案】 【变式4】已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【变式5】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】（1）解： （2） 【变式6】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 【巩固练习】 1.将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了b的值，分解的结果是，乙看错了c的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 5.将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 6.多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy 7.分解因式：___________． 【答案】 8.如图，边长为的长方形，它的周长为10，面积为6，则的值为 ． 【答案】30 9.根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．    【答案】 10.我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 【答案】192 11.把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12.阅读下列材料，并完成后面的任务． 在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如下图所示． 任务： (1)因式分解：____________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数的所有可能的值． 【答案】（1）解：∵二次三项式中，常数项，一次项系数 ∴ ． （2）解：∵二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， ，，，， ∴整数的所有可能的值为或或或， 即整数的所有可能的值为或． 13.分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 14.若一个正整数x能表示成两个正整数的平方差的形式，则称这个数可“平方差表示”，每一种表示方法叫做一个平方差分解． 例：， 可平方差表示，是15的一个平方差分解． (1)请写出5的平方差分解； (2)已知是正整数，k是常数，且，要使N可用平方差分解表示，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）解：∵， ∴是5的平方差分解； （2）解：，理由如下： ∵ ， ∴要使N可用平方差分解表示， 只需， 所以． 15.阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $