期末复习必考点6：分式2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以分式核心概念为统领，通过“典例-变式-巩固”三级训练，系统整合性质应用、方程求解及代数变形方法，突出数学思维的推理与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6道|分式基本性质应用、化简求值步骤|从分式概念到运算的基础逻辑| |举一反三|6道（含1方法策略）|配方法求分式最值、分式方程增根处理|性质拓展到方程参数问题的推理链| |巩固练习|15道|倒数法代数变形、实际问题模型构建|从基础运算到综合应用的能力进阶|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 期末复习必考点6：分式 【典型例题】 【例1】若把分式、同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 【例2】若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【例3】已知：，则______． 【例4】关于分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 【例5】计算： （1）； （2）． 【例6】化简求值：，其中 【举一反三】 【变式1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【变式2】若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若关于的分式方程有增根，则________． 【变式4】小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为________． 【变式5】已知，求，的值． 【变式6】【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【巩固练习】 1.下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 2.若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 3.已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 4.近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 5.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 6.不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是________ 7.已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为___________． 8.关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 9.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 10.观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 11.计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 12.解下列分式方程： (1) (2) 13.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． （1）求人工每人每小时分拣多少件； （2）若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 14.在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组； （3）已知、、为实数，，，，求分式值． 15.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】若把分式、同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 缩小6倍 【答案】A 【例2】若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【例3】已知：，则______． 【答案】 【例4】关于分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 【答案】且 【例5】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解：； 【小问2详解】 解： ． 【例6】化简求值：，其中 【答案】 ， 把代入得：原式． 【举一反三】 【变式1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【变式2】若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【变式3】若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【变式4】小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是、，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前出发，求小明和小刚两人的速度．设小明的速度是，根据题意可列方程为________． 【答案】 【变式5】已知，求，的值． 【答案】， ， ∵，即， ∴， 解得． 【变式6】【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【巩固练习】 1.下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 缩小6倍 【答案】C 3.已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 4.近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距的关系式满足．小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（ ） A. 下降了250度 B. 下降了150度 C. 上涨了250度 D. 上涨了150度 【答案】B 5.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 6.不改变分式的值，把分式 的系数都化为整数的结果是________ 【答案】 7.已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为___________． 【答案】 8.关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 9.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为_______． 【答案】且 10.观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 11.计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 12.解下列分式方程： (1) (2) 【答案】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 13.随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． （1）求人工每人每小时分拣多少件； （2）若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． 【小问2详解】 解：设需要安排y台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵y为正整数， ∴y的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 14.在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组； （3）已知、、为实数，，，，求分式值． 【答案】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 15.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：； 解决下列问题： (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】（1）解：∵的分子次数为0，分母次数为1， ∴分式是真分式； 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数，分式的值为整数， ∴，，1，3， 解得：，，0，2， 则所有符合条件的值为0，，2，． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $