随机变量的常见分布——二项分布、超几何分布、正态分布-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以离散到连续分布为逻辑主线，系统整合二项分布、超几何分布、正态分布的概念-特征-公式体系，通过分层例题实现从概念辨析到实际应用的能力进阶，培养数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|8题（含3多选、2解答）|n重伯努利试验特征识别；分布列、期望方差公式应用|从伯努利试验定义到二项分布构建，通过射击、分拣实例强化独立重复试验模型| |超几何分布|8题（含1多选、3解答）|不放回抽样场景分析；次品率与期望关系|以产品抽样为背景，建立与二项分布的区别联系，突出有限总体不放回特征| |正态分布|8题（含1多选、2解答）|正态曲线对称性应用；3σ原则概率计算|从密度函数到曲线特征，结合考试成绩、闯关得分实例培养连续型变量分析能力|

专题 随机变量的常用分布 二项分布、超几何分布、正态分布 二项分布 1. n重伯努利试验的概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2. n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3. 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 超几何分布 1. 超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}（建议结合实际问题分析的取值情况）．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2. 超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 正态分布 1. 正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2. 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 【二项分布—即学即练】 1．若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3. （多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 4．（多选）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 5．（多选）某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为0.9，现共有200个包裹需要依次分拣，每个包裹分拣正确与否相互独立，设随机变量为分拣正确的包裹数，则（    ） A． B． C． D． 6. 若离散型随机变量，则______，______. 7．某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 8. 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【超几何分布—即学即练】 1. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 2. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3. 某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 4. 袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 5.（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 6. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 7. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为 ． 8. 一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 8. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列和期望． 【正态分布—即学即练】 1．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 2. 已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 3. 已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 5.已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 6. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 7. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 8. 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 随机变量的常用分布 二项分布、超几何分布、正态分布 二项分布 1. n重伯努利试验的概念：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2. n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3. 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 超几何分布 1. 超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}（建议结合实际问题分析的取值情况）．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2. 超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． 正态分布 1. 正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2. 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 【二项分布—即学即练】 1．若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 2. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 3. （多选）下列试验不是重伯努利试验的是（    ）． A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次 C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球 D．小明做道难度不同的数学单选题 【答案】ACD 【分析】根据重伯努利试验的概念及性质直接判断即可. 【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验． B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验． C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验． D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验． 故选：ACD． 4．（多选）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量X服从两点分布（或0-1分布），且，则 B．若随机变量X满足，，1，2，则 C．若随机变量，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为Z，若，则此人最有可能7次击中目标 【答案】BCD 【分析】利用两点分布，结合期望及方差的意义求解判断A；利用超几何分布求出期望判断B；利用二项分布求出方差判断C；利用不等式法求解判断D. 【详解】对于A，由随机变量服从两点分布，，得试验成功的概率， 因此，A错误； 对于B，由随机变量满足，， 得服从超几何分布，因此，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，，由， 得，解得， 则，即最大，此人最有可能7次击中目标，D正确． 故选：BCD 5．（多选）某智能分拣站的分拣机器人每次分拣包裹的正确率为0.9，现共有200个包裹需要依次分拣，每个包裹分拣正确与否相互独立，设随机变量为分拣正确的包裹数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意易得即可判断A；利用二项分布的期望及方差即可判断BC；根据即可确定D． 【详解】根据题意易得，A正确； ，B正确，C错误； ，D正确. 6. 若离散型随机变量，则______，______. 【答案】 2 4 【详解】二项分布，期望，方差. 这里，. ，. 由方差性质， . 7．某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意，的可能取值为，根据超几何分布的知识求得的分布列和数学期望； （2）利用全概率公式来求得答案. 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）记“第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为”为事件，则两两互斥，， 记“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”为事件， 由（1）知，， 由全概率公式，， 故“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率为. 8. 某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 【超几何分布—即学即练】 1. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选到深度贫困村数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以． 故选：B 2. 在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 3. 某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．恰有2个先进班级 【答案】B 【分析】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布，则，分别求得概率，再验证各选项即可. 【详解】用X表示选取的3个班级中先进班级的个数，则X服从超几何分布， 故， 所以， ，， 对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为．故B正确； 对于C，因为.故C不正确； 对于D，因为，故D不正确. 故选：B． 4. 袋中有10个大小相同的小球，其中6个白球和4个黑球，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．现在从袋中摸出2个球，表示摸到白球的个数，设事件：第一次摸到白球，事件：第二次摸到白球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由全概率公式计算即可判断A选项；由条件概率公式计算求解即可判断B选项；由超几何分布的定义可判断C选项；根据超几何分布的期望公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，已知第一次摸到白球，此时袋中还剩9个球，其中5个白球，所以，故B正确； 对于C，表示摸到白球的个数，从10个球中摸2个球，其中6个白球，4个黑球， 所以服从超几何分布，即，故C不正确； 对于D，，所以，故D正确； 故选：ABD 5.（多选）袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 6. 袋中有大小、形状完全相同的 8 个白球、4 个黑球，现从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是 X，且，则 Y 的数学期望______． 【答案】5 【分析】先分析出的可能取值，再利用超几何分布求每个取值的概率，再用数学期望公式求出，进而求得. 【详解】X 的可能取值为 0 ，1 ，2 ，3， ，， ，， 则， 所以 ． 故答案为：5. 7. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为 ． 【答案】/ 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为.故答案为： 8. 一个袋中装有大小相同的球，其中红球5个，黑球3个.现从中随机摸出3个球. (1)求至少摸到一个红球的概率； (2)求摸到黑球的个数的分布列、均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据对立事件的概率公式求解; （2）根据超几何分布的分布列及其均值的求法求解. 【详解】（1）由题可知,没有摸到红球的概率是, 所以至少摸到1个红球的概率为. （2）由题意知，服从参数的超几何分布，的可能取值为， 则， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 所以    9. 一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列和期望． 【解答】解：（1）由题意得，设事件：第一次抽到品牌，设事件：第二次抽到品牌， ，， 每次不放回抽取，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，则的可能取值为0，1，2， ， 的分布列： 0 1 2 ． 【正态分布—即学即练】 1．已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 2. 已知正态分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【详解】得，所以， 所以，所以. 3. 已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 4．下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，则 B．已知随机变量，若，则 C．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 D．已知按从小到大顺序排列的两组数据（甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52）的第30百分位数相等，第50百分位数也相等，则 【答案】BC 【分析】根据二项分布的方差公式、正态分布的性质、平均数和方差公式以及百分位数的公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为随机变量，所以， 所以，A错误； 对于B：因为随机变量，， 所以，所以， 所以，B正确； 对于C：因为某4个数据的平均数为，方差为3， 那么这四个数据的总和为，且. 所以加入一个数据5后，五个数据之和为，此时平均数为， 方差为，C正确； 对于D：. 对于甲组数据，第30百分位数为第二项30，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 对于乙组数据，第30百分位数为第二项，第50百分位数为第三项和第四项的平均数，即. 那么根据题意可得，，解得，所以，D错误. 故选：BC. 5.已知随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为________. 【答案】/ 【详解】随机变量服从正态分布， 所以，曲线关于对称， , . 6. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】/ 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 7. 某校组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数、（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量X服从正态分布，则， ，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 8. 某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 学科网（北京）股份有限公司 $