专题06 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数交汇（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

专题06 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数交汇 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、概率交汇导数 2 类型二、概率交汇数列递推（马尔科夫链） 5 类型三、其他概率交汇数列 7 压轴专练 8 一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 类型一、概率交汇导数 1．为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5      若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 4．某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 5．在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）泊松分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率.若某次试验中，随机变量取值的概率，，，为自然对数的底数，则随机变量的分布称为参数为的泊松公布，记为. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知某种粒子在一个周期内经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，各周期相互独立，在20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，求的数学期望；（保留整数） (3)若，且，求.（表示不超过的最大整数） 参考数据：；若，则有，，. 类型二、概率交汇数列递推（马尔科夫链） 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 2．甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． (1)求，； (2)求证数列为等比数列，并求； (3)若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 4．（24-25高二下·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 5．如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 6．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求，，，的值； (2)求证：是定值； (3)求的数学期望． 类型三、其他概率交汇数列 1．（25-26高二下·上海·期中）抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子.每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求: (1)在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率； (2)取了为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）高二年级某班在元旦联欢时设计了一个抽奖环节，抽奖箱里有3个黑球和2个红球，每位同学从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回抽奖箱中，奖励幸运礼品一份；下一位同学在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽奖同学获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽奖同学获得第2份幸运礼品”记为事件. (1)求和； (2)求第位同学恰好获得第2份幸运礼品的概率. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品. (1)求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率； (2)求小明连续抛掷骰子次，累计得分为分的概率，，；（结果用和表示） (3)求小明连续抛掷若干次，累计得分为分的概率．（结果用表示） 4．（25-26高二下·河南焦作·期中）甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． (1)求，； (2)求X的分布列，及； (3)证明：． 5．（24-25高二下·广西河池·月考）为了更好的普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，现在班干制定了两种竞赛规则方案： (1)方案一竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“科学之星”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下没有获得“科学之星”称号的概率； (2)方案二竞赛规则：共设置道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若道题全部答对，就获得一个奖品.已知同学乙答对每道题的概率为. （i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； （ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为，求使得成立的的最小值. （参考数据：） 1．某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 3．甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 4．（25-26高二下·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 5．（25-26高二下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 6．（25-26高二下·河南焦作·期中）甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． (1)求，； (2)求X的分布列，及； (3)证明：． 7．在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 8．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 9．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 10．“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 11．乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛. (1)求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率； (2)求甲､乙在比赛过程中相遇的概率； (3)为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似. （i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）； （ii）求的最小值. 12．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 13．（24-25高二下·广东江门·期中）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 14．（24-25高二下·湖南·月考）已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列． (1)求的通项公式． (2)从的前项中随机选出不同的两项相乘，所得结果为偶数的概率记为，问：是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若，且数列的前项和为，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率与数列递推（马尔科夫链）、导数交汇 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 2 类型一、概率交汇导数 2 类型二、概率交汇数列递推（马尔科夫链） 11 类型三、其他概率交汇数列 20 压轴专练 28 一、马尔科夫链 ①基本原理 1、转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率. 2、马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关. 无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系 高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可 3、完备事件组：如果样本空间中一组事件组符合下列两个条件： （1）； （2）. 则称是的一个完备事件组，也称是的一个分割. 4、全概率公式： 设是一个完备事件组，则有 5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： ②解题技巧 ①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性 ②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列） ③利用数列递推关系求出数列的通项公式 类型一、概率交汇导数 1．为引导乡村老年人参与全民健身活动，积极倡导和践行健康生活方式，某乡村开展“趣味套圈圈玩出‘年轻态’”志愿者服务活动，旨在丰富老年人的精神文化生活，营造尊老、爱老、敬老的浓厚和谐邻里氛围.活动开始，志愿者为大家讲解游戏规则：参加活动的每位老年人均可领2个圈圈且均需用完，一个圈圈只能套一次奖品（奖品为一瓶洗发水），每次套中奖品与否相互独立，套中的奖品可被老年人带走.已知王大爷每次套中奖品的概率为，张大爷每次套中奖品的概率为. (1)若，王大爷套完两次后，记王大爷套中的奖品的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)王大爷、张大爷都套完两次后，求两人总共套中的奖品个数为3的概率的最大值. 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)． 【分析】（1）确定的可能值为，分别求出概率得分布列，然后由期望公式得期望．（也可用二项分布的性质求解）； （2）由独立重复事件的概率公式求得套中的奖品个数为3的概率，然后利用导数求得最大值． 【详解】（1）由题意随机变量的可能值为，， ，．， 的分布列为： 0 1 2 ； （2）由题意两人总共套中的奖品个数为3的概率为： ， 设，，则， 时，递增，时，，递减， 所以时，， 所以所求最大值为． 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5      若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)分布列见解析，. (2)目前应该增加产量，增加3件最好，理由见解析. 【分析】（1）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求相应的概率，从而写出分布列，最后根据期望公式求得期望的值. （2）首先计算一件减排器的平均利润，然后写出生产件产品的净利润，求导判断单调性，求出最大值，从而可求解出增加多少产量最好. 【详解】（1）根据题意，可能取0，1，2，3. 则； ； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）一件减排器的平均利润为：万元. 假设增加件减排器，则这件减排器所带来的利润为万元，成本为万元. 所以净利润为：. 设，对函数求导得. 当时，即，此时函数单调递增； 当时，即，此时函数单调递减； 所以函数在处取最大值. 因为要取整数，所以最大值处或. 又；. 所以目前应该增加产量，增加3件最好. 4．某区域中的物种拥有两个亚种．设从该区域中随机捕获1个物种的个体，该个体为种的概率为，为了估计该区域中物种的个体总数，研究人员从该区域中随机捕获3个个体，设3个个体中种的数目为，再将捕获的个体全部放回，作为一次试验结果，重复上述试验共6次．记第次捕获时种的数目为．统计结果如下表： 1 2 3 4 5 6 3 3 2 3 1 3 (1)求的分布列； (2)设函数，已知该区域中种的个体数为180．（将使取得最大值的值作为的估计值） （i）求的估计值； （ii）据（i）估计该区域中物种的个体总数． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)（i）；（ii）1080. 【分析】（1）根据给定条件，求出的可能值，利用二项分布概率公式求出分布列. （2）（i）由给定统计表，结合（1）的结论求出，再利用导数求出最大值点；（ii）利用（i）的结论，结合古典概率公式求出估计值. 【详解】（1）依题意，的所有可取值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）由统计表，得 ， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以. （ii）设该区域中物种的个体总数，由该区域中种个体数为180， 得该区域中种的数目为， 由（i）得从该区域中随机捕获1个个体，该个体为种概率的估计值， 因此，解得，所以估计该区域中物种的个体总数为1080. 5．在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. (1)若，求，并根据全概率公式求； (2)是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1求出，再由条件概率公式及全概率公式求解即可； （2）根据分布列由期望公式求出得出方程，令，再由导数判断函数的最大值小于0，即可判断方程无解. 【详解】（1）当时，， 则，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . （2）假设存在，使 又. 得， 化简得 即 令 则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时， 即不存在值，使得 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）泊松分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率.若某次试验中，随机变量取值的概率，，，为自然对数的底数，则随机变量的分布称为参数为的泊松公布，记为. (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知某种粒子在一个周期内经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，各周期相互独立，在20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，求的数学期望；（保留整数） (3)若，且，求.（表示不超过的最大整数） 参考数据：；若，则有，，. 【答案】(1) (2)8 (3)1 【分析】（1）由题意，时，，求出，从而将改写成即可求其近似值； （2）先由，赋值求得，取的近似值代入求得其近似值，由题意知，根据二项分布的期望公式求解即得. （3）由可推得，构造函数，判断其单调性，得出，即得，利用泰勒展式可推理得到，故得，即可求得. 【详解】（1）当时，泊松分布近似于正态分布， 即，要计算， 根据正态分布的性质，因，故. （2）已知，且，根据泊松分布的概率公式， 当时，，则， 则， 因20个周期内，至少有2个粒子经过计数器的周期数记为，则， 根据二项分布的期望公式，其中，可得 （3）由可得， 根据泊松分布的概率公式：，可得， 设，由可知在上为减函数， 设，则设 则，即函数在上单调递减， 则，即，故函数在上单调递增， 则，即在上恒成立，故时， ①； 利用泰勒展式（下面提供证明）： 当时，，可得， 则，于是 ②, 故由①②可得，则，故. 下面证明泰勒展式：时，. 设，，则，设， 则，故函数在上递增，又， 故可得时，，即，故函数在上为增函数，又， 故当时，. 类型二、概率交汇数列递推（马尔科夫链） 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【详解】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 2．甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式，易得与的值，对于第二轮操作，需要分成“甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片”与“甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片”两类情况分别求解即得与的值； （2）类比（1）中的第二轮操作，可得，构造等比数列，求出其通项公式，再代值计算即得. 【详解】（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片， 由独立事件的概率乘法公式，可得，同理； 第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0； 若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为， 故，同理可得； （2）由对称性可知， 而只有在次操作后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片时，甲才有的概率在第次有2张“欢”字卡片， 若在次操作后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0， 所以当时，，化简得， 则可构造为， 所以是一个以为首项，以为公比的等比数列， 可得，所以， 所以. 3．（24-25高二下·广东广州·期末）甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． (1)求，； (2)求证数列为等比数列，并求； (3)若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 【答案】(1)，. (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可； （2）由，即可得，即可利用等比数列定义证明结论，然后利用等比数列的通项公式求解即可； （3）利用两点分布求得，然后利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，. （2）当时，，所以，又, 所以是以为首，为公比的等比数列，所以， 即. （3）因为，， 所以， 因为，， 所以当时，， 故. 4．（24-25高二下·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据情境求出离散型随机变量的取值，以及相应的概率，写出分布列，根据期望公式求解即可； （2）根据递推公式，结合等比数列的定义证得为等比数列，再利用累加法和等比数列前n项和公式求得的通项公式． 【详解】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为， 由题意的可能取值为2，3，4， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 因此，数学期望. （2）由题意知， 故，且，，， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以，当时， ， 当时，上式也成立， 综上所述：. 5．如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记分，落入袋记分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为. (1)求、、； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）计算出小球落入袋、袋的概率，可得出的值，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得、的值； （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入A袋中（分），由此可得出，推导出数列为常数列，可得出，进而推导出为等比数列，结合等比数列的通项公式可求得的通项公式. 【详解】（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋， 故概率， 小球落入袋中的概率. 故，，. （2）游戏过程中累计得分可以分为两种情况： 得到分后的一次游戏小球落入袋中（分）， 或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（分）， 故， 故为常数列且，故即. ， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 所以的通项公式为. 6．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) 0 1 2 (2) 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解； 【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）（2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. 7．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）现有A，B两个盒子，A，B两盒子中各装有1个黑球和2个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中黑球的个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为． (1)求，，，的值； (2)求证：是定值； (3)求的数学期望． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出，，然后利用全概率公式求出，. （2）利用全概率公式求得与的关系，再利用构造法证明是常数列，即可证明. （3）求出的取值及对应的概率，进一步求出期望，再利用（2）结论求值即可. 【详解】（1）由题意知，，， ． （2）因为， ， 所以， 所以． 又因为，所以是常数列． 所以． （3）由（2）知， 因为的可能取值是0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 类型三、其他概率交汇数列 1．（25-26高二下·上海·期中）抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子.每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求: (1)在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率； (2)取了为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用条件概率公式计算； （2）运用独立事件的概率乘法公式结合等比数列求和计算即可. 【详解】（1）设第一次取出的是一次性筷子为事件，第二次取出的是非一次性筷子为事件， 则 ， ， 所以在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率. （2）易知时，， 当时，若取了次后，所有一次性筷子刚好全部取出， 则最后一次取出的是一次性筷子，则前次中有一次取得一次性筷子， 所以 . 综上，. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）高二年级某班在元旦联欢时设计了一个抽奖环节，抽奖箱里有3个黑球和2个红球，每位同学从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回抽奖箱中，奖励幸运礼品一份；下一位同学在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽奖同学获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽奖同学获得第2份幸运礼品”记为事件. (1)求和； (2)求第位同学恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得； （2）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【详解】（1）由题意，表示第一个同学取出红球，第二个同学取出黑球，第三个同学取出红球， 表示第一个同学取出黑球，第二、三个同学取出红球， 表示在第三个同学获得第二个幸运礼品的情况下，第二个同学获得第一个幸运礼品的概率， 所以，， 因为， 所以； （2）第个同学获得第1份幸运礼品，第个同学获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第个同学获得第2份幸运礼品的概率为： ， ， 所以第个抽幸运奖同学获得第二份幸运礼品的概率为. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）五一假期期间，小明去商场消费，消费过后可以进行一次抽奖，抽奖规则如下：消费者可以连续抛掷若干次骰子，当骰子掷出5点或6点时，消费者得2分，其余情况消费者得1分，且每一次抛掷骰子的结果相互独立．商场根据得分给予相应奖品. (1)求小明连续抛掷骰子3次，累计得分为4分的概率； (2)求小明连续抛掷骰子次，累计得分为分的概率，，；（结果用和表示） (3)求小明连续抛掷若干次，累计得分为分的概率．（结果用表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由独立重复试验概率计算公式即可求解； （2）由前次中有次得1分，次得2分，结合独立重复试验概率计算公式即可求解； （3）由题意得到，法一：通过累加法，法二：通过构造等比数列，进而可求解. 【详解】（1）由题知小明得2分的概率为，小明得1分的概率为．记事件“小明参与3次掷骰子游戏，累计得分为4分”为A，则前3次中有2次得1分，1次得2分， 所以． （2）记事件“小明参与次掷骰子游戏，累计得分为分”为B，则前次中有次得1分，次得2分， 所以． （3）设小明在掷若干次后，累计得分刚好为n分的概率为Pn， 则，， 且当n≥3时，累计得分刚好为n分可分为以下两种情况： ①累计得分刚好为n－2分，然后再得2分，概率为， ②累计得分刚好为n－1分，然后再得1分，概率为， 所以， 法1．，且， 所以， 所以，…，， 累加得， 所以． 法2．， 所以是常数列，， 所以，， 所以， 所以． 4．（25-26高二下·河南焦作·期中）甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． (1)求，； (2)求X的分布列，及； (3)证明：． 【答案】(1)，． (2)X的分布列为 X 1 2 3 … P … (3)证明见解析 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算； （2）利用概率的乘法公式列出分布列，再根据条件概率公式计算； （3）利用期望公式结合错位相减法求证. 【详解】（1），． （2）表示第k次点球不中，前面次点球都中， 所以； 表示前面次点球均中，最后一次要么点中，要么点不中，所以． 所以X的分布列为 X 1 2 3 … P … ， 则． （3）由（2）知， ， 则， 两式相减得， ， 故． 5．（24-25高二下·广西河池·月考）为了更好的普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，现在班干制定了两种竞赛规则方案： (1)方案一竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“科学之星”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下没有获得“科学之星”称号的概率； (2)方案二竞赛规则：共设置道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若道题全部答对，就获得一个奖品.已知同学乙答对每道题的概率为. （i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； （ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为，求使得成立的的最小值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)（i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）由条件概率公式代入计算，即可得到结果； （2）（i）由条件可得的可能取值，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列以及期望； （ii）由期望的定义列出式子，结合错位相减法代入计算，即可得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设事件表示甲已经答对一题，事件表示没有甲获得“科学之星”称号， 则，，则. （2）（i）的可能取值为， 则，， ， 故的分布列为： 则. （ii）的可能取值为， 则，，， 由期望的公式可得， 设， 则， 两式相减可得 ， 所以， 则 ， 由可得，即， 即，其中， ，则， 所以的最小值为. 1．某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案； （2）（i）由利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可. 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 【点睛】关键点睛：第二问解题关键点是利用导数研究单调性，可得极大值. 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. (1)求乙第2局赢的概率； (2)求； (3)若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【详解】（1）依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. （2）当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （3）不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数的最小值为. 3．甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析，. (2)时，P最大. 【分析】（1）（i）利用对立事件计算概率；（ii）根据题意计算概率，再分布列和求数学期望； （2）列出概率，设，利用导数与单调性、最值得关系求解. 【详解】（1）（i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个白球， 则. （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， , , ， ， ， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. （2）小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P， 因为， 所以， 令，则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为. 4．（25-26高二下·浙江·期中）为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用全概率公式求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式求出；再结合及构造法求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用条件概率公式列式求解. 【详解】（1）依题意，；，所以. （2）依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. （3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 5．（25-26高二下·河南南阳·月考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式结合互斥事件的概率公式求解； （2）求出递推关系，构造等比数列，利用累加法求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 6．（25-26高二下·河南焦作·期中）甲、乙两人进行足球点球练习，每人最多点球次，规则如下：甲、乙中先由一人点球，当点不中时，则换成另一人点球，否则一直点球次，再换成另一人点球．已知甲每次点球点不中的概率为，且每次点球结果互不影响．若甲先点球，甲点球X次后换为乙点球． (1)求，； (2)求X的分布列，及； (3)证明：． 【答案】(1)，． (2)X的分布列为 X 1 2 3 … P … (3)证明见解析 【分析】（1）利用概率的乘法公式计算； （2）利用概率的乘法公式列出分布列，再根据条件概率公式计算； （3）利用期望公式结合错位相减法求证. 【详解】（1），． （2）表示第k次点球不中，前面次点球都中， 所以； 表示前面次点球均中，最后一次要么点中，要么点不中，所以． 所以X的分布列为 X 1 2 3 … P … ， 则． （3）由（2）知， ， 则， 两式相减得， ， 故． 7．在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 8．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，质点每次移动向左或向右是等可能的． (1)求质点移动次后回到原点的概率； (2)若将质点未连续出现次向右移动的概率记为， ①求之间的递推关系； ②若满足关系式：，求的值． 【答案】(1) (2)①；②，或． 【分析】（1）这是典型的独立重复试验概率问题，质点回到原点，意味着次移动中，向右和向左的次数必须相等，各为次； （2）① 这是递推关系建模问题，按第次移动的方向分类讨论：若第次向左，则前次只需满足条件；若第次向右，则第次必须向左，前次满足条件，由此推导与，​的线性递推关系； ② 这是递推数列的待定系数法问题，先将给定的展开，与（2）①中得到的递推式对比系数，建立关于的方程组，解方程组即可得到参数值． 【详解】（1）质点每次移动向左或向右的概率均为​，移动次后回到原点，说明向右移动次数向左移动次数次， 所以质点移动次后回到原点的概率． （2）①移动次时，所有情况均无连续次向右，所以， 移动2次总情况数为，排除连续次向右的情况（右右），符合条件的有种，， 移动次总情况数为，符合条件的情况有左左左，左左右，左右左，右左左，右左右，共种，， 当时，第次向左时，概率为，第次向右时，第次必向左，概率为， 所以． ②由，得， 所以， 解方程组得，或． 9．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立． (1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差； (2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）． ①求，； ②求． 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ， (2)①；；② 【分析】（1）分析可知，结合二项分布求X的分布列、均值和方差； （2）①分析人气值1点或2点所对应的可能性情况，结合独立事件概率的乘法公式运算求解；②分析可得，利用构造法和累加法，结合等比数列求. 【详解】（1）由题意可知：， 则，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的均值，且方差. （2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是， 若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以； 若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园， 所以； ②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园， 则，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则， 当时，则 ， 且符合上式，所以. 10．“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行． (1)双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为． （i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； （ii）求第次答题的是选手甲的概率． (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得. （2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出. 【详解】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件， 由题知，， 由全概率公式知，， ， 已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为． （ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件， 记， 由题知，当时， ， 由全概率公式知， ， ， ， 故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 则，即第次答题是选手甲的概率为． （2）的所有可能取值为， 所以的分布列为 1 2 3 ．．． ．．． 故①， ②， ①-②，得 所以． 11．乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛. (1)求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率； (2)求甲､乙在比赛过程中相遇的概率； (3)为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似. （i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)（i）（ii）8 【分析】（1）先设甲的位置固定，进而分析求解即可； （2）甲乙相遇包括三种情况：甲乙第一轮相遇，甲乙第二轮相遇，甲乙第三轮相遇，进而求解即可； （3）（i）当人数增加到，则固定甲的位置后，乙有个选择，进而分析求解即可； （ii）解法一：记比寒的轮次为本件，甲乙在比赛过程中相遇的本件为，先求出，可得甲乙相遇的概率为，再列不等式求解即可； 解法二：设名选手参赛，甲乙相遇的概率为，易得，进而分乙和甲在同一区，乙和甲不在同一区，两种情形分析求解即可. 【详解】（1）设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，所以甲乙在第一轮相遇的概率. （2）由题可知甲乙相遇包括三种情况：甲乙第一轮相遇，甲乙第二轮相遇，甲乙第三轮相遇， 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜则. 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜则. 所以甲乙相遇的概率. （3）（i）当人数增加到，则固定甲的位置后，乙有个选择， 要使得甲乙能在第三轮相遇， 由（2）可知甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜， 则甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率为. （ii）解法一：记比赛的轮次为事件， 甲乙在比赛过程中相遇的事件为，要使甲乙能在第轮相遇， 则甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.01，即，即， 又因为为整数，所以，所以最小的值为8. 解法二：设名选手参赛，甲乙相遇的概率为， 则当时，甲乙一定相遇，此时. 当名选手参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是， ， 累加得 所以. 令，则， 因为为正整数，所以的最小值为8. 12．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 13．（24-25高二下·广东江门·期中）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】(1)处取得最大值，. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【详解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. （3）已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 14．（24-25高二下·湖南·月考）已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列． (1)求的通项公式． (2)从的前项中随机选出不同的两项相乘，所得结果为偶数的概率记为，问：是否存在正整数，使得当时，恒有？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． (3)若，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)存在，的最小值为5 (3)证明见解析 【分析】（1）令，求得所有正零点，可求得的通项公式； （2）分为奇数和偶数两类讨论求解.先求积为奇数的情况，再利用对立事件的概率公式求，解不等式求解的范围可得； （3）由，求得，令，求导利用单调性可得恒成立，利用赋值法可得，可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 所以令，可得，，解得，， 则的所有正零点可表示为，， 故的通项公式为． （2）从的前项中随机选出不同的两项相乘，共有种方法． 设事件“不同的两项相乘，所得乘积为偶数”，则“不同的两项相乘，所得乘积为奇数”，可知． 当为偶数时，前项中有个奇数，个偶数，要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数， 易得当时，， 当时，即从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法， 则，所以． 由，可得，解得， 由为偶数，可得． 当为奇数时，前项中有个奇数，个偶数，要使所得乘积为奇数， 则两项均为奇数，即从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法， 则，所以． 由，可得， 由，可知该不等式对任意大于或等于3的奇数恒成立． 综上，存在正整数，当时，恒有． 故的最小值为5． （3）由（1）可知， 则 ． 令，则在上恒成立， 所以在上单调递减． 所以， 所以对任意的，，即恒成立． 令，则，即， 所以有． 以上各式相加得， 故，得证． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数法证明数列不等式.第（3）问中通过构造函数，利用导数的单调性证明，赋值可得，达到将数列和式通过放缩后可裂项求和，从而问题得证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $