精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市松北区初中毕业学年调研测试二 数学学科试卷

松北区2026年初中毕业学年调研测试二 数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于圆，与圆相切于点，连接、，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 生物学中，物种的子代出生的性别概率为50%，即雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 图，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，10节链条的总长度为（）cm． A. 25 B. 0.8 C. 17.8 D. 25.8 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ） A. 图1解析式： B. 图2解析式： C. D. 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11. 红军长征的总行程约为65000里，将数65000用科学记数法表示为__________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 13. 计算：___________． 14. 把多项式分解因式的结果是___________． 15. 不等式组的解集是__________． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 18. 新定义：对于任意实数x，其整数部分记为，且表示不超过x的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．若，，，则_______． 19. 矩形，，，M为边上一点，且，过点M作交于点N，P为上一点，，此时___________． 20. 在中，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F，直线，相交于点M．下列选项中正确的有______________． ①； ②M为中点； ③若，； ④，，的最大值为5． 三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中：． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．线段的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中画出（点C在格点上），，且； （2）构造的高（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出的长． 23. 某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C．为评估这三款机器人的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试．综合表现测试由10位专业测试员逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的平均分．现对三款机器人的综合表现测试数据进行详细分析，绘制统计图，以评估哪款机器人的综合性能更优． A款机器人得分：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6． B款机器人得分：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8． A、B、C三款机器人综合表现测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 综合表现平均分 方差 A a 9和10 B b C 8 8 c 根据上述信息，解答下列问题： （1）______；______；______； （2）通过比较方差，判断测试员对_____（选填A，B或C）款机器人综合表现测试评价的一致性程度更高； （3）若科研团队为得到更准确的结论，决定选取100名测试员对B款机器人进行二次测试，请你估计打分为10分的测试员有多少人？ 24. 的边上一点O，连接，并延长至点C，，，连接． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，过点D作，交的垂线于点E，连接，延长线交于点F，连接、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的四边形（不含四边形）． 25. 宝蓝中学文具店新进一批相同规格的笔记本．甲种笔记本的单价比乙种笔记本便宜6元，何老师用60元购买甲种笔记本的数量，与用90元购买乙种笔记本的数量相同． （1）请问甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种笔记本共30个，且甲种笔记本的采购数量不超过乙种笔记本数量的2倍，求购买多少本甲种笔记本时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 26. 四边形内接于圆，对角线、相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于G，交于点I，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点H，，延长至点K，连接，，，，求． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在左侧），与直线：交于轴点，直线交轴交于点． （1）如图1，求点坐标； （2）如图2，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转45度，交于点，，作，交于点，连接，交于点，点在上，连接并延长至点，使，，点在第一象限抛物线上，连接，若，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松北区2026年初中毕业学年调研测试二 数学学科试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 9的相反数是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：9的相反数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并法则、同底数幂乘法、单项式除法、积的乘方与幂的乘方的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 3. 如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从左往右看，即可得到左视图． 【详解】解：立体图形的左视图为： 故选C． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． 4. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，内接于圆，与圆相切于点，连接、，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得到，算出，再结合等腰三角形的角度关系，以及圆周角定理，直接求出． 【详解】解：切于点，半径， ， 即， 已知， ， （均为圆半径）， 为等腰三角形，， 在中，， 根据圆周角定理：． 6. 生物学中，物种的子代出生的性别概率为50%，即雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟都是雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图，得出所有等可能的结果及所求结果，再根据概率公式即可计算出结果． 【详解】解：雌鸟记为，雄鸟记为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中只雏鸟都是雄鸟的结果有种， ∴只雏鸟都是雄鸟的概率． 7. 在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 8. 图，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，10节链条的总长度为（）cm． A. 25 B. 0.8 C. 17.8 D. 25.8 【答案】C 【解析】 【分析】先推导链条节数与总长度的关系式：1节链条长度为，每多1节链条，只会新增的有效长度（连接处重叠）．因此节链条总长度公式：，代入即可算出总长度． 【详解】解：先分析单节与多节链条长度规律： 1节链条：长度， 2节链条：两节原始总长，连接处重叠1个，总长度， 3节链条：三节原始总长，连接处重叠2个，总长度， …… n节链条：总长度＝， 将代入式子： ， 因此10节链条总长度为． 9. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 10. 新区公园为迎接端午节，准备设计一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．如图所示： 方案一：如图1，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案二：如图2，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点G在x轴上，，． 方案一中，矩形框架的面积记为，点A，D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． 根据以上提供的相关信息，下列选项中错误的是（ ） A. 图1解析式： B. 图2解析式： C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求解即可判断A，B选项，把分别代入两个解析式，进而求得的长，进而判断C，D选项，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴方案一抛物线的函数表达式为：，故A正确， 由题意得，，， 设解析式为：， 代入得：， 解得：， ，故B正确， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，故C错误 把代入得：， 解得：， ∴ ∴，故D正确 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 11. 红军长征的总行程约为65000里，将数65000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟知科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 13. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将原式中两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 14. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查综合运用提公因式法与公式法分解因式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； 【详解】解： ； 故答案为：； 15. 不等式组的解集是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，正确求解是解答的关键．先分别求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可求解． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 17. 一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 【答案】2π 【解析】 【详解】分析：根据弧长公式可得结论． 详解：根据题意，扇形的弧长为=2π， 故答案为2π 点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 18. 新定义：对于任意实数x，其整数部分记为，且表示不超过x的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．若，，，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义先确定的取值范围，再结合已知条件和确定的取值范围，最后根据新定义化简所求式子，计算得到结果． 【详解】解：， ∴， ，且， ，且， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 矩形，，，M为边上一点，且，过点M作交于点N，P为上一点，，此时___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形性质得四边形是矩形，，；设，则，分两种情况，可证明，再根据其性质列方程求出a值，再结合，得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，， 为边上一点，且， ， 交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，，， ， 点为上一点， 设，则， 当时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 解得， 在中，， ， 又， ， 在和中， ，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 在中，， ， ， ， ； ②当时，如图2所示： 解得， 同①可得：， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 在中，， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 20. 在中，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F，直线，相交于点M．下列选项中正确的有______________． ①； ②M为中点； ③若，； ④，，的最大值为5． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①由，得又，，相加得：．故①正确． ②在延长线上取点D，使，连接，证明，得，由，得，得四边形是平行四边形，得，即是中点，故②正确． ③过点F作垂直，交延长线于点G，过点C作于点H，可得，得，由，可得 ​，故③正确． ④连接，根据三线合一，得，由知点M在的外接圆上，为直径，得的最大值为．故④正确． 【详解】解：正确结论是，解析如下： 根据旋转性质：， ∴，，，，，． ①∵， ∴， 又，， ∴相加得． 故①正确． ②在延长线上取点D，使，连接， 则， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即是中点， 故②正确． ③过点F作垂直，交延长线于点G，过点C作于点H， 则， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴​， 故③正确． ④连接， 由②知，M是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点M在的外接圆上，为直径， ∴， ∴的最大值为． 故④正确． 三、解答题（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中：． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分合并，再将除法转化为乘法，因式分解后约分化简代数式，根据特殊角三角函数值求出的数值，把代入化简后的式子计算最终结果． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．线段的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中画出（点C在格点上），，且； （2）构造的高（保留作图痕迹，体现作图过程），并直接写出的长． 【答案】（1） 取格点，连接,则即为所求. 由网格可知，， ∴, ； （2），. 解：取格点,连接并延长交于点,则即为的高， 由网格可知，,,,,, ∴, ∴， ∴， ∵，, ∴, ∴,即, ∴,即即为的高； 【解析】 【分析】（1）取格点，连接,则即为所求; （2）取格点,连接并延长交于点,则即为的高,先通过三角形面积公式求出,再通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵， ∴, ∴, 在中,． 23. 某科研团队成功研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C．为评估这三款机器人的综合表现，该团队对它们开展了全方位测试．综合表现测试由10位专业测试员逐一评分，每位测试员最高可打10分，最终成绩取所有测试员打分的平均分．现对三款机器人的综合表现测试数据进行详细分析，绘制统计图，以评估哪款机器人的综合性能更优． A款机器人得分：7，10，10，7，9，9，8，9，10，6． B款机器人得分：8，8，9，10，8，10，9，8，9，8． A、B、C三款机器人综合表现测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 综合表现平均分 方差 A a 9和10 B b C 8 8 c 根据上述信息，解答下列问题： （1）______；______；______； （2）通过比较方差，判断测试员对_____（选填A，B或C）款机器人综合表现测试评价的一致性程度更高； （3）若科研团队为得到更准确的结论，决定选取100名测试员对B款机器人进行二次测试，请你估计打分为10分的测试员有多少人？ 【答案】（1）9，8，； （2）B； （3）20人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义求解即可； （2）比较方差即可得出答案； （3）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：A款机器人得分从小到大排列，排在第位数是， ∴中位数， B款机器人得分出现次数最多的是， ∴众数8， 款机器人得分的有个，得分的有个，得分的有个，得分的有个， ∴综合表现平均分； 【小问2详解】 解：由表中数据可知，B款机器人得分的方差最小，所以测试员对B款机器人综合表现测试评价的一致性程度更高； 【小问3详解】 解：由样本估计总体，得： （人）， 答：估计打分为10分的测试员有20人． 24. 的边上一点O，连接，并延长至点C，，，连接． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，过点D作，交的垂线于点E，连接，延长线交于点F，连接、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的四边形（不含四边形）． 【答案】（1）证明：与交于点O， ， 在和， ， ， ， 是等腰三角形； （2）四边形、四边形、四边形、四边形 【解析】 【分析】（1）在和中，已知，，对顶角，由证得，得，则可得证； （2）由且，得垂直平分，结合，证得四边形是菱形；再由推得，利用同底等高三角形面积相等，结合全等三角形面积相等，得出与四边形面积相等的四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 垂直平分， ， ， ， ， ， 又∵， 也垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， 四边形面积四边形的面积四边形的面积， ，且， ， ， ， ， 又， ， ，， ∴，， 是等边三角形， ， ∴，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ，且， ， ， 四边形的面积四边形的面积； 同理可得，四边形的面积四边形的面积， 综上所述，四边形、四边形、四边形、四边形与四边形面积相等． 25. 宝蓝中学文具店新进一批相同规格的笔记本．甲种笔记本的单价比乙种笔记本便宜6元，何老师用60元购买甲种笔记本的数量，与用90元购买乙种笔记本的数量相同． （1）请问甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种笔记本共30个，且甲种笔记本的采购数量不超过乙种笔记本数量的2倍，求购买多少本甲种笔记本时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】（1）甲种笔记本的单价为12元，乙种笔记本的单价为18元； （2）购买甲种笔记本20本时，购买总费用最小为420元． 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为元， 根据题意列出方程，求解即可； （2）设购买a本甲种笔记本，则购买本，设购买总费用为W元，得出与的关系，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为元， 根据题意，得：， 解得：， 检验：当时，， 是此方程的解， （元）， 答：甲种笔记本的单价为12元，乙种笔记本的单价为18元； 【小问2详解】 解：设购买a本甲种笔记本，则购买本，设购买总费用为W元， 由题意得：， 解得：， ， 整理得：， ， 随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值， 答：购买甲种笔记本20本时，购买总费用最小为420元． 26. 四边形内接于圆，对角线、相交于点E，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于G，交于点I，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点H，，延长至点K，连接，，，，求． 【答案】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理及已知条件求得，从而证明； （2）根据圆周角定理、直角三角形两角互余以及圆周角定理，结合已知条件证明，又因为，根据等腰三角形三线合一即可证明； （3)连接、、、，过点作于，证明，根据已知条件求得，连接，证明是等腰三角形，过点作 于点，过点作于点，证明以及，设， 结合以及已知条件求出的值，再依据勾股定理求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、、、， ， 过点作于， ， ， 设， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， 为中点， ， ， 又， ， 连接， ，， ， ， 是等腰三角形， 是中点， 是的中位线， ， ， ， 过点作 于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， ，，， ，，， ， ， ， ，， ． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（在左侧），与直线：交于轴点，直线交轴交于点． （1）如图1，求点坐标； （2）如图2，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转45度，交于点，，作，交于点，连接，交于点，点在上，连接并延长至点，使，，点在第一象限抛物线上，连接，若，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）轴上点横坐标恒为0，将代入直线解析式即可求出纵坐标，得到坐标； （2）根据坐标及已知条件得到，证明，利用角度关系求； （3）在上截取，连接，证明，设，，利用勾股定理解得之间的关系，求得两点坐标，得到抛物线解析式；过点作于点，与交于点，连接，连接，并延长交于点，过点作交延长线于点，证明，以及，结合三角形中位线定理、等腰三角形相关性质得到，由已知条件得到，设点横坐标为，根据抛物线解析式得到点坐标，过点作轴于，结合求得点坐标． 【小问1详解】 解：直线与y轴交点为， 抛物线与轴交点， 且抛物线与直线交于轴同一点， ， 点坐标． 【小问2详解】 解：点坐标， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中， ， ， ． 【小问3详解】 解：在上截取，连接， 设， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 设，， ，，， 在中，，， ， ， ， ，，， ， ， ，， ，， 抛物线解析式为， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 过点作于点，与交于点， 为中点，， ，， ，， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ，是等腰直角三角形， ， 又， ， ，， 即为中点， 连接，连接，并延长交于点， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 点为中点， 是的中位线， ， ，即， 过点作交延长线于点， ， 又点为中点， 则为中位线， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 设点横坐标为， 点在抛物线上， 点坐标为， 过点作轴于， ，， ， ， 点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $