暑假作业05 重难专题03：数列的七大必刷创新题：公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性、新定义（巩固培优，7知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦数列七大创新题型，构建“问题类型-方法策略-逻辑链条”三维训练体系，通过分层方法提炼培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公共项数列|4题|不定方程法、周期法、列举归纳法|基于数列交集，从数论整除到方程求解，衔接等差与等比性质| |插项数列|5题|构造新数列求公差/公比|通过数列扩充，延伸等差、等比基本量计算，渗透转化思想| |删项数列|6题|定位删项位置（连续/间隔项）|从数列结构破坏入手，结合和与项数变化，强化分类讨论| |数阵问题|4题|推导行列通项公式|将平面排列转化为数列问题，建立位置与项的对应关系| |取整数列|5题|利用取整函数边界性质|结合不等式与正整数约束，深化函数与数列交叉应用| |存在性问题|4题|假设存在+反证/验证|通过方程正整数解探究，培养探究性思维与论证能力| |新定义数列|5题|拆解规则转化为常规关系|以创新情境为载体，训练数学语言表达与模型构建能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 重难专题03:数列的七大必刷创新题： 公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性、新定义 【知识点1 公共项数列】 1．两个等差数列的公共项问题求解策略 (1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2)周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 2．等差数列与等比数列公共项问题求解策略 (1)列举归纳法：适配选择填空类小题，依次列出两个数列前5-8项，匹配出重合项后归纳公共项通项，结合数列取值范围验证即可，解题速度快. (2)通项联立法：设等差数列通项为 （），等比数列通项为 （），令 得到不定方程 ，求解正整数解n、m即可定位对应公共项，适用于解答题步骤书写. (3)同余验证法：将联立方程变形为 ，由n为正整数可知，通过模运算推导的同余周期，可快速得到公共项数列的通项规律. *提示：两类数列的公共项构成的新数列通常为等比数列，公比为原等比数列公比的整数次幂. 【知识点2 插项数列】 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以 3.混合插项 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的 【知识点3 删项数列】 先定位删项的位置：若删除连续项，优先对比删项前后数列的和、项数变化，利用列关系式；若删除间隔项，优先拆分奇偶子数列分别推导规律，再验证剩余项的公差/公比、通项一致性，排除不符合原数列属性的解. 【知识点4 数阵问题】 首先明确数阵的行、列编号规则，优先推导第i行第j列的通项公式：若为按行/列排序的数阵，先找每行/每列的首项、公差/公比，再结合位置偏移写通项；若为斜向排序的数阵，先计算前斜行的总项数，再匹配当前项在第i斜行的位置推导，求和类问题优先按行、列分组累加. 【知识点5 取整数列】 核心是利用取整函数的边界性质：对于或，优先利用不等式、列关于的不等式组，先求解的取值范围，再结合的通项、项数$n$为正整数的约束，推导的通项或取值。 【知识点6 存在性问题】 优先采用“假设存在+反证/验证”策略：先假设满足条件的项/参数存在，将条件转化为关于数列项数n、参数k等变量的方程，优先验证方程是否有正整数解，同时结合数列的单调性、值域范围约束缩小解的范围，若能得到符合条件的正整数解则存在，否则不存在. 【知识点6 新定义数列】 第一步先拆解新定义的核心规则：明确新定义对应的数列运算、约束条件、判定标准，将新规则转化为已知的数列通项、递推、求和关系，再代入常规数列的求解方法计算，过程中严格遵循新定义的边界约束，禁止套用不符合定义的常规数列结论. 【题型1 公共项数列】 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 2．（2025·江苏·模拟预测）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则下列所给的值中，使得的前100项和最小的为（   ） A． B． C．1 D．4 3．（2025高三·全国·专题练习）设所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列队，把和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ； 【题型2 插项数列】 1．（2026·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则__________；__________. 4．（22-23高二下·湖南·期中）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”．先将数列1，3进行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到数列1，5，4，7，3；；第n次拓展得到数列1，，，，，3，设，则________，________． 5.（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 【题型3 删项数列】 1.（2026高三·全国·专题练习）已知,依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数的值是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．无法确定 3．(多选)（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（    ） A．若，则删去任意一个数都可以 B．若，则可以删去或 C．若，删去，则 D．若，删去，则 4．已知有限项等差数列的首项，公差为2，其所有项的算术平均值是2011.若从中删去一项后，该数列剩余各项的算术平均值为整数.则删项的方法有 种. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 6．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前2026项和． 【题型4 数阵问题】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（    ） A．18 B．27 C．45 D．54 2．(多选)（24-25高二下·安徽·阶段练习）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和__________. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期中）由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是____________. 【题型5 取整数列】 1．（25-26高二上·青海海东·期末）已知表示不超过的最大整数，数列满足，，则（   ） A．36 B．34 C．38 D．32 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，若，数列的前项和为，则（    ） A．4956 B．4965 C．7000 D．8022 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则______. 5．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【题型6 存在类问题】 1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. ， 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 4．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【题型7 新定义数列】 1．如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 2．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 3．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 4．（2025高二·全国·专题练习）已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 1．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（    ）    A．109 B．110 C．111 D．112 2．（25-26高三上·陕西西安·期中）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 6．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 7．(多选)（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 8．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ． 9．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项. 11．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______ 12．（25-26高三下·陕西·阶段检测）设，，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为__________． 13.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由. 14．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为 . 2．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（    ） A． B． C．存在常数，使得数列为等比数列 D．数列的前项和 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 5．（25-26高二下·四川·期中）若为关于x的方程的实数根，且．若，其中表示不超过x的最大整数．记数列的前n项和为，有恒成立，则实数 的取值范围为____________． 6．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设函数，. (1)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 7．（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当时，求的数值；②求的所有可能值； （II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 重难专题03:数列的七大必刷创新题： 公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性、新定义 【知识点1 公共项数列】 1．两个等差数列的公共项问题求解策略 (1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2)周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 2．等差数列与等比数列公共项问题求解策略 (1)列举归纳法：适配选择填空类小题，依次列出两个数列前5-8项，匹配出重合项后归纳公共项通项，结合数列取值范围验证即可，解题速度快. (2)通项联立法：设等差数列通项为 （），等比数列通项为 （），令 得到不定方程 ，求解正整数解n、m即可定位对应公共项，适用于解答题步骤书写. (3)同余验证法：将联立方程变形为 ，由n为正整数可知，通过模运算推导的同余周期，可快速得到公共项数列的通项规律. *提示：两类数列的公共项构成的新数列通常为等比数列，公比为原等比数列公比的整数次幂. 【知识点2 插项数列】 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2.插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以 3.混合插项 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的 【知识点3 删项数列】 先定位删项的位置：若删除连续项，优先对比删项前后数列的和、项数变化，利用列关系式；若删除间隔项，优先拆分奇偶子数列分别推导规律，再验证剩余项的公差/公比、通项一致性，排除不符合原数列属性的解. 【知识点4 数阵问题】 首先明确数阵的行、列编号规则，优先推导第i行第j列的通项公式：若为按行/列排序的数阵，先找每行/每列的首项、公差/公比，再结合位置偏移写通项；若为斜向排序的数阵，先计算前斜行的总项数，再匹配当前项在第i斜行的位置推导，求和类问题优先按行、列分组累加. 【知识点5 取整数列】 核心是利用取整函数的边界性质：对于或，优先利用不等式、列关于的不等式组，先求解的取值范围，再结合的通项、项数$n$为正整数的约束，推导的通项或取值。 【知识点6 存在性问题】 优先采用“假设存在+反证/验证”策略：先假设满足条件的项/参数存在，将条件转化为关于数列项数n、参数k等变量的方程，优先验证方程是否有正整数解，同时结合数列的单调性、值域范围约束缩小解的范围，若能得到符合条件的正整数解则存在，否则不存在. 【知识点6 新定义数列】 第一步先拆解新定义的核心规则：明确新定义对应的数列运算、约束条件、判定标准，将新规则转化为已知的数列通项、递推、求和关系，再代入常规数列的求解方法计算，过程中严格遵循新定义的边界约束，禁止套用不符合定义的常规数列结论. 【题型1 公共项数列】 1．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 【答案】D 【解析】数列的项依次为，而数列的项依次为， 故两数列的公共项依次为，即， 故数列的前5项和为. 2．（2025·江苏·模拟预测）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则下列所给的值中，使得的前100项和最小的为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解析】由题意知：是公差为的等差数列， 故其前100项和. 所以要使数列的前100项和最小，只需使其首项最小即可. 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项. 故当时，数列的首项最小，此时数列的前100项和最小. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）设所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列队，把和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据题意，结合余数的相关性质，数列是首项为，公差为的等差数列， ， 数列是首项为，公差为的等差数列，， 数列与的公共项从小到大排列得到数列， 故数列是首项为，公差为的等差数列，则． 对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，，，，，故C正确； 对于D，，，，，故D错误． 故选：BC． 4．已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式 ； 【答案】 【解析】令数列的第项与数列的第项相等，即，则， 由， 显然是3的正整数倍，由，得是3的倍数， 则，因此为正奇数，即，于是， 所以数列的通项公式. 故答案为： 【题型2 插项数列】 1．（2026·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【解析】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 3．（23-24高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列；...第次得到数列；记，则__________；__________. 【答案】 【解析】，， ，依次类推，得到 ， 故. 4．（22-23高二下·湖南·期中）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”．先将数列1，3进行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到数列1，5，4，7，3；；第n次拓展得到数列1，，，，，3，设，则________，________． 【答案】 【解析】（1）设数列1，3第n次拓展后的项数为，则，， 根据拓展规则可知，，即， ∴数列是等比数列，首项为2，公比为2， ∴，即，所以； （2）根据拓展规则可知，， ∴，又，∴数列是等比数列， 首项为6，公比为3，∴，所以． 故答案为：； 5.（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 【答案】(1)，；(2)55 【解析】（1）由题意，得， 又时，，符合题意，所以. 设数列的公比为，又，， 即，解得，所以. （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1； 在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1； 在4和5之间插入个1， 此时刚好有45项，则. 所以的值为55. 【题型3 删项数列】 1.（2026高三·全国·专题练习）已知,依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4. ①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，得q＝； ②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q>0，得q＝. 综上所述，q＝， 故选B. 2．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．无法确定 【答案】A 【解析】当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下： 当时，有，，，． 将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列． 如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意． 故可以知道删去的是，或． 如果删去的是，则，故， 整理得到，即，故即． 如果删去的是，则，故， 整理得到即，故即． 可得或1． 故答案为：A． 3．(多选)（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知依次成等比数列，公比为，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则下列正确的是（    ） A．若，则删去任意一个数都可以 B．若，则可以删去或 C．若，删去，则 D．若，删去，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则均相等，公差为，删去其中的任意一个数，则剩下的三个数还相等，公差仍为，故A正确; 对于B，若删去或，都得到等差数列，则公比，故B错误; 对于C，若删去，则由，得， 由等比数列可知，所以，得， 又，所以，又，得,故C正确; 对于D，若删去，则由，得，又，所以， 因为是方程的根，提取公因式,得， 又，则可得，又，得，故D正确. 故选：ACD 4．已知有限项等差数列的首项，公差为2，其所有项的算术平均值是2011.若从中删去一项后，该数列剩余各项的算术平均值为整数.则删项的方法有 种. 【答案】3 【解析】根据题意得. 解得. 于是，该数列所有项的和为. 设从数列中删去第项后剩余项的算术平均值为整数，即. 注意到.则上式等价于. 因为，所以，的取值集合为. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）依题意， 所以 ， 由于，所以. 而符合，故. （2）由（1）得，， 是单调递增数列， 又因为是奇数列，，而， 所以数列的前项中有数列的项，即， 所以. 7．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前2026项和． 【答案】（1），；（2）； 【解析】（1）数列满足，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又数列满足， 所以 由题意知：又知数列中，，且对任意正整数，，． 令，则，，，， 若，则，，所以恒成立， 若，当，不成立，所以 ； （2）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列， 新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，，公比均是， 记数列的前项和为， 所以 【题型4 数阵问题】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（    ） A．18 B．27 C．45 D．54 【答案】C 【解析】由题设得，则； ，则； ，则； 所以, ，则， 于是，所有这九个数的和为. 故选：C. 2．(多选)（24-25高二下·安徽·阶段练习）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 3．（2026·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和__________. 【答案】 【解析】因为每行的第n个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列， 所以, 所以 . 4．（25-26高二下·河南驻马店·期中）由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是____________. 【答案】14859 【解析】因为第n行最右边的数是， 所以第19行的最后一个数为，第20行的第一个数为362， 又因为第20行的最后一个数为， 由数阵的排列可得，第20行共有个数， 所以第20行所有数字之和为. 故答案为：14859 【题型5 取整数列】 1．（25-26高二上·青海海东·期末）已知表示不超过的最大整数，数列满足，，则（   ） A．36 B．34 C．38 D．32 【答案】C 【解析】由，则，而， 所以是常数列，即，则， 所以，，，， ，， ，， 故，，， ，， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，若，数列的前项和为，则（    ） A．4956 B．4965 C．7000 D．8022 【答案】B 【解析】当时，，因为，所以. 当时，，. 两式相减得：，即. 当时，. 那么（）. 当时，也满足.当时，也满足. 所以. 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，数列满足，则，同理可得， 所以，所以， 则， 则数列的前项和为 . 故选：C. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则______. 【答案】18 【解析】由数列满足：，可得，且， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，故， 因为，所以当时，， 即， 所以 ， 所以， 综上所述，故. 5．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设（表示不超过的最大整数），求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，① 当时，，② ①②，得，所以. 当时，由①得，适合， 故对任意的，. （2）因为， 可得， 上述两个等式作差可得， 因此，. （3）由（1）得， 因为，则， 当时，则，则； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，； 当时，则时，即当时，. 因此，所以的前项和为 . 【题型6 存在类问题】 1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【解析】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 2．记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析， (2)是， (3)不存在 【解析】（1）∵，∴， ∵， ∴是首项为4，公比为2的等比数列. ∴，即. （2）方法一：∵， ∴（）， 两式相减得， 整理得， ∴， 两式相减得，即， ∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为. 方法二（数学归纳法）： ∵， ∴， ∵，，代入上式解得， 猜想. 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即. 下证时，猜想成立，即证， ∵， ∴，， ∵，， ∴，解得. 由数学归纳可得是等差数列，. （3）由（1）知，， ∴当时，，经检验，满足上式， ∴（），， 假设存在这样的三个正整数，则，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得，不满足题意， ∴假设不成立，不存在这样的正整数. 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)的符号为正. (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得 解得 则， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，故， 因此， 所以的符号为正. （3）由题知. 若为数列中的项，则必定有为的整数倍，即或3或9， 解得或或. 又为正整数，故不存在正整数，使得为数列中的项. 4．已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）因为数列满足，且，则， 所以， 故，且， 因此数列是等比数列. （2）当为偶数时，设，则， 由（1）可知，则， 当为奇数时，， 所以， 当为偶数时，设，则，， 此时 ， 当为奇数时，设，则， 此时 ， 综上所述，. （3）由（2）可知， 假设数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列， 且有，不妨设，则， 所以， 整理可得， 等式两边同时除以，得， 因为为偶数，为奇数，等式不成立， 故数列中不存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列. 【题型7 新定义数列】 1．如果数列对任意的，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，则正整数的最大值为（    ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】A 【解析】因为数列为“速增数列”， ，，且， 所以对，，， 所以，且， 所以， 相加得， 所以，即，， 当时，， 当时，， 故正整数的最大值为. 故选：A 2．南宋数学家杨辉在《解析九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（ ） A． B．16 C． D． 【答案】C 【解析】记数列为，设， 则，，，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . 故选：C. 3．若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为 . 【答案】/0.2 【解析】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 【答案】2018 【解析】  令， 则． 所以． 4．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】(1)是“紧密数列”，理由见解析 (2) 【解析】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． （2）由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 1．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（    ）    A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】B 【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数， 记为第个奇数，则， 又，所以为第个奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 则，，故在第行，且列， 即，所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·陕西西安·期中）已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题数列的前项和， 当时，； 当时，；也满足； 所以， 所以数列的各项为， 数列的各项为 所以数列与数列的公共项从小到大排列得到数列， ， 所以， 所以，① ，② 则①-②得： 则， ，， 所以单调递增； 若 当时 当时 所以的正整数的最大值为6. 故选：B 3．（25-26高三上·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为等差数列中，，成公比不为1的等比数列， 所以，可得，解得， 所以，则，可得， 由数列为正奇数列， 对于数列，设时，可得为偶数； 当时，可得为奇数， 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【解析】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知表示不超过的最大整数（例如），数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．对任意，恒成立 D．存在， 【答案】C 【解析】由，得所以． 故选项A不正确． 由，得 下面证明数列单调递增． 先证明对任意正整数，都有 当时，，结论成立． 假设． 因为，所以从而，于是 又因为当时，函数单调递增，且，所以 由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 因此恒成立，即 由上式可得即 所以C正确． 因为，且， 由可知，所以，即数列单调递增． 故． 所以选项B不正确． 同时，不存在正整数使，故选项D不正确． 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 可以发现当时，，共个. 当时，，所以，共有个. 当时，，所以，共有个. 当时，，所以，共有个. 则. 故选：B. 6．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 【答案】ACD 【解析】对于A，由， 得， 两式相减得，， ， 所以， 故对； 对于，设的第项与的第项相等，即， 则， 故为奇数，则，故B错，C对； 对于，设、、是等差数列的第项，的首项为，公差为， ， 因为是有理数，是无理数， 所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项，故D正确． 故选：ACD． 7．(多选)（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… 将上述M数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q第行正整数的个数为，则以下说法正确的有（   ） A． B． C．是等差数列 D．将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，则位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数） 【答案】ABD 【解析】对于A，因第2行的正整数有 个，依题意去掉 ，即得，故A正确； 对于B，当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉，故 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12， 此时有10个符合，十位和个位分别为12个符合，此时有9个，故． 当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有个． 综上，由分类加法计数原理知．B正确； 对于C，由前面分析，可得，，，， 记， 则， ， ， 则， 故不是等差数列，即C错误； 对于D，因数列展开为：，而数列展开为：， 依题意可知则，位于数阵M中的第2行第7个位置（从左向右数），故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ． 【答案】 【解析】根据图中规律可知，每一行的最后一个数为，且个数为， 则第n行的最后一个数为，个数为，， 因为， 所以排在第行最后一个， 又第行个数为， 所以， 所以. 9．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 【答案】 【解析】因为数列是正奇数组成的数列， 所以数列中所有的奇数是数列和数列的公共项， 当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数； 综上所述：. 则， 所以． 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第______项. 【答案】28 【解析】依题意，数列，的通项公式分别为，令， 即有，则，因此，即，有， 于是得数列的通项为，，由得：， 所以数列的第10项是数列的第28项. 故答案为：28 11．（25-26高二上·福建漳州·期中）无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______ 【答案】 1622 【解析】数列是等比数列，则，， 则， 因为与无关，所以，即； 由题意可知，，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项（含）前共有项， 令，结合，解得：， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 故答案为：；1622． 12．（25-26高三下·陕西·阶段检测）设，，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为__________． 【答案】4 【解析】当时，则从满足题设的数列中删去任意一项后得到的新数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差又成等比数列，故知原数列的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数，当时，删去的必为第二或第三项，若删去第二项，利用成等比中项知，此方程有解，所以可以，同理删去第三项验证亦可，故可以，当时，只能删去第三项，且，此方程组无解，故，不可以，综上应填． 13.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（为常数）； (2)（i）；（ii）不存在满足条件的正整数. 【解析】（1）已知数列的前项和， 当时，，故， 当时，， 由，得：，整理得：，即， 通过累乘法可得：， 验证：， 而，两者相等，故的通项公式为（为常数）； （2）（i）在和之间插入个数，形成等差数列，共项，设公差为， 则：解得， 是该等差数列的第项（从开始计数为第项）， 故：代入， 得：； （ii）由（常数列），为（自然数倍数的数列）， 分析： 若，则，即，解得，无正整数解， 若，则（为正整数），即， 化简得，由于非整数，故左边非整数，矛盾， 综上，不存在正整数满足条件. 14．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【解析】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为 . 【答案】 【解析】一共 10 行，第10行需要 10 个数， 则最大数在第10行的概率为, 第9行需要 9 个数， 则剩余数中最大数在第9行的概率为 第n行需要 n个数， 则剩余数中最大数在第n行的概率为 满足的概率为. 2．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 3．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两项的积，称为对数列进行一次“积生长”.例如，对数列1，4分别进行两种操作：进行一次“和生长”得到数列，两次“和生长”得到数列；进行一次“积生长”得到数列，两次“积生长”得到数列.设对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为，进行次“积生长”后得到的数列为.记，则（    ） A． B． C．存在常数，使得数列为等比数列 D．数列的前项和 【答案】ACD 【解析】设第n次“积生长”后共插入项，即，共有个间隔，且， 则第次“积生长”后再插入项，则， 可得，且， 故数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，故，A正确； 对B：由题意可知： ， 故，B错误； 由B，，且， 所以，且， 所以，即， 又对数列1，4进行次“和生长”后得到的数列为， ， 根据题意可得第次构造后得到的数列为， 所以 即与满足的关系式为. 所以，又，则， 所以，即，， 所以， 由等比数列通项公式可知，当时，是等比数列，故C正确， 对于D，由C可知：， 所以， 所以的前项和为， 则， ， 两式相减可得：， 所以， 又数列前项和为， 所以数列的前项和，故D正确， 故选：ACD 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）记表示不超过的最大整数，已知数列满足，且，数列满足，记为数列的前项和，则_____________． 【答案】2023 【解析】因为数列满足，且，则， 当且时， ， 也满足， 故对任意的，，故， ， 当时，，则，所以， 此时，， 所以， ， ，所以. 5．（25-26高二下·四川·期中）若为关于x的方程的实数根，且．若，其中表示不超过x的最大整数．记数列的前n项和为，有恒成立，则实数 的取值范围为____________． 【答案】 【解析】当时，； 当时，. 又因为时，单调递增，所以. 当n为偶数时，； 当n为奇数时，. 当n为奇数时， ， 此时，即为， 当，或时，最小，所以. 当n为偶数时， ， 此时，即为， 当时，最小，所以. 综上： 的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设函数，. (1)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 【答案】(1)；（2）见解析 【解析】（1）对，都有恒成立， 即，， 所以，， 所以，. 令，，即，， 令，，则. 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，. 所以， 综上，实数的取值范围为. （2）（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 7．（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当时，求的数值；②求的所有可能值； （II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 【答案】（I）①；②（II）见解析. 【解析】解：（1）①当时，，，，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出． 若删去，则，即化简得，得 若删去，则，即化简得，得 综上，得或． ②当时，，，，，中同样不可能删去，，，，否则出现连续三项． 若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去； 当时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，，，，中，由于不能删去首项或末项， 若删去，则必有，这与矛盾； 同样若删去也有，这与矛盾； 若删去，，中任意一个，则必有，这与矛盾．（或者说：当时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，． （2）假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，，，其中，，为任意三项成等比数列，则，即，化简得 由知，与同时为0或同时不为0 当与同时为0时，有与题设矛盾． 故与同时不为0，所以由得 因为，且、、为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数． 于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列． 例如项数列1，，，，满足要求． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $