暑假作业02 等比数列、数学归纳法 （巩固培优,8知识10题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦等比数列与数学归纳法，以定义-公式-性质-判定为逻辑主线，融合函数特性与实际应用，通过题型分类提炼系统解题方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列|9类题型|定义法判定、基本量运算、性质应用、函数特性分析|从定义生成公式，经性质拓展至判定，构建“概念-运算-应用”完整链条| |数学归纳法|2类题型|两步法（归纳奠基、归纳递推）|从原理理解到证明应用，强化逻辑推理与数学语言表达|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 等比数列、数学归纳法 【知识点1 等比数列的有关概念】 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). 等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，称G为a与b的等比中项，此时，G2＝ab.即G＝±. 【注意】(1)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. (2)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同. 【知识点2 等比数列的通项公式】 1．等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2．通项公式的推广： 或 【知识点3 等比数列的前n项和公式】 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 【知识点4 等比数列的常用性质】 1.若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N＋.特别地，若2ω＝m＋n，则aman＝，其中m，n，ω∈N＋. 2.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N＋). 3.若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 q ， ， ． 4.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(p，q≠0). 5.对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； 6.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 7.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 【注意】(1)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N＋)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立.(2)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列. 【知识点5 等比数列与函数的关系】 1.等比数列{an}的通项公式可变形为an＝qn(q≠1)，它是关于n的指数型函数，它的图象是an＝qn(q≠1)上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 若或则等比数列{an}递增； 若或则等比数列{an}递减； 若q＝1，则等比数列{an}是常数列；若q＜0，则等比数列{an}是正负项交替的摆动数列. 2.前n项和公式可以变形为Sn＝qn－(q≠1)，它是关于n的指数型函数. 【知识点6 判定数列为等比数列的方法】 1.通项法：（是不为0的常数）为等比数列 2.中项法：若,则，，三个数成等比数列 3.函数法：(1)若，则为等比数列； (2)若Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)，则为等比数列. 4.性质法:(1)若是等比数列，则数列都是等比数列 (2)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(p，q≠0). 【知识点7 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 【知识点8 常用二级结论（拓展）】 1.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. ①若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. ②若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 4．若是公比为q的等比数列，则 （）． 【题型1 等比数列的概念】 1．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 【答案】C 【解析】等比数列的项和公比都不能为0，故AB错误；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错．故选：AC 2．（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 3．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 4．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 【答案】D 【解析】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为； 根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2. 故选：D. 【题型2 等比数列基本量的计算】 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意得：，又， 解得：. 2．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 【答案】C 【解析】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 3．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则．故选：B． 4．（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】为等比数列，已知，则， 化简可得①， 已知 ， 将 代入可得： ， 化简可得②， ①②可得：, 因为，则化简得，即； 所以，则. 又因为，且同号，所以，故. 【题型3 等比数列的判定与证明】 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 【答案】C 【解析】因为，，成等比数列且公比为，所以，，可得，，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A：，则不为定值，不满足； B：，则不为定值，不满足； C：，则为定值，且，满足； D：，则为定值，且，满足. 故选：CD 3．（2026·福建宁德·二模）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】（1）因为，故， 又，得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，故， 解法一：； 解法二： . 4.(25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，;(2) 【解析】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 【题型4 等比数列的性质及应用】 1．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】因为数列为等比数列，则， 即，解得. 故选：D. 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 3．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q，可得， 则， 所以．故选：B. 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）等比数列前n项和为，则的值为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 【答案】D 【解析】因为，由片段和性质得， 即解得，即. 5．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以.故选：D 6．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【答案】D 【解析】数列为正项等比数列，所以， ，得.又，得. 所以. 【题型5 等比数列的函数特性】 1．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 秒解：由等比数列前n项和的函数特性可知，对照可知q=2,p=-1,所以. 2．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】当时，， 当时，. 依题意，时也应该满足，则，解得. 当时，，，满足为等比数列，所以. 秒解：，由等比数列前n项和的函数特性可知，对照可知t=6. 3．（21-22高三上·北京房山·开学考试）已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，可知递减，所以为数列的最大项， 当为数列的最大项时，则，所以，解得且， 所以“”是“为数列的最大项”的充分而不必要条件， 故选：A 4．（2026·福建莆田·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故. 而， 故当时，；当时，； 当时，；故， 故. 5．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式 . 【答案】 【解析】等比数列为单调递减数列， ，或，，满足上述条件的一个数列的通项公式为：. 【题型7 等比数列与等差数列的综合】 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】设该等差数列的公差为，因为数列是递增的等差数列， 所以，因为是与的等比中项，所以，或舍去， ， 故选：B 2．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 3．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【解析】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 【答案】B 【解析】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，． 于是得，解方程组，得或， 所以这个正数数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，（舍）， 所以这个数列的第五项为112. 【题型8 等比数列的实际应用】 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 【答案】B 【解析】设塔的顶层共有盏灯，7层塔共有盏灯，列方程 ， 由等比数列求和公式得：，解得. 2．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【解析】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 3．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（   ） A．56 B．65 C．72 D．84 【答案】B 【解析】设等比数列为，公比为，等差数列为，公差为， 由题意可得，，，， 从而　①， 　②， ③， 由①②③可解得，，所以. 【题型9 数学归纳法的理解】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【解析】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 3．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 4．（24-25高二上·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B．C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 5．(多选)（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【解析】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【解析】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 【题型10 数学归纳法的应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 2．（25-26高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【解析】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【解析】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 1．（25-26高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 2．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【解析】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 3．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 4．（25-26高三上·北京·阶段练习）设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【解析】由题可设正项等比数列的公比为， 则， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B 5．（2026·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 6．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 7．（25-26高二下·北京海淀·期中）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 8．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【解析】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 9．（多选）（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 【答案】ABD 【解析】对于A，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故A正确； 对于B，由，可得数列是递减数列，故B正确； 对于C，，，，， ，故C错误； 对于D，因为，所以， 累加得，所以，即， 所以，又，故成立，故D正确． 故选：ABD. 10．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】ABD 【解析】因为，所以+3， 所以，又因为， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以， 所以，所以为递减数列，故C错误； 因为， 所以 ，故D正确． 11．(多选)（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B．已知是等比数列的前项和，若，，则； C．“等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D．如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 【答案】ACD 【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，则， 所以，则，A对， 对于选项B：在等比数列中为等比数列， 则，所以，可得，B错， 对于选项C：等额本息还款法定义为每期偿还同等数额的款项，故每期还款额构成的数列为常数列，C对， 对于选项D：由题设，初始三角形的周长为，每次操作各边长度变为原来的，边数变为原来的4倍， 故周长是原来的倍，则第个图形的周长，D对. 12．（多选）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【解析】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为（万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为：，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 13．（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________． 【答案】6 【解析】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 14．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【解析】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 15．（24-25高二·全国·课后作业）（1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1），，；（2）（）；（3）证明见解析 【解析】（1），，； （2）猜想：（）； （3）证明： （i）时，，成立； （ii）假设时，命题成立，即， 则时，，命题也成立， 综上，对一切且，成立． 16．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，正方形的边长，取正方形各边的中点，作第个正方形，其边长记为；然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为．记． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由题意得，第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点， 所以其边长是第个正方形边长的​倍，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． （2）由（1）知，． 所以， 所以①，②， 得， 所以． 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1)；(2)；(3)2116 【解析】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 1．（2026·河南·三模）已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由题意，解得. . 当为偶数时，，，此时随着的增大而增大，且，，此时. 当为奇数时，，则，此时随着的增大而减小，且，，. 综上，的取值范围是. 对任意的恒成立，即恒成立. 令，，，在和分别单调递增. ，即. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解析】设，，则， 因为， 可知数列为递增数列，则 当时， ， 可知， 所以． 3．(多选)（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD . 【解析】选项A：观察图形可知， 第1个图案中黑色三角形个数 ； 第2个图案中黑色三角形个数 ； 第3个图案中黑色三角形个数 ； 第4个图案中黑色三角形个数 ； 由此可知，数列是首项为1，公比为3的等比数列， 通项公式为 ，故选项A正确； 选项B：由选项A可知 ，显然 ， （例如时，），故选项B错误； 选项C：由通项公式可得 ，故选项C正确； 选项D：当时，，故选项D正确. 5．（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． 【答案】 【解析】根据题意， 第个大数对应的数值为. ①求： ， . ②求最小正整数使得： . 由， 得， 即， . 因为， ， 所以正整数的最小值为. 6．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 【答案】(1)； (2). 【 【解析】（1）当时，则有， 解得； 当时，由， 可得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以； （2）由题意可得，为常数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 设， 即， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 所以， 7．（2025高三·全国·专题练习）已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 【答案】(1)，，； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）， ， ； （2）猜想：， 显然时，满足， 若，成立， 则对于， 有， 综上，； （3）因为，， 所以， 由（2）知，， 所以的符号与的符号相同， 依次类推，我们只需要证明， 因为， 而，所以，所以，， 所以，所以，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 等比数列、数学归纳法 【知识点1 等比数列的有关概念】 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0). 等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得 成等比数列，称G为a与b的等比中项，此时，G2＝ .即G＝±. 【注意】(1)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. (2)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同. 【知识点2 等比数列的通项公式】 1．等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2．通项公式的推广： 或 【知识点3 等比数列的前n项和公式】 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 【知识点4 等比数列的常用性质】 1.若m＋n＝p＋q，则 ，其中m，n，p，q∈N＋.特别地，若2ω＝m＋n，则 ，其中m，n，ω∈N＋. 2.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N＋). 3.若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 ， ， ． 4.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(p，q≠0). 5.对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为 ，公比为 ； 6.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 7.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn， 仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) 【注意】(1)在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N＋)，则不一定有m＋n＝p＋q成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立.(2)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列. 【知识点5 等比数列与函数的关系】 1.等比数列{an}的通项公式可变形为an＝qn(q≠1)，它是关于n的指数型函数，它的图象是an＝qn(q≠1)上横坐标为正整数的一系列孤立的点. 若或则等比数列{an} ； 若或则等比数列{an} ； 若q＝1，则等比数列{an}是常数列；若q＜0，则等比数列{an}是正负项交替的摆动数列. 2.前n项和公式可以变形为Sn＝qn－(q≠1)，它是关于n的指数型函数. 【知识点6 判定数列为等比数列的方法】 1.通项法：（是不为0的常数）为等比数列 2.中项法：若,则，，三个数成等比数列 3.函数法：(1)若，则为等比数列； (2)若Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)，则为等比数列. 4.性质法:(1)若是等比数列，则数列都是等比数列 (2)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(p，q≠0). 【知识点7 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做 ，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为 和 . 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为 . 【知识点8 常用二级结论（拓展）】 1.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. ①若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列. ②若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 4．若是公比为q的等比数列，则 （）． 【题型1 等比数列的概念】 1．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 2．（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建莆田·阶段练习）数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ） A．， B．，2 C．，2 D．， 【题型2 等比数列基本量的计算】 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2026·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，则（     ） A．162 B．243 C．384 D．512 3．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 4．（2026·河南安阳·模拟预测）已知等比数列满足，则（    ） A． B．2 C． D．4 【题型3 等比数列的判定与证明】 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）若，，成等比数列且公比为，那么，，（    ） A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为 2．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列数列为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建宁德·二模）已知数列，且. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前29项和. 4.(25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型4 等比数列的性质及应用】 1．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 3．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）等比数列前n项和为，则的值为（    ） A．83 B．108 C．75 D．63 5．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 6．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【题型5 等比数列的函数特性】 1．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（21-22高三上·北京房山·开学考试）已知等比数列中，，那么“”是“为数列的最大项”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·福建莆田·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）等比数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式 . 【题型7 等比数列与等差数列的综合】 1．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 2．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）正数数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列的第五项为（    ） A．180 B．112 C．16 D．48 【题型8 等比数列的实际应用】 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 2．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 3．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）某学校组织名学生进行大型舞蹈节目排练，这些学生总共站成四排，四排的人数恰好依次成等比数列.排练中又来了7名同学参加，这7名同学有1名站在第一排，3名站在第二排，3名站在第三排，此时四排学生人数恰好依次成等差数列，则m=（   ） A．56 B．65 C．72 D．84 【题型9 数学归纳法的理解】 1．（25-26高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 3．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B．C． D． 5．(多选)（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【题型10 数学归纳法的应用】 1．（2025高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 2．（25-26高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 1．（25-26高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 2．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 3．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·阶段练习）设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（2026·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 7．（25-26高二下·北京海淀·期中）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 10．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 11．(多选)（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）下列命题正确的是（    ） A．已知为等差数列的前项和，若（，且），则； B．已知是等比数列的前项和，若，，则； C．“等额本息还款法”中每一期还款数构成的数列是常数列； D．如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）如此继续下去，得图（3）……则第个图形的周长为. 12．（多选）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A．等额本息方案，每月还款金额为10196元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2430元 D．等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 13．（2026·山西忻州·模拟预测）在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________． 14．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 15．（24-25高二·全国·课后作业）（1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 16．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图，正方形的边长，取正方形各边的中点，作第个正方形，其边长记为；然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为．记． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 1．（2026·河南·三模）已知等比数列的前n项和为，且，，若对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高三·全国·一轮复习）正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数．设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．(多选)（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． 6．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 7．（2025高三·全国·专题练习）已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $