暑假作业01 数列与等差数列（巩固培优，5知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，系统整合数列基础与等差数列核心内容，通过方法提炼与分层题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列概念|4题|数列表示法、单调性判定|从定义到表示，构建数列认知框架| |等差数列|12题|基本量运算、性质应用、最值求法|定义→通项→求和→性质，形成完整推理链| |拓展应用|5题|斐波那契数列性质、实际问题建模|联结数学文化与现实情境，发展模型意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 数列与等差数列 【知识点1 数列的有关概念】 1.基本概念 概念 含义 数列 按一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的 通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝ 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.数列的分类 一般地，项数 的数列称为有穷数列，项数 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 4．数列的最大项与最小项 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 【知识点2 等差数列】 1．等差数列的定义 一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 . 2．等差数列通项公式及变形、推广 （1）， （2） （3） ，且. 3．等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 4．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 5. 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【知识点3 等差数列的常用性质】 1.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则 . (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为 的等差数列. (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (4)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝ an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝ . 若等差数列项数为2n，则S偶－S奇＝ ，＝ . 2.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的等间隔的点. 当d＞0时，{an}是 数列；当d＜0时，{an}是 数列；当d＝0时，{an}是常数列. (2)前n项和公式可以变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点. 【知识点4 斐波那契数列（拓展）】 1.斐波那契数列 如果数列{Fn}满足：F1＝1，F2=1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)，则称由该递推公式给出的数列为斐波那契数列，也称兔子数列. 2.斐波那契数列的性质 斐波那契数列数列{Fn}有很多优美的性质，其中常用的有如下几个基本性质. [性质1]　＋＋…＋＝FnFn＋1 证明：由Fn＋1＝Fn＋Fn－1得，FnFn＋1＝Fn(Fn＋Fn－1)＝＋(Fn－1＋Fn－2)Fn－1＝＋＋Fn－2(Fn－2＋Fn－3)＝＋＋＋(Fn－3＋Fn－4)Fn－3＝…＝＋＋…＋＋.所以＋＋…＋＝FnFn＋1. [性质2]　数列{Fn}的通项公式Fn＝ 证明：由Fn＋2＝Fn＋1＋Fn得，Fn＋2－λFn＋1＝(－λ＋1)Fn＋1＋Fn＝(－λ＋1). 令－λ＝，得λ2－λ－1＝0， 解得λ＝. 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ① 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ② 　　由①②联立解得Fn＝. [性质3]　数列{Fn}的前n项和Sn＝Fn＋2－1. 证明：因为Fn＋2＝Fn＋1＋Fn＝Fn＋Fn－1＋Fn－1＋Fn－2＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－2＋Fn－3 ＝…＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋…＋F2＋F2＋F1＝Sn＋F2＝Sn＋1. 所以Sn＝Fn＋2－1. 【知识点5 常用二级结论（拓展）】 1.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)； 若an最小，则(n≥2，n∈N＋). 3.若an＋k＝an(k∈N＋)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 5.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 6.两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们的关系为＝. 【题型1 数列的概念】 1．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 2．（多选）（25-26高二下·全国·课堂例题）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列的第9项为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 周期数列】 1．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列满足，.若，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 求数列的通项】 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 2．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 3．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 4．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 6．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项______． 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【题型4 等差数列基本量的计算】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（    ） A．19， B．21， C．15， D．16， 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【题型5 等差数列的判定与证明】 1.(多选) (2025云南楚雄高二上期末)若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 4．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【题型6 等差数列的性质及应用】 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 2．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 3．（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 6．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【题型6 等差数列中的最值问题】 1．（24-25高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 2．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【题型7 等差数列的实际应用】 1．（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 2.(2025江西南昌外国语学校高二下期中)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 3．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）一组数据10，13，17，25，47的第80百分位数为，若6，，三个数成等差数列，则（    ） A．21 B．23 C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 5．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 8．(多选)（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 9.（多选）（2025四川绵阳高二下期中调研）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时，数列的公差为2 C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则正整数的取值为、、 10．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是 11．（25-26高三上·天津·阶段练习）正项等差数列中，，则的最小值为 . 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 13．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 1.（2025江西重点中学盟校高三下一联）从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 3．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 4．(多选)（25-26高二上·山东烟台·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·上海·开学考试）定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则 ． 6．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 数列与等差数列 【知识点1 数列的有关概念】 1.基本概念 概念 含义 数列 按一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.数列的分类 一般地，项数 有限 的数列称为有穷数列，项数 无限 的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的 末项 ． 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足 ，则是递增数列；若满足 ，则是递减数列；若满足 ，则是常数列． 4．数列的最大项与最小项 （1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 单调性 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 【知识点2 等差数列】 1．等差数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 差 都等于 同一个常数d ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 公差 . 2．等差数列通项公式及变形、推广 （1）， （2） （3） ，且. 3．等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 / 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 4．等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 5. 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 最大 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 最小 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【知识点3 等差数列的常用性质】 1.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列. (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (4)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝. 若等差数列项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. 2.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的等间隔的点. 当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. (2)前n项和公式可以变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点. 【知识点4 斐波那契数列（拓展）】 1.斐波那契数列 如果数列{Fn}满足：F1＝1，F2=1，Fn＝Fn－1＋Fn－2(n＞2)，则称由该递推公式给出的数列为斐波那契数列，也称兔子数列. 2.斐波那契数列的性质 斐波那契数列数列{Fn}有很多优美的性质，其中常用的有如下几个基本性质. [性质1]　＋＋…＋＝FnFn＋1 证明：由Fn＋1＝Fn＋Fn－1得，FnFn＋1＝Fn(Fn＋Fn－1)＝＋(Fn－1＋Fn－2)Fn－1＝＋＋Fn－2(Fn－2＋Fn－3)＝＋＋＋(Fn－3＋Fn－4)Fn－3＝…＝＋＋…＋＋.所以＋＋…＋＝FnFn＋1. [性质2]　数列{Fn}的通项公式Fn＝ 证明：由Fn＋2＝Fn＋1＋Fn得，Fn＋2－λFn＋1＝(－λ＋1)Fn＋1＋Fn＝(－λ＋1). 令－λ＝，得λ2－λ－1＝0， 解得λ＝. 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ① 当λ＝时，F2－F1＝，Fn＋2－Fn＋1＝. 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Fn＋1－Fn＝×＝. ② 　　由①②联立解得Fn＝. [性质3]　数列{Fn}的前n项和Sn＝Fn＋2－1. 证明：因为Fn＋2＝Fn＋1＋Fn＝Fn＋Fn－1＋Fn－1＋Fn－2＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋Fn－2＋Fn－3 ＝…＝Fn＋Fn－1＋Fn－2＋…＋F2＋F2＋F1＝Sn＋F2＝Sn＋1. 所以Sn＝Fn＋2－1. 【知识点5 常用二级结论（拓展）】 1.已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)； 若an最小，则(n≥2，n∈N＋). 3.若an＋k＝an(k∈N＋)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 5.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 6.两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则它们的关系为＝. 【题型1 数列的概念】 1．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【解析】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 2．（多选）（25-26高二下·全国·课堂例题）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【解析】对于A，因为数列的项是有顺序的，这两个数列虽然项的组成相同，但不是相同的数列，A错误； 对于B，由数列和函数的关系可知B正确； 对于C，数列的第6项即，故C正确； 对于D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，故D错误． 故选：BC. 3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）数列的第9项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列， 分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为； 分母：，通项为， 故数列的通项为， 所以第9项：. 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知，数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以可得数列的第项为， 由，解得. 所以该数列的项数为. 【题型2 周期数列】 1．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知数列满足 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】，，，， 可见，数列的周期为， ， ． 2．（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，，而，且，由，得正整数的最小值为2. 3．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知数列满足，.若，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】，，故， 当时，，，. 故正整数的最小值是2. 【题型3 求数列的通项】 1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【解析】观察可得，，， 所以，又， 所以． 2．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A．511 B．1023 C．1024 D．2047 【答案】B 【解析】由题可知：， 当时，，…， 累加得：， 所以，即，又也适合， 则. 3．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【解析】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 4．（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______. 【答案】 【解析】根据数列前项和与通项的对应关系求解： 当时，； 当且时，. 经检验，时，不满足时的表达式， 因此 6．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 【答案】 【解析】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项______． 【答案】 【解析】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 8．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【解析】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【题型4 等差数列基本量的计算】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（    ） A．19， B．21， C．15， D．16， 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以数列的首项与公差依次为. 2．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， . 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 则，即，解得， 所以. 故选：C 【题型5 等差数列的判定与证明】 1.(多选) (2025云南楚雄高二上期末)若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为d. 对于A，，所以是以为公差的等差数列； 对于B，，因为不一定为常数，所以不一定是等差数列； 对于C，因为，所以为等差数列； 对于D，因为，所以为等差数列. 故选ACD. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【解析】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 4．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． （2）因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 【题型6 等差数列的性质及应用】 1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 【答案】C 【解析】数列为等差数列，所以. 故选：C 2．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【解析】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 3．（24-25高二上·河南·期中）设p为“”，q为“是等差数列”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若p成立，即成立时，数列不一定为等差数列， 例如，即充分性不成立， 当为等差数列，则由等差数列的性质可知p成立，即必要性成立， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：C． 4.（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 5．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 【答案】 【解析】在等差数列中，，可得. 6．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【解析】由题意得 所以. 【题型6 等差数列中的最值问题】 1．（24-25高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【解析】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列的前n项和为，若：，，则取到最大值的n是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】设等差数列公差为，因为，， 所以，，所以，． 所以该数列单调递减，且, 所以当时，取得最大值． 故选：A． 3．（25-26高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且，，当取得最小值时，（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， 令，因为，所以， 所以二次函数的图象关于直线对称． 又因为，可得，所以当取得最小值时，． 故选：B 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【解析】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【题型7 等差数列的实际应用】 1．（2026·江苏无锡·三模）某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（    ）TFLOPS. A．29 B．32 C．35 D．38 【答案】C 【解析】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 2.(2025江西南昌外国语学校高二下期中)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【解析】设这十二个节气日影长为数列，则是等差数列， 由题可知，， 由等差数列性质得， ， 所以公差，则，故选C. 3．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升． 【答案】 【解析】设从上到下各节的容积依次构成等差数列，公差为， 则由题, 故, 解得:, 所以. 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）一组数据10，13，17，25，47的第80百分位数为，若6，，三个数成等差数列，则（    ） A．21 B．23 C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又6，，三个数成等差数列，所以. 故选：A 2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【解析】由可得， 则 . 3．（25-26高二下·四川成都·期中）《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， 化简得 ①， 较大的三份为后三项，较小的两份为前两项， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为. 4．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】B 【解析】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 5．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 6．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 7．（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 8．(多选)（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【解析】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 9.（多选）（2025四川绵阳高二下期中调研）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的有（    ） A． B．当时，数列的公差为2 C．当时，是数列中的项 D．若是数列的项，则正整数的取值为、、 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，当时，数列的公差为，故B错误； 对于C，当时，数列的首项为2，公差为， 故，故， 令，解得，所以是数列的第8项，故C正确； 对于D，插入个数，则，，，，， 所以等差数列中的项在等差数列中对应的项的序号是 以1为首项，为公差的等差数列，即， 若是数列的项，则，即， 因为，所以的可能取值为， 则正整数的取值为、、，故D正确. 故选ACD. 9．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是 【答案】 【解析】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 10．（25-26高三上·天津·阶段练习）正项等差数列中，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为， ，，， ， 当时，， 当时，取得最小值. 综上：. 11．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 12．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）. （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 1.（2025江西重点中学盟校高三下一联）从1，2，……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设取出的3个不同的数分别为a,b,c，不同的取法共有种， 若这3个数构成等差数列，则有. 故a、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定. 从而所求概率为.故选D． 2．（25-26高三下·江西赣州·期中）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 其中表示第行第个数，例如，若，则（    ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】C 【解析】根据数阵的规律，可得每一行的数字的个数组成首项为，公差为的等差数列， 所以前行中数字的个数之和为， 当时，可得；当时，可得， 则， 又由数阵的第行的第一个数为， 所以位于数阵的第行的第个数，即，所以. 3．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 4．(多选)（25-26高二上·山东烟台·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题可知斐波那契数列定义为：， 令，即除以4的余数. 计算的周期性： 前几项为： 观察得是以为周期的周期数列， 一个周期为：，和. A选项：计算（余数为），则，A正确； B选项：利用斐波那契数列性质可知， 求和：， 因为，所以 取：，B错误； C选项：，个完整周期的和， 余下项为， ，，C正确； D选项：先证明恒等式，当时，， 则平方和： ， 取：，D正确. 故选：ACD 5．（25-26高二上·上海·开学考试）定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量垂直，则 ． 【答案】/ 【解析】， 因为向量与非零向量垂直， 故， 由题设可知，故，故， 故 . 6．（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. （2）由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； （3）证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $