专题02 相反数和绝对值（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

专题02 相反数和绝对值（七大题型） 【考点1 相反数的概念和表示】...........................................................................................1 【考点2 相反数的性质运用】...............................................................................................1 【考点3 化简多重符号】.......................................................................................................2 【考点4 绝对值的定义】.......................................................................................................2 【考点5 利用绝对值的性质化简】........................................................................................3 【考点6绝对值分非负性】...................................................................................................3【考点7绝对值的几何意义】.................................................................................................4 【考点1 相反数的概念和表示】 1．的相反数是（    ） A． B．6 C． D．9 2．2025的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．若有理数与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若是2的相反数，则的值是 ． 【考点2 相反数的性质运用】 1.若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，则 ． 2.若p、q互为倒数，m，n互为相反数，则 ． 3.设、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 4.若a，b互为相反数，c、d互为倒数，求的值 5．已知互为倒数，互为相反数，则 ． 6．知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，求的值 7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【考点3 化简多重符号】 1．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果为（   ） A．1 B． C． D． 3．化简： 4．若，则 ． 5．化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 6．计算： ． 【考点4 绝对值的定义】 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 3．一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 4．手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好，则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（    ） A． B． C． D． 5．计算： ． 6．绝对值是7的正数是 ． 7．绝对值不大于的整数有 个． 8．已知，，则的值为 ． 【考点5 利用绝对值的性质化简】 1．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．已知非零有理数x，y满足+＝﹣2，则﹣为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．若|x|=5，|y|=7，且|x-y|=x-y，则x+y的值是 （   ） A．-2. B．-12. C．-2或-12. D．2或12 4．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 5．已知 (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【考点6绝对值分非负性】 1．若，则等于（　　） A．1 B． C．3 D． 2．若，则 ． 3．若，则的值为 ． 4．若和互为相反数，则的值为 ． 5．若，则 6．已知，则 ． 7．若，则 ． 8．若，求、的值． 【考点7绝对值的几何意义】 1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 2．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 3．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 4．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 1．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 2．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：． 综上所述，的值为3或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求的值． 3．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 4．阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相反数和绝对值（七大题型） 【考点1 相反数的概念和表示】...........................................................................................1 【考点2 相反数的性质运用】...............................................................................................2 【考点3 化简多重符号】.......................................................................................................5 【考点4 绝对值的定义】.......................................................................................................7 【考点5 利用绝对值的性质化简】........................................................................................9 【考点6绝对值分非负性】...................................................................................................11 【考点7绝对值的几何意义】...............................................................................................14 【考点1 相反数的概念和表示】 1．的相反数是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，解题关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义求解． 【详解】解：与9只有符号不同，它们互为相反数， 所以的相反数是9， 故选：D． 2．2025的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 3．若有理数与互为相反数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数求出． 【详解】解：有理数与互为相反数， ． 故选：A． 4．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数,熟练掌握“两个数符号相反，绝对值相等”是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 去负号得， 因此，的值为， 故答案为： D ． 5．若是2的相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】该题考查了相反数，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵是2的相反数， ∴的值是， 故答案为：． 【考点2 相反数的性质运用】 1.若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方是解题的关键． 2.若p、q互为倒数，m，n互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数和相反数的应用，先根据题意得，，再代入计算即可． 【详解】因为p，q倒数， 所以. 因为m，n互为相反数， 所以． 所以原式． 故答案为：． 3.设、互为相反数，、互为倒数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据相反数的性质得到，倒数得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，， ∴； 故答案为：． 4.若a，b互为相反数，c、d互为倒数，求的值 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质，倒数的性质，代数式求值，根据题意可知，，然后代入计算即可．解题的关键是掌握相反数的性质，倒数的性质． 【详解】解：∵a、b互为相反数，c，d互为倒数 ∴，， ∴ 5．已知互为倒数，互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数以及相反数，熟练掌握倒数以及相反数的性质是解题的关键．根据题意得到，代入求值即可； 【详解】解：根据题意得到， 故原式． 故答案为：． 6．知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，求的值 【答案】 【分析】此题考查代数式的求值，根据相反数的定义、倒数的定义、绝对值的性质求得，，，代入代数式计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴ 7．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ． 【答案】21 【分析】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握互为相反数的两数和为0、乘积等于1的两数互为倒数是解本题的关键． 利用相反数，倒数的定义求出，，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴，， ∴， 故答案为：21． 【考点3 化简多重符号】 1．下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多重符号化简，根据“奇负偶正”的方法进行化简即可求解． 【详解】解：A．，本选项化简错误； B．，本选项化简正确； C．，本选项化简错误； D．，本选项化简错误． 故选：B 2．化简的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多重符号的化简，一个数前面有偶数个“－”号，结果为正，一个数前面有奇数个“－”号，结果为负，0前面无论有几个“－”号，结果都为0． 【详解】解：． 故选B． 3．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握运用相反数的定义化简多重符号是解题的关键． 根据相反数的定义化简多重符号即可． 【详解】解：． 故答案为： 4．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握化简多重符号的方法是解题关键．根据化简多重符号可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 5．化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 【答案】 5 1 4 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义求解各题即可，一个数前面不管有多少个“”，都可以把“”去掉．其次要看“”的个数，当“”的个数为偶数时，结果取“”，当“”的个数为奇数时，结果取“”‌． 【详解】（1）； 故答案为：5； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：1； （5）； 故答案为：； （6）； 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简多重符号，根据化简多重符号的方法即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点4 绝对值的定义】 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的绝对值等于它本身，据此即可求得答案． 本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 2．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值的它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：， 则的绝对值是， 故选：C． 3．一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为，则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】B 【分析】本题考查的是正数、负数的实际应用和绝对值的意义，明确绝对值最大的零件与规定长度偏差最大是解题的关键．根据绝对值最小的零件质量最好，即可判断． 【详解】解：， 质量最好的零件是第二个， 故选：B． 4．手机信号的强弱通常采用值来表示，值越大表示信号越好，则下列表示手机信号强弱的值中，信号最好的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．根据有理数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴信号最好的是． 故选：A． 5．计算： ． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：2025． 6．绝对值是7的正数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查正数和负数及绝对值，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数及绝对值的定义即可求得答案． 【详解】解：绝对值是7的正数是7， 故答案为：7． 7．绝对值不大于的整数有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可确定绝对值不大于的整数，进而可得答案． 【详解】解：绝对值不大于的整数有，共7个， 故答案为：7． 8．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 【考点5 利用绝对值的性质化简】 1．若有理数、满足，，则的值等于（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据，，得出，再根据绝对值的性质进行解答即可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．已知非零有理数x，y满足+＝﹣2，则﹣为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】先根据题意推得x<0，y<0，再根据有理数的乘除法法则和绝对值的性质计算即可． 【详解】解：∵+＝﹣2 ∴x<0，y<0 ∴xy＞0 ∴﹣． 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的加法以及乘除法，根据有理数的加法和绝对值的性质确定x、y的正负成为解答本题的关键． 3．若|x|=5，|y|=7，且|x-y|=x-y，则x+y的值是 （   ） A．-2. B．-12. C．-2或-12. D．2或12 【答案】C 【分析】根据x，y的绝对值，可求出x，y的值；根据|x-y|=x-y可知x-y＞0，分类讨论，求x+y的值即可. 【详解】∵|x|=5，|y|=7， ∴x=±5，y=±7． ∵|x-y|=x-y， ∴x-y＞0，即x>y， ∵5<7，-5<7， ∴y=-7， ∴当x=5时：x+y=5-7=-2， 当x=-5时：x+y=-5-7=-12, 故选C. 【点睛】本题考查了绝对值的性质，分类讨论，以免漏解是解题关键. 4．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 5．已知 (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可得出满足条件的的取值，即可求解； （2）根据可得出满足条件的的取值组合，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴或 ∴或 【点睛】本题考查绝对值的应用．根据限制条件得出的可能取值是解题关键． 【考点6绝对值分非负性】 1．若，则等于（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值、偶次方的非负性、绝对值的非负性、解一元一次方程，熟练掌握偶次方的非负性和绝对值的非负性是解题关键．先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性求出x，y的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方及绝对值的非负性，代数式求值，先根据平方及绝对值的非负性得出，继而解出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了绝对值非负性的应用和代数式求值，准确计算是解题的关键．根据绝对值和乘方的非负性求出m，n，代入计算即可． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．若和互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、求代数式的值，先根据相反数的定义得出，再根据绝对值的非负性得出，，求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解： 和互为相反数， ， ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 5．若，则 【答案】8 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性．根据偶次方、绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：8． 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值非负性质的应用，根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，偶次方的非负性，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．直接利用绝对值的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故答案为：． 8．若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得，． 【考点7绝对值的几何意义】 1．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题思想． （1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，求与之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 2．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【答案】(1)，或； (2)，，． 【分析】本题主要考查了有理数数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，难点是分类讨论． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为：； 可以看作表示的点到的距离与到2的距离以及到4的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 3．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 4．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离． (1)若，则_______， ________； (2)若，则_______； (3)若，且x的值为整数，则x值为_______； 【答案】(1) (2)5或 (3) 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （1）根据绝对值的非负性求解即可； （2）由可得或，求解方程即可； （3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可． 【详解】（1）若， 则，解得，，解得． （2）若， 则或， 解得或． （3）若， 表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5， ， x的值为整数， x值为． 1．已知． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据结合条件可确定的值，即可求解； （2）根据结合条件可确定的所有可能取值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴或 ∴或 【点睛】本题考查了绝对值的应用．根据限制条件推断的可能取值是解题关键． 2．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：． 综上所述，的值为3或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)根据，，且，即可求得a、b的值，据此即可解答； (2)分两种情况：，和，，即可分别求得． 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，或， ∴或， 的值为或； （2）解：当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了已知一个数的绝对值求这个数及化简绝对值，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 3．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 4．阅读材料： 数轴上点A，B分别表示有理数a，b，表示A，B两点之间的距离，则．如：4与两数在数轴上对应的两点之间的距离为；又如：可以写成，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离． 解决问题： （1）若，则______，若，则______． （2）表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和．请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得： ①； ②． 猜想： （3）对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）或；；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）①由绝对值的定义求解即可；②由绝对值的定义求解即可； （3）根据题意，表示到这三点的距离和最小值，则当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴或； ∵， 则表示到和的距离相等， ∴； （2）①表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为5， 如图， ∵， ∴的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； ②表示数轴上有理数x对应的点到和3对应的两点距离之和为7， 如图， ∵， ∴表示x的数在的左侧或在的右侧一个单位时成立， ∴或的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为：； （3）∵表示数的点到表示的点的距离之和， 当时，代数式的最小值为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $