2026年陕西中考数学备考——二次函数的实际应用（第25题）

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过15道生活情境题构建“建模-求解-应用”逻辑链，强化数学建模与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |运动轨迹|5题（足球/羽毛球/跳水等）|实际情境二次函数应用，两问结构（求表达式+解决实际问题）|实际情境→坐标系建立→顶点/对称/已知点求表达式→应用表达式解决距离/高度问题| |建筑结构|5题（轨道/航站楼/车棚等）|实际情境二次函数应用，两问结构（求表达式+解决实际问题）|实际情境→坐标系建立→顶点/对称/已知点求表达式→应用表达式解决距离/高度问题| |设备应用|5题（消防水枪/喷水池等）|实际情境二次函数应用，两问结构（求表达式+解决实际问题）|实际情境→坐标系建立→顶点/对称/已知点求表达式→应用表达式解决距离/高度问题|

2026陕西中考备考——每天一道二次函数 第1天 1．如图1为某玩具汽车轨道的局部示意图，该轨道可近似看作由两段抛物线组成，将其抽象为如图2所示的抛物线L和抛物线L1，点A、B分别在抛物线L、L1上，点O在抛物线L、L1上，点A、O、B在同一条水平直线上，以AB所在直线为x轴，过点O的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线L和抛物线L1关于y轴对称，点O与点A关于抛物线L的对称轴对称，点O与点B关于抛物线L1的对称轴对称，OA＝8dm，抛物线L的函数表达式为（b为常数）． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）轨道下面有一个支架，抛物线L与支架的接触点为C、D（即C、D在抛物线L上，点C在点D的右侧），抛物线L1与支架的接触点为E、F（即E、F在抛物线L1上，点F在点E的左侧），C、D、E、F四点到x轴的距离都为，求C、F之间的距离． 第2天 2．如图1是卫星接收器，其纵截面可以看作如图2所示的抛物线．已知该卫星接收器的口径OA＝60cm，点O与点A关于抛物线的对称轴对称，纵截面所在抛物线的最大深度为10cm．以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，经过点O且与OA垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线上的点B（在对称轴右侧）是该卫星接收器内某一支架与抛物线的接触点，且点B到x轴的距离为cm，求点B的坐标． 第3天 3．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，对水池进行扩建改造，扩建改造后喷水池水柱的最大高度为，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池的直径扩大到多少米． 第4天 4．《西安市居民住宅区消防安全规定》于2026年4月1日起正式施行．为此，某消防站进行实战演练．演练过程中启动消防车联动无人机高层灭火救援系统．无人机升空，当消防水枪的出水口在点A处时，如图，喷出的水流可看作抛物线L的一部分，点A到地面的距离AO＝20米，水流最终落在大楼外墙BD上的点B处．以地面OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流（抛物线L）到y轴的水平距离为6米时，水流达到最大高度22米． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）当无人机从点A沿y轴下降到点C时，水流的落点恰好在地面上的点D处，水流的形状不改变（即抛物线的形状不变），AC＝14米，BD⊥OD，求大楼外墙与无人机之间的水平距离OD． 第5天 5．为了提高运动员成绩，大赛前训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点O处，其弹射出口记为点A，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为x（单位：米），羽毛球到地面的高度为y（单位：米），y与x的部分对应数据如表所示． x（米） … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 … y（米） … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 … （1）求y与x的函数解析式． （2）调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点O的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？ 第6天 6．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线．如图所示，小明从球门底部O正前方8米的A处射门，现以O为原点，以OA所在直线为x轴，以球门高OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，球门OB＝2.8米，守门员最大防守高度OC＝2.4米，则当小明带球向正前方移动4米再射门，足球能否从BC之间射进球门（不含点C和B），并说明理由． 第7天 7．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 第8天 8．城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点O是消防水枪喷水口，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m，水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m．以O为原点，水平地面所在直线为x轴，过点O且垂直于水平地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求点O处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处．求喷水口移动的距离． 第9天 9．城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源． 已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点O是消防水枪喷水口，喷出的水流与点O的水平距离为6m时达到最高点，最大高度为18m，水流落在高楼外墙上的点A处，高楼外墙与点O的水平距离为8m．以O为原点，水平地面所在直线为x轴，过点O且垂直于水平地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求点O处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； （2）若消防员将水枪喷水口从点O处向右移动至点B处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点A处．求喷水口移动的距离． 第10天 10．某航站楼正门的截面示意图是如图1所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形．两抛物线交于点C，以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系如图2所示，已知AB＝24米，将y轴左、右两侧的抛物线分别记为L1、L2（L1与L2关于y轴对称），抛物线L1的最高点到水平地面AB的距离为9米，到y轴的距离为3米，两条抛物线的对称轴均与x轴垂直． （1）分别求抛物线L1和抛物线L2的函数表达式； （2）为了方便旅客，该航站楼负责人计划分别在抛物线L1和抛物线L2上的点D、E处安装喇叭（大小忽略不计，且点D、E关于y轴对称），以便提示重要信息，已知D、E之间的距离为16米，求点D到地面的距离． 第11天 11．跳水运动员进行10米跳台跳水训练时在空中运动的路线可近似看成抛物线．如图，C为跳台水面边缘点，某运动员在跳某个规定动作时，其在空中最高处为点A．正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．按照如图所示建立平面直角坐标系，已知O为原点，点，，入水点为B． （1）求该运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围） （2）若该运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为4.5米，则该运动员此次跳水是否会失误？请通过计算说明理由． 加练1 12．海盗船是一种绕水平轴往复摆动的观览车类游艺机，乘客乘坐于海盗船之上，随着由缓至急的往复摆动，犹如莅临惊涛骇浪的大海之中．如图1是某游乐场的海盗船，其底部轮廓可近似看作抛物线的一部分，当该海盗船静止时，其最低点A距离地面1.5m．图2是该海盗船静止时的底部截面示意图．如图，以水平地面为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，此时海盗船最左侧的点B处距离地面4m，且与y轴的水平距离为5m． （1）求该海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式； （2）在海盗船上的两侧，距离地面2.4m处的两个座位（视为点）之间的距离是多少米？ 加练2 13．周末，数学小组成员到某单位停车场对膜结构车棚进行数学研究．他们将车棚棚顶的横截面看作是抛物线的一部分．经测量，支柱连接点A到地面的距离OA为1.6米，棚顶的最高点B距离地面2.725米，与支柱OA的水平距离是7.5米，且车棚右边沿就是抛物线的最高点B处．他们以OA所在直线为y轴，地面上与OA垂直的水平线为x轴建立平面直角坐标系，画出了车棚顶的竖直高度y（单位：米）与到车棚支柱AO的水平距离x（单位：米）之间的函数图象． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）一辆送办公家具的小货车想要把车停在车棚下，已知该货车的长为5.5米，高为1.8米，停车场管理处规定：为了安全，货车最高处与车棚的距离要不小于0.3米．请你通过计算，判断该货车能否完全停到车棚内． 加练3 14．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线AMB和线段AB组成，已知AB＝10dm，O是AB的中点，花坛的最大深度OM＝4dm，OM⊥AB，以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OM所在直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点C、D是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点C、D在抛物线上），且C、D关于y轴对称，若点A到水平地面EF的距离为7dm，C、D两点之间的距离为5dm，EF∥x轴，求点C到水平地面EF的距离． 加练4 15．如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段AB、抛物线L和抛物线L′围成的封闭图形．抛物线L、L′的顶点分别为M、N，抛物线L、L′交于点C，以过M、N的直线为x轴，过点C的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，O为坐标原点．抛物线L与L′关于y轴对称，AB∥x轴，AB与x轴之间的距离为米，米，抛物线L的函数表达式为（c为常数）． （1）求抛物线L′的函数表达式及点N的坐标； （2）窗户上有两条竖直的支撑骨架DE和FG（宽度不计），点D、F在AB上，点E、G分别在抛物线L、L′上，DE⊥AB，FG⊥AB，点D与点F关于y轴对称，DF＝3米，分别求DE与FG的长． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）∵OA＝8dm， ∴A（8，0）． 将点A（8，0）代入， ∴，则b＝﹣2， ∴抛物线L的函数表达式为． ∵抛物线L和抛物线L1关于y轴对称， ∴抛物线L1的函数表达式为或； （2）令，则， ∴x1＝﹣5，x2＝﹣3， ∵点F在点E的左侧， ∴点F到y轴的距离为5dm， ∴由对称性可得，C、F之间的距离为10dm． 2．【解答】解：（1）由条件可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣30）2﹣10（a≠0）， 将A（60，0）代入y＝a（x﹣30）2﹣10，得900a﹣10＝0， 解得， ∴（或）． （2）由题意可得点B的纵坐标为， ∴， 解得x1＝10，x2＝50． ∴点B在对称轴右侧， ∴点B的坐标为． 3．【解答】解：（1）由题意可设抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y＝a（x+3）2+5， 把（﹣8，0）代入得，a（﹣8+3）2+5＝0， 解得：， ∴抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． （2）∵抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， ∴当x＝0时，， ∴改造后的抛物线经过点， ∵改造后喷水池水柱的最大高度为， ∴设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 把代入得， 解得：或（与抛物线在第二象限不符，舍去）， ∴抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 当y＝0时，， 解得：x1＝﹣12，（舍去）， ∴扩建改造后喷水池的直径扩大到12×2＝24米． 4．【解答】解：（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣6）2+22， 将A（0，20）代入得：20＝a（0﹣6）2+22， 解得：， 则抛物线表达式为：． （2）由题意得：OC＝AO﹣AC＝20﹣14＝6，即C（0，6）， 由题意可知二次项系数不变，对称轴仍为x＝6， 设新抛物线L′的表达式为， 则：， 解得：k＝8， 即， ∵点D在x轴上， 令y＝0，则， 解得：x＝18（x＝﹣6舍去，距离为正）， ∴OD＝18米． 5．【解答】解：（1）由表格信息可知，∵抛物线过（1.8，2.25），（2.2，2.24）， ∴对称轴是直线x2． ∴抛物线的顶点为（2，2.25）． ∴可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+2.25． 又∵其图象过点（2.2，2.24）， ∴2.24＝a（2.2﹣2）2+2.25． ∴a＝﹣0.25． ∴y关于x的函数表达式为：y＝﹣0.25（x﹣2）2+2.25． （2）由题意，当y＝0时，0＝﹣0.25（x﹣2）2+2.25， ∴x1＝5，x2＝﹣1＜0（舍去）． ∴羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米． 又∵抛物线的形状和对称轴位置都不变， ∴可设抛物线的解析式为：y＝﹣0.25（x﹣2）2+k， ∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加1米， ∴当y＝0时，x＝5+1＝6， ∴0＝﹣0.25（6﹣2）2+k， ∴k＝4． ∴y＝﹣0.25（x﹣2）2+4． ∴当x＝0时，y＝﹣0.25（0﹣2）2+4＝3． ∴发球机的弹射口高度OA应调整为3米． 6．【解答】解：（1）根据题意可判断，抛物线顶点坐标为（2，3），A（8，0）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+3， 将点A（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+3， 得0＝a（8﹣2）2+3， 解得， 故． （2）能，理由：小明带球向正前方移动4米后，得新抛物线表达式为：， 当x＝0时，， ∵， ∴足球能从BC之间射进球门． 7．【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 8．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点为（6，18）， ∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+18（a≠0）， 将O（0，0）代入，得a（0﹣6）2+18＝0， 解得， ∴点O处喷出的抛物线形状水流的函数表达式为； （2）当x＝8时，， 设喷水口移动的距离为tm， ∴， 将A（8，16）代入，得， ， 解得t1＝4，t2＝0（舍去）． 答：喷水口移动的距离为4m． 9．【解答】解：（1）由条件可设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+18（a≠0）， 将O（0，0）代入，得a（0﹣6）2+18＝0， 解得， ∴点O处喷出的抛物线形状水流的函数表达式为； （2）由条件可知点A的坐标为（8，16）， 设喷水口移动的距离为tm， ∴喷水口移动后，喷出的抛物线形状水流的函数表达式为， 将A（8，16）代入得： ， 解得t1＝4，t2＝0（舍去）． 答：喷水口移动的距离为4m． 10．【解答】解：（1）设抛物线L1的解析式为y＝a（x+3）2+9，把A（﹣12，0）代入， 得0＝a×（﹣12+3）2+9， 解得， ∴抛物线L1的解析式为， ∵抛物线L1、L2关于y轴对称， ∴抛物线L1、L2的形状和开口方向相同，抛物线的顶点坐标为（3，9）， ∴抛物线L2的函数表达式为； （2）由条件可知点D的横坐标为﹣8， 把x＝﹣8代入，得， 答：点D到地面的距离为米． 11．【解答】解：（1）由题意，∵顶点， ∴设抛物线为， 又抛物线过C（，﹣10）， ∴﹣10＝a（1）2． ∴． ∴y（x﹣1）2； （2）本次跳水失误，理由如下： 由题意，C横坐标， ∵调整好入水姿势时，恰好距点C的水平距离为4.5米， ∴调整姿势位置横坐标：． 把x＝3代入y（3﹣1）25.95， ∵10﹣5.95＝4.05m＜5m， ∴本次跳水失误． 12．【解答】解：（1）设海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴该抛物线的对称轴为y轴，即，则有b＝0， ∴抛物线的函数表达式为y＝ax2+c（a≠0），则： ∴， 解得， ∴y＝0.1x2+1.5（﹣5≤x≤5）， ∴该海盗船底部轮廓所在抛物线的函数表达式为y＝0.1x2+1.5（﹣5≤x≤5）； （2）由题意可得：当y＝2.4时，则有2.4＝0.1x2+1.5， 即0.1x2＝0.9，可得x2＝9， 解得x＝3或x＝﹣3， 即两个座位的横坐标分别为﹣3和3， ∴这两个座位之间的距离为|3﹣（﹣3）|＝6， 答：距离地面2.4m处的两个座位（视为点）之间的距离是6米． 13．【解答】解：（1）根据题意得A（0，1.6），B（7.5，2.725）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣7.5）2+2.725， 将点A代入得：a（0﹣7.5）2+2.725＝1.6， 解得：a＝﹣0.02， ∴y＝﹣0.02（x﹣7.5）2+2.725； （2）根据题意得，货车最左侧距离y轴的距离为7.5﹣5.5＝2米， ∴当x＝2时，y＝﹣0.02×（2﹣7.5）2+2.725＝2.12， 由题意可得：2.12＞1.8+0.3＝2.1， ∴该货车能完全停到车棚内． 14．【解答】解：（1）根据题意得：A（﹣5，0），B（5，0），M（0，﹣4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣0）2﹣4，把B（5，0）代入得： 0＝a（5﹣0）2﹣4， 解得：， ∴； （2）由题意可得：C、D两点之间的距离为5dm， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点C到AB的距离为3dm， ∵EF∥x轴， ∴EF∥AB， ∵点A到水平地面EF的距离为7dm， ∴点C到水平地面EF的距离为7﹣3＝4（dm）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $