专题01 二次根式（暑假复习讲义）新九年级数学新教材浙教版

专题01 二次根式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二次根式的概念、性质与有意义条件 题型2 最简二次根式与二次根式的化简 题型3 二次根式的运算 题型4 二次根式中的参数问题 题型5 二次根式的实际应用与探究 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二次根式的概念与有意义条件 2. 二次根式的性质 3. 最简二次根式与同类二次根式 4. 二次根式的运算 5. 二次根式中的参数问题 6. 二次根式的化简求值 7. 二次根式的实际应用与探究 1. 二次根式有意义条件：根据二次根式的定义，确定字母的取值范围，是本章最基础、最常见的考法；常与分式、绝对值等知识结合，综合考查学生的符号意识与分类讨论能力。 2. 二次根式性质应用：重点考查。 3. 最简二次根式的判定与化简：利用提取完全平方因数的方法进行化简，考查学生对根式结构的分析能力；同类二次根式的识别往往作为后续运算的基础。 4. 二次根式运算：包括加减、乘除及分母有理化等内容，强调“先化简，后运算”的思想，常与整式运算、乘法公式和因式分解综合考查。 5. 参数问题：结合有意义条件、最简二次根式、同类二次根式等知识求参数取值，是浙江各地期中、期末考试中的常见题型，综合性较强。 6. 化简求值：通过化简二次根式后代入条件求值，考查学生整体化简能力和运算能力，是本章综合题的重要考查形式。 7. 实际应用与探究：结合面积、长度、勾股定理、数轴模型等实际背景，考查学生建立数学模型和运用二次根式解决实际问题的能力；部分试题还会以规律探究、新定义运算等形式出现。 考情解码：“二次根式”是浙教版八年级下册“数与式”模块的重要内容，是在实数基础上的进一步拓展，也是后续学习勾股定理、一元二次方程、函数等知识的重要工具，在初中数学知识体系中具有承上启下的重要作用。本专题涉及二次根式的概念、性质、化简与运算，是培养学生运算能力、符号意识和逻辑思维能力的重要载体。 近年来试题由单纯考查概念和公式记忆，逐渐向综合运算、参数讨论、实际应用方向发展，更加注重知识的理解与运用。二次根式的性质、最简二次根式的化简、二次根式的运算以及化简求值是本章的核心考点；参数问题和实际应用问题则体现出较强的综合性与灵活性，是考试中的常见命题方向。 知识点一 二次根式的相关概念 二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子. 有意义的条件：根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零. 最简二次根式：二次根式像这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，为最简二次根式。二次根式化简的结果应为最简二次根式. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错提醒】 （1）二次根式有意义的条件是；在分式形式的二次根式中（如 ），还需满足分母不为零，即. （2）最简二次根式两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. （3）判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 即时即练1下面是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 即时即练2二次根式中，字母的取值范围是______． 知识点二 二次根式的性质 （1） （2） （3） 。 【易错提醒】 （1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. （2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 即时即练1计算：______． 即时即练2下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 知识点三 二次根式的运算 【易错提醒】 （1） 二次根式无根号对加减法的分配律，属于对运算性质的根本误解：错误认为该变形仅在特殊条件下成立，通用场景无此规则. （2）带系数的二次根式乘除，需严格遵循系数与系数运算、根号与根号运算的规则，极易出现顺序错误：计算时，错误先计算，正确规则为，. （3）变形时符号处理不当。例如，直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为|a-2|. 即时即练1下面计算： (1) (2) 即时即练2化简：_______． 题型1 二次根式的概念、性质与有意义条件 例1．如图已知a＝﹣2，则+a＝_____． 例2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【易错警示】 （1）二次根式有意义的条件是；在分式形式的二次根式中（如 ），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制. 【变式训练1-1】如果成立，那么的取值范围是：______． 【变式训练1-2】化简，结果是（ ） A． B． C． D．4 题型2 最简二次根式与二次根式的化简 例3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B．2 C． D． 例4．化简二次根式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）绝对值过渡与代数式配方：化简应首先转化为|A|。若被开方数为二次三项式，需先配方成完全平方式（例如），再结合数轴或已知范围去掉绝对值符号，避免直接去根号导致符号错误. （2）隐含非负约束与负因式变号：化简时需注意被开方数的非负性约束（如由可推知）。若根号外的因式（或分母）为负数，将其移入或移出根号时必须在根号外保留负号。例如，当以保证变形前后的式子相等（在字母取值范围内）. 【变式训练2-1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：______． 【变式训练2-2】已知，则的值为________． 题型3 二次根式的运算 例5．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 例6．计算：． 【变式训练3-1】下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】计算： (1)． (2)． 【易错提醒】 （1）二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项. （2）乘除混合运算时，系数与系数、被开方数与被开方数分别运算. 题型4 二次根式中的参数问题 例7．下列若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A．6 B． C．2 D．0.5 例8．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【变式训练4-1】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【变式训练4-2】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【易错提醒】 （1）最简二次根式的判断：必须同时满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。易错：未化简直接判断，如认为是最简，实际应化为. （2）同类二次根式的条件：两个二次根式能合并（即同类）的前提是它们都是最简二次根式，且被开方数相同。易错：直接比较原被开方数，忽略先化简。例如与化简后分别为和，是同类项. （3）含根指数的二次根式：二次根式的根指数必须为2（通常省略）。若出现形式，需令n=2。例如是二次根式，则3a−b=2，否则无意义. 题型5 二次根式的实际应用与探究 例9．一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为______． 例10．古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【变式训练5-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ） A． B． C．3 D． 【易错提醒】 （1）二次根式除法化简：必须计算“面积÷边长”时，结果必须化为最简二次根式。例如应先写为，再分母有理化得，避免直接保留或计算错误. （2）公式代入运算顺序：使用海伦公式或秦九韶公式时，需先计算或中间代数式，再逐步乘除、开方。易错：忘记先算括号内，或忽略分数运算. （3）几何图形边长关系：涉及重叠图形时，大正方形边长应等于两小正方形边长之和减去重叠部分边长（避免重复计算）. A组 基础过关 1．若为二次根式，则为（ ） A．正数和零 B．负数 C．只有零 D．全体实数 2．若，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．______． 4．化简：______． 5．计算下列各题： (1) (2)． B组 综合提升 6．若与最简二次根式可以合并，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 8．计算：________． 9．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 10．计算题 (1) (2)先化简，再求值：，求的值 C组 挑战突破 11．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 12．（1）研究规律：先观察几个具体的式子： （2）寻找规律： （且为正整数） （3）请完成计算： 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二次根式的概念、性质与有意义条件 题型2 最简二次根式与二次根式的化简 题型3 二次根式的运算 题型4 二次根式中的参数问题 题型5 二次根式的实际应用与探究 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二次根式的概念与有意义条件 2. 二次根式的性质 3. 最简二次根式与同类二次根式 4. 二次根式的运算 5. 二次根式中的参数问题 6. 二次根式的化简求值 7. 二次根式的实际应用与探究 1. 二次根式有意义条件：根据二次根式的定义，确定字母的取值范围，是本章最基础、最常见的考法；常与分式、绝对值等知识结合，综合考查学生的符号意识与分类讨论能力。 2. 二次根式性质应用：重点考查。 3. 最简二次根式的判定与化简：利用提取完全平方因数的方法进行化简，考查学生对根式结构的分析能力；同类二次根式的识别往往作为后续运算的基础。 4. 二次根式运算：包括加减、乘除及分母有理化等内容，强调“先化简，后运算”的思想，常与整式运算、乘法公式和因式分解综合考查。 5. 参数问题：结合有意义条件、最简二次根式、同类二次根式等知识求参数取值，是浙江各地期中、期末考试中的常见题型，综合性较强。 6. 化简求值：通过化简二次根式后代入条件求值，考查学生整体化简能力和运算能力，是本章综合题的重要考查形式。 7. 实际应用与探究：结合面积、长度、勾股定理、数轴模型等实际背景，考查学生建立数学模型和运用二次根式解决实际问题的能力；部分试题还会以规律探究、新定义运算等形式出现。 考情解码：“二次根式”是浙教版八年级下册“数与式”模块的重要内容，是在实数基础上的进一步拓展，也是后续学习勾股定理、一元二次方程、函数等知识的重要工具，在初中数学知识体系中具有承上启下的重要作用。本专题涉及二次根式的概念、性质、化简与运算，是培养学生运算能力、符号意识和逻辑思维能力的重要载体。 近年来试题由单纯考查概念和公式记忆，逐渐向综合运算、参数讨论、实际应用方向发展，更加注重知识的理解与运用。二次根式的性质、最简二次根式的化简、二次根式的运算以及化简求值是本章的核心考点；参数问题和实际应用问题则体现出较强的综合性与灵活性，是考试中的常见命题方向。 知识点一 二次根式的相关概念 二次根式：形如的式子叫做二次根式，如等式子. 有意义的条件：根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零. 最简二次根式：二次根式像这样，在根号内不含分母，也不含开得尽方的因数或因式，为最简二次根式。二次根式化简的结果应为最简二次根式. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错提醒】 （1）二次根式有意义的条件是；在分式形式的二次根式中（如 ），还需满足分母不为零，即. （2）最简二次根式两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. （3）判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 即时即练1下面是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 即时即练2二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 知识点二 二次根式的性质 （1） （2） （3） 。 【易错提醒】 （1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. （2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 即时即练1计算：______． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 即时即练2下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 解：A、是最简二次根式； B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含有能开得尽方的因数， 不是最简二次根式； D、 的被开方数含小数即分母，不是最简二次根式.综上． 知识点三 二次根式的运算 【易错提醒】 （1） 二次根式无根号对加减法的分配律，属于对运算性质的根本误解：错误认为该变形仅在特殊条件下成立，通用场景无此规则. （2）带系数的二次根式乘除，需严格遵循系数与系数运算、根号与根号运算的规则，极易出现顺序错误：计算时，错误先计算，正确规则为，. （3）变形时符号处理不当。例如，直接写成a-2，而忽略a可能小于2的情况，正确结果应为|a-2|. 即时即练1下面计算： (1) 【详解】（1）解：原式； (2) （2）解：原式． 即时即练2化简：_______． 【答案】 【详解】解：． 题型1 二次根式的概念、性质与有意义条件 例1．如图已知a＝﹣2，则+a＝_____． 【答案】0． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】当a＝﹣2时， 原式＝|a|+a ＝﹣a+a ＝0； 故答案为0 例2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 【易错警示】 （1）二次根式有意义的条件是；在分式形式的二次根式中（如 ），忽略分母不能为0且被开方数需非负的双重限制. 【变式训练1-1】如果成立，那么的取值范围是：______． 【答案】1< 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是，故答案为：． 【变式训练1-2】化简，结果是（ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 题型2 最简二次根式与二次根式的化简 例3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数轴可得，则，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 例4．化简二次根式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【技巧总结】 （1）绝对值过渡与代数式配方：化简应首先转化为|A|。若被开方数为二次三项式，需先配方成完全平方式（例如），再结合数轴或已知范围去掉绝对值符号，避免直接去根号导致符号错误. （2）隐含非负约束与负因式变号：化简时需注意被开方数的非负性约束（如由可推知）。若根号外的因式（或分母）为负数，将其移入或移出根号时必须在根号外保留负号。例如，当以保证变形前后的式子相等（在字母取值范围内）. 【变式训练2-1】已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】通过数轴得出的取值范围，然后利用二次根式和绝对值的化简法则进行化简即可． 【详解】解：由题可知，， ∴，， ∴． 【变式训练2-2】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型3 二次根式的运算 例5．下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】选项A：，计算正确； 选项B：与不是同类二次根式，无法合并，故，计算错误； 选项C：，故计算错误； 选项D：，故计算错误． 例6．计算：． 【答案】(2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算；先化简二次根式，再合并即可. 【详解】解： . 【变式训练3-1】下列计算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，∴ A错误； B、，∴ B错误； C、，计算结果正确，∴ C正确； D、与不是同类二次根式，无法合并，∴ D错误； 【变式训练3-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【易错提醒】 （1）二次根式加减必须先将所有项化为最简形式，再合并同类项。典型错误如直接合并为，或未发现与是同类项. （2）乘除混合运算时，系数与系数、被开方数与被开方数分别运算. 题型4 二次根式中的参数问题 例7．下列若是最简二次根式，则的值可以是（ ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 例8．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【变式训练4-1】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【变式训练4-2】已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴．故答案为：68． 【易错提醒】 （1）最简二次根式的判断：必须同时满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。易错：未化简直接判断，如认为是最简，实际应化为. （2）同类二次根式的条件：两个二次根式能合并（即同类）的前提是它们都是最简二次根式，且被开方数相同。易错：直接比较原被开方数，忽略先化简。例如与化简后分别为和，是同类项. （3）含根指数的二次根式：二次根式的根指数必须为2（通常省略）。若出现形式，需令n=2。例如是二次根式，则3a−b=2，否则无意义. 题型5 二次根式的实际应用与探究 例9．一个长方形的面积为，其中一边长为，则和它相邻的另一边长为______． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，长方形面积等于相邻两边长的乘积，已知面积和其中一边长，通过除法计算得到另一边长，再利用二次根式的除法法则化简即可得到结果． 【详解】解：∵一个长方形的面积为，其中一边长为，∴另一边长为． 例10．古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用；先将代入求得，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【变式训练5-1】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为、、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 【变式训练5-2】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 【易错提醒】 （1）二次根式除法化简：必须计算“面积÷边长”时，结果必须化为最简二次根式。例如应先写为，再分母有理化得，避免直接保留或计算错误. （2）公式代入运算顺序：使用海伦公式或秦九韶公式时，需先计算或中间代数式，再逐步乘除、开方。易错：忘记先算括号内，或忽略分数运算. （3）几何图形边长关系：涉及重叠图形时，大正方形边长应等于两小正方形边长之和减去重叠部分边长（避免重复计算）. A组 基础过关 1．若为二次根式，则为（ ） A．正数和零 B．负数 C．只有零 D．全体实数 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，． 【详解】解：根据二次根式的定义，； 故选A． 2．若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，掌握是解题的关键． 先将化为，再根据化简即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 3．______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 分子和分母同乘以进行分母有理化，消除分母中的根式． 【详解】解： 故答案为：． 4．化简：______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，利用分母有理化的方法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 5．计算下列各题： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． B组 综合提升 6．若与最简二次根式可以合并，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解： ，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 7．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 8．计算：________． 【答案】 【分析】先化简，计算，再合并即可． 【详解】解： ． 9．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据二次根式的计算法则计算出，，再将原式提取公因式变形为，再代值计算即可； （2）将原式通分并利用完全平方公式变形为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ； （2）解：． 10．计算题 (1) (2)先化简，再求值：，求的值 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据化简二次根式，绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据完全平方公式原式化简，再利用分母有理化求出的值，整体代入计算得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； ， ， ， 原式． C组 挑战突破 11．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 12．（1）研究规律：先观察几个具体的式子： （2）寻找规律： （且为正整数） （3）请完成计算： 【答案】（1）；；；（2）；（3）. 【分析】（1）各式计算得到结果即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式各项利用得出的规律变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）； ； ； （2）； （3）原式=. 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $