专题02 一元二次方程（暑假复习讲义）新九年级数学新教材浙教版

专题02 一元二次方程 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 一元二次方程的概念与根的意义 题型2 一元二次方程的求解 题型3 判别式与根的情况 题型4 根与系数关系 题型5 换元法解一元二次方程 题型6 一元二次方程的实际应用 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1．一元二次方程的概念与解：掌握一元二次方程的定义、一般形式及方程根的意义。 2．一元二次方程的解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法求解方程。 3．根的判别式：利用判别式判断方程实数根的情况。 4．根与系数的关系：利用两根和、两根积进行计算、求值和构造方程。 5．参数问题：结合方程的根、判别式及根与系数关系求参数取值。 6．一元二次方程的实际应用：建立方程模型解决面积、增长率、销售利润、工程等实际问题。 1．概念辨析与基础判断：通过方程形式辨认、判断方程的根等基础题型，考查学生对核心概念的理解与掌握。 2．解法选择与灵活应用：根据方程结构选择最优解法，避免机械套用公式，考查学生的运算能力与方法意识。 3．判别式综合应用：利用判别式判断根的个数、根的情况以及参数取值，是期中、期末考试中的高频考点。 4．根与系数关系求值：结合韦达定理求代数式值、构造新方程等问题，体现整体代换与转化思想。 5．参数综合问题：将判别式、根与系数关系、方程求解等知识综合考查，是本章的重要提升题型。 6．特殊方程与换元思想：通过高次方程、分式方程、根式方程等背景，考查学生的转化能力和数学思想方法。 7．阅读理解与规律探究：以新定义、阅读材料或数学探究形式出现，考查学生获取信息和分析问题的能力。 8．实际应用建模：结合增长率、面积优化、利润分析等生活情境建立方程模型，考查数学建模与实际应用能力。 考情解码：一元二次方程是初中代数的重要内容，是在学习一元一次方程、因式分解等知识基础上的进一步提升，也是后续学习二次函数及高中方程思想的重要基础。本专题围绕“一元二次方程的概念—解法—根的性质—实际应用”展开，重点培养学生的运算能力、转化能力和数学建模能力。 近年来试题更加注重对数学思想方法的考查，由单纯求解方程逐步转向综合应用。其中，方程的解法、根的判别式、根与系数的关系以及实际应用问题是考试中的核心考点；参数问题和实际情境建模问题则具有较强的综合性和区分度。学习本专题时，应重点掌握“降次转化”“分类讨论”“方程建模”等数学思想，形成利用方程解决问题的基本能力。 知识点一 一元二次方程的概念与一般形式 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），其中：a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 相关项与系数：ax²称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项. 方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 【易错提醒】 （1）一元二次方程成立的三个条件：是整式方程（即方程中无分母或根号内含未知数）；只含有一个未知数. 二次项系数a≠0且未知数项的最高次数是2. （2）在求各项系数时，必须先把方程化为一般形式，且系数需带上前面的符号. 即时即练若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 知识点二 根的判别式与验根 判别式：Δ＝b²－4ac叫做一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用Δ表示. 判别式与根的情况关系： 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ<0 时，方程没有实数根. 验根方法：把未知数的值代入原方程。若左右两边相等，则是方程的解. 【易错提醒】 （1）忽略二次项系数a≠0的隐含条件：在含有字母参数的方程中，使用根的判别式的前提是方程必须是一元二次方程。若二次项系数含有字母，求参数范围时必须加上a≠0的限制条件，否则会将一次方程误判为二次方程，导致范围扩大. （2）对“有实根”条件理解不完整或漏掉等号：题目若表述为“有两个实数根”，应当包括两个不相等的实根和两个相等的实根两种情况，此时判别式应为Δ≥0，切勿漏掉等号只写Δ>0；若仅表述为“有实根”，则需分类讨论：它可能是一元二次方程（Δ≥0），也可能退化为一元一次方程，未分类讨论极易漏解. （3）未将方程化为一般式就确定系数：计算Δ时，a，b，c的值必须在方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）后才能确定，直接从非标准形式中提取系数极易出错. 即时即练1计算若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 即时即练2关于x的一元二次方程 根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程，可知，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 知识点三 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是“降次”，即将二次方程转化为一次方程求解。 【易错提醒】 （1）任何情况二次项系数，否则不是一元二次方程. （2）使用求根公式、韦达定理前，必须先验证Δ≥0. （3）因式分解法必须先将方程右边化为 0. （4）应用题必须双重检验：验根+验实际意义. 即时即练用配方法解一元二次方程，得，则的值是（ ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得， 整理得，即 对比，得 ∴． 知识点四 根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：如果一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是，，那么： 使用前提：必须满足a ≠ 0且判别式Δ≥0. 【易错提醒】 （1）任何情况二次项系数，否则不是一元二次方程. （2）使用韦达定理前，必须先验证Δ≥0. （3）计算两根之和时，容易漏掉负号造成符号错误. 即时即练已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有实数根得判别式，结合根与系数的关系和已知条件列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意知原方程为一元二次方程，有两个实数根，因此原方程为. 一元二次方程有实数根时，，且满足，.这里， ，，且. 将和代入得： ， 得到不等式组： 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 因此的取值范围是． 知识点五 一元二次方程的实际应用 利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系。 一般步骤（审、设、列、解、验、答）： 审：理解题意，找出等量关系； 设：设未知数，并用代数式表示相关量； 列：根据等量关系列出方程； 解：求出方程的解； 验：检验方程的解是否符合实际意义； 答：写出实际问题的答案. 常见应用题型： 数字问题：多位数的表示，连续奇/偶数等； 传播问题：如流感传染、短信互发等； 增长率/降低率问题：公式 ； 利润/销售问题：单价、销量、利润之间的关系； 几何面积问题：路径问题、剪纸围盒等； 动态几何问题：动点运动构成的面积或线段关系. 【易错提醒】 （1）注意统一单位. （2）求出根之后，忘记检验实际意义，应结合实际舍去不合理根. 即时即练受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 题型1 一元二次方程的概念与根的意义 例1．在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（ ） A．①⑤ B．① C．④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个分析判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程，符合题意； ②，不是方程，不符合题意； ③，不是整式方程，不符合题意； ⑤，是二元一次方程，不符合题意； ⑤，是一元一次方程，不符合题意 故符合一元二次方程概念的是① 故选B 例2．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式与不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解 ，得， 即， 又都满足， 故． 【易错提醒】 （1）一元二次方程必须是整式方程，分母中含未知数如或根号内含有未知数都不是一元二次方程. （2）注意有无实数解不影响方程类型，=−10虽然没有实数根，但形式上完全符合一元二次方程定义. （3）二次项系数不能为零，只含一个未知数，合并化简后再判断最高次数. 【变式训练1-1】下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（ ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 【变式训练1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 题型2 一元二次方程的求解 例3．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 例4．已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 【技巧总结】 （1）因式分解法应先将方程右边化为0，然后通过提公因式或运用平方差、完全平方公式将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0即可求解. （2）公式法需先将方程化为一般式，确定a,b,c后计算判别式，若为完全平方数则可简化开方，最后代入求根公式. （3）直接开平方法适用于的形式，两边直接开平方得，注意解出两个根. （4）配方法应先将二次项系数化为1，常数项移到右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方，最后开平方求解. 【变式训练2-1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）直接开方法求出x的值即可； （2）利用因式分解法求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 【变式训练2-2】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 题型3 判别式与根的情况 例5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题可得， ，且， 解得：且， 实数m的值可以是． 例6．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，联立不等式即可求解k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得 综上，的取值范围是且． 【变式训练3-1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到且，代入计算解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴且． 【变式训练3-2】关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程整理为一般形式，计算根的判别式，再根据判别式的符号逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 根的判别式， 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项A正确，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项B错误，不符合题意； 当时，若，则，此时方程有两个不相等的实数根，选项C错误，不符合题意； ，的正负与的取值有关， 方程根的情况与的值有关，选项D错误，不符合题意． 【易错提醒】 （1）使用判别式判断根的情况时，必须确保原方程是一元二次方程，即二次项系数，否则需先分类讨论或排除a=0的情形. （2）对于二次项系数含参数且方程“有实数根”的表述，需包含相等和不等两种情况，即Δ0且Δ；但“两个不相等的实数根”则必须Δ0. 题型4 根与系数关系 例7．下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一元二次方程有两个互为倒数的实数根，需要满足两个条件，两根乘积为即，且判别式保证存在两个实数根． 【详解】解：A、，∵，，∴，不符合要求； B、，∵，，∴，且，满足所有条件，符合要求； C、，∵，，满足，但，方程没有实数根，不符合要求； D、，∵，，∴，不符合要求． 例8．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 【变式训练4-1】已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【详解】解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 【变式训练4-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴， 将，代入上式，原式， 故选B． 【易错提醒】 （1）使用韦达定理前必须验证判别式Δ ≥ 0：只有当一元二次方程有实数根时，才能使用和。若Δ<0，即使形式上满足两根之和、积的关系，也不代表存在实数根. （2）注意参数的隐含限制：利用韦达定理列方程求出参数后，必须代回原方程的判别式检验，舍去使Δ < 0的值. （3）整体代入与降次技巧：求含或的代数式时，常利用根的定义（或配成完全平方）将高次项降为一次，再结合韦达定理整体代入，避免单独解根. 题型5 换元法解一元二次方程 例9．已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 例10．若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【答案】或 【分析】把一元二次方程变形为，将看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵一元二次方程的两个根分别为， ∴关于的方程两个根分别为，， 解得：，． 【变式训练5-1】关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 【答案】 【分析】根据表格得到方程 的解，利用换元法将所求方程中的看作整体，令，将所求方程变形为，求出t的值即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，当或时，代数式的值为0， ∴方程的解为或， 在中，令，则方程可变形为方程， ∴方程的解为或， ∴或， 解得． 【变式训练5-2】若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 【技巧总结】 （1）识别重复结构并整体代换：观察方程中反复出现的相同多项式（如(4x+1）、(x-1)等），将其设为一个新变量t，把原方程转化为关于t的简单方程（如已知解的一元二次方程）. （2）利用已知解反求原变量：先根据已知方程的解得到新变量t的值，再解t=原表达式求出原未知数x，注意每个t值对应一个x的解. （3）变形配凑后换元：若方程形式不直接，可通过移项、配方等恒等变形，将目标表达式配成与已知方程完全相同的结构（如将化为，再整体换元求解． 题型6 一元二次方程的实际应用 例11．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 【详解】解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 例12．如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个矩形花坛看作整体，利用面积构造方程即可． 【详解】解：通过平移可将两个小矩形花坛合并成一个大矩形，其长为，宽为， 根据题意，可列方程：， 整理，得． 【变式训练6-1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为 ， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为 ， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 【变式训练6-2】某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总利润=每件利润×销售量”，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 【易错提醒】 （1）传播问题：分清“初始人数”与“每次新增人数”。第二节课新增人数应由第一节课后的总人数乘以每人教的人数，而不是直接用初始人数计算. （2）面积与通道问题：利用平移法将分散图形合并为规则图形时，注意人行通道的宽度要正确减去（每个通道在长或宽上减去相应倍数），且列方程后需整理为一般式，注意常数项符号. （3）增长率与利润问题：平均增长率公式易错记成 或漏掉平方；利润问题中易混淆涨价后的售价和进价，以及销售量的减少量与涨价金额的倍数关系，需分清“单件利润”和“销售量”的表达． A组 基础过关 1．方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________． 【答案】 【详解】由5(x2−x+1)=−3x+2可得5x2−2x+3=0，所以其二次项为5x2，一次项为−2x，常数项为3，故答案为；；；. 2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 3．已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________． 【答案】2或 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了解一元二次方程，方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得或， 故答案为：2或． 4．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. B组 综合提升 5．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 6．用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 7．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 8．用因式分解法的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， （x﹣5）（x+3）＝0， 则x﹣5＝0或x+3＝0， ∴，； （2）解：， ， 移项，得， 则（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， ∴． 9．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无解 (2)， (3) 【分析】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴方程无解； （2）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ （3）解： 方程整理得：， 这里 ∵， ∴ 10．若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 11．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 12．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，是解题的关键． （1）选择公式法求解即可； （2）运用完全平方公式将原式变形后，选择开平方法，即可解得答案； （3）提取公因式，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可； （4）选择开平方法，方程转化为两个一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根判别式为：， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴左边化成完全平方，得， ∴． （3）解：∵， ∴提公因式分解因式，得， ∴， ∴． （4）解：∵， ∴两边开平方，得， ∴，， ∴． 13．已知关于的方程，下列说法正确的是（ ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 14．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（ ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 【答案】A 【详解】解：A选项：∵方程有一根为， ∴， ∴，故A不正确，符合题意； B选项：若，，方程化为， ∴，方程两根为和，两根互为相反数，故B正确，不符合题意； C选项：若，根的判别式， ∵，， ∴，方程必有两个不相等的实数根，即方程必有解，故C正确，不符合题意； D选项：若，方程化为，解得或， ∴方程必有一根为，故D正确，不符合题意． 15．春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． C组 挑战突破 16．2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 17．瓯窑非遗文创成为温州文旅消费爆款，某门店主营特色青瓷茶具．现购进一批成本固定的青瓷茶具，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件产品商家需多付元快递费． (1)求出每件产品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件产品的售价． 【答案】(1)每件产品的成本为元 (2)三月份每件产品的售价为元 【分析】（1）根据售价为12元时，关系式可知3月线下月销量，根据利润乘以销量等于线下总利润即可求解； （2）根据线下月利润+线上月利润=总利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：， ∴每件产品的成本为元． （2）解：三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 则得 解得：或， ∵， ∴（舍去）， ∴三月份每件产品的售价为元． 18．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛 (2)至少需要9天完成比赛 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构→ 系统讲解核心重难点，整合为专题知识体系 03 题型突破→ 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 一元二次方程的概念与根的意义 题型2 一元二次方程的求解 题型3 判别式与根的情况 题型4 根与系数关系 题型5 换元法解一元二次方程 题型6 一元二次方程的实际应用 04综合通关→ 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→ 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1．一元二次方程的概念与解：掌握一元二次方程的定义、一般形式及方程根的意义。 2．一元二次方程的解法：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法求解方程。 3．根的判别式：利用判别式判断方程实数根的情况。 4．根与系数的关系：利用两根和、两根积进行计算、求值和构造方程。 5．参数问题：结合方程的根、判别式及根与系数关系求参数取值。 6．一元二次方程的实际应用：建立方程模型解决面积、增长率、销售利润、工程等实际问题。 1．概念辨析与基础判断：通过方程形式辨认、判断方程的根等基础题型，考查学生对核心概念的理解与掌握。 2．解法选择与灵活应用：根据方程结构选择最优解法，避免机械套用公式，考查学生的运算能力与方法意识。 3．判别式综合应用：利用判别式判断根的个数、根的情况以及参数取值，是期中、期末考试中的高频考点。 4．根与系数关系求值：结合韦达定理求代数式值、构造新方程等问题，体现整体代换与转化思想。 5．参数综合问题：将判别式、根与系数关系、方程求解等知识综合考查，是本章的重要提升题型。 6．特殊方程与换元思想：通过高次方程、分式方程、根式方程等背景，考查学生的转化能力和数学思想方法。 7．阅读理解与规律探究：以新定义、阅读材料或数学探究形式出现，考查学生获取信息和分析问题的能力。 8．实际应用建模：结合增长率、面积优化、利润分析等生活情境建立方程模型，考查数学建模与实际应用能力。 考情解码：一元二次方程是初中代数的重要内容，是在学习一元一次方程、因式分解等知识基础上的进一步提升，也是后续学习二次函数及高中方程思想的重要基础。本专题围绕“一元二次方程的概念—解法—根的性质—实际应用”展开，重点培养学生的运算能力、转化能力和数学建模能力。 近年来试题更加注重对数学思想方法的考查，由单纯求解方程逐步转向综合应用。其中，方程的解法、根的判别式、根与系数的关系以及实际应用问题是考试中的核心考点；参数问题和实际情境建模问题则具有较强的综合性和区分度。学习本专题时，应重点掌握“降次转化”“分类讨论”“方程建模”等数学思想，形成利用方程解决问题的基本能力。 知识点一 一元二次方程的概念与一般形式 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 一般形式：ax²＋bx＋c＝0（a≠0），其中：a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 相关项与系数：ax²称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项. 方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值. 【易错提醒】 （1）一元二次方程成立的三个条件：是整式方程（即方程中无分母或根号内含未知数）；只含有一个未知数. 二次项系数a≠0且未知数项的最高次数是2. （2）在求各项系数时，必须先把方程化为一般形式，且系数需带上前面的符号. 即时即练若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ） A． B． C． D． 知识点二 根的判别式与验根 判别式：Δ＝b²－4ac叫做一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用Δ表示. 判别式与根的情况关系： 当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ<0 时，方程没有实数根. 验根方法：把未知数的值代入原方程。若左右两边相等，则是方程的解. 【易错提醒】 （1）忽略二次项系数a≠0的隐含条件：在含有字母参数的方程中，使用根的判别式的前提是方程必须是一元二次方程。若二次项系数含有字母，求参数范围时必须加上a≠0的限制条件，否则会将一次方程误判为二次方程，导致范围扩大. （2）对“有实根”条件理解不完整或漏掉等号：题目若表述为“有两个实数根”，应当包括两个不相等的实根和两个相等的实根两种情况，此时判别式应为Δ≥0，切勿漏掉等号只写Δ>0；若仅表述为“有实根”，则需分类讨论：它可能是一元二次方程（Δ≥0），也可能退化为一元一次方程，未分类讨论极易漏解. （3）未将方程化为一般式就确定系数：计算Δ时，a，b，c的值必须在方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）后才能确定，直接从非标准形式中提取系数极易出错. 即时即练1计算若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（ ） A．， B．， C．， D．， 即时即练2关于x的一元二次方程 根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 知识点三 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是“降次”，即将二次方程转化为一次方程求解。 【易错提醒】 （1）任何情况二次项系数，否则不是一元二次方程. （2）使用求根公式、韦达定理前，必须先验证Δ≥0. （3）因式分解法必须先将方程右边化为 0. （4）应用题必须双重检验：验根+验实际意义. 即时即练用配方法解一元二次方程，得，则的值是（ ） A．11 B．3 C． D． 知识点四 根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理：如果一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是，，那么： 使用前提：必须满足a ≠ 0且判别式Δ≥0. 【易错提醒】 （1）任何情况二次项系数，否则不是一元二次方程. （2）使用韦达定理前，必须先验证Δ≥0. （3）计算两根之和时，容易漏掉负号造成符号错误. 即时即练已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 知识点五 一元二次方程的实际应用 利用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系。 一般步骤（审、设、列、解、验、答）： 审：理解题意，找出等量关系； 设：设未知数，并用代数式表示相关量； 列：根据等量关系列出方程； 解：求出方程的解； 验：检验方程的解是否符合实际意义； 答：写出实际问题的答案. 常见应用题型： 数字问题：多位数的表示，连续奇/偶数等； 传播问题：如流感传染、短信互发等； 增长率/降低率问题：公式 ； 利润/销售问题：单价、销量、利润之间的关系； 几何面积问题：路径问题、剪纸围盒等； 动态几何问题：动点运动构成的面积或线段关系. 【易错提醒】 （1）注意统一单位. （2）求出根之后，忘记检验实际意义，应结合实际舍去不合理根. 即时即练受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 题型1 一元二次方程的概念与根的意义 例1．在等式①；②；③；⑤；⑤中，符合一元二次方程概念的是（ ） A．①⑤ B．① C．④ D．①④ 例2．若关于的方程是一元二次方程，则应满足的条件是__________． 【易错提醒】 （1）一元二次方程必须是整式方程，分母中含未知数如或根号内含有未知数都不是一元二次方程. （2）注意有无实数解不影响方程类型，=−10虽然没有实数根，但形式上完全符合一元二次方程定义. （3）二次项系数不能为零，只含一个未知数，合并化简后再判断最高次数. 【变式训练1-1】下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（ ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【变式训练1-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 题型2 一元二次方程的求解 例3．解方程：． 例4．已知，则______． 【技巧总结】 （1）因式分解法应先将方程右边化为0，然后通过提公因式或运用平方差、完全平方公式将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0即可求解. （2）公式法需先将方程化为一般式，确定a,b,c后计算判别式，若为完全平方数则可简化开方，最后代入求根公式. （3）直接开平方法适用于的形式，两边直接开平方得，注意解出两个根. （4）配方法应先将二次项系数化为1，常数项移到右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方，最后开平方求解. 【变式训练2-1】解方程： (1)； (2)． 【变式训练2-2】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 题型3 判别式与根的情况 例5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A． B．0 C．1 D．2 例6．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【变式训练3-1】若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【变式训练3-2】关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【易错提醒】 （1）使用判别式判断根的情况时，必须确保原方程是一元二次方程，即二次项系数，否则需先分类讨论或排除a=0的情形. （2）对于二次项系数含参数且方程“有实数根”的表述，需包含相等和不等两种情况，即Δ0且Δ；但“两个不相等的实数根”则必须Δ0. 题型4 根与系数关系 例7．下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A． B． C． D． 例8．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【变式训练4-1】已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【变式训练4-2】已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）使用韦达定理前必须验证判别式Δ ≥ 0：只有当一元二次方程有实数根时，才能使用和。若Δ<0，即使形式上满足两根之和、积的关系，也不代表存在实数根. （2）注意参数的隐含限制：利用韦达定理列方程求出参数后，必须代回原方程的判别式检验，舍去使Δ < 0的值. （3）整体代入与降次技巧：求含或的代数式时，常利用根的定义（或配成完全平方）将高次项降为一次，再结合韦达定理整体代入，避免单独解根. 题型5 换元法解一元二次方程 例9．已知方程的解是，则方程的解是___________． 例10．若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【变式训练5-1】关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 【变式训练5-2】若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 【技巧总结】 （1）识别重复结构并整体代换：观察方程中反复出现的相同多项式（如(4x+1）、(x-1)等），将其设为一个新变量t，把原方程转化为关于t的简单方程（如已知解的一元二次方程）. （2）利用已知解反求原变量：先根据已知方程的解得到新变量t的值，再解t=原表达式求出原未知数x，注意每个t值对应一个x的解. （3）变形配凑后换元：若方程形式不直接，可通过移项、配方等恒等变形，将目标表达式配成与已知方程完全相同的结构（如将化为，再整体换元求解． 题型6 一元二次方程的实际应用 例11．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 例12．如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（ ）． A． B． C． D． 【变式训练6-2】某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）传播问题：分清“初始人数”与“每次新增人数”。第二节课新增人数应由第一节课后的总人数乘以每人教的人数，而不是直接用初始人数计算. （2）面积与通道问题：利用平移法将分散图形合并为规则图形时，注意人行通道的宽度要正确减去（每个通道在长或宽上减去相应倍数），且列方程后需整理为一般式，注意常数项符号. （3）增长率与利润问题：平均增长率公式易错记成 或漏掉平方；利润问题中易混淆涨价后的售价和进价，以及销售量的减少量与涨价金额的倍数关系，需分清“单件利润”和“销售量”的表达． A组 基础过关 1．方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________． 2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________． 4．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． B组 综合提升 5．解方程：． 6．用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 7．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．用因式分解法的方法解下列方程： (1)； (2) 9．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 10．若x、y为实数，且，则_____ 11．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 12．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．已知关于的方程，下列说法正确的是（ ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 14．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（ ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 15．春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． C组 挑战突破 16．2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（ ） A． B． C． D． 17．瓯窑非遗文创成为温州文旅消费爆款，某门店主营特色青瓷茶具．现购进一批成本固定的青瓷茶具，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件产品商家需多付元快递费． (1)求出每件产品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件产品的售价． 18．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $