2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习专题7：二次根式（提升练习）

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，整合平方法、有理化等6类解题方法，通过24题实现二次根式从基础到提升的系统性训练，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1/4/6、填空11|最简/同类二次根式判定|从定义到性质的抽象能力培养| |运算求解|选择2/3、填空9/12、解答17|二次根式加减乘除法则|法则推导到熟练运算的递进| |方法应用|选择7/8、填空13/16、解答21-24|平方法/分母（分子）有理化/配方|技巧迁移解决比较大小、最值等综合问题|

2025-2026学年苏科版数学八年级下册 期末复习专题7：二次根式 （提升练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2.计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 3.计算结果为（   ） A． B． C． D． 4.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 5.如果，那么a与b的关系是（   ） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C．且互为倒数 D．且互为倒数 6.若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 7.已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8.请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.的值为______． 10.若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12.已知，则______． 13.满足不等式的整数的个数是_______． 14.已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 15.对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ． 16.阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算： (1)； (2)． 18.已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 19.先化简，再求值：，其中． 20.已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 21.小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 22.在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 23.在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 24.阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 3.计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 5.如果，那么a与b的关系是（   ） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C．且互为倒数 D．且互为倒数 【答案】B 6.若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 7.已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 8.请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.的值为______． 【答案】 10.若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 12.已知，则______． 【答案】 13.满足不等式的整数的个数是_______． 【答案】4 14.已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】 15.对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ． 【答案】 16.阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________． 【答案】2026 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.计算： (1)； (2)． 【答案】（1）解： （2）解： 18.已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】由数轴知：，， ∴，， ∴ ． 19.先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 当时， 原式． 20.已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 21.小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 22.在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 23.在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 24.阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 【答案】（1）解：根据题意得，，， ， ， 即； （2）解：， ∴且， 即， ， 由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小， 则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1； （3）解：由题可得， ， 则． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $