微专题七 三角形与梯形的中位线（6大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题七 三角形与梯形的中位线 题型一：三角形的中位线性质 定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 核心性质 （1） 位置关系：中位线 平行于 三角形的第三条边 （2）数量关系：中位线长度 等于 第三条边的一半 常用推论 （1）一个三角形有3条中位线 （2）三条中位线可把原三角形分成4个全等的小三角形 （3）中位线构成的新三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的 几何语言 在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，则： 【典例精讲】（2026春•拱墅区月考）如图，ED，EF是△ABC的两条中位线，连结EC和DF，交于点O． （1）求证：； （2）若S△EFO＝4，求S△EDC． 【分析】（1）根据中位线的性质得出ED∥FC，EF∥DC，证明四边形EFCD是平行四边形，得出结论； （2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵ED，EF是△ABC的中位线， ∴ED∥FC，EF∥DC，EDFC，EFDC， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∴OEEC； （2）解：∵ED是△ABC的中位线， ∴DE∥CF，DEBC， ∵EF是△ABC的中位线， ∴点F是BC的中点， ∴CFBC， ∴DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴OF＝OD，OE＝OC， ∵S△EFO＝4， ∴S△EDC＝2S△EFO＝8． 【变式训练1】（2026春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】证明四边形DEFA为平行四边形，根据平行四边形的性质解答． 【解答】证明：∵D、E分别为AB、BC中点， ∴DE∥AC，DEAC， ∵F为AC中点， ∴AFAC， ∴DE＝AF， ∴四边形DEFA为平行四边形， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵DHAB＝AD， ∴∠BAH＝∠DHA， ∵F为AC中点，∠AHC＝90°， ∴FHAC＝AF， ∴∠HAC＝∠AHF， ∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH， 即∠DHF＝∠BAC， ∴∠DHF＝∠DEF． 【变式训练2】（2026春•东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG． （1）试判断△EFG的形状，并说明理由； （2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长． 【分析】（1）△EFG是直角三角形，先证明EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，由平行线的性质结合∠ABC＝90°，即可得到∠EFG＝90°即可； （2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，可得EF＝5，FG＝12，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）△EFG是直角三角形，理由如下： ∵点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点， ∴EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EF∥AB，FG∥BC， ∴∠EFD＝∠ABD，∠GFD＝∠CBD， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EFG＝∠EFD+∠GFD＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝90°， ∴△EFG是直角三角形； （2）由（1）知EF是△ADB的中位线，FG是△BCD的中位线，AB＝10，BC＝24， ∴， ∴EF＝5，FG＝12， ∵△EFG是直角三角形，且∠EFG＝90°， ∴． 【变式训练3】（2026春•镇江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，O，D分别是AB，BC边上的中点，连结OD，过点B作BE⊥AC于点E交OD于点F． （1）求证：OD⊥BE； （2）若DE，AB＝5，求AE的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行线的性质即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到BC＝2DE＝2，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵O，D分别是AB，BC边上的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵BE⊥AC， ∴OD⊥BE； （2）解：∵∠BEC＝90°，点D是BC的中点，DE， ∴BC＝2DE＝2， ∵AB＝AC＝5， ∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2， ∴52﹣AE2＝（2）2﹣（5﹣AE）2， ∴AE＝3． 【变式训练4】（2026春•杨浦区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，求∠ADC的度数． 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝8，EF∥BD，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，计算即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵点E、F分别是边AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD， ∴∠ADB＝∠AFE， ∵∠AFE＝52°， ∴∠ADB＝52°， 在△BDC中，BD²+CD²＝8²+6²＝100＝BC² ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°， 故答案为：142°． 题型二：三角形中位线与直角三角形斜边上的中线 一、先判断模型（第一步） 1. 出现直角三角形 + 斜边中点 → 优先用：斜边中线=斜边一半 衍生：得到多条线段相等、等腰三角形、等角 2. 出现两个及以上边的中点 → 优先用：中位线平行且等于第三边一半 衍生：得到平行线、线段倍分、角度相等 二、两类经典题型+解题步骤 题型1：求线段长度/证明线段相等 解题步骤 1. 标记所有中点、直角； 2. 有Rt△+斜边中点 → 写出斜边中线=斜边一半，转化线段； 3. 有两个中点相连 → 构造中位线，利用中位线=第三边一半； 4. 等量代换，推导线段相等/计算长度。 题型2：证明平行/角度相等/垂直 解题步骤 1. 中点连线构造中位线 → 得两直线平行； 2. Rt△斜边中线构造等腰三角形 → 得两角相等； 3. 结合平行线性质、对顶角、互余角，推导角度/垂直关系。 【典例精讲】（2025秋•桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可． 【解答】（1）证明：连接EF，AE． ∵点E，F分别为BC，AC的中点， ∴EF∥AB，EFAB． 又∵ADAB， ∴EF＝AD． 又∵EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∴AF与DE互相平分， ∴AP＝FP； （2）解：在Rt△ABC中， ∵E为BC的中点，BC＝10， ∴AEBC＝5． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴DF＝AE＝5． 【变式训练1】（2026•玄武区一模）已知：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，D是边BC上的点，且CD＝AD． （1）证明：AD＝AB； （2）若E、F分别是BD、AC的中点且AC＝6，如图2，求EF的长． 【分析】（1）由CD＝AD，得到∠C＝∠DAC，再根据三角形外角的性质得到∠ADB＝2∠C，从而得到∠ADB＝∠B，即可得出结论； （2）连接AE，先得到△AEC是直角三角形，再由F是AC的中点，即可求解． 【解答】（1）证明：∵CD＝AD， ∴∠C＝∠DAC， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C； ∵∠B＝2∠C， ∴∠ADB＝∠B， ∴AD＝AB； （2）解：如图，连接AE， 由（1）知，AD＝AB， 又∵E是BD的中点， ∴AE⊥BD， ∴△AEC是直角三角形， ∵F是AC的中点，AC＝6， ∴． 【变式训练2】（2026春•铜山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．连接BF，DE． 求证：BF＝DE． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BFAC，根据三角形中位线定理得到DEAC，得出BF＝DE． 【解答】证明：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点， 则BFAC， ∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAC， ∴BF＝DE． 【变式训练3】（2026春•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，点M，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠FME＝∠FDE． 【分析】根据三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质得到MF＝DE，DF＝ME，证明△FMD≌△EDM，根据全等三角形的对应角相等证明． 【解答】证明：∵点M，F分别是AB，AC的中点， ∴MF是△ABC的中位线， ∴MFBC， ∵DEBC， ∴MF＝DE， 同理可得：DF＝ME， ∵MD＝MD， 在△FME和△EDF中， ∴△FME≌△EDF（SSS）， ∴∠FME＝∠FDE． 题型三：中点四边形 一、定义 顺次连接任意四边形四条边中点，所得的新四边形，叫做原四边形的中点四边形。 二、核心依据 解题根本：三角形中位线定理 中位线平行且等于第三边的一半，由此推出中点四边形的形状。 三、通用结论 设原四边形为ABCD，中点四边形为EFGH （1）任意四边形 中点四边形 → 平行四边形 原因：两组对边分别平行于原四边形的两条对角线。 （2）原四边形对角线相等（AC=BD） 中点四边形 → 菱形 （3）原四边形对角线互相垂直（AC⊥BD） 中点四边形 → 矩形 （4）原四边形对角线相等且互相垂直（AC=BD，AC⊥BD） 中点四边形 → 正方形 四、常见特殊四边形的中点四边形 （1）平行四边形 → 平行四边形 （2）矩形（对角线相等）→ 菱形 （3）菱形（对角线垂直）→ 矩形 （4）正方形（对角线相等+垂直）→ 正方形 （5）等腰梯形（对角线相等）→ 菱形 【典例精讲】（2025秋•张店区期末）已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，PQ是△BCG的中位线，由三角形中位线定理即可得出EF∥PQ，EF＝PQ，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出对角线互相平分GE＝GP，GF＝GQ，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EFBC， ∵P，Q分别是BG，CG的中点， ∴PQ是△BCG的中位线，BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴PQ∥BC且PQBC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形． （2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形， ∴GE＝GP，GF＝GQ， ∵BG＝2GP，CG＝2GQ， ∴BG＝2GE，CG＝2GF． 【变式训练1】（2026春•拱墅区校级月考）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）若∠GDE＝60°，求∠GFE的度数； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EFBC，DG∥BC且DGBC，从而得到DE＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形证得四边形DEFG是平行四边形，进而得解； （2）先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可． 【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DGBC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EFBC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴∠GFE＝∠GDE＝60°； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵M为EF的中点，OM＝3， ∴EF＝2OM＝6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6． 【变式训练2】（2026春•同步）已知：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【分析】首先连接BD，根据中位线的性质得出EF∥BD，EFBD，进而得出EF∥GH，EF＝GH，即可得出答案． 【解答】证明：连接BD， ∵点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点． ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD，EFBD． 同理：GH∥BD，GHBD， ∴EF∥GH，EF＝GH ∴四边形EFGH是平行四边形． 【变式训练3】（2026春•雷州市期中）新定义问题：四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到的四边形EFGH叫中点四边形，连接对角线AC与BD． （1）求证：四边形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形； （2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明； （3）矩形的中点四边形是 ，菱形的中点四边形是 ，正方形的中点四边形是 ． 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证EF∥GH且EF=GH，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）根据三角形中位线定理可证EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，当AC⊥BD时，可得EF⊥EH，EF⊥FG，FG⊥HG，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形； （3）根据三角形的中位线定理可知矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形． 【解答】（1）证明：由条件可知EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， ∴EF∥AC，，GH∥AC，， ∴EF∥GH且EF=GH， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形， 证明：由条件可知EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH，EF⊥FG，FG⊥HG， ∴∠HEF=90°， ∴四边形EFGH是矩形； （3）解：当四边形ABCD为矩形时，AC=BD， 由条件可知EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴，， ∴EF=GH=EH=FG， ∴四边形EFGH是菱形， ∴矩形的中点四边形是菱形； 当四边形ABCD为菱形时，AC⊥BD， ∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH，EF⊥FG，FG⊥HG， ∴四边形EFGH是矩形， ∴菱形的中点四边形是矩形； 当四边形ABCD为正方形时，AC=BD，AC⊥BD， 由条件可知EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴，，EF∥AC，EH∥BD， ∴EF=GH=EH=FG，EF⊥EH， ∴四边形EFGH是正方形， ∴正方形的中点四边形是正方形． 故答案为：菱形，矩形，正方形． 题型四：三角形中位线与等腰三角形三线合一 1、等腰三角形三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；知其一，可得另外两个结论（证垂直、证中点、证角相等） 2、常见组合场景&解题步骤 场景1：利用中位线找等腰，再用三线合一证垂直/角相等 （1）找图中多个边中点，连接得到中位线； （2）由中位线平行、线段相等，推导出三角形两边相等，判定等腰三角形； （3）结合中线/角平分线条件，用三线合一推出垂直、角度相等； 场景2：利用三线合一得中点，再用中位线求线段/证平行 （1）题干出现等腰三角形+高/角平分线，先用三线合一：得到底边中点； （2）图形中已有其他边中点，两个中点连线，构造中位线； （3）套用中位线性质，求线段长度、证明两直线平行 场景3：综合证明（线段相等、位置关系、角度计算） 通用解题步骤： （1）圈出等腰三角形、垂线、角平分线 → 先用三线合一，锁定新中点、垂直关系、等角； （2）圈出所有边的中点 → 连接中点作中位线，得到平行线与倍分线段； （3）平行线传递角相等，线段倍分进行等量代换； （4）结合全等、平行线性质、互余互补完成证明/计算 3、辅助线做法 （1）有等腰+高/角分线：直接用三线合一，标出底边中点； （2）分散的中点：连接中点，构造中位线； （3）缺中点：取线段中点，同时创造中位线+三线合一条件 【典例精讲】（2025秋•烟台期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC，MN⊥EF，垂足为N．求证：EN＝FN． 【分析】由三角形中位线定理可得MFBC，MEAD，进而求出ME＝MF，再根据等腰三角形的性质求证即可． 【解答】证明：如图，连接MF、ME， ∵F，M分别是CD，BD的中点， ∴MF是△BCD的中位线， ∴MFBC， ∵E，M分别是AB，BD的中点， ∴ME是△BAD的中位线， ∴MEAD， ∵AD＝BC， ∴ME＝MF， ∵MN⊥EF， ∴EN＝FN（等腰三角形三线合一）． 【变式训练1】（2025春•颍上县期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　9　 ． 【分析】（1）延长CD交AB于E，证明△ADE≌△ADC，根据全等三角形的性质得到CD＝DE，再根据三角形中位线定理证明； （2）根据三角形中位线定理求出BE，根据全等三角形的性质求出AE，计算即可． 【解答】（1）证明：如图，延长CD交AB于E， ∵AD平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴CD＝DE， ∵点G是BC的中点， ∴DG是△AEB的中位线， ∴DG∥AB； （2）解：由（1）可知：△ADE≌△ADC，DG是△AEB的中位线， ∴AE＝AC＝5，BE＝2DG＝4， ∴AB＝AE+BE＝5+4＝9， 故答案为：9． 题型五：梯形的中位线 1. 定义 连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2. 核心性质 （1）位置：中位线 平行于上底、下底 （2）长度：中位线长 = （3）延伸公式：梯形面积：S=中位线长×高 3. 辅助线做法 （1）已知两腰中点：直接连线，画出梯形中位线，用性质解题； （2）只给一个腰中点：取另一腰中点，补全中位线； （3）结合对角线：连接对角线，拆分出三角形，混用梯形+三角形中位线； （4）遇腰中点，也可延长两腰构造三角形，转化为三角形中位线问题 【典例精讲】（2026春•晋安区期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线； ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 已知： 求证： 证明： （3）已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是 　18　 ． 【分析】（1）已知，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，则线段EF是△ABC的中位线，求证：EF∥BC，EFBC．延长EF到D，使DF＝EF，连接CD，则DE＝2EF，证明△AEF和△CDF全等得CD＝AE＝BE，∠D＝∠AEF，由此得BE∥CD，进而得四边形BCD是平行四边形，则DE∥BC，DE＝BC＝2EF，据此可得三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）①取CD的中点F，连接EF，则线段EF是梯形ABCD的中位线； ②已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别AB，CD的中线，则线段EF是梯形ABCD的中位线：求证：EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）．连接AF，并延长AF交BC的延长线于点H，证明△ADF和△HCF全等得AF＝HF，AD＝HC，由此得EF是△ABH的中位线，再由（1）的结论得EF∥BC，EFBH，然后根据AD∥BC，BH＝BC+HC＝BC+AD即可得出梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半； （3）设梯形的上底为a，下底为b，由（2）的结论得（a+b）＝6，再根据梯形的面积公式即可得出该梯形面积． 【解答】解：（1）已知，在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点， 则线段EF是△ABC的中位线， 求证：EF∥BC，EFBC． 证明：延长EF到D，使DF＝EF，连接CD，如图1所示： ∴DE＝EF+DF＝2EF， ∵点E，F分别是边AB，AC的中点， ∴BE＝AE，CF＝AF， 在△AEF和△CDF中， ， ∴△AEF≌△CDF（SAS）， ∴CD＝AE，∠D＝∠AEF， ∴AE∥CD，即BE∥CD， ∵BE＝AE， ∴BE＝CD， 在四边形BCDE中，E∥CD，BE＝CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴EF∥BC，2EF＝BC， ∴EFBC， ∴三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）①取CD的中点F，连接EF，则线段EF是梯形ABCD的中位线，如图2①所示： ②已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别AB，CD的中线， 则线段EF是梯形ABCD的中位线： 求证：EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）． 证明：连接AF，并延长AF交BC的延长线于点H，如图2②所示： ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠H，∠D＝∠HCF， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△ADF和△HCF中， ， ∴△ADF≌△HCF（AAS）， ∴AF＝HF，AD＝HC， ∴点F是AH的中点， 又∵点E是AB的中点， ∴EF是△ABH的中位线， 由（1）的结论得：EF∥BC，EFBH， ∴AD∥BC，BH＝BC+HC＝BC+AD， ∴EF∥AD∥BC，EF（AD+BC）， ∴梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）设梯形的上底为a，下底为b， ∵该梯形的中位线长6， ∴（a+b）＝6， 又∵该梯形的高为3， ∴该梯形面积是：（a+b）×3＝6×3＝18． 故答案为：18． 【变式训练1】（2025秋•张店区校级月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△ABC中，EF是△ABC的中位线，连接EF．则EF与BC的关系为：EF∥BC且　 （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，MN就是ABCD梯形的中位线．请猜想线段AD，BC，MN之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为7cm，高为6cm，则梯形面积是　42　 cm2． 【分析】（1）先说明EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； （2）先证明△AME≌△BMC（AAS），从而可得AE＝BC，EM＝CM，于是有AD+BC＝AD+AE＝ED，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． 【解答】解：（1）∵点E是边AB的中点，点F是边AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且， 故答案为：EF∥BC且； （2）AD∥BC∥MN且MN（AD+BC）， 理由：如图（2），连接并延长CM交DA的延长线于点E， ∵AD∥BC， ∴∠E＝∠MCB， ∵点M为AB的中点， ∴AM＝BM， 在△AME和△BMC中， ， ∴△AME≌△BMC（AAS）， ∴AE＝BC，EM＝CM， ∴AD+BC＝AD+AE＝ED， ∵M为EC的中点，N为DC的中点， ∴MN为△CED的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为7cm，高为6cm， ∴（cm2）， 故答案为：42． 【变式训练2】如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形的高DE＝3，求梯形ABCD的中位线长． 【分析】过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，可得四边形ACFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD＝CF，再判定△BDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出DEBF，再根据梯形的中位线等于两底边和的一半解答． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC的延长线于F， 则四边形ACFD是平行四边形， ∴AD＝CF， ∴AD+BC＝BF， ∵AC＝BD，AC⊥BD， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DEBF， ∴梯形的中位线长等于DE的长度， ∵DE＝3， ∴梯形的中位线长为3． 【变式训练3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AB、DC的中点，对角线AC、BD分别交MN于E、F，求证：EF（BC﹣AD）． 【分析】首先连接DF，并延长交BC于点G，易证得△ADF≌△CGF（ASA），即可求得DF＝GF，CG＝AD，继而可得EF是△DBG的中位线，则可推知结论． 【解答】证明：连接DF，并延长交BC于点G， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠GCF， 在△ADF和△GCF中，， ∴△ADF≌△CGF（ASA）， ∴DF＝FG，CG＝AD， ∴BG＝BC﹣CG， ∵BE＝DE， ∴EFBG（BC﹣AD），即EF（BC﹣AD）． 【变式训练4】如图所示，等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC⊥BD，高h＝8cm，求它的中位线长． 【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线交于点E，DF⊥BC于F，根据平行四边形的性质和等腰梯形的性质得到BD＝DE，根据直角三角形的性质得到BE＝2DF，根据梯形中位线定理得到答案． 【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线交于点E，DF⊥BC于F， ∵AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD，AC＝DE， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD，又AC＝DE， ∴BD＝DE， ∵DE∥AC，AC⊥BD， ∴∠BDE＝90°， ∴BE＝2DF＝16cm， ∵BE＝BC+CE＝BC+AD， ∴梯形的中位线（BC+AD）＝8cm． 【变式训练5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O且AC⊥BD，M、N分别是AB、CD的中点，∠DBC＝30°．求证：AC＝MN． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得到OAAD，OCBC，进而得到AC（AD+BC），根据梯形中位线定理证明结论． 【解答】证明：∵AD∥BC，∠DBC＝30°， ∴∠ADO＝∠DBC＝30°， 在Rt△AOD和Rt△BOC中，OAAD，OCBC， ∴AC＝OA+OC（AD+BC）， ∵M、N分别是AB、CD的中点， ∴MN（AD+BC）， ∴AC＝MN． 题型六：构造三角形的中位线 1.基础4种构造方法 方法1：已知一边中点，取另一边中点，连线 方法2：已知一边中点，延长线段，补全等三角形造中点 方法3：连接对角线，拆分四边形，内部造中位线 方法4：过中点作平行线，反向构造中位线 2.特殊图形里的构造技巧 方法1：等腰三角形 + 中点 方法2：直角三角形 + 斜边中点 方法3：梯形 + 腰中点 【典例精讲】（2026春•临清市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N．根据三角形的中位线定理可得，EG∥BD，，GF∥AC，证明四边形MONG为矩形得到EG⊥FG，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：取AD的中点G，连接EG，FG，分别交AC，BD于点M，N，如图所示， ∵点E为AB的中点，点G为AD的中点，BD＝16， ∴EG为△ABD的中位线， ∴，EG∥BD， ∵AC＝12，点F为CD的中点，点G为AD的中点， ∴GF为△ACD的中位线， ∴，GF∥AC， ∵EG∥BD，GF∥AC， ∴四边形MONG为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°，即∠MON＝90°， ∴四边形MONG为矩形， ∴∠MGN＝∠MON＝90°， ∴EG⊥FG， ∵EG＝8，GF＝6， ∴． 【变式训练1】如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，求GH的长度． 【分析】取AB的中点F，连接GF，HF，根据三角形中位线定理证得FG＝FH，∠AFG＝∠BFH＝60°，进而求得∠HFG＝60°，得到△FGH是等边三角形，即可求得GH的长度． 【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴AD＝BE＝3， 取AB的中点F，连接GF，HF， ∵点G，H分别是AE，BD的中点， ∴FG∥BE，FGBE，FH∥AD，FHAD， ∴FG＝FH，∠AFG＝∠ABC＝60°，∠BFH＝∠BAC＝60° ∴∠HFG＝180°﹣∠AFG﹣∠BFH＝60°， ∴△FGH是等边三角形， ∴GH＝FG， 方法二：连接DG并延长到AB交AB于M， ∵D是AC的中点，G是AE的中点， ∴DG∥BC， ∴DM∥BC， ∴AM＝BMAB＝3， ∴AM＝AD， ∴DG＝MG， ∵H是BD的中点， ∴HGBM， 故答案为：． 【变式训练2】（2026春•松江区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝6，，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF． （1）求四边形ABCD的面积； （2）求EF的长． 【分析】（1）根据S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB求解即可； （2）取AB中点P，连接PE，PF，根据三角形的中位线定义得出，EP∥BD，，PF∥AC，根据平行线的性质并结合AC⊥BD可得出PE⊥PF，最后在Rt△PEF中，根据勾股定理求解即可． 【解答】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的面积，解题的关键是掌握以上知识点．解：（1）∵， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB ； （2）取AB中点P．连接PE，PF， ∵E是AD的中点， ∴，EP∥BD， ∵AC⊥BD， ∴EP⊥AC， ∵F是BC的中点，P是AB的中点， ∴，PF∥AC， ∴PE⊥PF， ∴． 【变式训练3】（2025秋•南海区期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如图1，在四边形中ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB∥CD，则S△AOD＝S△BOC． 探究1 如图2，过△ABC边上任意一点D作一条直线，使其平分△ABC的面积． 思路：如图3，连接DC，过点A作AE∥DC交BC的延长线于点E，连接DE交AC于点G，取BE中点F，连接DF，则DF即为所求直线． 探究2 如图4，过四边形ABCD的顶点A作一条直线，使其平分四边形ABCD的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明DF平分△ABC的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【分析】问题1：根据资料2可知S△DGA＝S△EGC，所以S△ABC＝S△DBE，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； 问题2：连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，取DE中点F，作直线AF，根据资料2可知S△ABG＝S△ECG，所以S四边形ABCD＝S△ADE，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【解答】问题1：证明：∵DC∥AE， ∴S△DGA＝S△EGC， ∴S△DGA+S四边形BCGD＝S△EGC+S四边形BCGD， 即S△ABC＝S△DBE， ∵F为BE的中点， ∴， ∴DF平分△ABC 的面积； 问题2：解：如图，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，取DE中点F，作直线AF，则AF即为所求直线． 理由如下：∵AC∥BE， ∴S△ABG＝S△ECG， ∴S△ABG+S四边形ADCG＝S△BCG+S四边形ADCG， 即S四边形ABCD＝S△ADE， ∵F为DE的中点， ∴， ∴AF平分四边形ABCD的面积． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题七 三角形与梯形的中位线 题型一：三角形的中位线性质 定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 核心性质 （1） 位置关系：中位线 平行于 三角形的第三条边 （2）数量关系：中位线长度 等于 第三条边的一半 常用推论 （1）一个三角形有3条中位线 （2）三条中位线可把原三角形分成4个全等的小三角形 （3）中位线构成的新三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的 几何语言 在△ABC中，D、E分别是AB、AC中点，则： 【典例精讲】（2026春•拱墅区月考）如图，ED，EF是△ABC的两条中位线，连结EC和DF，交于点O． （1）求证：； （2）若S△EFO＝4，求S△EDC． 【变式训练1】（2026春•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，AH⊥BC于H．求证：∠DHF＝∠DEF． 【变式训练2】（2026春•东海县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E，F，G分别是AD，BD，DC的中点，连接EG，EF，FG． （1）试判断△EFG的形状，并说明理由； （2）已知AB＝10，BC＝24，求EG的长． 【变式训练3】（2026春•镇江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，O，D分别是AB，BC边上的中点，连结OD，过点B作BE⊥AC于点E交OD于点F． （1）求证：OD⊥BE； （2）若DE，AB＝5，求AE的长． 【变式训练4】（2026春•杨浦区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB，AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，求∠ADC的度数． 题型二：三角形中位线与直角三角形斜边上的中线 一、先判断模型（第一步） 1. 出现直角三角形 + 斜边中点 → 优先用：斜边中线=斜边一半 衍生：得到多条线段相等、等腰三角形、等角 2. 出现两个及以上边的中点 → 优先用：中位线平行且等于第三边一半 衍生：得到平行线、线段倍分、角度相等 二、两类经典题型+解题步骤 题型1：求线段长度/证明线段相等 解题步骤 1. 标记所有中点、直角； 2. 有Rt△+斜边中点 → 写出斜边中线=斜边一半，转化线段； 3. 有两个中点相连 → 构造中位线，利用中位线=第三边一半； 4. 等量代换，推导线段相等/计算长度。 题型2：证明平行/角度相等/垂直 解题步骤 1. 中点连线构造中位线 → 得两直线平行； 2. Rt△斜边中线构造等腰三角形 → 得两角相等； 3. 结合平行线性质、对顶角、互余角，推导角度/垂直关系。 【典例精讲】（2025秋•桓台县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P． （1）求证：AP＝FP； （2）若BC＝10，求DF的长． 【变式训练1】（2026•玄武区一模）已知：如图1，△ABC中，∠B＝2∠C，D是边BC上的点，且CD＝AD． （1）证明：AD＝AB； （2）若E、F分别是BD、AC的中点且AC＝6，如图2，求EF的长． 【变式训练2】（2026春•铜山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．连接BF，DE． 求证：BF＝DE． 【变式训练3】（2026春•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，点M，E，F分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠FME＝∠FDE． 题型三：中点四边形 一、定义 顺次连接任意四边形四条边中点，所得的新四边形，叫做原四边形的中点四边形。 二、核心依据 解题根本：三角形中位线定理 中位线平行且等于第三边的一半，由此推出中点四边形的形状。 三、通用结论 设原四边形为ABCD，中点四边形为EFGH （1）任意四边形 中点四边形 → 平行四边形 原因：两组对边分别平行于原四边形的两条对角线。 （2）原四边形对角线相等（AC=BD） 中点四边形 → 菱形 （3）原四边形对角线互相垂直（AC⊥BD） 中点四边形 → 矩形 （4）原四边形对角线相等且互相垂直（AC=BD，AC⊥BD） 中点四边形 → 正方形 四、常见特殊四边形的中点四边形 （1）平行四边形 → 平行四边形 （2）矩形（对角线相等）→ 菱形 （3）菱形（对角线垂直）→ 矩形 （4）正方形（对角线相等+垂直）→ 正方形 （5）等腰梯形（对角线相等）→ 菱形 【典例精讲】（2025秋•张店区期末）已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证： （1）四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE，CG＝2GF． 【变式训练1】（2026春•拱墅区校级月考）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）若∠GDE＝60°，求∠GFE的度数； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【变式训练2】（2026春•同步）已知：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【变式训练3】（2026春•雷州市期中）新定义问题：四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到的四边形EFGH叫中点四边形，连接对角线AC与BD． （1）求证：四边形ABCD的中点四边形EFGH是平行四边形； （2）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明； （3）矩形的中点四边形是 ，菱形的中点四边形是 ，正方形的中点四边形是 ． 题型四：三角形中位线与等腰三角形三线合一 1、等腰三角形三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；知其 一，可得另外两个结论（证垂直、证中点、证角相等） 2、常见组合场景&解题步骤 场景1：利用中位线找等腰，再用三线合一证垂直/角相等 （1）找图中多个边中点，连接得到中位线； （2）由中位线平行、线段相等，推导出三角形两边相等，判定等腰三角形； （3）结合中线/角平分线条件，用三线合一推出垂直、角度相等； 场景2：利用三线合一得中点，再用中位线求线段/证平行 （1）题干出现等腰三角形+高/角平分线，先用三线合一：得到底边中点； （2）图形中已有其他边中点，两个中点连线，构造中位线； （3）套用中位线性质，求线段长度、证明两直线平行 场景3：综合证明（线段相等、位置关系、角度计算） 通用解题步骤： （1）圈出等腰三角形、垂线、角平分线 → 先用三线合一，锁定新中点、垂直关系、等角； （2）圈出所有边的中点 → 连接中点作中位线，得到平行线与倍分线段； （3）平行线传递角相等，线段倍分进行等量代换； （4）结合全等、平行线性质、互余互补完成证明/计算 3、辅助线做法 （1）有等腰+高/角分线：直接用三线合一，标出底边中点； （2）分散的中点：连接中点，构造中位线； （3）缺中点：取线段中点，同时创造中位线+三线合一条件 【典例精讲】（2025秋•烟台期末）如图，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC，MN⊥EF，垂足为N．求证：EN＝FN． 【变式训练1】（2025春•颍上县期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，点G是BC的中点． （1）求证：DG∥AB； （2）若DG＝2，AC＝5，则AB＝ 　　 ． 题型五：梯形的中位线 1. 定义 连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。 2. 核心性质 （1）位置：中位线 平行于上底、下底 （2）长度：中位线长 = （3）延伸公式：梯形面积：S=中位线长×高 3. 辅助线做法 （1）已知两腰中点：直接连线，画出梯形中位线，用性质解题； （2）只给一个腰中点：取另一腰中点，补全中位线； （3）结合对角线：连接对角线，拆分出三角形，混用梯形+三角形中位线； （4）遇腰中点，也可延长两腰构造三角形，转化为三角形中位线问题 【典例精讲】（2026春•晋安区期中）我们已经学习过平行四边形的知识，借助平行四边形的相关性质、判定定理，我们研究学习了三角形的中位线的定义和性质．根据研究图形的规律，请回答以下问题： （1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； （2）梯形也是一种常见的四边形，它是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①请在图中画出梯形的中位线； ②通过观察、度量、猜想梯形中位线具有的性质并证明． 猜想：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 已知： 求证： 证明： （3）已知梯形的中位线长6，梯形的高为3，则梯形面积是 　　 ． 【变式训练1】（2025秋•张店区校级月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△ABC中，EF是△ABC的中位线，连接EF．则EF与BC的关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，MN就是ABCD梯形的中位线．请猜想线段AD，BC，MN之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为7cm，高为6cm，则梯形面积是　　 cm2． 【变式训练2】如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形的高DE＝3，求梯形ABCD的中位线长． 【变式训练3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AB、DC的中点，对角线AC、BD分别交MN于E、F，求证：EF（BC﹣AD）． 【变式训练4】如图所示，等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC⊥BD，高h＝8cm，求它的中位线长． 【变式训练5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O且AC⊥BD，M、N分别是AB、CD的中点，∠DBC＝30°．求证：AC＝MN． 题型六：构造三角形的中位线 1.基础4种构造方法 方法1：已知一边中点，取另一边中点，连线 方法2：已知一边中点，延长线段，补全等三角形造中点 方法3：连接对角线，拆分四边形，内部造中位线 方法4：过中点作平行线，反向构造中位线 2.特殊图形里的构造技巧 方法1：等腰三角形 + 中点 方法2：直角三角形 + 斜边中点 方法3：梯形 + 腰中点 【典例精讲】（2026春•临清市期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC，BD交于点O，且AC＝12，BD＝16，点E，F分别是边AB，CD的中点，求EF的长度． 【变式训练1】如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接AE，BD，点G，H分别是AE，BD的中点，连接GH，求GH的长度． 【变式训练2】（2026春•松江区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝6，，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF． （1）求四边形ABCD的面积； （2）求EF的长． 【变式训练3】（2025秋•南海区期末）在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如图1，在四边形中ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB∥CD，则S△AOD＝S△BOC． 探究1 如图2，过△ABC边上任意一点D作一条直线，使其平分△ABC的面积． 思路：如图3，连接DC，过点A作AE∥DC交BC的延长线于点E，连接DE交AC于点G，取BE中点F，连接DF，则DF即为所求直线． 探究2 如图4，过四边形ABCD的顶点A作一条直线，使其平分四边形ABCD的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明DF平分△ABC的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 第 1 页 共 35 页 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