2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末复习专题5：因式分解（巩固练习）

**基本信息** 聚焦因式分解全维度能力训练，以“概念辨析-方法应用-综合迁移”为逻辑主线，通过典型例题与变式训练构建系统性解题路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典型例题|6例|基础概念判断与方法示范|从因式分解定义到提公因式法、公式法的原理推导| |举一反三|6变式|方法迁移与跨情境应用|结合代数式求值、几何图形进行知识拓展| |巩固练习|15题|综合能力分层检测|覆盖基础运算、综合证明及实际应用的完整逻辑链|

2025-2026学年苏科版数学八年级下册 期末复习专题5：因式分解 (巩固练习) 【典型例题】 【例1】下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A.5a'b=5a.a.b B.a2+4a+4=aa+4+4 C.m2-9m=m(m-9) D.(a+3)=a2+6a+9 【例2】若将多项式2x2+mx-12因式分解得（x+4)(2x+n),则m的值为() A.12 B.-12 C.15 D.-15 【例3】已知整式mx2+7x-20(m是常数)可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是 2x+5,则另一个因式是 一 【例4】分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6=一 【例5】分解因式： (1)4x2-9; (2)x-6)x-2)+4; (3)x2-3x-10. 【例6】已知m+n=3,mn=2,求下列代数式的值. （1）m3n-2m2n2+mn3 (2)m4+n 第1页共17页 【举一反三】 【变式1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x B.x(x+5)=x2+5x C.2x2-8x=2x(x-4) D.(x+1)2=x2+2x+1 【变式2】若a2+(2t-1ab+4b2是完全平方式，则实数t的值为() 昌 B或 C.5 D.4 【变式3】已知ABC的三边的边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2-2b(a+c+c2=0,判断此三 角形的形状为 【变式4】如图，一次函数y=-x-6的图象经过点P(a,b)和Q(c,d),则ac+d)+bc+d)的值 为 【变式5】因式分解： （1)x3-6x2+9x (2)(x2+4}2-16x2 【变式6】已知A=2a+1,B=2a-1,C=ka2+2a-1(k为常数). (1)若k=-1, ①对整式C进行因式分解； ②化简2C-A-B. (2)若k=-4,且C+A·B的计算结果是非负数，求a的取值范围. 第2页共17页 【巩固练习】 1.用提公因式法分解因式，多项式3x2-9x中能提出的公因式是() A.3 B.x C.3x D.x2 2.下列变形是因式分解的是() A.x2-2=(x+1)(x-1)-1 B.x2-4xy+4y2=(x-2y)2 D.(x+2)(x-2)=x2-4 3.若x2+kx+12=(x+a)(x+b),且a、b、k均为整数，则k的值不可能是() A.6 B.7 C.8 D.-13. 4.若多项式6m2-6n+4mn-9m可因式分解成(am+bn)(cm+d),其中a,b,c,d均为整数，则 la+bxc+d的值是() A.5 B.6 C.25 D.30 5.已知整式M:anx”+a-r"+…+a,x+a0,其中n,an,an1,,a为正整数，a为整数，且 a+2a+3a2+…+(n+1)an=11,下列说法： ①满足条件的所有整式M中，没有单项式 ②当n=2时，满足条件的所有整式M中，能进行因式分解的有4个； ③所有满足条件的整式M共有23个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 6.单项式8x2y3与4xy4的公因式是 7.因式分解：y2-8-64= 8.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则整数 9.已知m-n=5,mn=4,那么m3n-2m2n2+mn3=. 第3页共17页 10.由多项式乘以多项式的法则可以得到： (a+b)(a2-ab+b2=a-a'b+ab2+a2b-a2b+b=a+b 即：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b,我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b,我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：3a3b-81b4= 11.因式分解： (1)4x3-31x+15 (2)x4+x3-3x2-4x-4 12.利用因式分解进行简便计算： w-2x号*2+9： (2)6212-1482-769×373. 13.请认真阅读下面的命题和部分证明过程. 问题： 如何证明命题“像2,6,10,14，…这些形如4n-2（n为正整数)的正整数N不能表 示为x2-y2(x,y均为自然数)”. 证明： 假设4n-2=x2-y2,其中xy均为自然数 第4页共17页 分下列三种情形分析： ①若，y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=… 请你将上述证明过程补充完整 14.瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式x2-36y2+x-6y进行因式分解. x2-36y2+x-6y解：原式=(x2-36y2)+(x-6y)第一步 ①提公因式法； =(x-6y)(x+6y)+(x-6y)第二步 ②公式法. =（x-6y)(x+6y+1)第三步 (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法，第二步到第三步因式分解运用的 方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式：x2-6xy+9y2-3x+9y (3)应用：已知ABC的三边长a、b、c满足条件：a-b+b2c2-a2c2=0,试判断ABC的形状. 第5页共17页 15.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式 是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、 最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)a+4. 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. :(a-b)2≥0，(b-1)2≥0， ·当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35=; (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. (3)已知P=x2-y2+6x-1,Q=2x2+4y+13,试比较P,Q的大小. (4)若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11,求P的最小值. 第6页共17页 答案解析 【典型例题】 【例1】下列从左到右的变形中，是因式分解的是() A.5a'b=5a.a.b B.a2+4a+4=aa+4+4 C.m2-9m=m(m-9) D.(a+3)=a2+6a+9 【答案】C 【例2】若将多项式2x2+mx-12因式分解得（x+4)(2x+nm),则wm的值为() A.12 B.-12 C.15 D.-15 【答案】D 【例3】已知整式mx2+7x-20(m是常数)可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是 2x+5,则另一个因式是一· 【答案】3x-4 【例4】分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6= 【答案】(x+3y-2(x-2y+3列 【例5】分解因式： (1)4x2-9; (2)x-6)(x-2)+4; (3)x2-3x-10. 【答案】(1)解：4x2-9 =(2x2-32 =(2x+3)(2x-3); (2)解：（x-6)(x-2)+4 第7页共17页 =x2-8x+12+4 =x2-8x+16 =(x-4)2: (3)解：x2-3x-10 =x2+(-5+2)x+(-5)×2 =(x+2)(x-5). 【例6】已知m+n=3,mn=2,求下列代数式的值. (1）m3n-2m2n2+mn3 (2)m4+n 【答案】(1)解：原式=mnm2-2mn+n2) =mn(m-n)2, .∵m+n=3,mn=2, ∴.(m-n=(m+n-4mn=9-8=1 ∴.原式=2×1=2； (2)解：原式=(m2+n2)2-2m2n2=(m2+n2)2-2(mn, .m2+n2=(m+n2-2mn=9-4=5, ∴.原式=52-2×2=25-8=17. 【举一反三】 第8页共17页 【变式1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.x2-9+6x=(x+3(x-3)+6x B.x(x+5)=x2+5x C.2x2-8x=2x(x-4 D.(x+1=x2+2x+1 【答案】C 【变式2】若a2+(2t-1ab+4b2是完全平方式，则实数t的值为() 月 C.5 D.4 【答案】B 【变式3】已知ABC的三边的边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2-2b(a+c+c2=0,判断此三 角形的形状为 【答案】等边三角形 【变式4】如图，一次函数y=-x-6的图象经过点P(a,b)和Q(c,d,则a(c+d)+b(c+d)的值 为 【答案】36 【变式5】因式分解： (1)x3-6x2+9x (2)（x2+4-16x2 【答案】(1)解：x3-6x2+9x =xx2-6x+9） =x(x-3): 第9页共17页 (2)解：(x2+4)-16x =(x2+4+4x(x2+4-4x =(x+22(x-22. 【变式6】已知A=2a+1,B=2a-1,C=ka2+2a-1(k为常数). (1)若k=-1, ①对整式C进行因式分解； ②化简2C-A-B. (2)若k=-4,且C+A·B的计算结果是非负数，求a的取值范围. 【答案】(1)解：①当k=-1时， C=-a2+2a-1 =-a2-2a+1 =-(a-1)2; ②2C-A-B=2-a2+2a-1-(2a+1)-(2a-1) =-2a2+4a-2-2a-1-2a+1 =-2a2-2; (2)解：当k=-4时， C+A:B=-4a2+2a-1+(2a+1)×(2a-1) =-4a2+2a-1+4a2-1 =2a-2, :C+A·B的结果是非负数， .2a-2≥0， 第10页共17页 解得a21. 【巩固练习】 1.用提公因式法分解因式，多项式3x2-9x中能提出的公因式是() A.3 B.x C.3x D.x2 【答案】C 2.下列变形是因式分解的是() A.x2-2=(x+1)(x-1)-1 B.x2-4xy+4y2=(x-2y)2 1 C.x2+1=xx+- D.(x+2)(x-2)=x2-4 【答案】B 3.若x2+x+12=(x+a)(x+b),且a、b、k均为整数，则k的值不可能是() A.6 B.7 C.8 D.-13. 【答案】A 4.若多项式6m2-6n+4mn-9m可因式分解成(am+bn)(cm+d),其中a,b,c,d均为整数，则 a+bxc+d的值是() A.5 B.6 C.25 D.30 【答案】A 5.已知整式M:a,x+a-r+…+a,x+a,其中，an,an,,a,为正整数，a为整数，且 a+2a+3a2+…+(n+1an=11,下列说法： ①满足条件的所有整式M中，没有单项式； ②当=2时，满足条件的所有整式M中，能进行因式分解的有4个 第11页共17页 ③所有满足条件的整式M共有23个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 6.单项式8x2y与4x3y4的公因式是 【答案】4r2y 7.因式分解：(y2-82-64 【答案】y(y+4(y-4列 8.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则整数F. 【答案】±4 9.已知m-n=5,mn=4,那么mn-2m2n2+mn3=. 【答案】100 10.由多项式乘以多项式的法则可以得到： (a+b)(a2-ab+b2)=a-a'b+ab2+a'b-a"b+b3=a+b 即：(a+b)(a2-ab+b)）=a3+b,我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b,我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式：3a3b-81b4= 【答案】3b(a-3b)(a2+3ab+96) 11.因式分解： (1)4x3-31x+15 (2)x4+x3-3x2-4x-4 【答案】(1)解：4x3-31x+15 =4x3-x)-(30x-15) 第12页共17页 =x2x+1)(2x-1-15(2x-1 =(2x-1)(2x2+x-15 =(2x-1)(2x-5)(x+3 (2)解：x4+x3-3x2-4x-4 =(x4+x3-2x2）-(x2+4x+4 =x2(x2+x-2）-(x+2)月 =x2(x+2)(x-1)-(x+22 =(x+2)(x3-x2-x-2 =(x+2)(x-2)x2+x+1 12.利用因式分解进行简便计算： ω-2x号*2+9： (2)6212-1482-769×373. 【容类】)解原就份-2 (2)原式=(621+148)×(621-148-769×373 =769×473-769×373 =769×473-373 =769×100=76900. 13.请认真阅读下面的命题和部分证明过程. 第13页共17页 问题： 如何证明命题“像2,6,10,14，…这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表 示为x2-y2(x,y均为自然数)”. 证明： 假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=… 请你将上述证明过程补充完整 【答案】假设4n-2=x2-y2,其中，y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k)2-(2m)2=4k2-m2)为4的倍数， 而4n-2不是4的倍数，矛盾，故x,y不可能均为偶数： ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k+2-(2m+1)2=4k2-m2+k-m为4的倍数， 而4n-2不是4的倍数，矛盾，故x,y不可能均为奇数， ③若y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2为奇数，而4n-2是偶数，矛盾，故x,y不可能一个 是奇数一个是偶数， 由①②③可知，形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2-y2(x,y均为自然数) 第14页共17页 14.瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式x2-36y2+x-6y进行因式分解. x2-36y2+x-6y解：原式=x2-36y2)+(x-6y)第一步 ①提公因式法； =(x-6y)(x+6y)+(x-6y)第二步 ②公式法. =(x-6y)(x+6y+1)第三步 (1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法，第二步到第三步因式分解运用的 方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号） (2)请你按照上述方法分解因式：x2-6xy+9y2-3x+9y (3)应用：已知ABC的三边长a、b、c满足条件：a-b4+b2c2-ac2=0,试判断ABC的形状. 【答案】(1)解：第一步到第二步，是把x2-36y2分解成(x-6y)(x+6y),这是公式法， 第二步到第三步是提出了(x-6y),这种方法是提公因式法， 故答案为：②，①： (2)解：x2-6xy+9y2-3x+9y =(x-3y)2-3(x-3y =x-3y)(x-3y-3); (3)解：a4-b4+b2c2-a2c2=0, (a2+b2）(a2-b2）-c2(a2-b2）=0, (a2-b2）(a2+b2-c2）=0, (a+b)a-b)a2+b2-c2）=0, :a、b、c是ABC的三边， .a+b≠0， a-b=0或a2+b2-c2=0, a=b或a2+b2=c2, 第15页共17页 :△ABC是等腰三角形或者直角三角形. 15.【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式 是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、 最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. 解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1=(a+2)(a+4. 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值， 解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1. :(a-b)2≥0，(b-1)2≥0， ·当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35=; (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. (3)已知P=x2-y2+6x-1,Q=2x2+4y+13,试比较P,Q的大小. (4)若a,b为有理数且满足ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11,求P的最小值. 【答案】(1)解：依题意，a-12a+35=a2-12a+36-1=(a-6°-1P=(a-7)(a-5), 故答案为：(a-5(a-7) (2)"a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0, .a2-2ab+b2+b2+4b+4+c2-6c+9=0, (a-b)+(6+2)2+(c-3)2=0, 又：(a-b)220,(b+2)2≥0，(c-3)2≥0， 第16页共17页 .a-b=0,b+2=0,c-3=0, a=b=-2,c=3, ∴.a+b+c=-2+(-2)+3=-1 (3)P=r2-y2+6x-1,0=2x2+4y+13, .0-P=(2x2+4y+13)-(x2-y2+6x- =x2-6x+9+y2+4y+4+1 =(x-3)2+(y+2)2+1 (x-3)2≥0,0y+2)2≥0， Q-P≥1 0>P. (4)解：：ab=a+b, .P=a2-4ab+b2+11 =a2-4a+b)+b2+11 =a2-4a-4b+b2+11 =(a2-4a+4+(b2-4b+4+3 =(a-2)2+(b-2)2+3, (a-2)220,(b-2)220. :当a=b=2时，P有最小值，最小值为3，此时满足2×2=2+2， 故答案为：3. 第17页共17页