精品解析：2026年湖南省岳阳市岳阳县中考二模数学试题

2026年初中学业水平考试模拟试题 数学（二） 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 5. 如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的一根为，则方程的另一根为（ ） A. B. C. D. 3 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简__________． 12. 因式分解：x2﹣6x＝_____． 13. 已知远视眼镜片的度数（度）与镜片焦距（米）满足反比例关系．即（），若度数为250度时，焦距为0.4米，某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为_______米． 14. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为______． 15. 点在函数的图像上，则代数式的值等于_______． 16. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 22. 如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点处测得山顶的仰角为．在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度（结果用根式表示）． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； （3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接，过作且交延长线于点．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） （2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； （3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试题 数学（二） 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．依据“只有符号不同的两个数互为相反数”这一性质即可求解． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是2026． 故选：A． 2. 在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一分析各个图形即可． 【详解】A项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故A错误； B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故B错误； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以是轴对称图形，故C正确； D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故D错误． 3. 下面计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应法则计算各选项结果，即可选出正确答案。 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，结果不为，A不符合要求； B、，B不符合要求； C、，C符合要求； D、，D不符合要求． 4. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为千克． 故选：C． 5. 如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 6. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：小红从三个主题中随机选择其中一个主题，则她恰好选中“豆包”的概率是， 故选B， 7. 已知方程的一根为，则方程的另一根为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 8. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，在中，由勾股定理得到，由，，即可求解， 本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式． 【详解】解：由作图可知：，， 在中，， ∴， , 故选：C． 9. 如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分的周长， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线对称性得到的值，将所求式子转化为关于公共纵坐标的表达式，再根据的条件求出的范围，最终得到所求式子的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，对称轴为，且， ∴关于对称轴对称， ∴，得， ∴， 设公共纵坐标， ∵点在上， ∴，即， 代入得， 对于抛物线，纵坐标为的点满足方程， 整理得， ∵方程有两个不等实根， ∴， 得， 由求根公式得较小根， ∵，代入得：， 整理得， ∵左边非负， ∴右边，得， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合和， 得， 将的范围代入，得：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 因式分解：x2﹣6x＝_____． 【答案】x(x﹣6) 【解析】 【分析】原式提取公因式x即可得到结果． 【详解】原式＝x(x﹣6)， 故答案为：x(x﹣6)． 【点睛】本题考查用提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式的方法是解题的关键． 13. 已知远视眼镜片的度数（度）与镜片焦距（米）满足反比例关系．即（），若度数为250度时，焦距为0.4米，某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为_______米． 【答案】0.5 【解析】 【分析】已知与满足反比例关系，先利用给定的和的值求出反比例函数的比例系数，得到函数解析式，再将代入解析式，即可求出镜片焦距的值． 【详解】解：将代入，得， 解得， 因此反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 即镜片焦距为米． 14. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一得到是的角平分线，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：是等腰底边上的高， 是的角平分线， 又点到直线的距离为， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点到直线的距离为． 15. 点在函数的图像上，则代数式的值等于_______． 【答案】0 【解析】 【分析】把点代入，得到与的关系式，再将其变形代入所求代数式计算． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 整理得， 将代入 ， ． 16. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图： 由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽样共调查了________名学生，m的值为________； （2）补全条形统计图； （3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ 【答案】（1）50；30 （2）见解析 （3）600名 【解析】 【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用D类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）根据（1）中所求D类的人数，即可补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴． 【小问2详解】 解∶补图如下∶ 【小问3详解】 解：（名） 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有600名． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形中，，， ∴， 由菱形和矩形的中心对称性可知：， 又∵， ∴， ∴菱形的面积是． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的判定和性质，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 （2）至少种植甲作物5亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； 【小问2详解】 解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 22. 如图，计划在山顶的正下方沿直线方向开通穿山隧道．在点处测得山顶的仰角为．在距点的处测得山顶的仰角为，从与点相距的处测得山顶的仰角为，点、、、在同一直线上，求隧道的长度（结果用根式表示）． 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】如图，过点作于，设． 在中，， ． ， ． 在中，， ． ， ， 在中，， ． ． 隧道的长度为． 23. 在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，． （1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长； （2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长； （3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接，过作且交延长线于点．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的最小值为1 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据旋转的性质得到，即为等腰三角形，再利用三线合一性质即可求解； （2）作交于点D，作交于点E，根据旋转的性质可得，，利用平行线的性质和等角对等边得到，根据三线合一性质得，利用等面积法求出，利用勾股定理得到，再证明得到，代入数据即可求解； （3）连接，证明，得到，根据三角形中位线定理得到，要使最小，最小即可，再根据两点之间线段最短求出的最小值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，． 根据旋转的性质可知， 即为等腰三角形． ∵，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作交于点D，作交于点E． 由旋转可得，． ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∵，即， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，连接， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，即点D为中点． ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， 要使最小，最小即可， ∵， ∴当点三点共线时最小，且最小值为， ∴此时， ∴在旋转过程中，存在最小值，最小值为1． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，连接． （1）抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果） （2）在图1中，连接并延长交的延长线于点，求的度数； （3）如图2，若动直线与抛物线交于两点（直线与不重合），连接，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，点的横坐标是定值，理由： 设点的坐标为，点的坐标为． ∵直线与不重合， ∴且且． 如图3，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∵， ∴可设直线的解析式为：． 将代入， 得． ∴． ∴点的坐标可以表示为． 设直线的解析式为：， 由点，点，得 ， 解得． ∴直线的解析式为：． 同上，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∴． ∴． ∴． ∴点的横坐标为定值3． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线直线的解析式为：，直线的解析式为：．联立两直线解析式，得出点的坐标为．方法1：由题意可得：．过点E作轴于点F．计算得出，又，可得，根据相似三角形的性质得出；方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点．等面积法求得，解即可求解．方法3：如图2，过点作于点．根据，得出，进而得出； （3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值3． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ∵点，点， 设直线的解析式为：． ∴， ∴， 直线的解析式为：． 同上，由点，可得直线的解析式为：． 令，得． ∴点的坐标为． 方法1：由题意可得：． ∴． 如图1，过点E作轴于点F． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 即． 方法2：如图2，延长与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ， ∴． ∴ ∴，即． 方法3：如图2，过点作于点． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $