福建省福州市鼓楼区延安中学2025-2026学年八年级 下学期段考数学试卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，融合茶叶销售、投篮轨迹等生活实践情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配八年级段考需求，培养数学建模与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、配方法、抛物线平移|结合矩形展区通道等几何情境考查方程应用| |填空题|6/24|二次函数最值、握手问题建模、炮弹高度最值|通过实际问题强化模型意识，如第14题炮弹高度与二次函数对称轴关联| |计算题|1/14|一次函数与二次函数综合应用|以黄山毛峰销售为背景，构建利润函数并求解最值，体现数据观念| |解答题|8/72|方程求解、根的判别式、二次函数图像与面积|第24题投篮机轨迹分析融合坐标几何与函数表达式求解，第25题抛物线综合题考查数形结合与最值探究|

2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）段考数学试卷（6月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于x的方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于x的一元二次方程的一个解是，则(    ) A. 1 B. 2 C. 0 D. 4 3.用配方法解方程时，下列配方结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是(    ) A. 向右平移3个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向左平移2个单位 5.如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知等腰三角形ABC中．，AB，AC的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值为(    ) A. 25 B. 14 C. 25或16 D. 25或14 7.如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是(    ) x … 0 1 3 … y … 4 … A. 函数的图象开口向上 B. 函数的图象与x轴无交点 C. 对称轴为 D. 当时，y随x的增大而增大 8.已知实数m，n满足，则的值为(    ) A. 3 B. 5 C. 5或3 D. 或5 9.如图甲，在中，点P从点B出发向点C运动，设线段BP的长为x，线段AP的长为y，y与x的函数图象如图乙所示，点Q是图象上的最低点，则下列结论不正确的是(    ) A. B. C. AP的最小值为1 D. 10.如图，抛物线与y轴交于点A，过点A且平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，与抛物线交于点D，抛物线与x轴交于点E，F，连接BE，若，，则梯形BEFC的面积为(    ) A. 4 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.二次函数的最小值是______. 12.根据下列问题列方程.问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，共有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，所列方程为：        . 13.已知方程，当______时，是关于x的一元二次方程． 14.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第          秒． 15.已知点、、在抛物线，则，，的大小关系是        用“<”连接 16.已知二次函数与一次函数，二次函数过点，则不等式的解集为______. 三、计算题：本大题共1小题，共14分。 17.综合与实践：根据素材回答问题. 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶.该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶俗称黄金片 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元. 素材2 经调查发现，其日销售量千克与售价元/千克之间的函数关系如图所示. 任务1 设该茶叶的日销售利润为w元，分别求出y与x，w与x之间的函数表达式； 任务2 若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价x的取值范围. 四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题8分 用适当的方法解下列方程： ； 19.本小题8分 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. 求实数k的取值范围； 若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根. 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 设方程的两个根分别是，，若，求k的最大整数值． 21.本小题8分 已知二次函数 若该二次函数图象与x轴有两个交点，求实数a的范围； 若该二次函数的顶点在的图象上，求实数a的值． 22.本小题8分 将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． 要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 两个正方形的面积之和可能等于吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 23.本小题10分 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设垂直于墙的一面篱笆长为x米，花圃的总面积为S平方米． 若围成花圃的总面积为20平方米，请设计方案． 求S关于x的函数关系式，并求出最大面积． 24.本小题10分 投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以AB所在的直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图3，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，篮球飞行的水平距离米与篮球距离水平面AB的竖直高度米的变化规律如下表： 水平距离米 0 1 2 竖直高度米 1 2 2 根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式. 在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架AB的长度为3米，支架AD与水平面的夹角为，请计算投篮机支架CD的长度. 25.本小题12分 如图，抛物线与x轴交于，两点. 求该抛物线的解析式； 设中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 在中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值.若没有，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A、当时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、，是关于x的一元三次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选： 根据各个选项中的方程可以判断出是几元几次方程，从而可以解答本题． 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 2.【答案】A  【解析】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， 故选： 根据题意可得：把代入方程中得：，从而求出，然后代入式子中，进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， 故选： 利用配方法判断即可． 本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法解方程． 4.【答案】D  【解析】解：，顶点坐标是，顶点坐标是 所以将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， 故选： 根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】B  【解析】解：人行通道的宽度为x m， 每个展位的长为，宽为 依题意得：， 即 故选： 由人行通道的宽度为xm，可得出每个展位的长为，宽为，根据每个展位的面积都为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：根据题意，若BC为等腰三角形的腰，则方程有一个根为8， 将代入得：， 解得：， 当时，方程为，解得：或，符合题意； 若BC为等腰三角形的底边，则方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时方程为，解得，符合题意； 综上m的值为16或25， 故选： 分两种情况：①若BC为等腰三角形的腰，即方程有一个根为8，将代入方程求得m的值，再将m的值代回方程求得x的值，根据三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形；②若BC为等腰三角形的底边，则方程有两个相等的实数根，根据判别式为0求得m的值，再判断即可得． 本题主要考查根的判别式、方程的解的定义、等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，根据等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由表格中的数据可知，二次函数图象经过和， 两点关于对称轴对称，对称轴为直线，选项C正确，符合题意； 设二次函数解析式为， 点在此函数图象上， ， 将，代入解析式得：， 解得， 此二次函数解析式为， ， 函数图象开口向下，选项A错误，不符合题意； ， 函数图象与x轴有两个交点，选项B错误，不符合题意； ，对称轴为， 当时，y随x的增大而减小，，因此时y随x增大而减小，选项D错误，不符合题意． 故选： 根据二次函数纵坐标相等的两点可求对称轴，再用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的性质逐一判断选项即可． 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：设， ， ， ， 或， 解得，， ， ， 即的值为5， 故选： 设，则，然后解一元二次方程，再利用偶次方的非负性舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法． 9.【答案】C  【解析】解：点P从点B出发向点C运动， 当时，P与B点重合，结合图象可知，A选项答案正确，不符合问题要求； 当时，点P与C点重合时，AP最长，此时，即； 从图乙可以看出当时，AP最短，即，此时，在中利用勾股定理求出 故C选项答案错误，符合题意要求； 由中，，可知，所以，D选项答案正确，不符合题意． 故选： 分析P点运动过程，当时，P与B点重合，结合图象可知；点P与C点重合时，AP最长，结合图象可知BC长度；图象中时，AP最短，说明当时，，利用勾股定理可求AP长度；在中求度数． 本题主要考查了动点问题产生的函数图象问题，解这类问题找到图形中的关键点，结合图象所给数值对应图形中的边长，然后进行计算或证明． 10.【答案】B  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， ，， ， 由题意可知，B，C两点关于对称轴直线对称， ，，将代入，得 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 令， ， ， ， ， 故选： 根据题意可得抛物线的对称轴为直线，当时，，则，，结合，得由题意可知，B，C两点关于对称轴直线对称，则，，将代入，结合抛物线的对称轴是直线，求出，令，求出，则，根据求解即可． 该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，掌握其相关知识点是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解：二次函数， 抛物线开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为1， 故答案为： 根据二次函数的顶点式，根据二次函数的性质直接得到． 本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意得：； 故答案为： 每个人都要与其它个人握手一次，则x个人可握手次，但其中每两人的握手重复计算了一次，则总的握手次数为：，由握手的次数10即可得方程． 本题考查了列一元二次方程解应用问题，用代数式表示出握手的总次数是关键． 13.【答案】  【解析】解：关于x的方程是一元二次方程， ， 解得：， 当时，原方程是关于x的一元二次方程． 故答案为： 利用一元二次方程的定义，即可得出关于m的一元二次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值． 本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值． 本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 【解答】 解：此炮弹在第6与第13秒时的高度相等， 抛物线的对称轴是：， 炮弹所在高度最高是第秒， 故答案为： 15.【答案】  【解析】解：，，对称轴为：， 抛物线的开口朝下，图象上点离对称轴越远，函数值越小， ， ； 故答案为： 根据抛物线的开口方向，和抛物线上的点离对称轴的远近进行判断即可． 本题考查比较二次函数的函数值大小关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：令， 解得，， 二次函数过点， ， ， ， ， 二次函数图象开口向上， 当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或 故答案为：或 求得两函数的交点的横坐标，然后根据当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方，可得，继而可求得答案． 主要考查二次函数与不等式组，二次函数图象与向上的关系，求得交点的横坐标是解题的关键． 17.【答案】；   当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元；     【解析】解：黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量千克与售价元/千克之间的函数关系如图所示． 设， 将，代入， ； 设每天获取的利润为w元， 每千克成本为60元， ； 该茶叶的日销量不低于80千克， ， 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， ， ， ， ， 抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， ， 当时，. 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 由题意，令， ， ，且 开口向下， 当时，， 售价不高于100元， 售价范围为 理解题意，设，再把，分别代入计算，得即可； 根据每千克成本为60元，茶叶的日销售利润为w元，进行列式得出，根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，由，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答； 根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得，，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一元一次不等式的应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18.【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】利用因式分解法求解即可； 利用因式分解法求解即可． 本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型． 19.【答案】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即实数k的取值范围是； 设方程的另一个根是a， 则由根与系数的关系得：，， 解得：，， 即方程的另一个根是4，k的值为  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点是解此题的关键 根据根的判别式和已知条件得出，再求出不等式的解集即可； 设方程的另一个根是a，由根与系数的关系得出，，再求出答案即可． 20.【答案】证明： ， 不论k取何实数，该方程总有两个实数根； 根据根与系数的关系得，， ， 即， ， 解得， 的最大整数值为  【解析】先计算根的判别式的意义得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； 先利用根与系数的关系得，，再利用得到，然后解不等式得到k的取值范围，从而确定k的最大整数值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 21.【答案】解：当时， ， 二次函数图象与x轴有两个交点， ， ； ， 顶点为， 顶点在的图象上， ， 解得  【解析】当时，时，二次函数图象与x轴有两个交点； 求出顶点为，再将顶点坐标代入，求出a的值即可． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，函数图象与x轴交点与一元二次方程的判别式的关系是解题的关键． 22.【答案】解：设剪后其中一段长为x cm，则另一段为， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，；当时，， 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别为4cm和16cm； 不能，理由如下： 设剪后其中一段长为y cm，则另一段为， 依题意，得， 整理，得 ， 此方程无解， 即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为  【解析】设剪后其中一段长为xcm，则另一段为，根据这两个正方形的面积之和等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； 设剪后其中一段长为ycm，则另一段为，根据这两个正方形的面积之和等于，即可得出关于y的一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出此方程无解，即不能剪成两段，使得两个正方形的面积之和为 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”． 23.【答案】解：设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则平行于墙的一面就为米， 由题意得，解得，， 或4， 若围成花圃的总面积为20平方米，花圃垂直于墙的一面篱笆长为1米，平行于墙的一面长为20米或垂直于墙的一面篱笆长为5米，平行于墙的一面长为4米； ； ， ， 当时，S有最大值为  【解析】设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则靠墙的一面就为米，利用长方形的面积公式，列方程求解即可； 设垂直于墙的一面篱笆长为x米，则靠墙的一面就为米，利用长方形的面积公式，可求出关系式，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积． 本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 24.【答案】  米  【解析】解：由题意可得：，  解得：，  篮球飞行路线的表达式为：  在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架AB的长度为3米，支架AD与水平面的夹角为，则：  如图：作于点G，则，四边形BGDC是矩形，    ，  ，，  是等腰直角三角形，  ，  设点D的坐标为，  ，解得：，不合题意，舍去，  ，  由题意得：，  ，    答：投篮机支架CD的长度为1米． 把表格中任意两组数值代入所给的抛物线解析式，求得a和b的值即可；  如图：作于点G，则，四边形BGDC是矩形，即；由题意可知：点D的横，纵坐标相等，代入中得到的函数解析式，即可求得点D的坐标，即可求得；由题意可得，易得，进而求得CD的长． 本题主要考查求函数的解析式、坐标与图形、矩形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，确定点D的横、纵坐标相等是解题的关键． 25.【答案】解：根据题意得：， 解得， 则抛物线的解析式是； 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 直线BC与的交点即为Q点，此时周长最小， 对于，令，则，故点， 设BC的解析式是， 则，解得， 则BC的解析式是 时，， 点Q的坐标是； 过点P作y轴的平行线交BC于点D， 设P的横坐标是x，则P的坐标是，对称轴与BC的交点D是 则 则， ，故的面积有最大值是  【解析】利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； 根据题意可知，边AC的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即是所求的点Q； 首先求得BC的坐标，然后设P的横坐标是x，利用x表示出的面积，利用二次函数的性质求解． 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是转化为函数最值问题求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $