专题04 等腰三角形（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

专题04 等腰三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 等腰三角形的性质 题型3 等腰三角形的判定 题型4 等腰三角形的判定与性质 题型5 等边三角形的性质 题型6 等边三角形的判定 题型7 等边三角形的判定与性质 题型8 等腰直角三角形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 等腰三角形定义、等边对等角性质、角度与边长基础计算 2. 等腰三角形三线合一性质的识别与应用3. 等腰三角形判定：定义法、等角对等边4. 等边三角形的性质、判定及与等腰三角形的关联考查 5. 线段垂直平分线的性质、逆定理及几何应用 6. 等腰三角形、垂直平分线与全等三角形、角平分线、平行线综合证明 7. 等腰三角形分类讨论问题（边长、内角、动点存在性） 8. 常见几何模型：角平分线 + 平行线、垂直平分线构造等腰三角形 1. 基础题型（选择、填空）：以概念辨析、简单角度 / 线段计算为主，考查等边对等角、三线合一、垂直平分线基础性质，难度偏低，为期末必考基础题。 2. 中档题型（简单解答）：单独考查等腰三角形判定、垂直平分线证明，要求规范书写几何推理步骤，侧重区分性质与判定的互逆使用逻辑。 3. 综合解答题：融合全等三角形、角平分线、平行线知识进行多步证明，常结合 “三线合一” 添加辅助线，是试卷核心得分题型。 4. 拔高题型：聚焦分类讨论思想，考查等腰三角形边长、内角度数多解问题，以及网格、简单动点背景下等腰三角形存在性问题，区分学生能力层次。 5. 命题特点：沪教版上海地区期末卷常出现等边三角形 + 旋转、垂直平分线 + 等腰三角形组合题型，重视几何模型识别与辅助线构造能力。 考情解码：本专题是沪教版七下几何核心内容，承接全等三角形，是初中几何从 “单纯全等证明” 转向性质与判定综合推理的转折点，也是后续学习平行四边形、菱形、圆、函数中等腰三角形存在性问题的重要基础。线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形形成完整的轴对称几何知识体系，贯穿整个初中几何学习。重点考查边角转化思想（边相等证角相等、角相等证边相等）、分类讨论思想、转化思想，同时强化几何语言规范书写、图形拆解、辅助线构造三大基本能力。沪教版命题格外注重推理过程的严谨性，严禁混淆 “性质” 和 “判定” 的书写逻辑。 高频易错点 忽略等腰三角形分类讨论：未区分 “腰与底边”“顶角与底角”，导致漏解、错解； 误用 “三线合一”：仅在等腰三角形前提下才能使用三线合一，非等腰三角形不可套用； 混淆线段垂直平分线性质与逆定理：分不清 “由垂直平分线得线段相等” 和 “由线段相等得垂直平分线” 的推理方向； 等边三角形判定条件混淆：忽略 “有一个角为 60° 的等腰三角形才是等边三角形” 这一特殊判定条件； 证明步骤不规范：推理条件缺失、因果关系颠倒，是解答题主要扣分点。 命题趋势 近年上海地区七下期末命题逐渐弱化纯机械计算，强化模型化考查，高频出现角平分线 + 平行线、垂直平分线构等腰、等边三角形旋转等经典模型；动态几何、网格内构造等腰三角形等创新题型占比缓慢提升，侧重考查几何直观与综合推理能力，单纯记忆类题目逐步减少。 知识点一 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 注意： (1) 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角. (2) 等腰三角形的底角只能是锐角. 2. 等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等. 符号语言： 注意：(1)等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等.(2)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论，切勿漏解. 性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 符号语言： ①∵平分且； ②∵且平分； ③∵平分且． 注意：“三线合一”中的”三线”是指底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线，不是腰上的中线、高和对应底角的平分线. 拓展延伸： (1) 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2) 等腰三角形两底角的平分线相等； (3) 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； (4) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 3. 中垂线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 4. 大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大. 符号语言： 即时即练如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 知识点二 等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定 判定依据 文字语言 符号语言 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形 注意：适用”等角对等边”定理的前提条件是”在同一个三角形中”，且两条边应是这两个等角的对边. 2. 等腰三角形性质与判定的区别 条件 结论 用途 性质（等边对等角） 两边相等 这两边所对的角相等 用于证明角相等 判定（等角对等边） 两角相等 这两个角所对的边相等 用于证明边相等 3. 大角对大边 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角所对的边较大. 符号语言： 即时即练已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 知识点三 等边三角形 1. 等边三角形的性质定理 性质 文字语言 符号语言 性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60∘ ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），且三条中线、高、角平分线所在直线交于一点 在△ABC中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD 2. 等边三角形的判定定理 判定依据 文字语言 符号语言 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 ∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ∵AB=AC,∠B=60°（或∠A=60°或∠C=60°）， ∴△ABC是等边三角形 总结 等边三角形判定方法的选择 (1) 若已知三边关系，则选择用定义法； (2) 若已知三角关系，则选择用判定定理1； (3) 若已知是等腰三角形，则选择用判定定理2（这是判定一个三角形为等边三角形最常用的方法，注意先确定”等腰三角形”这一前提条件，再找一个60°角即可证明）. 即时即练已知，如图，等腰，，    (1)若______，则为等边三角形； (2)若______°，则为等边三角形； (3)若______°，则为等边三角形． 知识点四 垂直平分线 1. 垂直平分线定义 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如果直线是线段的垂直平分线，垂足为，那么，且。 2. 线段垂直平分线性质定理 定理1（性质定理） 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等。 符号语言 若直线是线段的垂直平分线，点在直线上， 则 几何推理语言 ∵ 点在线段的垂直平分线上 ∴ 3. 直线是线段垂直平分线的判定（定义判定法） 判定方法 如果一条直线既经过一条线段的中点，又垂直于这条线段，那么这条直线就是该线段的垂直平分线。 符号语言 已知直线与线段交于点，若 ，且 ， 则直线是线段的垂直平分线。 几何推理语言 ∵ ， ∴ 直线是线段的垂直平分线 4.线段垂直平分线判定定理（逆定理） 定理2（逆定理/判定定理） 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言 若 ，则点在线段的垂直平分线上。 几何推理语言 ∵ ∴ 点在线段的垂直平分线上 5.尺规作图 (1) 以点为圆心、以的长为半径作弧； (2) 以点为圆心、以的长为半径作弧； (3) 两弧分别相交于点、，过点、作直线。 直线就是线段的垂直平分线。 6. 三角形三边垂直平分线相关结论 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心。 即时即练如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 题型1 线段垂直平分线的性质 例1．如图，是△中边的垂直平分线，若，，，则△的周长是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 例2．如图，在△中，，且，垂直平分，交于点．若△的周长为20，，则的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 【技巧总结】 ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【变式训练1-1】下列条件中，不能判定直线是线段，不在上）的垂直平分线的是（　　） A．， B．， C．， D．，平分 【变式训练1-2】如图，在△中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-3】如图，在△中，是边的垂直平分线，，，则的长是_________． 题型2 等腰三角形的性质 例3．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例4．在△中，，、分别是边、的中点，和相交于点．如果点到边的距离为2，，那么的长为_________． 【技巧总结】 等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【变式训练2-1】已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为_________． 【变式训练2-2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为_________． 【变式训练2-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角的度数是　 　． 【变式训练2-4】一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求的值，并求这个等腰三角形三边的长． 题型3 等腰三角形的判定 例5．如图，点，为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点为格点），使得△为等腰三角形，则点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 例6．下列条件中，不能判定△是等腰三角形的是（　　） A．，， B． C．， D． 【技巧总结】 ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【变式训练3-1】已知：如图，在△中，，点在边上，，图中共有 　 　 个等腰三角形． 【变式训练3-2】如图，平分的外角，且，试写出是等腰三角形的理由． 【变式训练3-3】如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 题型4 等腰三角形的判定与性质 例7．如图，△中，、的平分线相交于，过点且与平行．△的周长为20，△的周长为12，则的长为　 　 ． 例8．如图，在△中，点、分别在边、上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则△是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 【变式训练4-1】如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是 　 　． 【变式训练4-2】如图，在中，、分别是和的角的平分线，且，，则的周长是　 　． 【变式训练4-3】在△中，，，平分，交于点．点与点关于直线对称，连接，，延长交于点． （1）补全图形； （2）求证：△是等腰三角形； （3）求证：． 题型5 等边三角形的性质 例9．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 例10．如图，在等边△外作射线，使得和在直线的两侧，，直线为的中垂线，连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.等边三角形的定义可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法，也可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【变式训练5-1】如图，在△中，，△是等边三角形，则　 　 度． 【变式训练5-3】如图，在中，是的三等分点，且是等边三角形，则　 　． 【变式训练5-3】如图，△和△均是等边三角形，、分别与、交于点、，有如下结论：①△△；②；③；④．其中正确的有　 　（填番号） 【变式训练5-4】如图，已知在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数． 题型6 等边三角形的判定 例11．下列条件中能说明△是等边三角形的是（　　） A． B．， C． D． 例12．下列条件中，不能判定△是等边三角形的是（　　） A．， B．， C． D． 【技巧总结】 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【变式训练6-1】已知，，是△的三边，且，则△是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练6-2】等边△中，点在△内，点在△外，且，，问△是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【变式训练6-3】如图，已知：△中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：△是等边三角形． 证明：， 　 　， ，又， ， 垂直平分， 　　 　　　　 　　 ， 　　 　　 ， 　　 ， ， ， △是等边三角形 　　 ． 题型7 等边三角形的判定与性质 例13．如图，已知△是等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则以下结论错误的是（　　） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．△是等边三角形 D． 例14．下列说法中，正确的有　　个． ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△的三边为，，，满足，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧总结】 在应用等边三角形判定时，要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【变式训练7-1】如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练7-2】如图，已知△与△都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①△△；②；③；④△是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练7-3】将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为 　 　 ． 【变式训练7-4】在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 题型8 等腰直角三角形 例15．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知，是两个格点，如果点也是图中的格点，且使△为等腰直角三角形，那么点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 例16．如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-1】三角形的三个内角的度数比为，这个三角形是一个 　 　 三角形． 【变式训练8-2】如图所示，小明将一个含有角的直角三角板放在两条平行线上，若，则的度数为 　 　． 1．在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 3．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 5．如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 6．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 7．如图，已知，，若，则___________度． 8．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 9．按要求完成尺规作图 (1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； (2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 10．如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知，求的度数． 11．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 等腰三角形的性质 题型3 等腰三角形的判定 题型4 等腰三角形的判定与性质 题型5 等边三角形的性质 题型6 等边三角形的判定 题型7 等边三角形的判定与性质 题型8 等腰直角三角形 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 等腰三角形定义、等边对等角性质、角度与边长基础计算 2. 等腰三角形三线合一性质的识别与应用3. 等腰三角形判定：定义法、等角对等边4. 等边三角形的性质、判定及与等腰三角形的关联考查 5. 线段垂直平分线的性质、逆定理及几何应用 6. 等腰三角形、垂直平分线与全等三角形、角平分线、平行线综合证明 7. 等腰三角形分类讨论问题（边长、内角、动点存在性） 8. 常见几何模型：角平分线 + 平行线、垂直平分线构造等腰三角形 1. 基础题型（选择、填空）：以概念辨析、简单角度 / 线段计算为主，考查等边对等角、三线合一、垂直平分线基础性质，难度偏低，为期末必考基础题。 2. 中档题型（简单解答）：单独考查等腰三角形判定、垂直平分线证明，要求规范书写几何推理步骤，侧重区分性质与判定的互逆使用逻辑。 3. 综合解答题：融合全等三角形、角平分线、平行线知识进行多步证明，常结合 “三线合一” 添加辅助线，是试卷核心得分题型。 4. 拔高题型：聚焦分类讨论思想，考查等腰三角形边长、内角度数多解问题，以及网格、简单动点背景下等腰三角形存在性问题，区分学生能力层次。 5. 命题特点：沪教版上海地区期末卷常出现等边三角形 + 旋转、垂直平分线 + 等腰三角形组合题型，重视几何模型识别与辅助线构造能力。 考情解码：本专题是沪教版七下几何核心内容，承接全等三角形，是初中几何从 “单纯全等证明” 转向性质与判定综合推理的转折点，也是后续学习平行四边形、菱形、圆、函数中等腰三角形存在性问题的重要基础。线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形形成完整的轴对称几何知识体系，贯穿整个初中几何学习。重点考查边角转化思想（边相等证角相等、角相等证边相等）、分类讨论思想、转化思想，同时强化几何语言规范书写、图形拆解、辅助线构造三大基本能力。沪教版命题格外注重推理过程的严谨性，严禁混淆 “性质” 和 “判定” 的书写逻辑。 高频易错点 忽略等腰三角形分类讨论：未区分 “腰与底边”“顶角与底角”，导致漏解、错解； 误用 “三线合一”：仅在等腰三角形前提下才能使用三线合一，非等腰三角形不可套用； 混淆线段垂直平分线性质与逆定理：分不清 “由垂直平分线得线段相等” 和 “由线段相等得垂直平分线” 的推理方向； 等边三角形判定条件混淆：忽略 “有一个角为 60° 的等腰三角形才是等边三角形” 这一特殊判定条件； 证明步骤不规范：推理条件缺失、因果关系颠倒，是解答题主要扣分点。 命题趋势 近年上海地区七下期末命题逐渐弱化纯机械计算，强化模型化考查，高频出现角平分线 + 平行线、垂直平分线构等腰、等边三角形旋转等经典模型；动态几何、网格内构造等腰三角形等创新题型占比缓慢提升，侧重考查几何直观与综合推理能力，单纯记忆类题目逐步减少。 知识点一 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形是等腰三角形. 注意： (1) 等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角. (2) 等腰三角形的底角只能是锐角. 2. 等腰三角形的性质 性质定理1（等边对等角）：等腰三角形的两底角相等. 符号语言： 注意：(1)等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等.(2)在等腰三角形中，若没有指明腰和底边，顶角和底角，则要分类讨论，切勿漏解. 性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 符号语言： ①∵平分且； ②∵且平分； ③∵平分且． 注意：“三线合一”中的”三线”是指底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线，不是腰上的中线、高和对应底角的平分线. 拓展延伸： (1) 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等； (2) 等腰三角形两底角的平分线相等； (3) 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； (4) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 3. 中垂线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 4. 大边对大角 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大. 符号语言： 即时即练如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，由点在上可知，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出旋转角，再根据旋转角相等得出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，，； 点刚好落在上， ， ， ， 在中， ， ． 知识点二 等腰三角形的判定 1. 等腰三角形的判定 判定依据 文字语言 符号语言 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形 判定定理（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形 注意：适用”等角对等边”定理的前提条件是”在同一个三角形中”，且两条边应是这两个等角的对边. 2. 等腰三角形性质与判定的区别 条件 结论 用途 性质（等边对等角） 两边相等 这两边所对的角相等 用于证明角相等 判定（等角对等边） 两角相等 这两个角所对的边相等 用于证明边相等 3. 大角对大边 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角所对的边较大. 符号语言： 即时即练已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质和，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及等角对等边，是解题的关键． 知识点三 等边三角形 1. 等边三角形的性质定理 性质 文字语言 符号语言 性质1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60∘ ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），且三条中线、高、角平分线所在直线交于一点 在△ABC中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC且BD=CD 2. 等边三角形的判定定理 判定依据 文字语言 符号语言 定义 三边都相等的三角形是等边三角形 ∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形 判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形 在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 判定定理2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ∵AB=AC,∠B=60°（或∠A=60°或∠C=60°）， ∴△ABC是等边三角形 总结 等边三角形判定方法的选择 (1) 若已知三边关系，则选择用定义法； (2) 若已知三角关系，则选择用判定定理1； (3) 若已知是等腰三角形，则选择用判定定理2（这是判定一个三角形为等边三角形最常用的方法，注意先确定”等腰三角形”这一前提条件，再找一个60°角即可证明）. 即时即练已知，如图，等腰，，    (1)若______，则为等边三角形； (2)若______°，则为等边三角形； (3)若______°，则为等边三角形． 【答案】(1) (2)60 (3)60 【分析】（1）根据等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形，即可完成； （2）根据等边三角形的判定：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可完成； （3）根据等边三角形的判定：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，即可完成． 【详解】（1）解：∵三边相等的三角形是等边三角形， ∴当时，有， ∴为等边三角形； 故答案为：； （2）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴当，且时，为等边三角形； 故答案为：； （3）解：∵有一个角为的等腰三角形是等边三角形， ∴当，且时，为等边三角形； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟悉并掌握等边三角形的判定是解题的关键． 知识点四 垂直平分线 1. 垂直平分线定义 过线段中点且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 如果直线是线段的垂直平分线，垂足为，那么，且。 2. 线段垂直平分线性质定理 定理1（性质定理） 线段的垂直平分线上的任意一点到该线段两个端点的距离相等。 符号语言 若直线是线段的垂直平分线，点在直线上， 则 几何推理语言 ∵ 点在线段的垂直平分线上 ∴ 3. 直线是线段垂直平分线的判定（定义判定法） 判定方法 如果一条直线既经过一条线段的中点，又垂直于这条线段，那么这条直线就是该线段的垂直平分线。 符号语言 已知直线与线段交于点，若 ，且 ， 则直线是线段的垂直平分线。 几何推理语言 ∵ ， ∴ 直线是线段的垂直平分线 4.线段垂直平分线判定定理（逆定理） 定理2（逆定理/判定定理） 与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言 若 ，则点在线段的垂直平分线上。 几何推理语言 ∵ ∴ 点在线段的垂直平分线上 5.尺规作图 (1) 以点为圆心、以的长为半径作弧； (2) 以点为圆心、以的长为半径作弧； (3) 两弧分别相交于点、，过点、作直线。 直线就是线段的垂直平分线。 6. 三角形三边垂直平分线相关结论 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心。 即时即练如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【答案】(1)； (2)13cm． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）（2）解：的周长，， ， ， ． 题型1 线段垂直平分线的性质 例1．如图，是△中边的垂直平分线，若，，，则△的周长是（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：是△中边的垂直平分线， ， △的周长为：， 故选：． 例2．如图，在△中，，且，垂直平分，交于点．若△的周长为20，，则的长为（　　） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】 【分析】根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：，且， △是等腰三角形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， △的周长为20，， ， 故选：． 【技巧总结】 ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【变式训练1-1】下列条件中，不能判定直线是线段，不在上）的垂直平分线的是（　　） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：，， 直线是线段的垂直平分线； ，， 直线是线段的垂直平分线； 当，时，直线不一定是线段的垂直平分线； ，平分， 直线是线段的垂直平分线， 故选：． 【变式训练1-2】如图，在△中，、分为、的中点，过点作，垂足为，若，，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形可求出，进而根据三角形的面积公式求出，根据中点即可解答． 【详解】解：由中线性质可知：，，，， 点是的中点， ， ， ，即， ， ． 故选：． 【变式训练1-3】如图，在△中，是边的垂直平分线，，，则的长是_________． 【答案】6． 【分析】先根据是边的垂直平分线结合，得出的值，再根据求解即可． 【详解】解：是边的垂直平分线，， （线段垂直平分线的性质）． ， ． 则的长为6． 故答案为：6． 题型2 等腰三角形的性质 例3．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等． 【详解】解：，，， △△， ， ， ， 故选：． 例4．在△中，，、分别是边、的中点，和相交于点．如果点到边的距离为2，，那么的长为_________． 【答案】10． 【分析】根据三角形中线的定义确定点为△的重心，利用等腰三角形三线合一的性质及重心的性质求出边上的高，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， 、分别是边、的中点， 、是△的中线， 点是△的重心， 是△的中线， ， ，， 点到边的距离为2， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【技巧总结】 等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【变式训练2-1】已知一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，则它的顶角的度数为_________． 【答案】． 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度， 等腰三角形的顶角是底角的3倍， 则顶角为度． ， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 【变式训练2-2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为_________． 【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为． 如图，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ． 故答案为：或． 【变式训练2-3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角的度数是　 　． 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ，， ， 即顶角的度数为． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ，， ， ． 故答案为：50或130． 【变式训练2-4】一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4． 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论如下： ①当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形； ②当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 题型3 等腰三角形的判定 例5．如图，点，为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点为格点），使得△为等腰三角形，则点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】根据等腰三角形的判断即可得到结论． 【详解】解：①当为腰时，如图， ②当为底边时，点无格点， 综上可知：△为等腰三角形，则点的个数有8个， 故选：． 例6．下列条件中，不能判定△是等腰三角形的是（　　） A．，， B． C．， D． 【答案】 【分析】对于选项，根据即可对选项进行判断； 对于选项，根据，设，，，则，由此可对选项进行判断； 对于选项，先利用三角形内角和定理求出，则，由此可对选项进行判断； 对于选项，根据，设，，，则，由此可对选项进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项， ，， ， 选项中的条件能判定△是等腰三角形， 故选项不符合题意； 对于选项， ， 设，，， ， 选项中的条件能判定△是等腰三角形， 故选项不符合题意； 对于选项， ，， ， ， △是等腰三角形， 选项中的条件能判定△是等腰三角形， 故选项不符合题意； 对于选项， ， ，，， ， 选项中的条件不能判定△是等腰三角形， 故选项符合题意． 故选：． 【技巧总结】 ①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【变式训练3-1】已知：如图，在△中，，点在边上，，图中共有 　 　 个等腰三角形． 【答案】三． 【分析】根据三角形的内角和定理分别求出，，，，然后根据可判定△是等腰三角形；根据可判定△是等腰三角形；再根据可判定△是等腰三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：在△中，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， △是等腰三角形； ， △是等腰三角形； ， △是等腰三角形， 综上所述：图中共有三和等腰三角形． 故答案为：三． 【变式训练3-2】如图，平分的外角，且，试写出是等腰三角形的理由． 【分析】根据平行线的性质可得到，，再根据角平分线的定义可推出，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可判定． 【详解】解：， ，， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练3-3】如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． （1）证明：； （2）求证：为等腰三角形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）利用证明可证得答案； （2）由（1）易得，进而可求解，即可证明结论． 【详解】证明：（1）在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 为等腰三角形． 题型4 等腰三角形的判定与性质 例7．如图，△中，、的平分线相交于，过点且与平行．△的周长为20，△的周长为12，则的长为　 　 ． 【答案】8． 【分析】由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ， 又△的周长为20，△的周长为12，即，， 则． 故答案为：8． 例8．如图，在△中，点、分别在边、上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则△是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 【答案】①②③． 【分析】由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：， △是等腰三角形， 是的平分线， ， 故①正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； 若，则， ， 又， △是等边三角形， 故③正确，符合题意； 若平分，根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 综上，正确结论的序号为①②③， 故答案为：①②③． 【变式训练4-1】如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是 　 　． 【答案】6． 【分析】延长交于点，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：6． 【变式训练4-2】如图，在中，、分别是和的角的平分线，且，，则的周长是　 　． 【分析】根据平行线的性质可证的和为等腰三角形，从而将的周长转化为的长． 【详解】解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 的周长． 即的周长是． 故答案为：13． 【变式训练4-3】在△中，，，平分，交于点．点与点关于直线对称，连接，，延长交于点． （1）补全图形； （2）求证：△是等腰三角形； （3）求证：． 【答案】（1）补全图形见解答过程； （2）证明见解答过程； （3）证明见解答过程． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由，，是的平分线，可得，即得，根据点与点关于直线对称，可得，故，从而△是等腰三角形； （3）过作于，证明△△，得，，又，，可得△是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：，， ， 是的平分线， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， ； △是等腰三角形； （3）证明：过作于，如图： 平分， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 题型5 等边三角形的性质 例9．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：由条件可知， ， ， 故选：． 例10．如图，在等边△外作射线，使得和在直线的两侧，，直线为的中垂线，连接，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由等腰三角形的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ，， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【技巧总结】 1.等边三角形的定义可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法，也可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． 2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【变式训练5-1】如图，在△中，，△是等边三角形，则　 　 度． 【答案】120． 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在△中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：△是等边三角形， （等边三角形的性质）， ，， （等量代换）， ， ， ， ， ， ， 则的度数为， 故答案为：120． 【变式训练5-3】如图，在中，是的三等分点，且是等边三角形，则　 　． 【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【变式训练5-3】如图，△和△均是等边三角形，、分别与、交于点、，有如下结论：①△△；②；③；④．其中正确的有　 　（填番号） 【答案】①②④ 【分析】由已知条件，得到线段相等，角相等，可得到三角形全等，利用三角形全等求对应边，对应角相等求得其它结论． 【详解】解：△和△均是等边三角形，，，，△△，，，三点不共线时①正确 ，，三点共线时①也成立，由①得，△△，，②正确 假使，即，△为等边三角形，， 又，假设不成立，③错误； ，，而，，④正确， ，，共线时①②④正确 正确的有①②④ 【变式训练5-4】如图，已知在等边三角形中，，，连接并延长，交的延长线于点，求的度数． 【分析】根据等边三角形的性质得出，再利用等式的性质进行解答即可． 【详解】解：在等边三角形中， （等边三角形的意义），（已知）， （等腰三角形三线合一）， （等边三角形的性质）， （等量代换）， （已知）， （等边对等角）， 在中，（三角形的内角和等于180度）， （等式的性质）， 在中，（三角形的内角和等于180度）， （等式的性质）． 题型6 等边三角形的判定 例11．下列条件中能说明△是等边三角形的是（　　） A． B．， C． D． 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：、， ， 不能说明△为等边三角形， 故不符合题意； 、，， △是等边三角形， 故符合题意； 、， ， △不一定是等边三角形， 故不符合题意； 、， △不一定是等边三角形， 故不符合题意； 故选：． 例12．下列条件中，不能判定△是等边三角形的是（　　） A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】对于选项，根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形即可对选项进行判断； 对于选项，根据得，进而得，由此即可对选项进行判断； 对于选项，根据两个角都等于的三角形是等边三角形即可对选项进行判断； 对于选项，根据，得，但是根据已知条件无法判定（或，因此无法判定△是等边三角形，综上所述即可得出结论． 【详解】解：对于选项， ，， △是等边三角形， 故选项能判定△是等边三角形，不合题意； 对于选项， ， ， 又， ， △是等边三角形， 故选项能判定△是等边三角形，不合题意； 对于选项， ， △是等边三角形， 故选项能判定△是等边三角形，不合题意； 对于选项， ，， ， ， 根据已知条件无法判定（或，因此无法判定△是等边三角形， 故选项符合题意． 故选． 【技巧总结】 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【变式训练6-1】已知，，是△的三边，且，则△是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】 【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出△的形状． 【详解】解：原式可化为，即； 根据完全平方公式，得：； 由非负数的性质，可知：，，；即：．所以△是等边三角形． 故选：． 【变式训练6-2】等边△中，点在△内，点在△外，且，，问△是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【分析】先证△△得，再证，从而得出△是等边三角形． 【详解】解：△为等边三角形． 证明：△为等边三角形， ． 在△与△中， ， △△． ，． ， ， △是等边三角形． 【变式训练6-3】如图，已知：△中的垂直平分线分别交边，于点、，，垂足为点，，延长与的垂直平分线交于点，连接． 求证：△是等边三角形． 证明：， 　 　， ，又， ， 垂直平分， 　　 　　　　 　　 ， 　　 　　 ， 　　 ， ， ， △是等边三角形 　　 ． 【答案】垂直定义；；；线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等；；等边对等角；三角形内角和定理；三个内角相等的三角形是等边三角形． 【分析】根据垂直定义得，根据三角形内角和定理得，再根据线段垂直平分线性质得，进而根据等边对等角得，再根据三角形内角和定理定理得，则，由此可判定△是等边三角形． 【详解】证明：， （垂直定义）， ，又， ， 垂直平分， （线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等）， （等边对等角）， （三角形内角和定理）， ， ， △是等边三角形（三个内角相等的三角形是等边三角形）． 故答案为：垂直定义；；；线段垂直平分线上的点到线段两点的距离相等；；等边对等角；三角形内角和定理；三个内角相等的三角形是等边三角形． 题型7 等边三角形的判定与性质 例13．如图，已知△是等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，则以下结论错误的是（　　） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．△是等边三角形 D． 【答案】 【分析】由三线合一即可判断；利用等边对等角得，，则，即可判断；证明且，即可证得△是等边三角形；从而判断；证明△△，则，，即可判断选项． 【详解】解：△是等腰三角形，，， 直线是线段的垂直平分线，故正确； 如图所示，连接， ， ，， ，， ， ， ，， ，故正确， ， ， ， ， ， △是等边三角形．故正确； 如图，在上截取，连接， ， △是等边三角形， ，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，故错误， 故选：． 例14．下列说法中，正确的有　　个． ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形； ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形； ③三个外角都相等的三角形是等边三角形； ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形； ⑤△的三边为，，，满足，则这个三角形是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】由等边三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①有一个外角为的等腰三角形的一个内角是，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意； ②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意； ③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意； ④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意； ⑤△的三边为，，，满足，那么或或，因此或或，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意， 说法正确的有2个． 故选：． 【技巧总结】 在应用等边三角形判定时，要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 【变式训练7-1】如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点，．若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】连接，先证明△△，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，根据，，可知△是等边三角形，从而可知△是等边三角形，可知，根据求解即可． 【详解】解：连接， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， △是等边三角形， ， ， ，， △是等边三角形， ， ， 故选：． 【变式训练7-2】如图，已知△与△都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①△△；②；③；④△是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△△，可判断①正确； 利用△△得出，利用8字形可得，可判断②正确； 证明△△，得，可判断③正确； 由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得△是等边三角形，可判断④正确． 【详解】解：△和△是等边三角形， ，，， ， 在△和△中， ， △△，故①正确； △△， ． ， ，故②正确； 在△和△中， ， △△， ，；故③正确； ，， △是等边三角形；故④正确． 故选：． 【变式训练7-3】将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为 　 　 ． 【答案】2． 【分析】先由平行线的性质可得的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得，则可得出的长． 【详解】解：直尺的两对边相互平行， ， ， ， ， △是等边三角形， ． 故答案为：2． 【变式训练7-4】在△中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，． （1）求证：△是等边三角形； （2）求证：． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由△是等边三角形，得出，，证出，由证明△△，得出． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， △是等边三角形； （2）证明：△是等边三角形， ， ， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ． 题型8 等腰直角三角形 例15．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知，是两个格点，如果点也是图中的格点，且使△为等腰直角三角形，那么点的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】以为直角顶点有2个，以为直角顶点有2个，以为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图，所作，，，，，即为所求， 共6个位置． 故选：． 例16．如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质及对顶角的性质可求解的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式训练8-1】三角形的三个内角的度数比为，这个三角形是一个 　 　 三角形． 【答案】等腰直角． 【分析】依题意设设该三角形的三个内角分别为，，，根据三角形内角和定理得，由此解出，进而得该三角形的三个内角的度数分别为，，，据此即可判定该三角形的形状． 【详解】解：三角形的三个内角的度数比为， 设该三角形的三个内角分别为：，，， 根据三角形内角和定理得：， 解得：， 该三角形的三个内角的度数分别为：，，， 该三角形是一个等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【变式训练8-2】如图所示，小明将一个含有角的直角三角板放在两条平行线上，若，则的度数为 　 　． 【答案】． 【分析】由图可知，再由平行线的性质可得，由此可求出，即得答案． 【详解】解：由题意可知，如图． 又由两线平行可得：， 且， ． 故答案为：． 1．在等腰中，是边上的高，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断底和腰，再利用三线合一求解即可． 【详解】解：如图， ∵等腰中，． ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 2．如果一个等腰三角形的两边分别为3和7，那么这个三角形的周长是（ ） A．13 B．15 C．19 D．17 【答案】D 【分析】题目未明确腰和底，需要分情况讨论，再验证能否构成三角形，舍去不符合题意的情况后再计算周长． 【详解】解：①若3为腰长，7为底边长， ∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 该三角形不存在，舍去这种情况； ②若7为腰长，3为底边长， ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 这个三角形的周长为． 3．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 4．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 【答案】C 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②④，结合条件可证明，则有，，可得；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．⑤假设G为的中点，先证明，可得，据此推出矛盾，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 5．如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，已知，点恰好在边上，若，则的度数是___________． 【答案】/72度 【分析】首先求出，然后由全等得到，，然后利用等边对等角求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 7．如图，已知，，若，则___________度． 【答案】 【分析】由平行线的性质得到，由，得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 8．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 9．按要求完成尺规作图 (1)已知直线和外一点P，过点P作直线的平行线； (2)已知直线和外一点Q，过点Q作直线的垂线； 【答案】(1)如图所示，直线为所求平行线， (2)如图所示，直线为所求垂线， 【分析】（1）过点任意作一条直线与相交，利用同位角相等两直线平行画一个角等于已知角即可； （2）以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画圆，交于两点，作两点之间线段的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 10．如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 11．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $