专题03 三角形（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

专题03 三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 三角形的角平分线、中线和高 题型2 三角形三边关系 题型3 三角形内角和定理 题型4 三角形的外角性质 题型5 全等三角形的性质 题型6 全等三角形的判定 题型7 全等三角形的判定与性质 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 全等三角形的定义与基本性质 2. 全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS） 3. 全等三角形的基本模型（平移、翻折、旋转） 4. 全等三角形的综合证明与线段、角度计算5. 利用全等三角形解决实际问题 1. 基础题：直接考查全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），结合对顶角、邻补角、平行线性质求角度或线段长度，选择填空高频 2. 判定辨析：考查五个判定定理的适用条件，重点区分 SAS 与 SSA（SSA 不能判定全等） 3. 基础证明：单一全等三角形的证明，常结合角平分线、中线、高线的性质，要求规范书写证明步骤 4. 模型应用：考查平移型、翻折型、旋转型（手拉手）等基本全等模型的识别与应用，是中档解答题的核心考点 5. 角平分线综合：利用角平分线的性质证明线段相等，或结合全等三角形证明角相等，常作为几何题的中间步骤 6. 简单综合：多个全等三角形的组合证明，或结合动点问题考查全等的存在性，是七年级几何压轴题的常见形式 考情解码：本专题是初中平面几何证明的核心基础，承接相交线与平行线的推理逻辑，是后续学习四边形、相似三角形、圆等几何模块的必备工具，也是中考几何证明的必考内容。易错点集中在：误用 SSA 判定全等、证明过程中条件书写不规范、复杂图形中全等模型的识别困难。近年考题逐渐从单一判定证明转向模型化综合应用，侧重考查几何直观能力和逻辑推理能力，要求学生能从复杂图形中分解出基本全等模型，并规范书写证明过程。 知识点一 三角形的有关概念 ★三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 第三边长度的范围：两边之差<第三边<两边之和 即时即练下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 ★三角形的分类 （1） 按角分类 （2）按边分类 即时即练一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） ★与三角形有关的线段 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高. 【提示】 (1) 一个三角形有三条高，但并不一定都在三角形的内部. (2) 三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线. 2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. (2) 三角形的中线是一条线段. 3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点. (2) 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 总结：三角形的角平分线、中线、高都是线段，三角形的三条角平分线、中线都在三角形内部，并且交于一点.三角形的三条高不一定都在三角形内部，三条高所在直线交于一点. 即时即练已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 知识点二 三角形的内角和 ★三角形的内角和 三角形的内角和等于180°. 【提示】 (1) 根据三角形内角和定理可知，一个三角形的三个内角中最多有一个直角或一个钝角； (2) 在三角形中已知两个角可求第三个角；在直角三角形中，已知其中一个锐角可求另一个锐角. ★三角形的外角及其性质 1. 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4. 三角形的外角和等于360°. 知识点三 全等三角形的概念与性质 ★全等三角形的定义及表示 1. 定义：是全等形的两个三角形叫作全等三角形（经过平移、旋转、翻折后，能够完全重合）. 2. 表示方法：和是全等三角形，记作 【方法总结】 找对应边、对应角的方法 (1) 最长边对应最长边，最短边对应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角； (2) 公共角、对顶角通常是对应角，公共边通常是对应边； (3) 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角； (4) 根据书写规范，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. ★全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等（三角形全等的传递性）. 知识点四 三角形全等的判定 ★判定1： "边边边"公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等（简记为"边边边"或"SSS"）. ★判定2： "边角边"公理（SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简记为"边角边"或"SAS"）. 【提示】在找这三个元素时，一定要记准是两边和它们的夹角，而不是其中一边的对角. ★判定3： "角边角"公理（ASA） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为"角边角"或"ASA"）. ★判定4： "角角边"定理（AAS） 两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为"角角边"或"AAS"）. 判定两个三角形全等时，要根据已知条件灵活选择判定方法，然后找出缺少的条件，再进行证明. 题型1 三角形的角平分线、中线和高 例1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 例2．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都 不对 【变式训练1-1】下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．2DE＝CE C．2CE＝AB D．∠BCE＝∠ACD 【变式训练1-3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是22cm，△ABD的周长是18cm，AB＝2cm，则AC＝　 　 cm． 题型2三角形三边关系 例3．下列三条线段能组成三角形的是（　　） A．23，10，8 B．15，23，8 C．18，10，23 D．18，10，8 例4．已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【技巧总结】 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【变式训练2-1】在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝x，则x的范围为　 　 ． 【变式训练2-2】在△ABC中，a＝1，b＝5，若第三边c的长度是整数，则c＝　 　 ． 【变式训练2-3】已知a，b，c是三角形的三边，化简|a﹣b﹣c|+|c﹣b+a|＝　 　． 题型3 三角形内角和定理 例5．如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明（　　） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形任意两边之差小于第三边 C．三角形外角和等于360° D．三角形内角和等于180° 例6．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，如果∠D＝20°，那么∠A＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【技巧总结】 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【变式训练3-1】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果∠BAC＝70°，∠ABC＝50°，那么∠EOC﹣∠BOD＝　 　 ． 【变式训练3-2】在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　 　 度． 【变式训练3-3】如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、FC分别平分∠ABF和∠BFE，试说明CD∥EF的理由． 解：因为AB∥CD（已知）， 所以∠1＝∠2（　 　 ）； 因为∠1+∠3＝90°（已知）， 所以∠2+∠3＝90°（　 　 ）， 即∠BCF＝90°； 因为　 　 ＝180°（三角形的内角和等于180°）， 所以　 　 ＝90°（等式性质）； 因为BC、FC分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， 所以　 　 ；　 　（角平分线的定义）， 所以∠ABF+∠BFE＝　 　 +　 　 ＝2（∠5+∠4）＝180°， 所以AB∥FE（　 　 ）， 所以CD∥FE（　 　 ）． 题型4 三角形的外角性质 例7．下列图形中，能说明∠1＞∠2的是（　　） A． B． C． D． 例8．如果三角形的一个外角等于与它相邻内角的2倍，且等于与它不相邻的某个内角的4倍，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【技巧总结】 三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． ★若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． ★探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【变式训练4-1】一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　 　 三角形． 【变式训练4-2】三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是　 　 三角形． 【变式训练4-3】如图，已知∠B＝45°，∠A：∠C＝3：4，∠DFE＝115°，求∠A． 题型5 全等三角形的性质 例9．如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 例10．已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是　 　 ． 【易错警示】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【变式训练5-1】如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　 　 ． 【变式训练5-2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 【变式训练5-3】如图，已知△ABC≌△EBD，若AB＝5，BD＝8，则CE的长为　 　 ． 题型6 全等三角形的判定 例11．如图，已知MA＝NC，∠MAB＝∠NCD，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（　　） A．∠M＝∠N B．AC＝BD C．BM＝DN D．MB∥ND 例12．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（　　） A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB 【技巧总结】 【变式训练6-1】下列说法正确的有（　　） ①三角形的角平分线是一条射线； ②三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ③三角形的一个外角一定大于它的内角； ④如果给定了三角形的三个内角，那么这个三角形的大小就确定了． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝10cm，CD＝14cm，E是AB中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动．为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为　 　 ． 【变式训练6-3】如图在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝8cm．点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度持续作往返运动，点E从点A出发沿线段AD方向以2cm/s的速度运动，记EF与AC的交点为G．若E、F两点同时出发，则当△AGE≌△CGF时，点E运动时间t＝　 　 秒． 题型7 全等三角形的判定与性质 例13．如图，C、D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M、N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．17 例14．如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　 　 °． 【技巧总结】 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【变式训练7-1】在△ABC中，AB＝2，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　　 　　 ． 【变式训练7-2】如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　 　． 【变式训练7-3】如图，∠ACF＝∠B，AD平分∠CAF交CF于点D，DE∥CB交AB于点E． （1）试说明：△ACD≌△AED； （2）若CF＝7，AC＝8，AF＝5，求△FDE的周长． 1．一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（　　） A．5cm、2cm、2cm B．5cm、4cm、8cm C．5cm、7cm、12cm D．5cm、5cm、12cm 3．如图，如果△ABC≌△AED，顶点A、B、C分别与顶点A、E、D对应，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BAD＝∠DAC C．∠ADE＝∠C D．∠BDE＝∠EAB 4．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（　　） A．∠ADE＝∠EFC B．∠A+∠DEC+∠F＝180° C．∠B+∠BCF＝180° D．S△ABC＝S四边形DBCF 6．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝5，第三边BC的取值范围是　 　 ． 7．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝23°，MN∥BC，将纸片沿MN折叠，使点A落在点D处，则∠DNB的度数为　 　 ． 8．如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　 　 ． 9．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　 　 ． 10．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝66°，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，求∠DAE的度数． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 12．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，且AD＝AE，∠BAE＝∠CAD． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）如果∠BAE＝∠CAD＝90°且AD＝BD，试判断△ADE的形状，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 三角形的角平分线、中线和高 题型2 三角形三边关系 题型3 三角形内角和定理 题型4 三角形的外角性质 题型5 全等三角形的性质 题型6 全等三角形的判定 题型7 全等三角形的判定与性质 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 全等三角形的定义与基本性质 2. 全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS） 3. 全等三角形的基本模型（平移、翻折、旋转） 4. 全等三角形的综合证明与线段、角度计算5. 利用全等三角形解决实际问题 1. 基础题：直接考查全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），结合对顶角、邻补角、平行线性质求角度或线段长度，选择填空高频 2. 判定辨析：考查五个判定定理的适用条件，重点区分 SAS 与 SSA（SSA 不能判定全等） 3. 基础证明：单一全等三角形的证明，常结合角平分线、中线、高线的性质，要求规范书写证明步骤 4. 模型应用：考查平移型、翻折型、旋转型（手拉手）等基本全等模型的识别与应用，是中档解答题的核心考点 5. 角平分线综合：利用角平分线的性质证明线段相等，或结合全等三角形证明角相等，常作为几何题的中间步骤 6. 简单综合：多个全等三角形的组合证明，或结合动点问题考查全等的存在性，是七年级几何压轴题的常见形式 考情解码：本专题是初中平面几何证明的核心基础，承接相交线与平行线的推理逻辑，是后续学习四边形、相似三角形、圆等几何模块的必备工具，也是中考几何证明的必考内容。易错点集中在：误用 SSA 判定全等、证明过程中条件书写不规范、复杂图形中全等模型的识别困难。近年考题逐渐从单一判定证明转向模型化综合应用，侧重考查几何直观能力和逻辑推理能力，要求学生能从复杂图形中分解出基本全等模型，并规范书写证明过程。 知识点一 三角形的有关概念 ★三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 第三边长度的范围：两边之差<第三边<两边之和 即时即练下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． ★三角形的分类 （1） 按角分类 （2）按边分类 即时即练一个三角形三个内角的度数之比为，则该三角形应为______三角形．（按角分） 【答案】直角 【分析】根据三角形的内角和是，求得三个内角的度数即可判断． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得 三角形的三个内角分别是，，． 故该三角形是直角三角形． 故答案为：直角． ★与三角形有关的线段 1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高. 【提示】 (1) 一个三角形有三条高，但并不一定都在三角形的内部. (2) 三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线. 2. 三角形的中线：连接三角形一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. (2) 三角形的中线是一条线段. 3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线. 【提示】 (1) 一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点. (2) 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 总结：三角形的角平分线、中线、高都是线段，三角形的三条角平分线、中线都在三角形内部，并且交于一点.三角形的三条高不一定都在三角形内部，三条高所在直线交于一点. 即时即练已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 知识点二 三角形的内角和 ★三角形的内角和 三角形的内角和等于180°. 【提示】 (1) 根据三角形内角和定理可知，一个三角形的三个内角中最多有一个直角或一个钝角； (2) 在三角形中已知两个角可求第三个角；在直角三角形中，已知其中一个锐角可求另一个锐角. ★三角形的外角及其性质 1. 三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. 2. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 4. 三角形的外角和等于360°. 知识点三 全等三角形的概念与性质 ★全等三角形的定义及表示 1. 定义：是全等形的两个三角形叫作全等三角形（经过平移、旋转、翻折后，能够完全重合）. 2. 表示方法：和是全等三角形，记作 【方法总结】 找对应边、对应角的方法 (1) 最长边对应最长边，最短边对应最短边，最大角对应最大角，最小角对应最小角； (2) 公共角、对顶角通常是对应角，公共边通常是对应边； (3) 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角； (4) 根据书写规范，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. ★全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 如果两个三角形都与第三个三角形全等，那么这两个三角形全等（三角形全等的传递性）. 知识点四 三角形全等的判定 ★判定1： "边边边"公理（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等（简记为"边边边"或"SSS"）. ★判定2： "边角边"公理（SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简记为"边角边"或"SAS"）. 【提示】在找这三个元素时，一定要记准是两边和它们的夹角，而不是其中一边的对角. ★判定3： "角边角"公理（ASA） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简记为"角边角"或"ASA"）. ★判定4： "角角边"定理（AAS） 两角对应相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简记为"角角边"或"AAS"）. 判定两个三角形全等时，要根据已知条件灵活选择判定方法，然后找出缺少的条件，再进行证明. 题型1 三角形的角平分线、中线和高 例1．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段． 例2．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都 不对 【答案】C 【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到． 【详解】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式训练1-1】下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误； ④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误； 则正确的有1个， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键． 【变式训练1-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．2DE＝CE C．2CE＝AB D．∠BCE＝∠ACD 【答案】B 【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【详解】解：线段CD、CE分别为△ABC的高和中线， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD（同角的余角相等），所以A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴，即AB＝2CE，所以C选项正确，不符合题意； ∴∠BCE＝∠B（等边对等角）， ∴∠BCE＝∠ACD，所以D选项正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AD＝DE，故无法推出2DE＝AE＝CE，所以选项B错误，符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键． 【变式训练1-3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是22cm，△ABD的周长是18cm，AB＝2cm，则AC＝　 　 cm． 【答案】6． 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再根据三角形周长公式表示出△ADC和△ABD的周长，利用作差法建立等式即可求出AC的长． 【详解】解：由条件可知BD＝CD， ∵△ADC的周长是22cm，△ABD的周长是18cm， ∴△ADC的周长﹣△ABD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD） ＝AC﹣AB ＝22﹣18 ＝4（cm）， ∵AB＝2cm， ∴AC﹣2＝4， ∴AC＝6cm． 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 题型2三角形三边关系 例3．下列三条线段能组成三角形的是（　　） A．23，10，8 B．15，23，8 C．18，10，23 D．18，10，8 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算即可． 【详解】解：A、∵10+8＜23，∴以23，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； B、∵15+8＝23，∴以15，23，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； C、∵18+10＞23，∴以18，10，23为边长能组成三角形，故本选项正确； D、∵10+8＝18，∴以18，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 例4．已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围即可求解． 【详解】解：依题意有5﹣3＜a＜5+3， 解得：2＜a＜8． 只有选项B在范围内． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【技巧总结】 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【变式训练2-1】在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝x，则x的范围为　 　 ． 【答案】2＜x＜8 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 BC的长x的取值范围是5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8． 故答案为：2＜x＜8． 【点评】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 【变式训练2-2】在△ABC中，a＝1，b＝5，若第三边c的长度是整数，则c＝　 　 ． 【答案】5． 【分析】由三角形三边关系定理得到4＜c＜6，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣1＜c＜5+1， ∵4＜c＜6， ∵第三边c的长度是整数， ∴c＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【变式训练2-3】已知a，b，c是三角形的三边，化简|a﹣b﹣c|+|c﹣b+a|＝　 　． 【答案】2c． 【分析】根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边， ∴根据三角形的三边关系得，b+c＞a，a+c＞b， ∴a﹣b﹣c＜0，c﹣b+a＝a+c﹣b＞0， ∴|a﹣b﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c）＝﹣a+b+c，|c﹣b+a|＝a+c﹣b． ∴|a﹣b﹣c|+|c﹣b+a|＝（﹣a+b+c）+（a+c﹣b）＝2c． 则|a﹣b﹣c|+|c﹣b+a|的值为2c． 故答案为：2c． 【点评】本题考查了三角形三边关系，绝对值，关键掌握任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识． 题型3 三角形内角和定理 例5．如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明（　　） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形任意两边之差小于第三边 C．三角形外角和等于360° D．三角形内角和等于180° 【答案】D 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A+∠B+∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 例6．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，如果∠D＝20°，那么∠A＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 【答案】C 【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠AEC，得∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，则∠D＝∠DCE﹣∠DBC（∠ACE﹣∠ABC）∠A，因为∠D＝20°，所以∠A＝2∠D＝40°，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠AEC， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∵∠DCE是△DBC的外角，∠ACE是△ABC的外角， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∠A＝∠ACE﹣∠ABC， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC（∠ACE﹣∠ABC）∠A， ∵∠D＝20°， ∴∠A＝2∠D＝40°， 故选：C． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠D∠A是解题的关键． 【技巧总结】 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【变式训练3-1】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果∠BAC＝70°，∠ABC＝50°，那么∠EOC﹣∠BOD＝　 　 ． 【答案】5°． 【分析】先由角平分线的定义与三我内角和定理求得∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再根据平行线的性质得出∠EOC＝∠OCB＝30°，∠BOD＝∠OBC＝25°，即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∵∠BAC＝70°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵CO平分∠ACB， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠EOC＝∠OCB＝30°，∠BOD＝∠OBC＝25°， ∴∠EOC﹣∠BOD＝30°﹣25°＝5°． 故答案为：5°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线有关的角的计算，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练3-2】在△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，则∠C＝　 　 度． 【答案】50． 【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，结合已知∠A＝60°，∠B﹣∠C＝20°，即可求出∠C的度数． 【详解】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝120°， ∵∠B﹣∠C＝20°， ∴∠C＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键． 【变式训练3-3】如图，已知AB∥CD，∠1+∠3＝90°，BC、FC分别平分∠ABF和∠BFE，试说明CD∥EF的理由． 解：因为AB∥CD（已知）， 所以∠1＝∠2（　 　 ）； 因为∠1+∠3＝90°（已知）， 所以∠2+∠3＝90°（　 　 ）， 即∠BCF＝90°； 因为　 　 ＝180°（三角形的内角和等于180°）， 所以　 　 ＝90°（等式性质）； 因为BC、FC分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， 所以　 　 ；　 　（角平分线的定义）， 所以∠ABF+∠BFE＝　 　 +　 　 ＝2（∠5+∠4）＝180°， 所以AB∥FE（　 　 ）， 所以CD∥FE（　 　 ）． 【答案】两直线平行，内错角相等，等量代换，∠BCF+∠5+∠4，∠5+∠4，2∠5＝∠ABF，2∠4＝∠BFE，2∠5，2∠4，同旁内角互补，两直线平行，平行线的传递性． 【分析】根据AB∥CD，可得∠1＝∠2，从而得到∠BCF＝90°，再结合三角形的内角和等于 180°，可得∠5+∠4＝90°，然后根据角平分线的定义可得∠ABF+∠BFE＝2∠5+2∠4＝2（∠5+∠4）＝180°，从而得到AB∥FE，即可解答． 【详解】解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）； ∵∠1+∠3＝90°（已知）， ∴∠2+∠3＝90°（等量代换）， 即∠BCF＝90°； ∵∠BCF+∠5+∠4＝180°（三角形的内角和等于 180°）， ∴∠5+∠4＝90°，（等式性质）； ∵BC、FC分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， ∴2∠5＝∠ABF；2∠4＝∠BFE；（角平分线的定义）， ∴∠ABF+∠BFE＝2∠5+2∠4＝2（∠5+∠4）＝180°， ∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）， ∴CD∥FE（平行线的传递性）， 故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换，∠BCF+∠5+∠4，∠5+∠4，2∠5＝∠ABF，2∠4＝∠BFE，2∠5，2∠4，同旁内角互补，两直线平行，平行线的传递性． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 题型4 三角形的外角性质 例7．下列图形中，能说明∠1＞∠2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形的∠1和∠2，根据所学知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∠1和∠2是对顶角，根据对顶角相等，可得∠1＝∠2，不符合题意，故A选项错误； B、不能确定∠1与∠2的大小关系，不符合题意，故B选项错误； C、∠1是三角形的外角，∠2是和它不相邻的一个内角，根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，可得∠1＞∠2，符合题意，故C选项正确； D、不能确定∠1与∠2的大小关系，不符合题意，排除； 故选：C． 【点评】此题考查了对顶角的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 例8．如果三角形的一个外角等于与它相邻内角的2倍，且等于与它不相邻的某个内角的4倍，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【答案】B 【分析】设与这个外角相邻的内角是x，得到2x+x＝180°，求出x＝60°，由这个外角等于与它不相邻的某个内角的4倍，求出该内角是30°，即可判定这个三角形一定是直角三角形． 【详解】解：设与这个外角相邻的内角是x， ∴2x+x＝180°， ∴x＝60°， ∴这个外角的度数是2x＝120°， ∵这个外角等于与它不相邻的某个内角的4倍， ∴该内角是120°30°， ∴此三角形的第三个内角的度数是180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴这个三角形一定是直角三角形， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角、邻补角，关键是由邻补角的性质得到关于x的方程． 【技巧总结】 三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． ★若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． ★探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【变式训练4-1】一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　 　 三角形． 【答案】直角． 【分析】设三个外角的度数分别为3x，4x，5x，得到3x+4x+5x＝360°，求出x＝30°，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状， 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为3：4：5， ∴设三个外角的度数分别为3x，4x，5x， ∴3x+4x+5x＝360°， ∴x＝30°， ∴三个外角的度数分别为90°，120°，150°， ∴与三个外角对应的三个内角分别为90°，60°，30°， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是360°． 【变式训练4-2】三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是　 　 三角形． 【答案】钝角 【分析】此题依据三角形的外角性质，即三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形的结论． 【详解】解：因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角小于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于90°的角即钝角，则这个三角形就是一个钝角三角形． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 【变式训练4-3】如图，已知∠B＝45°，∠A：∠C＝3：4，∠DFE＝115°，求∠A． 【答案】30°． 【分析】由三角形的外角性质得到∠BEF＝∠DFE﹣∠B＝70°，∠A+∠C＝∠BEF＝70°，而∠A：∠C＝3：4，即可求出∠A的度数． 【详解】解：∵∠B＝45°，∠DFE＝115°， ∴∠BEF＝∠DFE﹣∠B＝70°， ∴∠A+∠C＝∠BEF＝70°， ∵∠A：∠C＝3：4， ∴∠A＝70°30°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，比的应用，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 题型5 全等三角形的性质 例9．如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．50° B．58° C．72° D．60° 【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应角相等解答． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 例10．已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到答案． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴2x+1＝7，3x+1＝10， 解得：x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 【易错警示】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【变式训练5-1】如图，已知△ABC≌△FDE，AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　 　 ． 【答案】5 【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵AD＝2，BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝5， ∵△ABC≌△FDE， ∴FD＝AB＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【变式训练5-2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，则△ADE的周长为 　 　 cm． 【答案】7． 【分析】由全等三角形的性质推出CD＝DE，BE＝BC＝6cm，求出AE＝2cm，得到△ADE的周长＝AE+AC＝7（cm）． 【详解】解：∵△CBD≌△EBD， ∴CD＝DE，BE＝BC＝6cm， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2（cm）， ∴△ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+CD+AD＝AE+AC＝2+5＝7（cm）． 故答案为：7． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【变式训练5-3】如图，已知△ABC≌△EBD，若AB＝5，BD＝8，则CE的长为　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝EB＝5，BC＝BD＝8，根据CE＝BC﹣EB，即可求解． 【详解】解：由题意可得：AB＝EB＝5，BC＝BD＝8， ∴CE＝BC﹣EB＝8﹣5＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 题型6 全等三角形的判定 例11．如图，已知MA＝NC，∠MAB＝∠NCD，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（　　） A．∠M＝∠N B．AC＝BD C．BM＝DN D．MB∥ND 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，有AAS、ASA、SAS、SSS四种．逐条验证． 【详解】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN； B、由AC＝BD，则AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN； C、BM＝DN，有SSA，不能判定△ABM≌△CDN； D、BM∥DN，得出∠MBA＝∠NDC，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN． 故选：C． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目． 例12．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（　　） A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB 【答案】C 【分析】根据BE＝DF，可得BF＝DE，根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，添加AB＝DC，根据SAS可证△ABF≌△CDE． 【详解】解：应添加AB＝DC，理由如下： ∵BE＝DF， ∴BF＝DE， ∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【技巧总结】 【变式训练6-1】下列说法正确的有（　　） ①三角形的角平分线是一条射线； ②三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ③三角形的一个外角一定大于它的内角； ④如果给定了三角形的三个内角，那么这个三角形的大小就确定了． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线定义，三角形分类，外角性质，三角形全等的条件，逐个判断每个说法的正误即可得到正确结论． 【详解】解：①三角形的角平分线是角顶点与对边交点之间的线段，不是射线，原说法错误，不符合题意； ②三角形按角分类确实分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确，符合题意； ③三角形的一个外角一定大于任意一个与它不相邻的内角，原说法错误，不符合题意； ④给定三角形三个内角只能确定三角形的形状，不能确定边长，因此三角形的大小无法确定，原说法错误，不符合题意． 综上，正确的说法只有1个． 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，三角形，熟知以上知识是解题的关键． 【变式训练6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝8cm，BC＝10cm，CD＝14cm，E是AB中点．点P在线段BC上以3cm/s的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段CD上匀速由C向D单向运动．为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为　 　 ． 【答案】3cm/s或2.4cm/s． 【分析】设运动时间为ts，点Q的速度为v cm/s，根据线段的中点可得：AE＝BE＝4cm，再根据题意可得：CQ＝vtcm，BP＝3tcm，从而可得CP＝（10﹣3t）cm，然后分两种情况：当△BPE≌△CQP时；当△BPE≌△CPQ时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为ts，点Q的速度为v cm/s， ∵E是AB中点， ∴AE＝BEAB＝4（cm）， 由题意得：CQ＝vtcm，BP＝3tcm， ∵BC＝10cm， ∴CP＝BC﹣BP＝（10﹣3t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： 当△BPE≌△CQP时， ∴BP＝CQ，BE＝CP， ∴3t＝vt，4＝10﹣3t， 解得：v＝3，t＝2； 当△BPE≌△CPQ时， ∴BP＝CP，BE＝CQ， ∴3t＝10﹣3t，4＝vt， 解得：t，v＝2.4； 综上所述：为使△BPE与△CPQ在两点运动过程中全等，点Q的速度应为3cm/s或2.4cm/s， 故答案为：3cm/s或2.4cm/s． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式训练6-3】如图在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝8cm．点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度持续作往返运动，点E从点A出发沿线段AD方向以2cm/s的速度运动，记EF与AC的交点为G．若E、F两点同时出发，则当△AGE≌△CGF时，点E运动时间t＝　 　 秒． 【答案】或4． 【分析】当点F沿BC方向运动时，当点F沿CB方向运动时，根据△AGE≌△CGF，得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，AE＝2tcm， 当点F沿BC方向运动时，∵△AGE≌△CGF， ∴AE＝CF， ∴2t＝8﹣4t， ∴t， 当点F沿CB方向运动时，∵△AGE≌△CGF， ∴AE＝CF， ∴2t＝4t﹣8， ∴t＝4， 综上所述，当△AGE≌△CGF时，点E运动时间t或4秒， 故答案为：或4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 题型7 全等三角形的判定与性质 例13．如图，C、D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M、N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为（　　） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定与性质求出OM＝ON，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴△CPM、△DPN、△OPM、△OPN是直角三角形， 在Rt△CPM和Rt△DPN中， ， ∴Rt△CPM≌Rt△DPN（HL）， ∴PM＝PN， 在Rt△OPM和Rt△OPN中， ， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL）， ∴OM＝ON， ∴DO＝ON+DN＝OM+DN＝CO+DN+DN＝CO+2DN， ∵DN＝3，CO＝7， ∴DO＝13， 故选：B． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例14．如图是5×4的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则∠1+∠2＝　 　 °． 【答案】90． 【分析】利用SAS证明△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质求出∠1＝∠DCF，结合图形求解即可． 【详解】解：如图， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠DCF， ∵∠2+∠DCF＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【技巧总结】 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【变式训练7-1】在△ABC中，AB＝2，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　　 　　 ． 【答案】1＜AD＜3． 【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，得到AC＝BE，在△ABE中利用三角形三边关系求出AE的范围，进而得到AD的取值范围． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即2﹣4＜AE＜2+4， ∴2＜AE＜6， ∵AE＝AD+DE＝2AD， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3． 故答案为：1＜AD＜3． 【点评】本题考查三角形的中线定义，全等三角形的判定与性质及三角形三边关系；正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式训练7-2】如图，△ABC的面积为2cm2．AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P．则△PBC的面积是　 　． 【答案】1cm2． 【分析】如图所示，延长AP交BC于点E，可证△ABP≌△EBP（ASA），得到BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线，由三角形中线平分三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长AP交BC于点E， ∵AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P， ∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠EPB＝90°，且BP＝BP， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝EP，即点P是AE的中点， ∴BP，CP分别为△ABE，△ACE的中线， ∴， ∵S△PBC＝S△BPE+S△CPE，， ∴． 故答案为：1cm2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 【变式训练7-3】如图，∠ACF＝∠B，AD平分∠CAF交CF于点D，DE∥CB交AB于点E． （1）试说明：△ACD≌△AED； （2）若CF＝7，AC＝8，AF＝5，求△FDE的周长． 【答案】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠ACF＝∠B， ∴∠AED＝∠ACF， ∵AD平分∠CAF， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）； （2）10． 【分析】（1）利用AAS可以证△ACD≌△AED； （2）由全等三角形的性质得出AE＝AC＝5，ED＝CD，结合CF＝7，AC＝8，AF＝5，可以求△FDE的周长． 【详解】（1）证明：∵DE∥CB， ∴∠AED＝∠B， ∵∠ACF＝∠B， ∴∠AED＝∠ACF， ∵AD平分∠CAF， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（AAS）； （2）解：∵△ACD≌△AED，CF＝7，AC＝8，AF＝5， ∴AE＝AC＝8，ED＝CD， ∴EF＝AE﹣AF＝8﹣5＝3， ∵△FDE的周长＝DF+ED+EF＝CF+EF＝7+3＝10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．一个三角形的三边长度分别为2、5和x，则x的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由三角形三边关系定理得到3＜x＜7，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5十2， ∴3＜x＜7， ∴x的值可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（　　） A．5cm、2cm、2cm B．5cm、4cm、8cm C．5cm、7cm、12cm D．5cm、5cm、12cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：A、最长边为5cm，2+2＜5，不能做成三角形框架，不符合题意； B、最长边为8cm，4+5＞8，能做成三角形框架，符合题意； C、最长边为12cm，5+7＝12，不能做成三角形框架，不符合题意； D、最长边为12cm，5+5＜12，不能做成三角形框架，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 3．如图，如果△ABC≌△AED，顶点A、B、C分别与顶点A、E、D对应，且点D在BC上，那么下列说法错误的是（　　） A．∠E＝∠B B．∠BAD＝∠DAC C．∠ADE＝∠C D．∠BDE＝∠EAB 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠E＝∠B，∠ADE＝∠C，∠BAC＝∠EAD（全等三角形对应角相等），AC＝AD（全等三角形对应边相等）， ∴选项A、C正确，不符合题意； ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C， ∴∠ADE＝∠ADC， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C（三角形的外角性质）， 又∠ADB＝∠BDE+∠ADE， ∴∠BDE+∠ADE＝∠DAC+∠C， ∴∠BDE＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAB， ∴∠BDE＝∠EAB， ∴选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明∠BAD＝∠DAC，故选项B错误，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 4．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（　　） A．∠ADE＝∠EFC B．∠A+∠DEC+∠F＝180° C．∠B+∠BCF＝180° D．S△ABC＝S四边形DBCF 【答案】B 【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠EFC，S△ADE＝S△CFE，再由三角形内角和定理和平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠EFC，S△ADE＝S△CFE，故选项A不符合题意； ∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°， ∴∠A+∠AED+∠F＝180°，故选项B符合题意； ∵∠A＝∠ECF， ∴AB∥CF， ∴∠B+∠BCF＝180°，故选项C不符合题意； ∵S△ADE＝S△CFE， ∴S△ADE+S四边形BDCE＝S△CFE+S四边形BDCE， ∴S△ABC＝S四边形DBCF，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 6．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝5，第三边BC的取值范围是　 　 ． 【答案】3＜BC＜7． 【分析】根据三角形的三边关系可知，AC﹣AB＜BC＜AC+AB，即可得到答案． 【详解】解：在△ABC中，AB＝2，AC＝5， ∴根据三角形三边关系得，AC﹣AB＜BC＜AC+AB， ∴5﹣2＜BC＜5+2，即3＜BC＜7， ∴第三边BC的取值范围是3＜BC＜7， 故答案为：3＜BC＜7． 【点评】本题考查了三角形三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 7．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝23°，MN∥BC，将纸片沿MN折叠，使点A落在点D处，则∠DNB的度数为　 　 ． 【答案】46°． 【分析】由MN∥BC，得∠AMN＝∠ACB＝90°，由折叠得∠DMN＝∠AMN＝90°，∠D＝∠A＝23°，可证明A、M、D三点在同一条直线上，则∠DNB＝∠A+∠D＝46°，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，MN∥BC， ∴∠AMN＝∠ACB＝90°， ∵将△ABC沿MN折叠，点A落在点D处， ∴∠DMN＝∠AMN＝90°，∠D＝∠A＝23°， ∴∠DMN+∠AMN＝180°， ∴A、M、D三点在同一条直线上， ∴∠DNB＝∠A+∠D＝2∠A＝46°， 故答案为：46°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠D＝∠A＝23°且A、M、D三点在同一条直线上是解题的关键． 8．如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的周长是12，那么AC﹣AB＝　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差． 【详解】解：∵AD是△ABC的一条中线， ∴BD＝DC（三角形中线定理）． ∵△ABD的周长为10，△ACD的周长为12， ∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝12﹣10， AC+AD+CD﹣AB﹣AD﹣BD＝2， 即AC﹣AB＝2， 所以AC﹣AB的值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 9．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是　 　 ． 【答案】18． 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去， 故△ABC的周长为4+6+8＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 10．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝66°，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，求∠DAE的度数． 【答案】∠DAE的度数为17°． 【分析】由三角形内角和定理可得∠BAC＝82°，再由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得∠AEC＝90°，再求出∠CAE的度数即可得到答案． 【详解】解：∵∠B＝32°，∠C＝66°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝24°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17°， 答：∠DAE的度数为17°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证： （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【分析】（1）由SAS可证△ADE≌△FCE，可得FC＝AD； （2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，由SAS可证△AEB≌△FEB，可得AB＝BF，即可求解． 【详解】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△AEB≌△FEB是解答本题的关键． 12．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，且AD＝AE，∠BAE＝∠CAD． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）如果∠BAE＝∠CAD＝90°且AD＝BD，试判断△ADE的形状，并说明理由． 【答案】（1）∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE（等边对等角），即∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）； （2）△ADE是等边三角形． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B（等边对等角）， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠B+∠DEA＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA（同角的余角相等）， ∴AD＝DE（等角对等边）， ∵AD＝AE， ∴AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 【分析】（1）由AD＝AE得到∠AED＝∠ADE，再由ASA即可得到△ABE≌△ACD； （2）由AD＝BD得到∠BAD＝∠B，根据等角的余角相等求得∠DAE＝∠DEA，得到AD＝DE，AD＝DE＝AE，可得到△ADE是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE（等边对等角），即∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）； （2）解：△ADE是等边三角形． 理由：∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B（等边对等角）， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠B+∠DEA＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA（同角的余角相等）， ∴AD＝DE（等角对等边）， ∵AD＝AE， ∴AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $