专题05 立体几何初步（暑假复习讲义）新高二数学苏教版

专题05 立体几何初步 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 斜二测画法 题型2 空间图形的表面积 题型3 空间图形的体积 题型4 空间位置关系判定 题型5 线面平行或面面平行 题型6 线面垂直或面面垂直 题型7 异面直线所成的角 题型8 线面角 题型9 面面角 题型10 求距离 题型11 动点问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 斜二测画法 考察原图与直观图之间的长度、角度变化规则：横坐标不变，纵坐标减半且倾斜45度；常考面积换算（直观图面积与原图面积的倍数关系）以及由直观图还原原图。 2. 空间图形的表面积 关键在于分清侧面积与底面积，侧面多为规则图形（矩形、三角形、扇形等）；注意棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式规律（周长乘斜高之类），以及旋转体（圆柱、圆锥、圆台）侧面积的展开图思路。 3. 空间图形的体积 核心是利用底面积乘高（柱体）、三分之一乘底面积乘高（锥体）以及台体体积公式；常考割补法、等体积法（如求点到平面距离）以及三棱锥的顶点转换技巧。 4. 空间位置关系判定 考察点、线、面的位置关系（平行、相交、异面、在面内等）；常出选择题，需要熟悉公理与定理，能够判断命题真假；注意异面直线的定义（不同在任何一个平面内）。 5. 线面平行或面面平行 线面平行的判定关键是在面内找一条线与已知线平行；面面平行需转化为线面平行或找两组相交直线平行；性质定理常用于证明线线平行。常结合中位线、平行四边形、比例关系等构造平行。 6. 线面垂直或面面垂直 线面垂直需证明直线垂直于面内两条相交直线；面面垂直先找交线，再证明一个面内的直线垂直于另一个面；性质定理：面面垂直得线面垂直。常利用等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、直径所对圆周角等找垂直。 7. 异面直线所成的角 通过平移将异面直线相交，转化为平面内两条相交直线的夹角；常取中点、作平行线构造三角形，利用余弦定理或特殊三角形求角；注意角的范围是0到90度。 8. 线面角 直线与平面所成角是直线与其在平面内的射影所夹的锐角；关键是找到斜足与垂足，确定射影；通常需要先证明线面垂直（作垂线），再解直角三角形。 9. 面面角 二面角的平面角是通过棱上一点在两个面内作垂直于棱的射线所成的角；常见方法：定义法（直接作垂直）、三垂线法、向量法（法向量夹角）；考试中常要求指出或计算平面角的大小。 10. 求距离 包括点线距、点面距、线面距、面面距等；核心是转化为点到平面的距离，常用等体积法（三棱锥换顶点）或直接作垂线；线面距与面面距需先证平行关系，再转化为点面距。 11. 动点问题 动点在线段、折线或平面内运动，求轨迹、最值或满足特定位置关系；常用策略：先确定动点满足的几何条件（如距离相等、角度固定），再判断轨迹形状（直线、圆、线段等），结合立体几何中的平行垂直关系求解。 考情解码：立体几何的核心是化空间为平面。通过观察、作图、平移、投影、截面、旋转等手法，将三维问题转化为二维问题，再运用平面几何知识（平行、垂直、相似、全等、三角函数）求解。证明题需熟练掌握判定定理与性质定理的运用步骤，计算题则要准确找到平面角或垂线位置。对于动点与最值，常利用等体积法、展开面、函数思想或轨迹分析。最终目标是在空间中建立起清晰的“线线、线面、面面”关系网络，以逻辑推理和转化能力解决问题。 知识点一 斜二测画法 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. ③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. 【易错提醒】 注意线段对应的变换，能从斜二测画法图形还原成原图。 即时即练（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原图形，根据梯形的周长计算即可. 【详解】已知直观图中，，，、平行于轴， 因此原图形中，； 平行于轴，因此原图形中，且，即是直角梯形. 过作于，则，， 由勾股定理得. 故周长. 知识点二 简单几何体的表面积与体积 1、 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 【易错提醒】 1、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 2、 不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 3、 组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 即时即练（25-26高一下·江苏·阶段检测）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 【答案】 【详解】∵ 圆锥的底面半径，母线长， ∴ 圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积为， ∴ 该圆锥的表面积. 知识点三 平行关系的性质与判定 1、线线平行的判定 （1）利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 （2）利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （3）利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 2、线面平行的性质与判定 （1）判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） （2）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 3、面面平行的性质与判定 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 【易错提醒】 面面平行：判定时误用“两条平行直线”代替“两条相交直线”；性质中注意“两平面平行，其中一个平面内的直线必平行另一平面”，但反之不一定。 即时即练（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）下列命题中，正确的命题是（     ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 【答案】CD 【详解】对选项A：∵ 若直线平面，则与内直线的位置关系为平行或异面，并非和内所有直线都平行，∴ A错误. 对选项B：∵ 若，，则的位置关系可能为平行、相交或异面，∴ B错误. 对选项C：∵ ，由线面平行的性质可知，存在直线，满足， 又，故，结合，，根据线面平行的判定定理，可得，∴ C正确. 对选项D：过分别作平面的垂线，垂足分别为， 由在同侧，且到的距离相等，得且， ∴ 四边形为平行四边形，故， 又，，故，∴ D正确. 知识点四 垂直关系的性质与判定 1、线线垂直的判定 ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 2、线面垂直的性质与判定 （1）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 （2）性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 （3）三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 3、面面垂直的性质与判定 核心判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 【易错提醒】 线面垂直：判定时注意“平面内两条相交直线”，易错用平行直线；性质中线面垂直则垂直面内所有直线，但反之不成立。 面面垂直：判定时需证明“一个平面内有一条直线垂直于另一平面”，易漏掉直线在平面内；性质中强调“垂直于交线”的直线才垂直另一平面，忽视此条件易出错。 线线垂直：空间中的垂直未必相交（异面垂直也可），勿用平面几何思维局限判 即时即练（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 【答案】BC 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断A、B、C，举反例判断D. 【详解】对于A：若，则或，故A错误； 对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线， 则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。 对于C：若，则或， 若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以； 若，又，所以， 综上可得，故C正确； 对于D：若且，此时与所成角均为，相等， 此时，故D错误. 故选：BC 知识点五 空间角及空间距离 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 求空间距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 即时即练（多选）（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A，可将三棱锥补成长方体计算；选项B，根据三棱锥体积进行运算；选项CD，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成长方体，找到相应角进行计算； 【详解】对于A，由三条侧棱两两垂直，则该三棱锥可补成长方体，如图所示，该三棱锥的外接球也就是补成的长方体的外接球， 则外接球直径，故A正确； 选项B，由三棱锥的体积，得， 化简，得，故B正确； 对于C，过作三个侧面的垂线，连接相应的线段构成如图所示的长方体， 则直线与所成角为记为，与所成角为记为，与所成角为记为， 则，，，则， 故C错误； 对于D，直线与平面、平面、平面所成角分别为， 则， 故 ，故D正确. 题型1 斜二测画法 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________ .    【答案】 【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积. 【详解】因为，，，则，， 可得直观图的面积为， 所以原多边形面积为. 例2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意，在斜二测画法下的直观图中，，， 则在平面直角坐标系下，，，如图， 则的面积为. 【技巧总结】 斜二测画法是立体几何中画直观图的方法。技巧：横不变，纵减半，平行关系不变，角度变45度或135度。方法：建立坐标系，水平轴和竖直轴，竖直轴倾斜45度，长度取半。 【变式训练1-1】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，， 则， 还原直观图，则， ． 【变式训练1-2】（25-26高一下·吉林·期中）如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）    A．12 B．8 C．8 D．8 【答案】C 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】根据斜二测画法可知，原图形为平行四边形， 如图所示，    其中，， 所以原图形的面积为. 题型2 空间图形的表面积 例1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆台的母线长，然后求圆台的表面积即可． 【详解】截面图如下： 则，， ，， 则为等边三角形，， 即圆台母线长为， 该圆台的表面积为． 例2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出圆锥的母线长，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由解得：， 所以圆锥的表面积为. 【技巧总结】 多面体：逐面计算，注意对面面积相等（如长方体、正棱柱）可简化求和。 旋转体：侧面积可联想“展开成平面扇形或矩形”，不要漏掉底面积。 组合体：先分清公共接触面（不计入表面积），再分别计算各外露部分。 【变式训练2-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合圆锥的侧面积公式求得侧面积．根据题意求得圆锥的底面圆的半径，最后利用圆锥的表面积公式即可求解． 【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形， 所以圆锥的侧面积为 设圆锥的底面半径为，底面圆的周长等于扇形的弧长可得：，解得 所以圆锥底面的面积为 因此圆锥表面积为． 故选：B. 【变式训练2-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆台的母线，高，再根据几何体的外接问题求解即可. 【详解】设圆台的上底面的半径为，下底面半径为，母线长为，则， 因为圆台的侧面积为， 所以，解得 所以圆台的高为， 设圆台的外接球的半径为，则球心到圆台两底面的距离分别为， 因为圆台外接球的球心可能在上、下底面圆心所连的线段上，也可能在其延长线上 所以或， 方程得，平方整理得，解得， 同理解方程得该方程无解， 所以圆台的外接球的半径为， 所以圆台外接球的表面积为. 故选：C 题型3 空间图形的体积 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图，两个正四棱柱重叠部分为多面体， 取的中点I，则多面体可以分成8个全等小三棱锥， 例如三棱锥， 则，且平面， 则， 所以“垂直贯穿”构成多面体的体积为 .    例2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【答案】# 【详解】因为分别为的中点，则 所以，则. 【技巧总结】 柱体、锥体、台体：优先确定高与底面积，锥体记得乘1/3，台体可用“大锥减小锥”或直接公式。 组合体：切割求和或补形求差，避免重叠部分重复计算。 转换思想：利用等体积法（如求点到平面距离），或顶点转换、底面转换以简化计算。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】/ 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值. 【详解】如图所示，连接对角线交于点，连接. 因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点. 因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得. 因此是的中位线，故是的中点，即. 设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积， 因为 的面积是正方形面积的一半，即 ， 因为是中点，所以到底面的距离为. 所以，所以 . 题型4 空间位置关系判定 例1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则a，b，c共面 C．若，则 D．若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若，则，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 例2．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（     ） A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，如图所示：    此时，，，但与相交，所以A错误； 对于B，如图所示：      此时，且，，但与相交，所以B错误； 对于C，如图所示：    此时，，，但，所以C错误； 对于D，由线面垂直的性质定理可知当，时，可得，当时，可得，所以D正确； 【技巧总结】 1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2、了解平行与垂直的传递性 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线线和面面的位置关系，结合充分，必要条件，判断选项. 【详解】若，，，则与平行或异面，所以不是的充分条件， 反过来，若，，，则或相交，所以也不是的必要条件. 所以 “”是“”的既不充分也不必要条件. 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知a，b，c表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】选项A：若，，则或，所以A错误； 选项B：若，则与的夹角等于与的夹角，又，所以，所以B正确； 选项C：若，，则或与异面，所以C错误； 选项D：若，，则与可能平行，可能相交，也可能，所以D错误. 题型5 线面平行或面面平行 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 例2．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.    (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据平行关系和等腰三角形三线合一性质可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为（或其补角），根据长度关系和余弦定理可求得结果； （3）根据平行线分线段成比例可确定当时，，根据线面平行的判定可证得结论. 【详解】（1）连接，   分别为的中点， ，， ， ； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形， ； 平面，， 平面， 平面， . （2）连接，交于点，连接，   四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. （3）存在点，当时，平面，证明如下： 设与交于点，连接，   四边形为菱形，为中点， ，， ， ， 当时，， 平面，平面， 平面. 【技巧总结】 证明线面平行： 1、可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行： 1、通过平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【变式训练2-1】（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定证明即可； （2）根据线面角的概念可知即为直线与平面所成角的平面角，利用勾股定理求出的边长即可得解； （3）构造平行四边形，由线面平行的判定定理得平面，确定. 【详解】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且.    【变式训练2-2】（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合基本事实证明即可； （2）由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）由得， 由两平行直线确定一个平面，可知四点共面． （2）由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面平面． 题型6 线面垂直或面面垂直 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）根据中位线可得，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 【技巧总结】 证明线面垂直： 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直： 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，，平面平面是棱DF的中点.    (1)证明：平面ABC． (2)证明：平面ABC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取棱的中点O，连接．先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理可得平面，则，再，由线面垂直的判定定理即可证得. 【详解】（1）取棱的中点O，连接． 因为O，P分别是棱AC，DF的中点，所以， 且．因为，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以．因为平面，平面，所以平面． （2）因为是等边三角形，且O是棱AC的中点， 所以．因为平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． 因为，平面，平面， 且，平面， 所以平面．    【变式训练2-2】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； (2)若平面平面ABC，求证：平面平面PCD. 【答案】(1)因为 平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得 ， 又 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得 平面. (2)由（1），且是中点，可得是中点，又 ， 等腰中，由三线合一得 ， 已知平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得 平面，又 平面， 根据面面垂直的判定定理，可得 平面平面. 【分析】（1）利用线面平行的性质定理推出，再通过线面平行的判定定理证明平面； （2）利用等腰三角形三线合一得到，结合面面垂直的性质推出平面，最后由面面垂直的判定定理证明结论. 题型7 异面直线所成的角 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    例2．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【技巧总结】 通过平移，将两条异面直线平移到相交位置，构造出它们的夹角（通常取锐角或直角），再放入三角形中利用余弦定理或已知边长求解。通常会利用中点、中位线、平行四边形对边平行、或补形（将几何体补成长方体）等方式，将一条直线平移到与另一条相交的位置。 注意：异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【变式训练2-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）在正方体中，点是的中点，则异面直线DP与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求角的三角函数. 【详解】取的中点，连接，.    因为，所以即为异面直线DP与所成的角. 在中，不妨设，则，， 所以. 故选：B 【变式训练2-2】（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 题型8 线面角 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 例2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，在长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，求得，即可求解. 【详解】（1）证明：设，连接， 在长方体中，且，可得四边形为正方形， 所以为线段中点， 因为点为的中点，则， 又因为平面，且平面，则平面. （2）解：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，且点P为的中点，则， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以，所以故直线与平面所成角为. 【技巧总结】 1、定义法求线面角：过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 注意线面角的角度范围 【变式训练2-1】（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 【变式训练2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 【答案】 【分析】过上任一点作平面，则即为直线与平面所成角的平面角，根据线面垂直及三角形全等得到，结合三角函数求解即可. 【详解】 在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角． 过点作，，. 因为平面，平面，所以，. 又平面，，所以平面， 又平面，所以，同理. 又，，所以，所以. 又，所以，所以. 设，在中，；在中，. 在中，， 则. 即直线与平面所成角的正切值为. 题型9 面面角 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 例2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【技巧总结】 1、作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 2、射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 3、补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面平面，.点分别在棱上. (1)求证：； (2)当分别为棱的中点时，求证：点共面： (3)当时，试判断二面角的大小能否为？若能，请指出点的位置：若不能，请说明理由. 【答案】(1)由平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. (2) 如图所示，取的中点，连接， 由于是中点，是的中点，在正方形中，有且， 所以四边形是平行四边形，所以且， 又因为是的中点，是的中点，在平面中，有且， 由于且，所以且，所以四边形是平行四边形， 所以且，所以且， 所以四边形是平行四边形，即点共面. (3)不能，如图，作交于点，延长交于点，连接， 由，，，平面， 所以平面，又平面平面， 则平面， 又，所以是二面角的平面角， 若，则是等腰直角三角形，， 又， 所以在中，由大角对大边可知，所以，这与相矛盾， 所以二面角的大小不能为. 【分析】（1）根据面面垂直即可得到线线垂直； （2）取的中点，连接，根据四棱柱的性质判断平面是平行四边形即可； （3）作交于点，延长交于点，连接，得到二面角的平面角，由大角对大边得出矛盾即可. 【变式训练2-2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理可证； （2）取中点，连接，，证明为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解可得； （3）先作出平面与平面的交线，然后作出二面角的平面角，令，，用表示出，然后可得. 【详解】（1）在梯形中， ，，， ，， ，， 平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）取中点，连接，， ，，， ，，为二面角的平面角． 由（1）知平面，平面，， ，， ，， ．    （3）当与，都不重合时，令，， 延长交的延长线于，连接， 在平面与平面的交线上， 在平面与平面的交线上， 平面平面， 过作交于，连接， 由（1）知，， 又，平面，， 平面，平面，． 又，平面，， 平面，，． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，整理得， 所以 因为为直角三角形，为斜边上的高，所以， 所以， ，， ，．    题型10 求距离 例1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为. ，，，平面； 平面，，即是直角三角形； ，，，； 为的中点，. . ，，，平面； 为的中点，平面，点到平面的距离为； ，，，. ，，即，解得. 即点到平面OMA的距离为. 例2．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 【技巧总结】 点到平面：常用等体积法（转换顶点求高）或向量法（法向量投影）。 线面、面面距离：转化为点到平面距离，关键是找垂线或构造垂面。 异面直线距离：尝试作公垂线，或转化为线面（或面面）距离，也可用向量投影法。 【变式训练1-1】（25-26高一下·天津·期中）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】/ 【分析】由直二面角得到、，根据勾股定理得到，，求出，求出，求出，设点到平面的距离为，由计算出则. 【详解】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 【变式训练1-2】（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【详解】（1）取的中点，连结，    因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）作于，由（1）知平面即为平面，    因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面， 所以即为点到平面的距离。 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 题型11 动点问题 例1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（    ） A． B．若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C．若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D．存在点E，使得平面 【答案】ABC 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.通过线线平行证明线面平行；C.画图可得；D.由与不垂直，知不存在点E，使得平面. 【详解】在正方体中有，，又平面, 所以平面， 因为平面，所以，故A对； 在B中，由中点得，即有， 在C中，如图，延长，分别交直线、于，连接交于， 连接，交于，则可得如图所示的截面， 此时截面为五边形，故C对； 因为四边形是矩形，非正方形，所以与不垂直， 若存在点E，使得平面，平面，则，矛盾， 所以不存在点E，使得平面，故D错. 例2．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 【技巧总结】 空间动点常考的由平行、垂直关系得到动点的轨迹，截面问题，结合空间角跟距离问题等综合问题的考察 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·江苏淮安·期中）（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【答案】BCD 【分析】对于A，由与是正方体对角面的两条对角线，可判断，对于B，证明平面平面，根据面面平行的性质，可得答案.对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，结合等边三角形的性质，可得答案；对于D，通过平面，设垂足为，通过等体积计算，确定，可判断D. 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面，平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·江苏·阶段检测）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 【答案】 【分析】画出相应的图象，分别求两个几何体外接球的球心，根据三棱锥体积最大时，求外接球的半径，即可求解. 【详解】由，，取中点， 则， 故是三棱锥的外接球的球心，且其半径， 由平面，平面，所以， 又，平面，且， 故平面，又平面， 故，， 又，且平面，， 故平面，又平面， 故，， 又，平面，， 所以平面，又平面，故， 又，故， 连接，取中点，则为四边形外接圆的圆心， 连接点与中点，则，又平面， 故平面，即平面， 又，故为四棱锥的外接球的球心，其半径， 由平面，故， ， 由，故，有 则，当且仅当时，等号成立， 故三棱锥体积最大时，有， 因为，则， 由，，则， 则有，解得：， 故，则. 2．（25-26高一下·天津武清·期中）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故A错误； 对于选项B：若，，，则的位置关系有平行、相交或异面，故B错误； 对于选项C：若，，，由面面平行的性质定理可知，故C正确； 对于选项D：若，，则的位置关系有平行或异面，故D错误. 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，找到线面角，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M，    由题可知： ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 7．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    8．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 9．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合三角形和三角函数求角的大小； （3）由几何关系确定∠POD是二面角的平面角，进而在中计算正切值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 又，因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 10．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 斜二测画法 题型2 空间图形的表面积 题型3 空间图形的体积 题型4 空间位置关系判定 题型5 线面平行或面面平行 题型6 线面垂直或面面垂直 题型7 异面直线所成的角 题型8 线面角 题型9 面面角 题型10 求距离 题型11 动点问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 斜二测画法 考察原图与直观图之间的长度、角度变化规则：横坐标不变，纵坐标减半且倾斜45度；常考面积换算（直观图面积与原图面积的倍数关系）以及由直观图还原原图。 2. 空间图形的表面积 关键在于分清侧面积与底面积，侧面多为规则图形（矩形、三角形、扇形等）；注意棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式规律（周长乘斜高之类），以及旋转体（圆柱、圆锥、圆台）侧面积的展开图思路。 3. 空间图形的体积 核心是利用底面积乘高（柱体）、三分之一乘底面积乘高（锥体）以及台体体积公式；常考割补法、等体积法（如求点到平面距离）以及三棱锥的顶点转换技巧。 4. 空间位置关系判定 考察点、线、面的位置关系（平行、相交、异面、在面内等）；常出选择题，需要熟悉公理与定理，能够判断命题真假；注意异面直线的定义（不同在任何一个平面内）。 5. 线面平行或面面平行 线面平行的判定关键是在面内找一条线与已知线平行；面面平行需转化为线面平行或找两组相交直线平行；性质定理常用于证明线线平行。常结合中位线、平行四边形、比例关系等构造平行。 6. 线面垂直或面面垂直 线面垂直需证明直线垂直于面内两条相交直线；面面垂直先找交线，再证明一个面内的直线垂直于另一个面；性质定理：面面垂直得线面垂直。常利用等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、直径所对圆周角等找垂直。 7. 异面直线所成的角 通过平移将异面直线相交，转化为平面内两条相交直线的夹角；常取中点、作平行线构造三角形，利用余弦定理或特殊三角形求角；注意角的范围是0到90度。 8. 线面角 直线与平面所成角是直线与其在平面内的射影所夹的锐角；关键是找到斜足与垂足，确定射影；通常需要先证明线面垂直（作垂线），再解直角三角形。 9. 面面角 二面角的平面角是通过棱上一点在两个面内作垂直于棱的射线所成的角；常见方法：定义法（直接作垂直）、三垂线法、向量法（法向量夹角）；考试中常要求指出或计算平面角的大小。 10. 求距离 包括点线距、点面距、线面距、面面距等；核心是转化为点到平面的距离，常用等体积法（三棱锥换顶点）或直接作垂线；线面距与面面距需先证平行关系，再转化为点面距。 11. 动点问题 动点在线段、折线或平面内运动，求轨迹、最值或满足特定位置关系；常用策略：先确定动点满足的几何条件（如距离相等、角度固定），再判断轨迹形状（直线、圆、线段等），结合立体几何中的平行垂直关系求解。 考情解码：立体几何的核心是化空间为平面。通过观察、作图、平移、投影、截面、旋转等手法，将三维问题转化为二维问题，再运用平面几何知识（平行、垂直、相似、全等、三角函数）求解。证明题需熟练掌握判定定理与性质定理的运用步骤，计算题则要准确找到平面角或垂线位置。对于动点与最值，常利用等体积法、展开面、函数思想或轨迹分析。最终目标是在空间中建立起清晰的“线线、线面、面面”关系网络，以逻辑推理和转化能力解决问题。 知识点一 斜二测画法 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. ③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. 【易错提醒】 注意线段对应的变换，能从斜二测画法图形还原成原图。 即时即练（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的周长为（    ） A． B． C． D． 知识点二 简单几何体的表面积与体积 1、 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 【易错提醒】 1、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 2、 不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 3、 组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 即时即练（25-26高一下·江苏·阶段检测）某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的表面积为______ 知识点三 平行关系的性质与判定 1、线线平行的判定 （1）利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 （2）利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （3）利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 2、线面平行的性质与判定 （1）判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） （2）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 3、面面平行的性质与判定 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 【易错提醒】 面面平行：判定时误用“两条平行直线”代替“两条相交直线”；性质中注意“两平面平行，其中一个平面内的直线必平行另一平面”，但反之不一定。 即时即练（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）下列命题中，正确的命题是（     ） A．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B．如果直线，满足，，则 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 知识点四 垂直关系的性质与判定 1、线线垂直的判定 ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 2、线面垂直的性质与判定 （1）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 （2）性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 （3）三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 3、面面垂直的性质与判定 核心判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 【易错提醒】 线面垂直：判定时注意“平面内两条相交直线”，易错用平行直线；性质中线面垂直则垂直面内所有直线，但反之不成立。 面面垂直：判定时需证明“一个平面内有一条直线垂直于另一平面”，易漏掉直线在平面内；性质中强调“垂直于交线”的直线才垂直另一平面，忽视此条件易出错。 线线垂直：空间中的垂直未必相交（异面垂直也可），勿用平面几何思维局限判 即时即练（多选）（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 知识点五 空间角及空间距离 异面直线所成角 1、定义：异面直线所成角是‌空间中两条不共面直线‌的夹角，通过“空间问题平面化”转化为‌两条相交直线的夹角‌，其取值范围为（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 2、利用平行去平移，分别作两条异面直线的‌平行直线‌，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随后在由平行线构成的三角形中，利用‌边角关系‌（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 线面角 1、定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的角即为斜线与平面的线面角，范围为. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 2、找线面角的方法 （1）定义法：能直接找到点在平面的射影点，能计算出或者，则线面角的正弦或余弦可求。 （2）体积法：如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 二面角 1、三垂线定理 （1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的重要依据。 2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱垂直的射线，如图则它们组成的角为二面角的平面角，范围为 3、二面角的求法 （1）定义法：如果能直接过棱上一点，找到与棱垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱垂直的两条线 （2）三垂线法：当无法直接找到与棱垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面找一点点，过点作平面的垂线（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面垂直的平面，在平面上作垂线），然后过或者作棱的垂线交于点，连接成直角三角形，即可求二面角的平面角。 （3）垂面法: 若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 （4）射影面积法：已知平面内的在平面的投影为，则平面和平面所成的二面角的平面角大小为，则 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 （5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 求空间距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 即时即练（多选）（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图，在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，且，，，为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面，，的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线和三个侧面所成的角分别为，，，则（   ） A．该三棱锥的外接球直径为 B． C． D． 题型1 斜二测画法 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________ .    例2．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图.若，，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【技巧总结】 斜二测画法是立体几何中画直观图的方法。技巧：横不变，纵减半，平行关系不变，角度变45度或135度。方法：建立坐标系，水平轴和竖直轴，竖直轴倾斜45度，长度取半。 【变式训练1-1】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1-2】（25-26高一下·吉林·期中）如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（    ）    A．12 B．8 C．8 D．8 题型2 空间图形的表面积 例1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 多面体：逐面计算，注意对面面积相等（如长方体、正棱柱）可简化求和。 旋转体：侧面积可联想“展开成平面扇形或矩形”，不要漏掉底面积。 组合体：先分清公共接触面（不计入表面积），再分别计算各外露部分。 【变式训练2-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆台的上底半径和下底半径分别为1和2，侧面积为，则圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型3 空间图形的体积 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则______． 【技巧总结】 柱体、锥体、台体：优先确定高与底面积，锥体记得乘1/3，台体可用“大锥减小锥”或直接公式。 组合体：切割求和或补形求差，避免重叠部分重复计算。 转换思想：利用等体积法（如求点到平面距离），或顶点转换、底面转换以简化计算。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏无锡·期中）在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型4 空间位置关系判定 例1．（25-26高一下·江苏镇江·期中）已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则a，b，c共面 C．若，则 D．若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 例2．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（     ） A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【技巧总结】 1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2、了解平行与垂直的传递性 【变式训练2-1】（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知表示两个不同的平面，分别为平面与平面内的一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知a，b，c表示三条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型5 线面平行或面面平行 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 例2．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.    (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【技巧总结】 证明线面平行： 1、可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行： 1、通过平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【变式训练2-1】（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2-2】（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形中，分别为上的点，，将矩形沿折起，使点落在的位置，落在的位置，得到四边形，已知不在平面上． (1)证明：四点共面； (2)证明：平面平面． 题型6 线面垂直或面面垂直 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【技巧总结】 证明线面垂直： 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直： 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在五面体ABCDEF中，是等边三角形，，，平面平面是棱DF的中点.    (1)证明：平面ABC． (2)证明：平面ABC． 【变式训练2-2】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； (2)若平面平面ABC，求证：平面平面PCD. 题型7 异面直线所成的角 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 例2．（25-26高一下·江苏镇江·期中）在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 通过平移，将两条异面直线平移到相交位置，构造出它们的夹角（通常取锐角或直角），再放入三角形中利用余弦定理或已知边长求解。通常会利用中点、中位线、平行四边形对边平行、或补形（将几何体补成长方体）等方式，将一条直线平移到与另一条相交的位置。 注意：异面直线所成的角有范围限制，若是钝角，则需要求其补角。 【变式训练2-1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）在正方体中，点是的中点，则异面直线DP与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（25-26高一下·河南·阶段检测）在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 题型8 线面角 例1．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 例2．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）如图，在长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【技巧总结】 1、定义法求线面角：过斜线上的点作平面的垂线，通过垂线、射影，直线本身构成的直角三角形来求角度 2、如果没法直接找到点在平面的射影点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息，通过体积求出点到平面的高度，则线面角的正弦可求。 注意线面角的角度范围 【变式训练2-1】（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【变式训练2-2】（25-26高二下·江苏苏州·期中），，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________． 题型9 面面角 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 例2．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【技巧总结】 1、作垂线找二面角是几何法求二面角题目的主要思路，若题目条件中能找到棱垂直的平面，则找出该平面与的交线即可。若题目中有与棱垂直的直线，如图如果与棱垂直，则可以构造出与棱垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 2、射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时，可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 3、补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 【变式训练2-1】（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面平面，.点分别在棱上. (1)求证：； (2)当分别为棱的中点时，求证：点共面： (3)当时，试判断二面角的大小能否为？若能，请指出点的位置：若不能，请说明理由. 【变式训练2-2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 题型10 求距离 例1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【技巧总结】 点到平面：常用等体积法（转换顶点求高）或向量法（法向量投影）。 线面、面面距离：转化为点到平面距离，关键是找垂线或构造垂面。 异面直线距离：尝试作公垂线，或转化为线面（或面面）距离，也可用向量投影法。 【变式训练1-1】（25-26高一下·天津·期中）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【变式训练1-2】（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 题型11 动点问题 例1．（多选）（25-26高一下·江苏南京·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（    ） A． B．若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C．若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D．存在点E，使得平面 例2．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【技巧总结】 空间动点常考的由平行、垂直关系得到动点的轨迹，截面问题，结合空间角跟距离问题等综合问题的考察 【变式训练2-1】（多选）（25-26高一下·江苏淮安·期中）（多选）如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 【变式训练2-2】（多选）（25-26高一下·江苏·阶段检测）如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．连接，总有平面 B．点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C．平面平面 D．的最小值为 1．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）已知三棱锥，平面，，交于点，交于点，，记三棱锥，四棱锥的外接球的表面积分别为，，当三棱锥体积最大时，__________． 2．（25-26高一下·天津武清·期中）设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 6．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知正四棱台的高为，，，则与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 8．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 9．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 10．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $