专题05 基本立体图形、空间图形的表面积和体积（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）（暑假复习举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

专题05 基本立体图形、空间图形的表面积和体积（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 空间几何体的结构特征】 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【知识清单2 简单组合体】 1．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 2．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【知识清单3 直观图的斜二测画法】 1．直观图的斜二测画法 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【知识清单4 空间图形的表面积】 1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积、表面积 多面体 图形 侧面积与表面积 直棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) 正棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形， S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)， S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) 正棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形， S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积 旋转体 图形 侧面积与表面积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl， 表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl， 表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 3．空间几何体表面积的常见求法 (1)求常见空间几何体的表面积的方法 利用常见空间几何体的侧面积公式与表面积公式，进行求解即可. (2)求组合体的表面积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. 【知识清单5 空间图形的体积】 1．直棱柱、正棱锥、正棱台的体积 多面体 图形 体积 直棱柱 V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 正棱锥 ( S底为底面面积，h为高) 正棱台 (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．圆柱、圆锥、圆台的体积 旋转体 图形 体积 圆柱 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 体积V=( S底为底面面积，h为高) 圆台 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 3．球的表面积和体积 空间几何体 图形 表面积 体积 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 4．空间几何体的体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的体积的方法 求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识清单6 球的截面与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【解题思路】根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来否定对概念的错误理解. 【解答过程】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误， 即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误， 即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】根据柱体的定义逐一判断即可. 【解答过程】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 【变式1-2】（24-25高一下·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合多面体与旋转体的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，例如：正四棱柱中，相对的两个侧面互相平行，所以A不正确； 对于B中，根据棱台的定义，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以B不正确； 对于C中，根据棱锥的定义，三棱锥是由一个底面和3个侧面组成，所以一个多面体有5个面，一定不是三棱锥，所以C错误； 对于D中，根据圆锥的定义，可得以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，所以D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【答案】A 【解题思路】由旋转体的定义逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，故A正确； 对于B，如果以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥的组合体，故B错误； 对于C，如果以直角梯形的非高所在的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体不是圆台是一个组合体，故C错误； 对于D，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，故D错误. 故选：A. 【题型2 组合体的结构特征】 【例2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【解题思路】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【解答过程】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【答案】答案见解析 【解题思路】由空间几何体的结构特征可得. 【解答过程】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的． 右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的， 也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的． 实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．              【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）描述下列几何体的结构特征． 【答案】解析见答案 【解题思路】根据基本几何体（圆柱、棱柱、圆台、圆锥）的概念确定. 【解答过程】图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体； 图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体. 【题型3 空间几何体中最短路径问题】 【例3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【解答过程】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据侧面展开图可得最短距离. 【解答过程】由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周， 则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大倍， 如图所示， 则展开图是以为底，为高的矩形， 则最短路径即为其对角线长为， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【解答过程】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·河北雄安·阶段检测）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆柱的侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【解答过程】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【题型4 立体图形的直观图】 【例4】（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，作出三视图对应的原图形，进而求得周长. 【解答过程】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【解题思路】由斜二测画法逐一判断即可. 【解答过程】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜二测画法的原则确定三角形的底和高即可． 【解答过程】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，，则， 所以，， 易知，所以. 故选：D． 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【解题思路】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误； 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 故选：D． 【题型5 空间几何体的表面积】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】A 【解题思路】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【解答过程】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【解答过程】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【解答过程】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【解题思路】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【解答过程】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 【题型6 空间几何体的体积】 【例6】（24-25高一下·湖南郴州·期末）某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可知圆锥底面半径，高为等边三角形的高为，再利用锥体体积公式即可求解. 【解答过程】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形， 所以圆锥底面半径，高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正四棱锥的性质及体积公式即可求解. 【解答过程】 由已知可得：，可得，再由可得， 所以正四棱锥的体积为：， 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【解答过程】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【答案】A 【解题思路】根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数. 【解答过程】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为． 收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为， 所以剩余的香料粉的容积为， 因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天. 故选：A． 【题型7 球的截面问题】 【例7】（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出截面圆的半径，进而得到球的半径，得到球的体积. 【解答过程】平面截球的截面为圆，设圆的半径为，则，解得， 又点到平面的距离为3，则球的半径为， 所以球的体积为 故选：D. 【变式7-1】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆的圆心为，根据 中，，解得，过点作圆的截面，当截面过球心时，截面面积最大，由此能求出所得截面圆面积的最大值． 【解答过程】如图，设的中心为，球的半径为，连接，， 则，， 在 中，，解得， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 所得截面圆面积的最大值为． 故选：D．    【变式7-2】（25-26高三上·河北·阶段检测）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【解答过程】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 【变式7-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【解答过程】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 【题型8 空间几何体的外接球问题】 【例8】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【解答过程】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【解答过程】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【解答过程】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B. 【变式8-3】（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积 【解答过程】 如图，连接，设，连接． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段所在直线上， 设外接球球心为，易得， 因为，则球心不可能在线段之间，其位于的延长线上， 如图所示： 由得，解得，故, ∴外接球表面积为． 故选：C. 【题型9 空间几何体的内切球问题】 【例9】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后求出球的表面积. 【解答过程】因为正四面体的棱长为，所以底面正三角形的高为， 底面中心到底面顶点的距离为. 根据勾股定理可得正四面体的高为. 则正四面体的体积为. 设内切球半径为，则，解得. 设的半径为，根据相似关系可知， 即，解得. 所以球的表面积为. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用球的体积公式求出球半径，再结合几何体的结构特征求出正方体棱长，利用等积法求出内切球半径即可得解. 【解答过程】令球的半径为，由球的体积为，得，解得， 记对角线交点为，由对称性得位于一条直线上，设正方体棱长为， 在中，，， 在中，，则，解得， 在中，，解得， 四棱锥是一个底面边长为6，高为9，侧棱长为的正四棱锥，斜高， 四棱锥的表面积， 设四棱锥的内切球半径为，则， 即，解得，则， 所以四棱锥的内切球的表面积为. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一下·吉林延边·阶段检测）已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为，依题意可得，再由的面积求出，即可得到，从而求出侧面积； （2）作出轴截面，利用三角形相似求出内切球的半径，即可求出球的表面积. 【解答过程】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得， 又，所以， 又因为的面积为， ，解得（负值舍去）， 又，所以， 圆锥的侧面积． （2）作出轴截面如图所示： 根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点， 设内切球半径为，即，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球的表面积. 【变式9-3】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【答案】(1)； (2)，． 【解题思路】（1）根据正三棱锥棱长与锥体的高关系求出锥体的表面积； （2）根据等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积和体积. 【解答过程】（1）由题意，如图所示． 底面三角形中心到AC的距离， 则正棱锥侧面的斜高为．    ． 故． （2）设正三棱锥的内切球球心为， 联结、、、， 而点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径， ． 又， ，解得． ， ． 【题型10 空间几何体的截面问题】 【例10】（24-25高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【解答过程】如图所示，点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以侧棱长为. 如图所示：作于点，作于点，连接， 由对称性可知，， 所以，而， 所以，所以， 同理， 分别在棱上取中点，则平面即为平面， ， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. 【变式10-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【解答过程】如图正四面体，， ，令，截面， 因为，所以，即，则， ，所以四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 设梯形的高为，的高为， 所以梯形的面积为， 所以三棱台的表面积为：， 又，所以，解得：， 所以截面. 故选：D.    【变式10-2】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【解题思路】（1）取的中点，连接，利用平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由于三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果. 【解答过程】（1）如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为 （2）易知多面体为三棱台，， ， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为． 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为． 【变式10-3】（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在长方体中，分别在上.已知，. (1)作出平面截长方体的截面，并写出作法； (2)求（1）中所作截面的周长； (3)长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）延长，与的延长线交于点，连接并延长，可得交的延长线于，可作所求截面. （2）利用平行线分线段成比例定理可求五边形的周长； （3）利用，可求体积. 【解答过程】（1）如图所示，五边形为所求截面. 作法如下： 延长，与的延长线交于点， 连接并延长，分别交于，交的延长线于， 连接，交于点，连接，则五边形为所求截面. （2）因为，所以，则， 由，可得， 得，则， . 由，得，由，得， 则 . 故截面的周长为. （3）， 故所求体积为. 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 【答案】D 【解题思路】结合棱柱、圆锥、棱台的概念，举反例判断ABC，根据三棱锥的概念判断D. 【解答过程】对于A，图1符合条件但不是棱柱，故A不正确． 对于B，以的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，不正确． 对于C，图2满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点， 故不是棱台，C不正确. 对于D，三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，正确. 故选：D． 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【解答过程】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【解题思路】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，问题得以解决. 【解答过程】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个. 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法面出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（    ） A． B．20 C．12 D． 【答案】B 【解题思路】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合已知求出原平面四边形的各边长，即可得解. 【解答过程】将直观图还原为原图，如图， 由题，，则，故，， 所以，而，， 所以四边形是平行四边形，周长为. 故选：B. 5．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【解题思路】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【解答过程】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【解答过程】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 7．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【解答过程】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可． 【解答过程】设球的半径为，如图所示，    根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为， 球心到截面圆的距离为， 所以由， 解得， 所以球的体积为， 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【解题思路】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【解答过程】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【解题思路】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【解答过程】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【解答过程】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解题思路】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【解答过程】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为__________． 【答案】9 【解题思路】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【解答过程】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9. 14．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为___________. 【答案】 【解题思路】确定八面体的外接球球心，根据表面积可得外接球半径，即可得解. 【解答过程】 由已知八面体表面积，即， 又为等边三角形，所以， 则， 即八面体各棱长均为， 又四边形为正方形，即， 所以， 所以中点为八面体的外接球球心， 且外接球半径为， 即外接球体积， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①              ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【解题思路】由组合体结合简单几何体判断． 【解答过程】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 16．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【解题思路】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 17．（24-25高一下·辽宁·阶段检测）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）先求出圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）先求出组合体的表面积，再求总费用. 【解答过程】（1） 如图所示，由题可知，，. 所以在中，， 所以该圆柱的体积为， 截去的圆锥的体积为， 故该模型的体积为. （2）由题可知该圆柱的侧面积为， 圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为， 故该模型的表面积为， 所以油漆的总费用为元. 18．（24-25高一下·海南海口·阶段检测）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【解答过程】（1）在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. （2）设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 19．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【解答过程】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本立体图形、空间图形的表面积和体积（暑假复习讲义） 【苏教版】 【知识清单1 空间几何体的结构特征】 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【知识清单2 简单组合体】 1．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 2．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【知识清单3 直观图的斜二测画法】 1．直观图的斜二测画法 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 【知识清单4 空间图形的表面积】 1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积、表面积 多面体 图形 侧面积与表面积 直棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) 正棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形， S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)， S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) 正棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形， S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积 旋转体 图形 侧面积与表面积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl， 表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl， 表面积S=πr2+πrl=πr(r+l) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 3．空间几何体表面积的常见求法 (1)求常见空间几何体的表面积的方法 利用常见空间几何体的侧面积公式与表面积公式，进行求解即可. (2)求组合体的表面积的方法 求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减. 【知识清单5 空间图形的体积】 1．直棱柱、正棱锥、正棱台的体积 多面体 图形 体积 直棱柱 V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 正棱锥 ( S底为底面面积，h为高) 正棱台 (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．圆柱、圆锥、圆台的体积 旋转体 图形 体积 圆柱 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 体积V=( S底为底面面积，h为高) 圆台 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 3．球的表面积和体积 空间几何体 图形 表面积 体积 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 4．空间几何体的体积的常见求法 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解. ②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可. ③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等. ④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. (2)求组合体的体积的方法 求组合体的体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减. 【知识清单6 球的截面与球的切、接问题】 1．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径 为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 2．几何体与球的切、接问题 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 【题型1 空间几何体的结构特征】 【例1】（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【变式1-1】（2025高一·全国·专题练习）如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25高一下·天津·期末）下列说法正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【变式1-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）下列叙述正确的是（   ） A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 B．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 C．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台 D．半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 【题型2 组合体的结构特征】 【例2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【变式2-1】（24-25高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【变式2-2】（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）描述下列几何体的结构特征． 【题型3 空间几何体中最短路径问题】 【例3】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·福建福州·期中）已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点从点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·河北雄安·阶段检测）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型4 立体图形的直观图】 【例4】（24-25高一下·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【变式4-1】（24-25高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【变式4-2】（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，水平放置的的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【题型5 空间几何体的表面积】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【变式5-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为，则棱锥侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【题型6 空间几何体的体积】 【例6】（24-25高一下·湖南郴州·期末）某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·福建泉州·期末）如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【题型7 球的截面问题】 【例7】（24-25高一下·广西钦州·期末）已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·河北·阶段检测）某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 空间几何体的外接球问题】 【例8】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·四川乐山·期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【题型9 空间几何体的内切球问题】 【例9】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知正四面体的棱长为4，球为其内切球，球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中（球未画出），使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为P，若球的体积为，则四棱锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一下·吉林延边·阶段检测）已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形PAC的顶角为90°，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球的表面积． 【变式9-3】（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的高为2，，其内部有一个球与它的四个面都相切，求： (1)正三棱锥的表面积； (2)正三棱锥内切球的表面积与体积． 【题型10 空间几何体的截面问题】 【例10】（24-25高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为6，体积为，点E为AD中点，过点E的平面α与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·广东惠州·期中）如图正方体，的棱长为2，是线段，的中点，平面过点、、． (1)画出平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹），并求该截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值． 【变式10-3】（24-25高一下·河南·阶段检测）如图，在长方体中，分别在上.已知，. (1)作出平面截长方体的截面，并写出作法； (2)求（1）中所作截面的周长； (3)长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积. 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．以直角三角形的一条边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱锥至少有6条棱 2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法面出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（    ） A． B．20 C．12 D． 5．（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 7．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10．（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 13．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为__________． 14．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为___________. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①              ② 16．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 17．（24-25高一下·辽宁·阶段检测）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 18．（24-25高一下·海南海口·阶段检测）如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 19．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $