专题01 相交线与平行线（期末真题汇编，新疆专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 汇编新疆近年七年级下册期末真题，聚焦相交线与平行线专题，覆盖6大核心考点，梯度设计合理，融入生活与科技情境，适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|约70%|对顶角、垂线、平行线判定与性质、平移性质、命题改写|结合动画设计（平移题）、机械臂操作（综合题）等情境，基础题注重概念辨析，中档题强化推理应用| |解答题|约30%|角度计算、平行线判定与性质综合、动态几何（综合压轴题）|综合题涉及三角板旋转、动态点运动，渗透几何直观与逻辑推理，贴合期末压轴题命题趋势|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 相交线与平行线 ☆高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04平移 考点05定义、命题与定理 考点06相交线与平行线中的综合压轴题型 目目 考点01 相交线 1.(21-22七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，∠1与∠2是对顶角的是() 人2 2.(23-24七年级下新疆巴州期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD.若∠DOE=30°， 则∠BOD的对顶角的度数是() D o E B A.120° B.80° C.60° D.30° 3.(23-24七年级下·新疆期末)如图，直线a,b相交，∠1=130°，则∠2+∠3的度数为() 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b A.50° B.70° C.100° D.130° 4.(23-24七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若 ∠1=38°，则∠D0E等于一 E T1 B 5.(22-23七年级下新疆期末)如图，直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成 两部分，且∠B0E:∠EOD=3:2,则∠E0D=一· A B 6.(24-25七年级下新疆期末)如图，直线AB,CD交于点0，OE⊥AB于0，若∠1=40°，则∠2的度 数是() D 人2 A.50° B.45° C.35 D.30° 7.(22-23七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，已知OA⊥OB,OC⊥OD,若∠AOC=32°，∠B0D= 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D C A 8.(21-22七年级下新疆阿克苏期末)已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC=70°， 射线OF⊥AB,则LDOF= 9.(22-23七年级下·新疆塔城期末)如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车， 他选择P至C路线，用几何知识解释其道理正确的是() B 公路 D A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短 10.(2425七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，要把河里的水引到田地A处，过点A向河岸作垂线.垂 足为B,沿AB挖渠能使所挖的渠道最短，理由是 BP 11.(24-25七年级下新疆·期末)如图，∠ACD-90°，CELAB,垂足为E,则下面的结论中，不正确的 是() E D B A.点C到AB的垂线段是线段CD B.CD与AC互相垂直 3/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.AB与CE互相垂直 D.线段CD的长度是点D到AC的距离 12.(20-21七年级下新疆克拉玛依期末)直线1外有一点P,直线1上有三点A、B、C,若PA=4cm,PB =2cm,PC=3cm,那么点P到直线1的距离() A.不小于2cm B.不大于2cm C.大于2cm D.小于2cm 13.(21-22七年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图中∠1与∠2是内错角是() A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 14.(23-24七年级下新疆·期末)如图，下列结论中错误的是() A.∠3与∠1是同位角 B.∠2与∠5是内错角 C.∠1与∠2是同旁内角 D.∠1与∠6是内错角 15.(25-26七年级上新疆乌鲁木齐期末)如图，点O在直线CD上，OC平分∠AOB,∠A0E=90°， ∠BOD=148° B (1)与∠BOC相等的角是 ,与∠DOE互补的角是 (2)求∠DOE的度数 16,(21-22七年级下新疆巴州期末)如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，EB平分∠CEF,GE⊥EF, 求∠GEB的度数. 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G F 17.(22-23七年级下新疆省直辖县级单位期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC, OF⊥CD,∠AOE=36°.求： 内 D A B (1)∠EOC的度数； (2)∠BOF的度数 18.(21-22七年级下新疆阿克苏期末)如图①，直线AB,CD相交于点O 图① 图② (1)若∠AOC+∠BOD=120°，求∠AOD的度数. (2)分别作∠AOD、∠BOD的平分线OE,OF,如图②，请判断OE与OF之间的位置关系，并说明理由. 目目 考点02 平行线的判定 1.(23-24七年级下·新疆期末)如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD,请将下面弄乱的 操作步骤按正确的顺序排列好应是() B 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①沿直尺下移三角尺：②用直尺紧靠三角尺的另一条边：③沿三角尺的边作出直线CD:④作直线AB, 并用三角尺的一条边贴住直线AB, A.④①②③ B.④②①③ C.④②③① D.④③①② 12 2.(23-24七年级下·新疆期末)小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的 基本事实是() A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.两直线平行，同位角相等 3.(24-25七年级下新疆期末)如图，已知P是直线I外一点，若PA∥1，PB∥1，则P,A,B三点在同一 条直线上.其依据是() B A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3.(23-24七年级下·新疆期末)在数学课上，老师画一条直线4，按如图所示的方法，画一条直线b与直 线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明 了() A.平行于同一条直线的两直线平行 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.同旁内角相等，两直线平行 C.两直线平行，同位角相等 D.过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行 4.(22-23七年级下·新疆鸟鲁木齐期末)如图，下列条件中，能判定直线 的是() 2 12 A.∠4=∠5 B.∠4=∠2 C.∠2=∠3 D.∠1=∠2 5.(22-23七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，已知∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角 ∠BOD=82°，要使OD∥AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转()度 B D C A.12 B.18 C.22 D.24 6.(23-24七年级下·新疆阿克苏期末)下列图中，由∠1=∠2能直接得到AB/CD的是() B B B -D 2 D B B D 2 7.(24-25七年级下·新疆和田期末)如图，在四边形ABCD中，连接BD,判定正确的是() 7/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 3 A.若∠A+∠ABC=180°，则AD∥BCB.若∠3=∠4，则AD∥BC C.若∠C=∠A,则AB∥CD D.若∠1=∠2，则AB∥CD 8.(21-22七年级下~新疆克拉玛依期末)如图，下列说法错误的是（) 5 3 2 A..∠1=∠2，.l3l4 B.,∠2+∠5=180°，.3l4 C.∠1=∠4，. D.∠1=∠3，.ll☑ 9.(24-25七年级下·新疆期末)下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是() ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直 ②要求：过直线外一点P作这条 ∥12 线的两条直线互相平行”作 直线的平行线 作法： 作法： 2 ④要求：根据“同位角相等，两直 ③要求：过直线 外一点P作这条直线的垂线 ∥12 作法： 线平行”作 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以 作法： 12 A.②③④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 10.(23-24七年级下期未期末)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b,理由 是() B A.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 11.(24-25七年级下·新疆乌鲁木齐：期末)小华在探究“两直线平行，一组同位角的角平分线互相平行”时， 画出图形，并写出如下不完整的证明过程.请你补充完整. 已知：如图，AB∥CD,EF与AB,CD分别相交于点M,N,MP平分∠EMB,NO平分∠END. 求证：MP∥Ng M 证明：AB∥CD(已知)· ∴.∠EMB=() 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MP平分∠EMB(已知) 8wn-号 (角平分线的定义)， 、1 同理∠ENO-2∠END ∴.∠EMP= (等式的性质). .MP∥Ng ()· 13.(23-24七年级下新疆鸟鲁木齐期末)如图，已知AE∥BF,AC⊥AE,BD⊥BF,AC与BD平行 吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）· B 解：AE∥BF, :∠EAB= :AC⊥AE,BD⊥BF, .∠EAC=90°，∠FBD=90°， .∠EAC=∠FBD, .∠EAB-=∠FBG-—, 即∠1=∠2. .AC∥ 14(2425七年级下新疆阿克苏期末)已知：如图，AD1BC于点D,EG⊥BC于点G,且∠E=∠1. 求证：∠2=∠3」 10/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 B D 下面是推理过程，请你填空或填写理由. 证明：“AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G(), ∠ADC=∠EGC=90°()， AD∥EG(), .∠1=∠2()， :∠E=∠1（已知）， .∠E=∠2（等量代换）， AD∥EG, _=∠3（两直线平行，同位角相等）· =(等量代换). 15.(24-25七年级下新疆期末)如图，AB‖DC,∠B=145°，∠D=35°.请问BC与DE有怎样的位置 关系，并说明理由。 B D E 目目 考点03 平行线的性质 1.(21-22七年级下新疆阿克苏期末)如图，AB∥CD,∠A=60°，则∠1的度数是 D B 2.(21-22七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，a∥b,∠1是∠2的2倍，则∠2等于() 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q A.60° B.90° C.30 D.50 3.(22-23七年级下·新疆阿克苏期末)如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边 上.如果∠2=20°，那么∠1-∠2的度数是() A.0° B.50 C.10° D.15 4.(24-25七年级下·新疆阿克苏期末)如图，直线m∥n,将一把含45°角的直角三角尺放在直线m,n之间， 且三角尺的直角顶点在直线m上，若∠2=60°，则∠I的度数为() m n A.35° B.25° C.20° D.15 5.(24-25七年级下新疆期末)如图，己知直线AB∥CD,EG平分∠BEF,∠1=30°，则∠2的度数是( E B 2 -D G A.70° B.75° C.40 D.150° 6.(23-24七年级下·新疆期末)手工课上小亮将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠1=40°，则 ∠AEF度数是() 12/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B C A.110° B.70° C.140 D.100° 7.(23-24七年级下新疆克孜勒苏期末)如图，AB∥DE,∠a=35°，∠B=100°，则∠BCD= 0 A E 8.(22-23七年级下新疆期末)如图，AB∥CD,ME⊥EF，则Q、P、Y之间的关系是() A M B FOB D A.B=a+y B.a+B+y=180° C.a+B-Y=90°D.B+y-a=90° 9.(23-24七年级下·新疆吐鲁番·期末)图1是一盏可折叠台灯，图2是其平面示意图，固定底座OA1OM 于点O,支架BA与CB分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线 CECD组成的∠ECD始终保持不变.如图2，调节台灯使光线CD∥BA,CE∥OM,此时∠BA0=158°， 则∠ECD= E D A O M 图1 图2 10.(21-22七年级下新疆期末)如图，点F是∠ACE内一点，FD∥AC,FB∥CE.点D在射线CE上， 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B在射线CA上，下列结论：①∠I=∠F;②∠I=∠2；③∠FBC=∠FDC;④∠FBC+∠2=180°.其中 结论正确的是 (填序号) E F 2 D A B 11.(21-22七年级下新疆期末)如图，AE∥CF,∠ACF的平分线交AE于点B,G是CF上的一点， ∠GBE的平分线交CF于点D,且BC平分∠ABG,下列结论：①BD⊥BC;②AC∥BG;③与∠DBG互余 的角有2个：④若∠A=a,则∠BDF=180°- ,其中正确的是() 4 E G A.①②③④ B.①② C.①②③ D.①②④ 12.(22-23七年级下新疆阿克苏期末)如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平 分∠AEF,∠1=35°，求∠2的度数. E A -B 公 D 13.(21-22七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图CD∥AB,点O在AB上，OE平分 ，尖<AOr ∠BOD,OF⊥OE,∠D=110° 的度数. 14/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 14.(23-24七年级下新疆乌鲁木齐期末)如图，DB平分∠ADC,∠1=∠3 D A (I)求证：AB∥CD: (2)若∠2=55°，求∠A的度数. 15.(21-22七年级下新疆巴州期末)如图.三角形ABE,AB∥CD,∠1=∠2∠3=∠4.求证：AD∥BE. A D 4 3入 B C E 解：AB∥CD =∠BAE( ) ∠BAE=∠CAE+∠I,∠CAD=∠CAE+∠2 又：∠1=∠2 .∠4= 又∠3=∠4 .AD∥BE( 16.(24-25七年级下新疆阿克苏期末)请完成下列推理过程：如图，∠1+∠2=180°，∠DEF=∠A,求证： ACDE 15/23 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：：∠1+∠2=180°，∠2+∠BDC=180°， ∴.∠1=】 (同角的补角相等)， ABI ( ), .∠DEF+∠ADE=180°( ,∠DEF=∠A, .∠4什=180°（等量代换）， .ACII DE ). 17.(24-25七年级下新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与 FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD M/ FB G D (I)求证：AB∥CD (2)若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数. 18.(23-24七年级下新疆期末)如图，FG∥AC,∠1+∠2=180°，CE平分∠ACD.(要求写明与平行 线的性质和判定相关的推理根据) D (I)求证：AB∥CE: (2)若∠B=70°，求∠1的度数. 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点04 平移 1.(24-25七年级下·新疆期末)随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的 兴趣.下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是() 圈c 2.(23-24七年级下·新疆昌吉·期末)下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是() D. 3.(23-24七年级下·新疆巴州期末)如左图是新疆维吾尔自治区第十四届运动会的会徽.平移此会徽中的 图形，可以得到的是() 2023巴州 气是、 4.(22-23七年级下·新疆乌鲁木齐期末)如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( M B D 5.(24-25七年级下·新疆阿克苏期末)如图，将三角形ABC向右平移a个单位长度后，得到三角形DEF 若BC=6,EC=4,则a的值为 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 6.(22-23七年级下·新疆期末)如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处，连接AD.若EC=2AD=4, 则EF的长为 D 7.(20-21七年级下·新疆期末)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，将直角三角形ABC沿着射线 BC方向平移8cm,得三角形A'B'C,己知BC=3cm,AC=6cm,则阴影部分的面积为 cm2. B 8.(21-22七年级下·新疆和田期末)如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4, BC=5,将三角形ABC沿直线BC平移1.5个单位得到三角形DEF,连接AD.有下列结论：①三角形 DEF是直角三角形：②AD∥BE;③DE L AC;④四边形ABFD的周长是I5:⑤三角形DEF的面积是 6.其中正确的结论有() A D B A.①②④ B.②③④ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 9.(23-24七年级下·新疆期期末)如图，有一块长为12m,宽为8m的长方形地，中间的阴影部分是一条小 路，空白部分为花圃如果小路的宽度为2m,那么花圃的面积为一m. 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(24-25七年级下新疆·期末)如图为某教学楼楼梯的侧面示意图，测得楼梯底部的长为2.5m,高为1.5 m,为使学生有序上下楼，想在楼梯表面中间贴上隔离条，则隔离条的长度至少需要() 1.5m 2.5m A.1.5m B.2.5m C.4m D.8m 11.(24-25七年级下·新疆期末)如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形ABCD),AB=40米， BC=22米.为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米， 那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）的长为() D A.62米 B.82米 C.88米 D.102米 12.(22-23七年级下·新疆阿克苏期末)在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到△A'B'C',位置如图所 示. y 5 5-4-3 2 3 B 5 (I)分别写出点A,A的坐标： (2)请说明△A'B'C是由△ABC经过怎样的平移得到的： 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若 P(a-Lb+5)是△ABC内部一点，则平移后对应点P'的坐标为 '(3b-9,a+4) 求a和b的值。 目目 考点05 定义、命题与定理 1.(22-23七年级下·新疆期末)把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 那么 2.(23-24七年级下新疆期末)把命题“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 3.(4-25七年级下·新疆·期末)下列命题中，①垂线段最短；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行；③0的平方根与算术平方根都是0；④内错角相等.其中是真命题的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(23-24七年级下新疆乌鲁木齐期末)已知下列命题：①若a>0,b>0,则a+b>0:②若a≠b,则 a2≠b2 ③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等：④同位角相等，两直线平 行.其中真命题的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(24-25七年级下·新疆期末)下列说法中，正确的是() A.经过直线外一点有且只有一条直线与己知直线垂直 B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.同位角相等 D.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 6.(24-25七年级下·新疆吐鲁番期末)有下列命题：①垂线段最短；②相等的角是对顶角；③邻补角互补： ④两直线平行，同旁内角相等；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，其中 是真命题的有」 (填序号). 7.(22-23七年级下·新疆期末)命题“a,b,c是直线，若aLb,bLc,则a⊥c”是 (填写“真 命题”或“假命题”) 8(23-24七年级下新疆期未)若用一组x,y的值说明命题“若>y, x2>y2 ,则 ”是假命题，则这样的 一组值可以是x= y= 目目 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(21-22七年级下·新疆和田·期末)问题情景： (I)如图①，已知AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线.解决了这道题， 得到的结果是∠B+∠E=∠BCE A —D 图① 图② 图③ 请你帮他完善证明过程： 如图②，过点C作CF∥AB, ) AB∥DE,AB∥CF, ∴.∠E=_,( ) .∠B+∠E=∠1+∠2， 即∠B+∠E=∠BCE (2)在图①中，若BC1CE,且∠B=52°，请你计算∠E的度数等于一· (3)问题迁移：如图③，AD∥BC,当点P在射线AM上运动时，∠ADP=La,∠BCP=∠p,请你猜想 ∠a∠B,∠CPD 与 之间有怎样的数量关系？并说明理由. 2.(24-25七年级下·新疆·期末)在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制.如图 所示，有两条平行的机械轨道AB与CD,即AB∥CD,将机械臂与轨道AB的接触点记为M,机械臂与轨 道CD的接触点记为N,为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节O来调节三个机械臂PM、PQ和 ON 的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、P知OV 、和不共线， 21/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B B B C 图1 图2 备用图 (I)如图1所示，当机械臂PMION时，证明∠AMP=∠QND. (2如图2所示，当∠AMP=30°，∠QND=45°，∠MP0=a时，∠PON= (用含a的式子表 示)直接写出，无需证明。 3.(20-21七年级下·新疆克拉玛依期末)(1)如图1，l,求∠A+∠A+∠A=一. (直接写出结 果) (2)如图2，ll,求∠A十∠A+∠A+∠A4= (直接写出结果) (3)如图3,1，求∠A十∠A+∠A+∠A+LA5= (直接写出结果) (4)如图4,1l,求∠A+∠A+..+∠Am=】 (直接写出结果) A A AA A A A As A (1) (2) (3) (4) 4.(23-24七年级下新疆期末)将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上， CA⊥BE,点A为垂足，∠BCA=30°，∠AED=45° B 图① 图② 图③ (1)如图①，∠ADE的度数为 ,∠ABC的度数为 (2)若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角a(0°<<90). ①如图②，当旋转角α等于45时，试问DEBA吗？请说明理由： 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角C的度数. 5.(22-23七年级下·新疆期末)在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线4B,CD和一块含60°角 的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”为主题开展数学活动. E A EB B F D 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠I的度数： (2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与 ∠FGC间的数量关系： (3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上.若 ∠AEG=a,∠CFG=B,则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含a,B的式子表示. 23/23 专题01 相交线与平行线 高频考点概览 考点01相交线 考点02平行线的判定 考点03平行线的性质 考点04 平移 考点05 定义、命题与定理 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 考点01 相交线 1.（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，∠1与∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，对顶角是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的，掌握对顶角的定义是解题的关键． 2.（23-24七年级下·新疆巴州·期末）如图，直线，相交于点O，平分．若，则的对顶角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的概念，对顶角相等， 首先根据角平分线的概念得到，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】∵，平分 ∴ ∴的对顶角的度数是． 故选：C． 3.（23-24七年级下·新疆·期末）如图，直线a，b相交，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角和对顶角的知识，比较简单，注意在计算角度时不要出错．根据图形及可求出和的值，进而能得出的值． 【详解】解：由图形可得：， ． 故选：C． 4.（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线、相交于点，，若，则等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查了对顶角以及平角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．由对顶角相等，得到，进而得到，再结合平角等于求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 5.（22-23七年级下·新疆·期末）如图，直线，相交于点O，已知，把分成两部分，且，则______．    【答案】/30度 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差倍分关系，根据对顶角的性质求出的度数，再根据，即可得出结论．熟知对顶角相等的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，直线，交于点，于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直可得，进而得出，再利用对顶角相等即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 7.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，若， _____． 【答案】/32度 【分析】本题考查了同角的余角相等，根据同角的余角相等解答． 【详解】∵， ∴与互为余角， ∵， ∴与互为余角， ∴根据同角的余角相等，得， 故答案为：． 8.（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）已知直线相交于点O，平分，且，射线，则______． 【答案】或 【分析】分两种情况，由角平分线定义求出，由对顶角的性质得到，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图①， 平分，， ， ， 射线， ， ；    如图②， 平分，， ， ， 射线， ， ， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂线的意义，角平分线的定义，对顶角的性质，关键是画出图形，分两种情况讨论． 9.（22-23七年级下·新疆塔城·期末）如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P至C路线，用几何知识解释其道理正确的是（     ）      A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】根据垂线段最短即可得． 【详解】解：他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择 P→C 路线，其道理是垂线段最短， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键． 10.（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，要把河里的水引到田地处，过点向河岸作垂线．垂足为．沿挖渠能使所挖的渠道最短，理由是________ 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意抽象为过直线外一点到直线的距离最短分析即可． 【详解】解：根据题意，小河可以抽象为一条直线，点A到直线的所有连线中，垂线段最短， ∴理由是∶ 垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 11.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（       ）    A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点到的距离 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义对各个选项逐一分析即可得出答案，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴点到的垂线段是线段，故原说法错误，符合题意； B、∵， ∴，即与互相垂直，故原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴与互相垂直，故原说法正确，不符合题意； D、∵， ∴，即线段的长度是点到的距离，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 12.（20-21七年级下·新疆克拉玛依·期末）直线l外有一点P，直线l上有三点 A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（    ） A．不小于2cm B．不大于2cm C．大于2cm D．小于2cm 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答． 【详解】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm， ∴P点到直线l的距离不大于2cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 13.（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图中与是内错角是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【详解】解：由内错角的定义可知，图②和图④中，和是内错角， 故选：D． 【点睛】本题考查了内错角、同位角、同旁内角的概念，同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 14.（23-24七年级下·新疆·期末）如图，下列结论中错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义依次判断即可解答. 【详解】A. 与是同位角，该结论正确，故不符合题意. B. 与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，该结论错误，故符合题意. C. 与是同旁内角，该结论正确，故不符合题意.     D. 与是内错角，该结论正确，故不符合题意. 故选：B 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握相关定义是解题的关键. 15.（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点在直线上，平分，，． (1)与相等的角是_________，与互补的角是____________． (2)求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质，关键是利用平角和角平分线的性质求出相关角的度数，再结合补角的定义确定互补的角． （1）根据角平分线的定义，由平分可得与相等；根据补角的定义，结合平角为，找出与和为的角，即C． （2）先利用平角的定义，由求出的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，最后结合，利用平角的定义求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴与互补的角是； 故答案为：；． （2）∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 16.（21-22七年级下·新疆巴州·期末）如图，E是直线CA上一点，，EB平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据条件先求出，设，则，根据列出方程，求出的值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ 又∵ ∴ ∵平分 ∴ 设，则 ∵ ∴，解得 ∴ 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、角平分线的性质等知识点，结合图形转化为角度的关系式是解答本题的关键． 17.（22-23七年级下·新疆省直辖县级单位·期末）如图，直线，相交于点平分，，．求：    (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）根据角平分线和垂直即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴； 【点睛】本题考查了角平分线的定义和垂直的定义，熟记概念是关键． 18.（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）如图①，直线，相交于点．    (1)若，求的度数． (2)分别作、的平分线，，如图②，请判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由对顶角的性质得到，而，求出，由邻补角的性质得到； （2）由角平分线定义得到，因此，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2），理由如下： 解：∵、的平分线分别是，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查对顶角，邻补角，角平分线定义，垂线，关键是由对顶角的性质求出，由角平分线定义得到． 考点02 平行线的判定 1.（23-24七年级下·新疆·期末）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 2.（23-24七年级下·新疆·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 3.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 3.（23-24七年级下·新疆·期末）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 4.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，下列条件中，能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定的应用，注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐个进行判断即可． 【详解】解：A、根据，由同位角相等，两直线平行能判定，故本选项符合题意； B、根据不能判定，故本选项不符合题意； C、根据不能判定，故本选项不符合题意； D、根据不能判定，故本选项不符合题意； 故选：A． 5.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键． 6.（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项符合题意； C、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意． 7.（24-25七年级下·新疆和田·期末）如图，在四边形中，连接，判定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确； B、若，则，原判定错误，不符合题意； C、，无法得到，原判定错误，不符合题意； D、若，则，原判定错误，不符合题意； 故选A． 8.（21-22七年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．∵∠1＝∠2，∴l3∥l4 B．∵∠2＋∠5＝180°，∴l3∥l4 C．∵∠1＝∠4，∴l1∥l2 D．∵∠1＝∠3，∴l1∥l2 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、∵∠1＝∠2，∴l3∥l4（内错角相等，两直线平行），不符合题意； B、∵∠2＋∠5＝180°，∴l3∥l4（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； C、∵∠1＝∠4，∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行），不符合题意； D、由∠1＝∠3不能得到l1∥l2，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 9.（24-25七年级下·新疆·期末）下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 10.（23-24七年级下·期末·期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定关，熟练掌握平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B ． 11.（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）小华在探究“两直线平行，一组同位角的角平分线互相平行”时，画出图形，并写出如下不完整的证明过程．请你补充完整． 已知：如图，，与，分别相交于点，，平分，平分． 求证：． 证明：（已知）． ________（________）． 平分（已知） ________（角平分线的定义）， 同理． ________（等式的性质）． （________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，结合已知过程，逐步推导论证即可． 【详解】证明：（已知）． （两直线平行，同位角相等）． 平分（已知） （角平分线的定义）， 同理． （等式的性质）． （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行． 13.（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，，与平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．    解：， ∴______ ______ ∵，， ∴，， ∴， ∴____________ ， 即 ______ ______ 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】由平行线的性质得，再证，然后由平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，；，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 14.（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ； 【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， ， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 15.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，，，．请问与有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法是关键，根据平行线的性质得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 平行线的性质 1.（21-22七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，，，则的度数是______．    【答案】/120度 【分析】由平行线的性质得到，求出，由对顶角的性质得到 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质得到． 2.（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，是的倍，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据可得，再根据是的倍可得，根据邻补角的性质可得的度数． 【详解】解：如图， ， ， 是的倍， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 3.（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先标注图形，再根据平行线的性质求出的值，即可求出答案． 【详解】解：如下图， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出的度数是解题的关键． 4.（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，直线，将一把含角的直角三角尺放在直线之间，且三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键． 利用平行线的性质求得的度数，由即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴，    故选：D． 5.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 6.（23-24七年级下·新疆·期末）手工课上小亮将一张长方形纸片沿折叠，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，如图，设B的对应点为K．由，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图设B的对应点为K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7.（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，，，，则________． 【答案】115 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：115． 8.（22-23七年级下·新疆·期末）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 作，，可得，，进而求解； 【详解】解：作，，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， 则； 故选：C 9.（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期末）图1是一盏可折叠台灯，图2是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则_________． 【答案】/68度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 10.（21-22七年级下·新疆·期末）如图，点F是∠ACE内一点，，．点D在射线CE上，点B在射线CA上，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①由，可证明；②由，可证明，由，可证，则可证；③由，，得，则；④由③得到，由 则． 【详解】， ， 故①正确； ， ， ， ， ， 故②正确； ，， ， ， 故③正确； 由③得到， ， 故④正确． 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 11.（21-22七年级下·新疆·期末）如图，，的平分线交AE于点B，G是上的一点，的平分线交CF于点D，且BC平分，下列结论：①；②；③与互余的角有2个；④若，则，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由角平分线和平角的定义即可判断①；由角平分线的定义和平行线的性质即可判断②；由余角的定义即可判断③；由∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=∠DBE=90°-∠ABC=90°-∠ACB，即可判断④． 【详解】解：∵BC平分∠ABG，BD平分∠GBE， ∴， ∵∠ABG+∠GBE=180°， ∴， ∴BD⊥BC，故①正确； ∵BC平分∠ACG， ∴∠ACB=∠BCG， ∵ ∵∠GBC=∠ABC=∠ACB=∠GBC， ∴，故②正确， ∵∠DBE=∠DBG， ∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，故③错误， ∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=∠DBE=90°-∠ABC=90°-∠ACB， 又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-， ∴∠BDF=180°-[90°-（90°- ）]=180°-，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是要牢记平行线的三个性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． 12.（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．    【答案】 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出是关键． 13.（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点O在上，平分，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，掌握知识点是解题的关键． 先求出的度数，继而求出,可得,由垂直可求出,即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 14.（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)70度 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）利用角平分线的性质可得，由，等量代换得出，由平行线的判定定理得出结论； （2）由，可得的度数，由平行线的性质易得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 15.（21-22七年级下·新疆巴州·期末）如图．三角形ABE，．求证：． 解： ____________（                  ） 又 ________________________ ____________ 又 ________________________ （                     ） 【答案】∠4；两直线平行，同位角相等；；；； ；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定解答即可． 【详解】解：∵ ∴∠4（两直线平行，同位角相等） ∵ 又∵ ∴ ∴ 又 ∴ （内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、等量代换等知识点，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． 16.（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）请完成下列推理过程：如图，，，求证：． 证明：∵，， ∴______（同角的补角相等）， ∴______（                              ）， ∴（                           ）， ∵， ∴______（等量代换）， ∴（                               ）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握同角的补角相等、同位角相等，两直线平行、两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．解题时，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵，（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 17.（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据，，利用平行线的性质即可求出结果． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 18.（23-24七年级下·新疆·期末）如图，，，平分．（要求写明与平行线的性质和判定相关的推理根据） (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质得，根据补角的性质得，进而可证； （2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 考点04 平移 1.（24-25七年级下·新疆·期末）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 2.（23-24七年级下·新疆昌吉·期末）下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键．根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中的两个图形可以通过平移得到，因此选项A符合题意； B．选项B中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项C不符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：A． 3.（23-24七年级下·新疆巴州·期末）如左图是新疆维吾尔自治区第十四届运动会的会徽．平移此会徽中的图形，可以得到的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平移设计图案，生活中的平移现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是B． 故选：B 4.（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用平移设计图案，关键是正确理解平移的概念．确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形． 【详解】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误； B、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误； C、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项错误； D、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项正确； 故选：D． 5.（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将三角形向右平移个单位长度后，得到三角形．若，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移的性质可得平移距离，即可解答． 【详解】解：由平移，得 ． 故答案为：2． 6．（22-23七年级下·新疆·期末）如图，将沿方向平移至处，连接．若，则的长为______．    【答案】6 【分析】根据平移的性质得到，再用，得到的长，进而求得的长即可得到答案． 【详解】解：将沿方向平移至处， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 7.（20-21七年级下·新疆·期末）如图，在直角三角形中，，将直角三角形沿着射线方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为______． 【答案】39 【分析】根据求解即可． 【详解】解：由题意平行四边形的面积，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8.（21-22七年级下·新疆和田·期末）如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：①由平移可知，， ∴三角形是直角三角形，故①正确； ②由平移可知，，故②正确； ③由平移可知，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形， ∴，， ∴四边形的周长，故④正确； ⑤由平移可知，，，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③④⑤． 9.（23-24七年级下·新疆·期期末）如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为_______. 【答案】80 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，长方形的面积计算，根据被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形即花圃的面积，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形， 花圃的面积， 故答案为： 80． 10.（24-25七年级下·新疆·期末）如图为某教学楼楼梯的侧面示意图，测得楼梯底部的长为2.5，高为1.5，为使学生有序上下楼，想在楼梯表面中间贴上隔离条，则隔离条的长度至少需要（    ） A．1.5 B．2.5 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平移，利用平移思想得到隔离条的长度至少应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：隔离条的长度至少应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 即为：； 故选C． 11.（24-25七年级下·新疆·期末）如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 12.（22-23七年级下·新疆阿克苏·期末）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示．    (1)分别写出点A，的坐标： (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)， (2)先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 (3) 【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的性质，构建方程组求解． 【详解】（1）解：观察图象可知，； （2）解：是由先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到． （3）解：由题意，得， 解得：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的平移变换和二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握平移变换的性质． 考点05 定义、命题与定理 1.（22-23七年级下·新疆·期末）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等． 2.（23-24七年级下·新疆·期末）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 3.（24-25七年级下·新疆·期末）下列命题中，①垂线段最短；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③0的平方根与算术平方根都是0；④内错角相等．其中是真命题的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题真假，掌握相关知识点是解题关键．根据垂线段的性质、平行公理、平方根与算术平方根的定义、平行线的性质逐一判断命题的真假即可． 【详解】解：①垂线段最短，原命题是真命题； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是真命题； ③0的平方根与算术平方根都是0，原命题是真命题； ④两直线平行，内错角相等，原命题是假命题； 综上，真命题为①、②、③，共3个， 故选：C． 4.（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知下列命题：①若，，则；②若，则；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵若，，则， ∴选项①符合题意； ∵若，且时，， ∴选项②不符合题意； ∵若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等或互补， ∴选项③不符合题意； ∵同位角相等，两直线平行， ∴选项④符合题意， ∴真命题的个数是2个． 故选：B． 5.（24-25七年级下·新疆·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的性质、平行公理、同位角、点到直线的距离，根据相关知识点逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误，不符合题意； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法正确，符合题意； C、同位角不一定相等，故原说法错误，不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6.（24-25七年级下·新疆吐鲁番·期末）有下列命题：①垂线段最短；②相等的角是对顶角；③邻补角互补；④两直线平行，同旁内角相等；⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．其中是真命题的有_______________（填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识．解题关键是准确掌握相关几何概念和性质． 根据垂线段性质、角的关系、平行线性质等知识逐项判断即可． 【详解】①垂线段最短，是真命题． ②相等的角不一定是对顶角，是假命题． ③邻补角互补，是真命题． ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题． ⑤如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，是真命题． 综上，是真命题的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 7.（22-23七年级下·新疆·期末）命题“a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是 ______．（填写“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】利用平行线的判定，即可证明该命题是假命题． 【详解】解：如图，a⊥b，b⊥c，但是a∥c． 所以，该命题是假命题， 故答案为：假命题． 【点睛】本题主要考查了命题的真假，利用平行线的判定画出图形是解题的关键． 8.（23-24七年级下·新疆·期末）若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______． 【答案】 0 -2 【分析】根据x>y给出x、y值，计算乘方，使x2<y2即可． 【详解】解：若x=0，y=-2，则满足x>y的条件， ∴x2=0，y2=4， ∴x2<y2，不符合， 故答案为：0，-2（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键． 考点06 相交线与平行线中的综合压轴题型 1.（21-22七年级下·新疆和田·期末）问题情景： (1)如图①，已知，试问、、有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题，得到的结果是． 请你帮他完善证明过程； 如图②，过点作， ∴____________，（          ） ∵，， ∴____________， ∴______，（       ） ∴， 即． (2)在图①中，若，且，请你计算的度数等于______． (3)问题迁移：如图③，，当点在射线上运动时，，，请你猜想，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等；； ；；两直线平行，内错角相等 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质完成证明过程即可； （2）由（1）可知，即可求解； （3）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图②，过点作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，， ∴， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）可知，， ∴． （3）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2.（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 3.（20-21七年级下·新疆克拉玛依·期末）（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果） 　　　 　　　 　　　 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 ° 【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解； （3）根据平行线的性质，即可求解； （4）根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1， ∵l1∥l2， ∴A2B∥l1∥l2， ∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°， ∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°， 故答案是：360°； （2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1， ∵l1∥l2， ∴A3C∥A2B∥l1∥l2， ∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°， ∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2 =180°+180°+180°=540°， 故答案是：540°； （3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°， 故答案是：720°； （4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °， 故答案是：（n-1）180 °． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键． 4.（23-24七年级下·新疆·期末）将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°．    （1）如图①，∠ADE的度数为         ，∠ABC的度数为         ； （2）若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）． ①如图②，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由； ②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数． 【答案】（1）45°，60°；（2）①平行，理由见解析；②60° 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）①当旋转角α等于45°时，根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，求得∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°，又∠ADE＝45°根据平行线的判定定理即可得到结论； ②根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∠ADE的度数为45°，∠ABC的度数为60°， 故答案为：45°，60°； （2）①当旋转角α等于45°时， ∴∠BAC＝90°， 又∠α＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°， 又∠ADE＝45° ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥BA； ②当AD⊥BC于点F时， ∴∠AFC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠α＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确识别图形是解题的关键． 5.（22-23七年级下·新疆·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（）”为主题开展数学活动． (1)如图（1），若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上．若，则与的数量关系是什么？用含α，β的式子表示． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度以及探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由得到，再由平角的意义结合得到，再解方程即可； （2）过点F作，则，那么，，故； （3）由，则． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，解得． （2）解： 如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． （3）解：．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $